淄博市部分学校高三阶段性诊断考试数学试题答案
山东省淄博市高三数学复习阶段性诊断考试 理(淄博二模)
高三复习阶段性诊断考试试题理科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}{},,,,,,,,,U U a b c d e M a d N a c e M C N ===⋃，则为 A.{},,,a c d eB.{},,a b dC.{},b dD.{}d2.已知i 是虚数单位，则32ii -+等于 A.1i -+B.1i --C.1i +D.1i -3.“a b c d a >>>且是“c bd?”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填 A.4k > B. k >5 C. k >6 D. k >75.设,a b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是 A.若a b a b a b +=-⊥，则 B.若a b a b a b ⊥+=-,则C.若a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=D. 若存在实数λ，使得a b λ=，则a b a b +=-6.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 A.203B.6C.4D.437.下列函数是偶函数，且在[]0,1上单调递增的是 A.cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.212cos 2y x =-C.2y x =-D.()sin y x π=+8.二项式24展开式中，x 的幂指数是整数的项共有A.3项B.4项C.5项D.6项9.3名男生3名女生站成两排照相，要求每排3人且3名男生不在同一排，则不同的站法有A.324种B.360种C.648种D.684种10.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1212,,4F F F F =，P 是双曲线右支上的一点，2F P y 与轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1PQ =，则双曲线的离心率是A.3B.2第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知3sin ,tan 25παπαα⎛⎫∈==⎪⎝⎭，，则________.12.已知等比数列{}3481298n a a a a a a a =⋅⋅⋅=若，则________. 13.若log 41,a b a b =-+则的最小值为_________.14.已知x ，y 满足2211,0x y x y z x y y ⎧+≤⎪+≤=-⎨⎪≥⎩则的取值范围是________.15.在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集(){},,,D a a x yx R y R =∈∈上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量()()11122212,,,,a x y a x y a a ==“”当且仅当“12x x >”或“1212x x y y =>且”.按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若()()()12121,0,0,1,00,0,0e e e e ===则；②若1223,a a a a ，则13a a ；③若12a a ，则对于任意12,a D a aa a ∈++；④对于任意向量()12120,00,0,aa a a a a a =⋅>⋅，若则.其中真命题的序号为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分 16.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()(),2,1,2cos ,//m b c a n A m n =-=且. （I ）求B ；（II ）设函数()211sin 2cos cos sin cos 222f x x B x B B π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，求函数()04f x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，上的取值范围.17.（本题满分12分）某学校组织了一次安全知识竞赛，现随机抽取20名学生的测试成绩，如下表所示（不低于90分的测试成绩称为“优秀成绩”）：（I ）若从这20人中随机选取3人，求至多有1人是“优秀成绩”的概率；（II ）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校全体学生中（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望. 18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC,PB ⊥AC,,AD CD AD⊥且2CD PA ===，点M 在线段PD 上.（I ）求证：AB ⊥平面PAC ；（II ）若二面角M-AC-D 的大小为45，试确定点M 的位置.19.（本题满分12分）某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施.已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放最比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量()0m m >万吨.（I ）从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量（万吨）依次构成数列{}n a ，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式； （II ）证明：数列{}10n a m -是等比数列；（III ）若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围.20.（本题满分13分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 的一个焦点在抛物线2y =的准线上，且椭圆C 过点1,2⎛ ⎝⎭. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）点A 为椭圆C 的右顶点，过点()1,0B 作直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE,AF 与直线3x =分别交于不同的两点M,N ，求EM FN ⋅的取值范围. 21.（本题满分14分） 已知函数()()1 1.xf x x e =--（I ）求函数()f x 的最大值；（II ）若()()0ln 110xx g x e x λ≥=+--≤时，，求λ的取值范围.（III ）证明：111123n n n eee++++++ (12)eln 2n <+（n *N ∈）高三复习阶段性诊断考试数学试题参考答案2014.4一、选择题： BDDAC ADCCB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11． 34-12． 512 ． 13． 1 14． ⎡⎤⎣⎦15．（文科） 7 15．（理科） ①②③ .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）解法一：因为//m n ，所以 2cos 2b A c a =- …………………………………2分由余弦定理得222222b c a b c a bc+-⋅=-，整理得222=+ac a c b -所以222+1cos =22a cb B ac -= ……………………………4分又因为0B π<<，所以3B π=. ………………………………………6分解法二：因为//m n ，所以2cos 2b A c a =- ………………………………2分 由正弦定理得 2sin cos 2sin sin B A C A =- 所以()2sin cos 2sin sin B A A B A =+- 整理得2sin cos sin 0A B A -=因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B = ……………………4分 又因为0B π<<，所以3B π=. …………………………………………6分（Ⅱ）211()sin 2cos cos sin cos()222f x x B x B B π=+++11cos 2sin 242x x +=1sin 2cos 244x x =+1sin(2)23x π=+ ………………8分因为 04x π≤≤，则52+336x πππ≤≤， ………………………10分 所以1sin 2+23x π≤≤（）1， 即()f x 在[0,]4π上取值范围是11[,]42. ……………………12分 17．（文科 本题满分12分）解：(Ⅰ)设该校总人数为n 人， 由题意，得5010100300n =+，所以2000n = ………………3分 故2000(100300150450600)400z =-++++=． …………5分 (Ⅱ)设所抽样本中有m 个女生．因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，所以40010005m=，解得2m =． ………………………7分 也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作12123,,,,A A B B B ，则从中任取2个的所有基本事件为(12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )，(21,A B )，(22,A B )，(23,A B )，(12,B B )，(13,B B )，(23,B B )，共10个； …………………9分 其中至少有1名女生的基本事件有7个： (12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )， (21,A B )，(22,A B )，(23,A B ) …………………………11分 所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为710P =． …………………12分 17．（理科 本题满分12分）解：（Ⅰ）由表知：“优秀成绩”为4人． ………………………………1分 设随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”为事件A ，则3211616433202052()57C C C P A C C =+=． ……………………………………………5分 （Ⅱ）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率15P =． ………6分 ξ可取0,1,2,3 ………………………………………………………7分00331464(0)()()55125P C ξ===；1231448(1)()()55125P C ξ===；2231412(2)()()55125P C ξ===；3303141(3)()()55125P C ξ===．ξ的分布列：……………………………………11分6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………………12分 或 1(3,)5B ξ, 13355E ξ=⨯=． ………………………12分18．（文科 本题满分12分）证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂平面ABCD所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PAPB P =,所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分 因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PAAC A =,所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）方法一取PC 的中点E ,连接QE 、ED . 因为Q 是线段PB 的中点，E 是PC 的中点，所以 QE ∥BC ,12QE BC =………8分 因为 AD ∥BC ,2BC AD =所以 QE ∥AD ,QE AD =所以 四边形AQED 是平行四边形，………………………………9分所以 AQ ∥ED , ………………………………10分 因为AQ ∥ED ,AQ ⊄平面PCD ,ED ⊂平面PCD所以 AQ ∥平面PCD . …………………………………………12分 方法二取BC 的中点E ,连接AE 、QE . 因为 2BC AD = 所以AD EC = 又 AD ∥EC ，所以 四边形ADCE 是平行四边形， 所以AE ∥CD因为AE ⊄平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,所以AE ∥平面PCD ……………8分 因为Q ，E 分别是线段PB ，BC 的中点，所以QE ∥PC ，所以QE ∥平面PCD ……………………………10分 因为QEAE E =，所以平面AEQ ∥平面PCD ……………………11分因为AQ ⊂平面AEQ ，所以AQ ∥平面PCD . ………………………12分 18．（理科 本题满分12分）解证：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂ 平面ABCD 所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PAPB P =,所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A =,所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，又由（Ⅰ）知BA AC ⊥， 建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -.则()0,0,0A ,()0,4,0C ,()2,2,0D -，()0,0,2P ,()2,2,2PD =--,()0,4,0AC =设(),,M x y z ，PM tPD =,则 ()(),,22,2,2x y z t -=--，故点M 坐标为()2,2,22t t t --,()2,2,22AM t t t =-- ………………8分设平面MAC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ………………9分所以()40,22220.y tx ty t z =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩令1z =，则11(01)tt-=，，n . ………………………………10分 又平面ACD 的法向量2(0,0,1)=n所以1212cos 45⋅==⋅n n n n , 解得1=2t故点M 为线段PD 的中点. ………………………………12分 19．(本题满分12分)解：（Ⅰ）由已知，1400.9a m =⨯+,10.9n n a a m +=+（1n ≥）.………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：()1100.990.910n n n a m a m a m +-=-=-，所以数列{}10n a m -是以110369a m m -=-为首项、0.9为公比的等比数列.………6分（Ⅲ）由（Ⅱ）得：()1103690.9n n a m m --=-⋅ ，即()13690.910n n a m m -=-⋅+ . ……………………8分 由()13690.91055n m m --⋅+≤ ，得1155360.9 5.540.9 1.541090.910.910.9n n n n n m ---⨯-⨯≤==+-⨯--恒成立（*n N ∈） …11分 解得： 5.5m ≤；又0m > ，综上，可得(]0,5.5m ∈. …………………………12分20．（文科 本题满分13分）解：（Ⅰ）连接1AF ，因为2AF AB ⊥，211F F =，所以211F F AF=， 即c a 2=，则)0,21(2a F ，)0,23(a B -. ……………… 3分 ABC Rt ∆的外接圆圆心为)0,21(1a F -，半径a B F r ==221 ………4分 由已知圆心到直线的距离为a ，所以a a =--2321， 解得2=a ，所以1=c ，3=b ， 所求椭圆方程为13422=+y x . ………………6分 （Ⅱ）因为)0,1(2F ，设直线l 的方程为：)1(-=x k y ，),,(11y x M ),(22y x N . 联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y ，消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……………… 7分则2221438kk x x +=+，22121436)2(k k x x k y y +-=-+=+， MN 的中点为)433,434(222k k k k +-+. ………………8分 当0=k 时，MN 为长轴，中点为原点，则0=m . ………………9分当0≠k 时，MN 垂直平分线方程).434(1433222kk x k k k y +--=++ 令0=y ，所以43143222+=+=kk k m 因为032>k ，所以2344k +>，可得410<<m ， …………12分 综上可得，实数m 的取值范围是).41,0[ ………………13分 20．（理科 本题满分13分）解：（Ⅰ）抛物线x y 342=的准线方程为：3-=x ……………1分 设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则c =依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=143132222b ab a ，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………3分 （Ⅱ）显然点)0,2(A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得(1,E F，(3,M N ， 所以1EM FN ⋅=. ………………………………5分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)E x y F x y ,显然0k = 时，不符合题意.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. …………………6分 则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.……………7分 直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---， 令3x =，则1212(3,),(3,)22y y M N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--. ………9分 所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅-- 121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+-- 2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅-- 2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++ 222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++ 22221653()(1)414k k k k +-=⋅++22216511164164k k k +==+++. …………………11分 因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈.综上所述，EM FN ⋅的取值范围是5[1,)4. ………………………13分21．（文科 本题满分14分）解：（Ⅰ）()x f x xe '=-， ……………………………………1分 当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；………………………3分故max ()(0)0f x f ==． ………………………………………………4分 （Ⅱ）由2()(1)1x g x x e x λ=-+-，得()(2)x g x x e λ'=--．…………6分 当0λ≤时，由（Ⅰ）得2()()()0g x f x x f x λ=+≤≤成立； …………8分 当102λ<≤时，因为(0,)x ∈+∞时()0g x '<，所以0x ≥时， ()(0)0g x g ≤=成立； ……………………………………………………10分 当12λ>时，因为(0,ln 2)x λ∈时()0g x '>，所以()(0)0g x g >=．…13分 综上，知λ的取值范围是1(,]2-∞． ……………………………………14分 21．（理科 本题满分14分）解证：（Ⅰ）()x f x xe '=-， ……………………………………1分 当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；…………………3分故max ()(0)0f x f ==． ……………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：(1)()11x x x e g x e x x λλ--'=-=--， …………………5分当0λ≤时，因为(0,1)x ∈时()0g x '>，所以0x >时，()(0)0g x g >=；……………………………………………………………………………6分 当01λ<<时，令()(1)x h x x e λ=--，()x h x xe '=-．当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，且(0)(1)(1)()0h h λλ=--<， 故()h x 在(0,1)内存在唯一的零点0x ，使得对于0(0,)x x ∈有()0h x >， 也即()0g x '>．所以，当0(0,)x x ∈时()(0)0g x g >=； ……………8分当1λ≥时，(0,1)x ∈时(1)(1)1()()0111x x x e x e f x g x x x xλ----'=≤=<---，所以，当0x ≥时()(0)0g x g ≤=． …………………………………9分 综上，知λ的取值范围是[1,)+∞． …………………………………10分解法二： (1)()11x x x e g x e x x λλ--'=-=--， ……………………5分 令()(1)x h x x e λ=--，()x h x xe '=-．当[0,1)x ∈时，()0h x '≤，所以()h x 单调递减． …………………6分 若在[0,1)内存在使()(1)0xh x x e λ=-->的区间0(0,)x ，则()g x 在0(0,)x 上是增函数，()(0)0g x g >=，与已知不符． ………8分 故[0,1)x ∈，()0h x ≤，此时()g x 在[0,1)上是减函数，()(0)0g x g ≤=成立． 由()(1)0x h x x e λ=--≤，[0,1)x ∈恒成立，而()0h x '≤，则需()h x 的最大值(0)0h ≤，即()0100e λ--≤，1λ≥， 所以λ的取值范围是[1,)+∞． ……………………10分（Ⅲ）在（Ⅱ）中令1λ=，得0x >时，1ln(1)x e x <--． ……………11分将1111,,,,1232x n n n n =+++代入上述不等式，再将得到的n 个不等式相加，得11111232ln 2n n n n e e e e n +++++++<+． ………………………14分。
山东省2025届高三上学期第一次诊断考试 数学含答案
山东省2025届高三第一次诊断考试数学试题（答案在最后）2024.10说明：本试卷满分150分。
试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{ln(3)},{2}A x y x B x x ==+=∣∣ ,则下列结论正确的是A.A B⊆ B.B A ⊆ C.A B = D.A B ⋂=∅2.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为A.152-B.152C.52-D.523.已知()()cos f x x a x =+为奇函数,则曲线()y f x =在点(π,(π))f 处的切线方程为A.ππ0x y +-= B.ππ0x y -+= C.π0x y ++= D.0x y +=4.在ABC 中,“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.由0,1,2,,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有A.98个B.105个C.112个D.210个6.已知函数()f x 在R 上满足()()f x f x =-,且当(,0]x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<成立,若()0.60.6221122,ln 2(ln 2),log log 88a f b f c f ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.c a b>>7.若1cos 3sin αα+=,则cos 2sin αα-=A.-1B.1C.25-D.-1或25-8.已知函数225e 1,0(),()468,0x x f x g x x ax x x x ⎧+<⎪==-+⎨-+≥⎪⎩,若(())y g f x =有6个零点,则a 的取值范围是A.(4,)+∞ B.174,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[4,5]D.2017,(4,5]32⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.已知0a b >>,下列说法正确的是A.若c d >，则a c b d ->-B.若0c >,则b b c a a c+<+C.2ab a b <+D.11a b b a+>+10.已知,A B 分别为随机事件A ,B 的对立事件,()0,()0P A P B >>,则A.()()1P B A P B A +=∣∣ B.()()()P B A P B A P A +=∣∣C.若A ,B 独立,则()()P A B P A =∣ D.若A ,B 互斥,则()()P A B P B A =∣∣11.已知函数()(1)ln (0)f x x x ax a a =---≠在区间(0,)+∞上有两个不同的零点1x ,2x ,且12x x <,则下列选项正确的是A.a 的取值范围是(0,1) B.121x x =C.()()12114x x ++> D.1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若1~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且51Y X =+,则()D Y =___________.13.已知二次函数2()2()f x ax x c x =++∈R 的值域为[1,)+∞,则14a c+的最小值为___________.14.一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为123,,a a a ，则事件“1223316a a a a a a -+-+-=”发生的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省淄博市2020届部分学校高三阶段性诊断考试试题数学试卷(附参考答案)
17．（10 分）解：
方案一：如果①②③，则④；
……………………………………2 分
证明：由②得 b2 = a2 + c2 − ac ，得 cos B = 1 ，即 B = 60 ；…………4 分 2
由① SABC =
3 ，得 1 ac sin B = 22
3 ，且 B = 60 ，得 ac = 2 ；………6 分 2
求经过点 A1, M , N 的平面 A1MN 与平面 ACC1A1 所成二面角的正弦值．
21．（12 分）
已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1 a b 0 的左右焦点分别为 F1, F2 ，离心率是
3 ，P 为 2
椭圆上的动点．当 F1PF2 取最大值时， PF1F2 的面积是 3 ．
（1）求椭圆的方程；
的最大值为
1 4
高三数学试题 第 2 页（共 6 页）
11．华为 5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：
c1
c2 (a1
a2
)
b11 b21
b12 b22
，其中 c1
a1b11
a2b21 ， c2
a1b12
a2b22
．
已知定义在 R 上不恒为 0 的函数 f (x) ，对任意 a,b R 有：
由① SABC =
3 ，得 1 ac sin B = 22
3 ，且 B = 60 ，得 ac = 2 ；……6 分 2
由④ b = 3 ，且 b2 = a2 + c2 − ac ，得 a2 + c2 − ac = 3 ； …………8 分
从而 (a + c)2 = 3 + 6 = 9 a + c = 3 ， (a − c)2 = 3 − 2 = 1 a − c = 1 ；
山东省淄博市高三数学复习阶段性诊断考试 理(淄博二模
高三复习阶段性诊断考试试题理科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}{},,,,,,,,,U U a b c d e M a d N a c e M C N ===⋃，则为 A.{},,,a c d eB.{},,a b dC.{},b dD.{}d2.已知i 是虚数单位，则32ii -+等于 A.1i -+B.1i --C.1i +D.1i -3.“a b c d a >>>且是“c bd?”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填 A.4k > B. k >5 C. k >6 D. k >75.设,a b r r 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是A.若a b a b a b +=-⊥r r r r r r ，则B.若a b a b a b ⊥+=-r r r r r r ,则C.若a b a b +=-r r r r，则存在实数λ，使得a b λ=r r D. 若存在实数λ，使得a b λ=r r ，则a b a b +=-r r r r6.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 A.203B.6C.4D.437.下列函数是偶函数，且在[]0,1上单调递增的是 A.cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.212cos 2y x =- C.2y x =-D.()sin y x π=+8.二项式243x x ⎛+ ⎪⎝⎭展开式中，x 的幂指数是整数的项共有 A.3项 B.4项 C.5项 D.6项9.3名男生3名女生站成两排照相，要求每排3人且3名男生不在同一排，则不同的站法有A.324种B.360种C.648种D.684种10.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1212,,4F F F F =，P 是双曲线右支上的一点，2F P y 与轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1PQ =，则双曲线的离心率是A.3B.2C.3D.2第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知3sin ,tan 25παπαα⎛⎫∈==⎪⎝⎭，，则________.12.已知等比数列{}3481298n a a a a a a a =⋅⋅⋅=若，则________. 13.若log 41,a b a b =-+则的最小值为_________.14.已知x ，y 满足2211,0x y x y z x y y ⎧+≤⎪+≤=-⎨⎪≥⎩则的取值范围是________.15.在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集(){},,,D a a x y x R y R =∈∈r r上也可以定义一个称“序”的关系，记为“?”.定义如下：对于任意两个向量()()11122212,,,,a x y a x y a a ==u r u u r u r u u r?“”当且仅当“12x x >”或“1212x x y y =>且”.按上述定义的关系“?”，给出如下四个命题：①若()()()12121,0,0,1,00,0,0e e e e ===u r u u r r u r u u r r ??则；②若1223,a a a a u r u u r u u r u u r ??，则13a a u r u u r ?；③若12a a u r u u r ?，则对于任意12,a D a a a a ∈++r u r r u u r r ?；④对于任意向量()12120,00,0,a a a a a a a =⋅>⋅r r r u r u u r r u r r u u r??，若则.其中真命题的序号为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分 16.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()(),2,1,2cos ,//m b c a n A m n =-=u r r u r r且.（I ）求B ；（II ）设函数()211sin 2cos cos sin cos 222f x x B x B B π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，求函数()04f x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，上的取值范围.17.（本题满分12分）某学校组织了一次安全知识竞赛，现随机抽取20名学生的测试成绩，如下表所示（不低于90分的测试成绩称为“优秀成绩”）：（I ）若从这20人中随机选取3人，求至多有1人是“优秀成绩”的概率；（II ）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校全体学生中（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望. 18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC,PB ⊥AC,,AD CD AD⊥且22,2CD PA ===，点M 在线段PD 上.（I ）求证：AB ⊥平面PAC ；（II ）若二面角M-AC-D 的大小为45o，试确定点M 的位置.19.（本题满分12分）某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施.已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放最比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量()0m m >万吨.（I ）从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量（万吨）依次构成数列{}n a ，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式； （II ）证明：数列{}10n a m -是等比数列；（III ）若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围.20.（本题满分13分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 的一个焦点在抛物线2y =的准线上，且椭圆C 过点1,2⎛ ⎝⎭. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）点A 为椭圆C 的右顶点，过点()1,0B 作直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE,AF 与直线3x =分别交于不同的两点M,N ，求EM FN ⋅u u u u r u u u r的取值范围.21.（本题满分14分） 已知函数()()1 1.xf x x e =--（I ）求函数()f x 的最大值；（II ）若()()0ln 110xx g x e x λ≥=+--≤时，，求λ的取值范围.（III ）证明：111123n n n eee++++++ (12)eln 2n <+（n *N ∈）高三复习阶段性诊断考试数学试题参考答案2014.4一、选择题： BDDAC ADCCB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11． 34-12． 512 ． 13． 1 14． ⎡⎤⎣⎦15．（文科） 7 15．（理科） ①②③ .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）解法一：因为//m n u r r，所以 2cos 2b A c a =- …………………………………2分由余弦定理得222222b c a b c a bc+-⋅=-，整理得222=+ac a c b -所以222+1cos =22a cb B ac -=……………………………4分 又因为0B π<<，所以3B π=. ………………………………………6分解法二：因为//m n u r r，所以2cos 2b A c a =- ………………………………2分由正弦定理得 2sin cos 2sin sin B A C A =- 所以()2sin cos 2sin sin B A A B A =+- 整理得2sin cos sin 0A B A -=因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B = ……………………4分 又因为0B π<<，所以3B π=. …………………………………………6分（Ⅱ）211()sin 2cos cos sin cos()222f x x B x B B π=+++11cos 2sin 242x x +=+1sin 224x x =+1sin(2)23x π=+ ………………8分因为 04x π≤≤，则52+336x πππ≤≤， ………………………10分 所以1sin 2+23x π≤≤（）1， 即()f x 在[0,]4π上取值范围是11[,]42. ……………………12分 17．（文科 本题满分12分）解：(Ⅰ)设该校总人数为n 人，由题意，得5010100300n =+，所以2000n = ………………3分 故2000(100300150450600)400z =-++++=． …………5分(Ⅱ)设所抽样本中有m 个女生．因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，所以40010005m=，解得2m =． ………………………7分 也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作12123,,,,A A B B B ，则从中任取2个的所有基本事件为(12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )，(21,A B )，(22,A B )，(23,A B )，(12,B B )，(13,B B )，(23,B B )，共10个； …………………9分 其中至少有1名女生的基本事件有7个： (12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )， (21,A B )，(22,A B )，(23,A B ) …………………………11分 所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为710P =． …………………12分 17．（理科 本题满分12分）解：（Ⅰ）由表知：“优秀成绩”为4人． ………………………………1分 设随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”为事件A ，则3211616433202052()57C C C P A C C =+=． ……………………………………………5分（Ⅱ）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率15P =． ………6分 ξ可取0,1,2,3 ………………………………………………………7分00331464(0)()()55125P C ξ===；1231448(1)()()55125P C ξ===；2231412(2)()()55125P C ξ===；3303141(3)()()55125P C ξ===．ξ的分布列：……………………………………11分6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………………12分 或 1(3,)5B ξ:, 13355E ξ=⨯=． ………………………12分18．（文科 本题满分12分）证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂平面ABCD所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PA PB P =I , 所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分 因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I , 所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）方法一取PC 的中点E ,连接QE 、ED . 因为Q 是线段PB 的中点，E 是PC 的中点，所以 QE ∥BC ,12QE BC =………8分 因为 AD ∥BC ,2BC AD =所以 QE ∥AD ,QE AD =所以 四边形AQED 是平行四边形，………………………………9分所以 AQ ∥ED , ………………………………10分 因为AQ ∥ED ,AQ ⊄平面PCD ,ED ⊂平面PCD所以 AQ ∥平面PCD . …………………………………………12分 方法二取BC 的中点E ,连接AE 、QE . 因为 2BC AD = 所以AD EC = 又 AD ∥EC ，所以 四边形ADCE 是平行四边形， 所以AE ∥CD因为AE ⊄平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,所以AE ∥平面PCD ……………8分 因为Q ，E 分别是线段PB ，BC 的中点，所以QE ∥PC ，所以QE ∥平面PCD ……………………………10分 因为QE AE E =I ，所以平面AEQ ∥平面PCD ……………………11分 因为AQ ⊂平面AEQ ，所以AQ ∥平面PCD . ………………………12分 18．（理科 本题满分12分）解证：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂ 平面ABCD 所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PA PB P =I , 所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I , 所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，又由（Ⅰ）知BA AC ⊥， 建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -.则()0,0,0A ,()0,4,0C ,()2,2,0D -，()0,0,2P ,()2,2,2PD =--u u u r ,()0,4,0AC =u u u r设(),,M x y z ，PM tPD =u u u u r u u u r,则 ()(),,22,2,2x y z t -=--，故点M 坐标为()2,2,22t t t --,()2,2,22AM t t t =--u u u u r………………8分设平面MAC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u rn n ………………9分 所以()40,22220.y tx ty t z =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩令1z =，则11(01)tt-=，，n . ………………………………10分 又平面ACD 的法向量2(0,0,1)=n 所以12122cos 452⋅==⋅on n n n , 解得1=2t故点M 为线段PD 的中点. ………………………………12分 19．(本题满分12分)解：（Ⅰ）由已知，1400.9a m =⨯+,10.9n n a a m +=+（1n ≥）.………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：()1100.990.910n n n a m a m a m +-=-=-，所以数列{}10n a m -是以110369a m m -=-为首项、0.9为公比的等比数列.………6分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得：()1103690.9n n a m m --=-⋅ ，即()13690.910n n a m m -=-⋅+ . ……………………8分 由()13690.91055n m m --⋅+≤ ，得1155360.9 5.540.9 1.541090.910.910.9n n n n nm ---⨯-⨯≤==+-⨯--恒成立（*n N ∈） …11分 解得： 5.5m ≤；又0m > ，综上，可得(]0,5.5m ∈. …………………………12分 20．（文科 本题满分13分）解：（Ⅰ）连接1AF ，因为2AF AB ⊥，211F F =，所以211F F AF =， 即c a 2=，则)0,21(2a F ，)0,23(a B -. ……………… 3分 ABC Rt ∆的外接圆圆心为)0,21(1a F -，半径a B F r ==221………4分由已知圆心到直线的距离为a ，所以a a =--2321， 解得2=a ，所以1=c ，3=b ，所求椭圆方程为13422=+y x . ………………6分 （Ⅱ）因为)0,1(2F ，设直线l 的方程为：)1(-=x k y ，),,(11y x M ),(22y x N .联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y ，消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……………… 7分则2221438k k x x +=+，22121436)2(kkx x k y y +-=-+=+， MN 的中点为)433,434(222k kk k +-+. ………………8分 当0=k 时，MN 为长轴，中点为原点，则0=m . ………………9分当0≠k 时，MN 垂直平分线方程).434(1433222kk x k k k y +--=++ 令0=y ，所以43143222+=+=kk k m 因为032>k ，所以2344k +>，可得410<<m ， …………12分 综上可得，实数m 的取值范围是).41,0[ ………………13分20．（理科 本题满分13分）解：（Ⅰ）抛物线x y 342=的准线方程为：3-=x ……………1分设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则c =依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=143132222b ab a ，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………3分 （Ⅱ）显然点)0,2(A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得(1,E F，(3,M N ，所以1EM FN ⋅=u u u u r u u u r. ………………………………5分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)E x y F x y ,显然0k = 时，不符合题意.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. …………………6分 则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.……………7分直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---， 令3x =，则1212(3,),(3,)22y yM N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--u u u u r ，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--u u u r . ………9分 所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅--u u u u r u u u r121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+-- 2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅--2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++ 22221653()(1)414k k k k +-=⋅++22216511164164k k k +==+++. …………………11分因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈u u u u r u u u r . 综上所述，EM FN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是5[1,)4. ………………………13分21．（文科 本题满分14分）解：（Ⅰ）()xf x xe '=-， ……………………………………1分 当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；………………………3分故max ()(0)0f x f ==． ………………………………………………4分 （Ⅱ）由2()(1)1xg x x e x λ=-+-，得()(2)xg x x e λ'=--．…………6分 当0λ≤时，由（Ⅰ）得2()()()0g x f x x f x λ=+≤≤成立； …………8分 当102λ<≤时，因为(0,)x ∈+∞时()0g x '<，所以0x ≥时， ()(0)0g x g ≤=成立； ……………………………………………………10分当12λ>时，因为(0,ln 2)x λ∈时()0g x '>，所以()(0)0g x g >=．…13分 综上，知λ的取值范围是1(,]2-∞． ……………………………………14分21．（理科 本题满分14分）解证：（Ⅰ）()xf x xe '=-， ……………………………………1分当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；…………………3分故max ()(0)0f x f ==． ……………………………………………………4分（Ⅱ）解法一：(1)()11x xx e g x e x xλλ--'=-=--， …………………5分 当0λ≤时，因为(0,1)x ∈时()0g x '>，所以0x >时，()(0)0g x g >=；……………………………………………………………………………6分当01λ<<时，令()(1)xh x x e λ=--，()xh x xe '=-．当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，且(0)(1)(1)()0h h λλ=--<， 故()h x 在(0,1)内存在唯一的零点0x ，使得对于0(0,)x x ∈有()0h x >， 也即()0g x '>．所以，当0(0,)x x ∈时()(0)0g x g >=； ……………8分当1λ≥时，(0,1)x ∈时(1)(1)1()()0111x x x e x e f x g x x x xλ----'=≤=<---，所以，当0x ≥时()(0)0g x g ≤=． …………………………………9分 综上，知λ的取值范围是[1,)+∞． …………………………………10分解法二： (1)()11x xx e g x e x xλλ--'=-=--， ……………………5分 令()(1)xh x x e λ=--，()xh x xe '=-．当[0,1)x ∈时，()0h x '≤，所以()h x 单调递减． …………………6分 若在[0,1)内存在使()(1)0xh x x e λ=-->的区间0(0,)x ，则()g x 在0(0,)x 上是增函数，()(0)0g x g >=，与已知不符． ………8分 故[0,1)x ∈，()0h x ≤，此时()g x 在[0,1)上是减函数，()(0)0g x g ≤=成立． 由()(1)0xh x x e λ=--≤，[0,1)x ∈恒成立，而()0h x '≤， 则需()h x 的最大值(0)0h ≤，即()0100e λ--≤，1λ≥，所以λ的取值范围是[1,)+∞． ……………………10分 （Ⅲ）在（Ⅱ）中令1λ=，得0x >时，1ln(1)xe x <--． ……………11分 将1111,,,,1232x n n n n=+++L 代入上述不等式，再将得到的n 个不等式相加，得11111232ln 2n n n nee een +++++++<+L L ． ………………………14分。
山东省淄博市淄博第四中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段性考试数学试卷(含答案)
试卷类型：A淄博四中2022级高三上学期第一次阶段性考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，则（ ）A.（0，2）B. C. D.2.“”是“，成立”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若，，，则（ ）A. B. C. D.4.已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.5.已知，，，下列错误的选项是（ ）A.且 B. C. D.6.已知函数（）图象的一个对称中心为，则（ ）A.在区间上单调递增B.是图象的一条对称轴C.在上的值域为D.将图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于轴对称7.已知函数为上的奇函数，为偶函数，则（ ）{}24xA x =<}1B =≤A B = [)1,2[]1,2()0,1()2,2b ∈-x ∀∈R 210x bx -+≥sin1a =()lg tan1b =12c =c b a<<b a c<<b c a<<a c b<<()(),023,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩12x x ≠()()12120f x f x x x -<-a ()0,1()2,+∞10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭0a >0b >a b ab +=1a >1b >4ab ≥49a b +≤11b a b+>()()sin 2f x x ϕ=+π2ϕ<π,06⎛⎫⎪⎝⎭()f x ππ,83⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5π6x =()f x ()f x ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎡-⎢⎣()f x 5π12y ()f x R ()1f x +A. B.C. D.8.已知函数，若关于的方程有且只有两个不同实数根，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.9.已知三次函数（）有极小值点，则下列说法中正确的有（ ）A. B.函数有三个零点C.函数的对称中心为D.过可以作两条直线与的图象相切10.已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）A. B.C.为递减数列 D.的前5项和为11.对于具有相同定义域的函数和，若存在函数（，为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线：为曲线与的“分渐近线”.给出定义域均为的四组函数，其中曲线与存在“分渐近线”的是（ ）A.， B.，C.， D.，()()20f x f x --+=()()1f x f x -=+()()22f x f x +=-()20230f =()()()201ln 0xx x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩x ()()()210f x m f x m +--=m 1,2e⎛⎫ ⎪⎝⎭()()1,11,0,2e⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭()1,0,2e⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()()1,0,11,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()325f x x bx =++0b <2x =3b =-()f x ()f x ()1,3()1,1-()y f x ={}n a n n S 24a =742S =54a =21522n S n n =+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭421D ()f x ()g x ()h x kx b =+k b m 0x D ∈x D ∈0x x >()()()()00f x h x m h x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩l y kx b =+()y f x =()y g x ={}1D x x =>()y f x =()y g x =()2f x x =()g x =()102xf x -=+()23x g x x-=()21x f x x +=()ln 1ln x x g x x +=()221x f x x =+()()21e x g x x -=--三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分12.等比数列的前项和为，若，则______.13.已知，，则______.14.设方程，的根分别为，，函数，令，，则，，的大小关系为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分。
2014山东省淄博市高三三模试卷 数学答案
高三阶段性复习诊断考试数学试题参考答案及评分说明 2014.5第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．B 8．C 9．B 10．A第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．2-13． 414．（文科）*12()3nn N ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭14．（理科）(,3)-∞15．①②④三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（文科 本题满分12分）解：（Ⅰ）()f x m n =⋅2cos cos 444x x x+111cos sin 2222262x x x π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭ 因为()1f x =，所以1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭…………………………………4分 21cos 12sin 3262x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos 332x x -=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………6分 （Ⅱ）因为()2cos bcos a c B C -=由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=……………………7分 所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -= 所以()2sin cos sin A B B C =+因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠ 所以1cos ,23B B π== ……………………8分 所以203π<A <……………………9分所以1,sin 6262226A A ππππ⎛⎫<+<<+<1⎪⎝⎭……………………10分 又因为()f x =m n 1sin 262x π⎛⎫=++⎪⎝⎭ 所以()f A 1sin 262A π⎛⎫=++⎪⎝⎭ ……………………11分 故函数()f A 的取值范围是 31,2⎛⎫⎪⎝⎭……………………12分 16．（理科 本题满分12分）解：（Ⅰ）()f x m n =⋅2cos cos 444x x x +=111cos sin 22222262x x x π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭ 因为()1f x =，所以1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭ ……………………………………4分2cos 12sin 3262x +=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos cos 332x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……………………6分 （Ⅱ）因为()2cos bcos a c B C -=由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -= ……………………7分 所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -= 所以()2sin cos sin A B B C =+因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠ 所以1cos ,23B B π== ……………………8分 所以23A C π+=，因为ABC ∆为锐角三角形 所以02π<A <且 02C π<<，即232A ππ0<-< 所以02π<A <且263A ππ<<，所以62ππ<A < ……………………9分所以5,sin 426122264A A ππππ⎛⎫<+<<+<⎪⎝⎭…………………10分 又因为()f x =m n 1sin 262x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，所以()f A 1sin 262A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……11分故函数()f A 的取值范围是⎝⎭. ……………………12分C 1CB 1NBA 1AMPO 17．（文科 本题满分12分）证明：（Ⅰ）取1A B 的中点P ，连接PM ,PN . 因为 M ,P 分别是AB ,1A B 的中点， 所以 PM ∥1AA ,112PM AA = ………2分 又因为1AA ∥1CC ,所以 PM ∥CN 且=PM CN 所以 四边形PMCN 为平行四边形，所以 PN ∥CM ．………………………………………………………………4分 又因为 CM ⊄平面1A BN ，PN ⊂平面1A BN ，所以CM ∥平面1A BN ． ………………………………………………………6分 （Ⅱ）取AC 的中点O ,连结BO ，ON . 由题意知 BO ⊥AC ，又因为 平面11A ACC ⊥平面ABC ，所以 BO ⊥平面11A ACC ． …………………………………………8分因为 1AC ⊂平面11AACC 所以1BO AC ⊥ 因为 四边形11A ACC 为菱形，所以 11AC AC ⊥又因为 ON ∥1AC , 所以 1AC ON ⊥所以 1AC ⊥平面BON ， 又 BN ⊂平面BON …………………………10分 所以 1AC BN ⊥． ……………………………………………12分 17．（理科 本题满分12分） 解证：（Ⅰ）证明：方法一取AC 的中点O ,连结BO ，ON ,由题意知 BO ⊥AC ． 又因为平面11A ACC ⊥平面ABC ， 所以 BO 11A ACC ．………………2分 因为1AC ⊂平面11A ACC 所以 1BO AC ⊥ 因为 四边形11A ACC 为菱形，所以 11AC AC ⊥又因为 ON ∥1AC , 所以 1AC ON ⊥ 所以 1AC ⊥平面BON ………………4分又 BN ⊂平面BON ， 所以 1AC BN ⊥．…6分 方法二取AC 的中点O ,连结BO ，1AO , 由题意知 BO AC ⊥，1AO AC ⊥.又因为 平面11A ACC ⊥平面ABC ，所以 1AO ⊥平面ABC以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -. ……………………2分 则()0,0,0O,)B,(1A，30,,22N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,()0,1,0C ，(10,1,AC =. 3,22BN ⎛= ⎝⎭ ……………………4分 因为 ()1330302AC BN =++-=，所以1AC BN ⊥……………………6分 （Ⅱ）取AC 的中点O ,连结BO ，1AO , 由题意知 BO AC ⊥，1AO AC ⊥.又因为 平面11A ACC ⊥平面ABC ，所以 1AO ⊥平面ABC以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -. ……………………7分 则()0,0,0O ,)B,(1A ，30,2N ⎛ ⎝⎭,130,,22A N ⎛=- ⎝⎭, (13,0,A B =.设平面1A BN 的法向量为1(,,)x y z =n ，则11110,0.A N AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,20.y z⎧-=⎪⎨-= 令1x =.所以1(1,1)3=n . …………………………………………9分 又平面1A NC 的法向量2(1,0,0)=n …………………………………10分设二面角1B A N C --的平面角为θ，则1212cos θ⋅==⋅n n n n .……………12分18．（文科 本题满分12分）解: (Ⅰ) 用(,)a b (a 表示第一次取到球的编号,b 表示第二次取到球的编号) 表示先后两次取球构成的基本事件, ………………………………1分 则基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),共12个. ……………………………………3分 设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A , 则事件A 包含的基本事件有:(2,1),(2,4),(4,2),共有3个, …………5分所以 31()124P A == …………………………6分 (Ⅱ) 基本事件有: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3)(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个. ……………8分设“直线10ax by ++=与圆22116x y +=有公共点”为事件B14≤， 即2216a b +≥ ……………………………10分 则事件B 包含的基本事件有:(1,4),(2,4),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共有8个,所以 81()162P B == …………………………………12分 18．（理科 本题满分12分）解：（Ⅰ）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ,“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ,则由题意知，事件A 与事件B 互为对立事件………………2分因为 1147391()3C C P B C == …………………………………………4分所以 12()1()133P A P B =-=-= ……………………………………5分 （Ⅱ）X 的取值为 1,2,3,4 ……………………………6分122127273949(1)84C C C C P X C +=== ………………………………………7分 122125253925(2)84C C C C P X C +=== ……………………………………8分 12212323399(3)84C C C C P X C +=== ……………………………………9分 3911(4)84P X C === ………………………………10分 X 的分布列为：………………………11分492591130651234848484848442EX =⨯+⨯+⨯+⨯==………………………12分 19．(文科 本题满分12分)解：（Ⅰ）由题设可得，1312132()()235a a a a a a -=-+-=+= 同理2532311a a -=+=所以3153()()16a a a a -+-=， …………………2分 从而，有5116a a -=，所以，517a =； ……………………3分（Ⅱ）由题设知，212132nn n a a +--=+， ……………………4分 所以，1212332n n n a a ----=+ 2232532n n n a a ----=+… …25332a a -=+13132a a -=+ ……………………6分将上述各式两边分别取和，得121211(333)2(1)n n a a n ---=++⋅⋅⋅++-所以，2135222n n a n -=+-． ……………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ），可得231222n n a n =+-，……………………9分 所以，212343nn n n b a a n -=+=+- ……………………10分所以12(333)4(12)3nn S n n =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-1233222n n n +=+--．……12分 19．(理科 本题满分12分)解：（Ⅰ）由题设可得，1312132()()235a a a a a a -=-+-=+=同理2532311a a -=+=所以3153()()16a a a a -+-=， …………………2分 从而，有5116a a -=，所以，517a =； ……………………3分（Ⅱ）由题设知，212132nn n a a +--=+， ……………………4分 所以，1212332n n n a a ----=+ 2232532n n n a a ----=+… …25332a a -=+13132a a -=+ ……………………6分将上述各式两边分别取和，得：121211(333)2(1)n n a a n ---=++⋅⋅⋅++-，所以2135222n n a n -=+-．…………7分（Ⅲ）由（Ⅱ），可得231222n n a n =+-，所以212343n n n a a n -+=+-………8分 1°当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅+222332222n n n +=+--，………………10分2°当n 为奇数时，若1n =，则111S a ==. 若3n ≥,则123421()()()nn n n S a a a a a a a --=++++⋅⋅⋅++11212213(1)33(333)4(12)()2222n n n n n +---=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-++- 1223222n n n+=+--． 综上可得22212233()222232()22n n n n n n S n nn ++⎧⎪=+--⎪=⎨⎪+--⎪⎩为偶数为奇数 ……………………12分(方式二）由（Ⅱ），可得231222n n a n =+-， 不妨记212343nn n n b a a n -=+=+- ……………………8分1°当n 为偶数时，令2n m =，1234112()()()n n n m S a a a a a a b b b -=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+ 12(333)4(12)3m m m =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-1233222m m m +=+--，即22232222n n n n S +=+--．……………………10分 2°当n 为奇数时，若1n =，则111S a ==. 若3n ≥，令21n m =-，12342112121()()()n n n n m m S a a a a a a a b b b a ----=++++⋅⋅⋅+++=++⋅⋅⋅++231352(1)22222m m m m m =+---++-23231m m m =+--， 即1223222n n n nS +=+--． 综上可得22212233()222232()22n n n n n n S n nn ++⎧⎪+--⎪=⎨⎪+--⎪⎩为偶数为奇数 ……………………12分 20．（文科 本题满分13分）（Ⅱ）证明∵直线l 的斜率为，且不过(1,)P 点，联立方程组221,431.2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=． ………………6分 又设1122(,)(,)A x y B x y 、，∴12212,3,02 2.x x m x x m m +=-⎧⎪=-⎨⎪∆>⇒-<<⎩，1212332211PA PBy y k k x x --+=+--12121212(2)()23()1x x m x x m x x x x +-+-+=-++0.= 所以 PB PA k k +为定值。
2023-2024学年山东省淄博市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞24．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（ ） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−135．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．126．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种7．已知函数y ＝xf （x ）是R 上的偶函数，f （x ﹣1）+f （x +3）＝0，当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝2x ﹣2﹣x +x ，则（ ）A ．f （x ）的图象关于直线x ＝2对称B ．4是f （x ）的一个周期C ．f(2023)=52D ．f(12)＞f(0．50.2)8．设函数f （x ）={x +|lnx|−2，x ＞0，sin(ωx +π4)−12，−π≤x ≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．[134，174) B ．[174，214) C ．[4912，6512)D ．[6512，7312)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（ ）A ．样本的众数为6712B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（ ） A ．1＜b ＜2B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥311．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=1212．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（ ）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为 ． 14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α= ．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为 ． 16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求函数f （x ）的单调增区间．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关． 附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}解：因为B ＝{x |x ＜3，x ∈N }＝{0，1，2}，A ＝{0，1，2，3}，因此A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：D ．2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i解：∵（1+2i ）z ＝3﹣2i ， ∴z =3−2i 1+2i =(3−2i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−15−85i ， ∴z 的虚部为−85． 故选：B ．3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞2解：由|x |＞2解得：x ＜﹣2或x ＞2，找“|x |＞2”的一个充分不必要条件，即找集合{x |x ＜﹣2或x ＞2}的真子集， ∵{x |x ＞2}⫋{x |x ＜﹣2或x ＞2}，∴“|x |＞2”的一个充分不必要条件是{x |x ＞2}． 故选：D ．4．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（ ） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−13解：因为a 1=12，a n+1=1+an 1−a n(n ∈N ∗)，所以a 2=1+a 11−a 1=1+121−12=3，a 3=1+a 21−a 2=1+31−3=−2， a 4=1+a31−a 3=1−21+2=−13，a 5=1+a 41−a 4=1−131+13=12，a 6=1+a 51−a 5=1+121−12=3，所以数列{a n }是周期为4的周期数列， 所以a 2023＝a 505×4+3＝a 3＝﹣2． 故选：C ．5．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．12解：因为AO →=λAB →+(1−λ)AC →=λAB →+AC →−λAC →， 所以CA →+AO →=λAB →+λCA →=λ(CA →+AB →)，即CO →=λCB →，所以O 在BC 上，故△ABC 的外接圆以O 为圆心，BC 为直径， 所以△ABC 为直角三角形，且AC ⊥AB ，O 为BC 中点， 过A 作BC 的垂线AQ ，垂足为Q ，因为向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，所以OA →在BC →上的投影向量为OQ →=BQ →−BO →=34BC →−12BC →=14BC →， 因为|OA →|=12|BC →|，所以cos ∠AOC =|OQ||OA|=|OQ →||OA →|=14|BC →|12|BC →|=1412=12． 故选：D ．6．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种解：根据题意，可分为四类：①当甲乙都未选中，则不同的选择方案有A44=24种；②当甲选中，乙未选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；③当甲未选中，乙选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；④当甲乙都选中，则由C42种选法，先安排甲，再安排乙，若甲去了金华赛区，则有A33=6；若甲未去金华赛区，则有C21C21A22=8，则不同的安排方案有C42×(6+8)=84种，由分类计数原理，可得共有24+72+72+84＝252种不同的安排方案．故选：D．7．已知函数y＝xf（x）是R上的偶函数，f（x﹣1）+f（x+3）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝2x﹣2﹣x+x，则（）A．f（x）的图象关于直线x＝2对称B．4是f（x）的一个周期C．f(2023)=52D．f(12)＞f(0．50.2)解：∵函数y＝xf（x）是R上的偶函数，∴﹣xf（﹣x）＝xf（x），∴﹣f（﹣x）＝f（x），即y＝f（x）为奇函数，对于A：∵f（x﹣1）+f（x+3）＝0，∴f（x）+f（x+4）＝0，从而f（﹣x）+f（﹣x+4）＝0，∴﹣f（x）+f（﹣x+4）＝0即f（﹣x+4）＝f（x），即f（x）的图象关于直线x＝2对称，A正确；对于B：∵f（﹣x+4）＝f（x），∴﹣f（x﹣4）＝f（x），即f（x﹣4）+f（x）＝0，∴f（x﹣8）+f（x﹣4）＝0，∴f（x）＝f（x﹣8），∴f（x）是以8为周期的函数，B错误；对于C：f(2023)=f(253×8−1)=f(−1)=12−2−1=−52，C错误；对于D：当x∈[﹣2，0]时，y＝2x，y＝﹣2﹣x，y＝x均为单调递增函数，∴f（x）＝2x﹣2﹣x+x在[﹣2，0]上单调递增，又y＝f（x）为奇函数，∴y＝f（x）在[0，2]上单调递增，又0＜12=0．51＜0．50.2＜2，∴f(12)＜f(0．50.2)，D错误．故选：A．8．设函数f（x）={x+|lnx|−2，x＞0，sin(ωx+π4)−12，−π≤x≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A．[134，174)B．[174，214)C．[4912，6512)D．[6512，7312)解：∵当0＜x＜1时，f（x）＝x﹣lnx﹣2，f′(x)=1−1x＜0恒成立，f（x）单调递减，且f（e﹣2）＝e﹣2＞0，f（1）＝﹣1＜0，此时f（x）有且只有一个零点；当x≥1时，f（x）＝x+lnx﹣2单调递增，且f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝ln2＞0，此时f（x）有且只有一个零点，∴当﹣π≤x≤0时，f(x)=sin(ωx+π4)−12有5个零点，即方程sint=12在[−ωπ+π4，π4]上有5个实根，则−5π−π6＜−ωπ+π4≤−4π+π6，即4912≤ω＜6512．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（）A ．样本的众数为6712 B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人 解：对于选项A ，样本的众数为65+702=6712，故正确；对于选项B ，∵0.03×5+0.05×5+0.06×5＝0.7＜0.8， 0.03×5+0.05×5+0.06×5+0.04×5＝0.9＞0.8， ∴样本的80%分位数在（70，75]之间， 70+0.8−0.70.04×5×5＝7212，故正确；对于选项C ，样本的平均值为57.5×0.03×5+62.5×0.05×5+67.5×0.06×5+72.5×0.04×5+77.5×0.02×5＝66.75， 故错误； 对于选项D ，该校男生中低于60公斤的学生大约为2000×0.03×5＝300人，故正确； 故选：ABD ．10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（ ） A ．1＜b ＜2 B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥3解：因为a +b ＝2， 所以a ＝2﹣b ，由题意得2﹣b ＜b 且2﹣b ＞0， 故1＜b ＜2，A 正确； 因为a ＜b ，即a ﹣b ＜0， 所以2a ﹣b ＜1，B 错误；因为（√a+√b 2）2≤a+b2=1，显然等号无法取得， 故√a +√b ＜√2，C 正确；1a+2b=a+b 2a+a+b b=32+b 2a+a b≥32+√2，当且仅当b =√2a 且a +b ＝2，即a ＝2√2−2，b ＝4﹣2√2时取等号，D 错误． 故选：AC ．11．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=12解：由题意P(A)=37，故A 正确； P(B)=37×36+47×26=1742，故B 正确； P(AB)=37×36=314， 因为P(A)P(B)=37×1742=1798≠P(AB)，所以事件A 与事件B 不相互独立，故C 错误； P(B|A)=P(AB)P(A)=31437=12，故D 正确．故选：ABD ．12．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（ ）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根解：f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)=2cos(2ωx +π3+φ)， 则T =2π2|ω|=π，ω＞0，解得，ω＝1， 又f （x ）为偶函数，所以π3+φ=kπ，k ∈Z ，即φ=−π3+kπ，k ∈Z ， 又|φ|＜π2，所以φ=−π3，所以f （x ）＝2cos2x ，其向右平移π6个单位长位得y =g(x)=2cos(2x −π3)，A 错误；g(π6)=2cos(2×π6−π3)=2，所以函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称，B 正确； 令g(x)=2cos(2x −π3)≥1，解得kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ，C 正确：； g(x)=12f 2(x2)，即2cos(2x −π3)=12(2cosx)2，整理得sin2x =√33，根据y ＝sin2x 的图象明显可得方程sin2x =√33在(0，π2)有两个相异实根，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为 1120 ． 解：（x 2√x ）8的展开式的通项公式为 T r +1=C 8r•（﹣2）r •x 8−3r2， 令8−3r 2=2，求得 r ＝4，可得含x 2项的系数为C 84×（﹣2）4＝1120， 故答案为：1120．14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α=47．解：因为a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →， 所以a →⋅b →=−2cos α+sin α＝0，所以tan α＝2， 所以sin2α3−2sin 2α=2sinαcosα3(sin 2α+cos 2α)−2sin 2α=2sinαcosαsin 2α+3cos 2α=2tanαtan 2α+3=2×222+3=47．故答案为：47．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为 5或4． ．解：由于c 1，c 2，⋯，c k +1是公差为﹣2的等差数列，故c 1，c 2，⋯，c k +1单调递减，所以c k +1＝﹣10， 故c 1﹣2k ＝﹣10，则c 1＝﹣10+2k ，c k ＝c k +1+2＝﹣8．又S 2k +1＝﹣50，故2（c 1+c 2+⋯+c k ）+c k +1＝﹣50，即c 1+c 2+⋯+c k ＝﹣20， 由等差数列前n 项和公式有k(−10+2k−8)2=−20，化简得k 2﹣9k +20＝0，解得k ＝5或k ＝4． 故答案为：5或4．16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为 ﹣1 ．解：∵x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a ，对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立，∴sinx 1x 1+a x 1＜sinx 2x 2+a x 2对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立．令f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]， 即对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，当x 1＜x 2时，f （x 1）＜f （x 2）， 则f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]为单调递增函数， 即f ′(x)=xcosx−sinx−a x 2≥0在[1，π2]上恒成立，令g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a ，x ∈[1，π2]， g ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ＜0， 即g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a 在[1，π2]上单调递减， 可得g(x)min =g(π2)=π2cos π2−sin π2−a ≥0， 即﹣1﹣a ≥0，解得a ≤﹣1． 即实数a 的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 证明：选①②当条件，③当结论 由②得sinB +sinBcosA =√3sinAsinB ， 因为sin B ＞0，所以1+cosA =√3sinA ，即sin(A −π6)=12，0＜A ＜π， 所以A =π3，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ，由①知，a 2＝c 2+bc ，代入可得，b ＝2c ，所以a =√3c ， 即sinA =√3sinC ；选①③作条件，②当结论，由③得：a=√3c，因为a2＝c2+bc，所以3c2＝c2+bc，则b＝2c，所以cosA=b2+c2−a22bc=12，0＜A＜π，所以A=π3，由③知，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA√3=12，所以C=π6，所以B=π2，所以，b+bcosA=2c+c=3c=√3×√3c=√3a=√3asinB；选②③作条件，①当结论，由②得：sinB+sinBcosA=√3sinAsinB，而sin B＞0，所以1+cosA=√3sinA，即√3sinA−cosA=1，根据辅助角公式可得，sin(A−π6)=12，所以，A=π3，由③，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA3=12，得：C=π6，所以B=π2，所以sinA=√3sinC，sin B＝2sin C，则a=√3c，b＝2c，即：a2﹣c2＝bc．18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调增区间．解：（1）因为f(x)=(1x+1)ln(1+x)，定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），所以f′(x)=−1x2ln(1+x)+(1x+1)11+x=x−ln(x+1)x2，又f′（1）＝1﹣ln2，f（1）＝2ln2，所以切线方程为y＝（1﹣ln2）（x﹣1）+2ln2，即y＝（1﹣ln2）x+3ln2﹣1．（2）函数f（x）定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），f′(x)=x−ln(x+1)x2，设g（x）＝x﹣ln（x+1），x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），所以g′(x)=1−1x+1=xx+1，当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递递增，所以g （x ）min ＞g （0）＝0，所以g （x ）＝x ﹣ln （x +1）＞0恒成立， 所以f ′(x)=x−ln(x+1)x 2＞0在（﹣1，0）∪（0，+∞）上恒成立， 所以函数f （x ）在（﹣1，0）和（0，+∞）上单调递增， 所以函数f （x ）单调增区间为（﹣1，0）和（0，+∞）．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．解：（1）若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或者甲乙甲， 故第三回合甲发球的概率为35×35+(1−35)×15=1125．（2）设甲在第i 回合得分记为事件A i ，乙在第i 回合得分记为事件 B i ，i ∈{1，2，3}， 则P(A 1A 2A 3)=(35)3=27125，此时甲得3分， P(A 1A 2B 3)=(35)2×25=18125，此时甲得2分， P(A 1B 2A 3)=35×25×15=6125，此时甲得2分， P(A 1B 2B 3)=35×25×45=24125，此时甲得1分， P(B 1A 2A 3)=25×15×35=6125，此时甲得2分， P(B 1A 2B 3)=25×15×25=4125，此时甲得1分， P(B 1B 2A 3)=25×45×15=8125，此时甲得1分， P(B 1B 2B 3)=25×45×45=32125，此时甲得0分， 故X 的分布列为：故E(X)=0×32125+1×36125+2×30125+3×27125=176125． 20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．解：（1）由已知得{a 2+b 3=1+d +q 2=8a 3+b 2=1+2d +q =9，解得d ＝3，q ＝2，∴a n =3n −2，b n =2n−1；（2）由已知得数列{c n }：b 2，b 3，b 5，b 6，b 8，b 9，…， 当n 为偶数时，S n =(b 2+b 5+b 8+⋯+b 3(n 2)−1)+(b 3+b 6+b 9+⋯+b 3(n 2)) =2(1−8n 2)1−8+4(1−8n 2)1−8=6(8n2−1)7， 当n 为奇数（n ≥3）时，S n =b 2+(b 3+b 6+⋯+b3(n−12))+(b 5+b 8+b 11+⋯+b 3(n−12)+2) =2+4(1−8n−12)1−8+16(1−8n−12)1−8=20(8n−12−1)7+2，当n ＝1时，S 1＝2，符合上式，故S n ={6(8n2−1)7，n 为偶数20(8n−12−1)7+2，n 为奇数．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关． 附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑ n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．解：（1）r 1=∑(u i −u)(y −y)12i=1√∑(u i −u)2i=1∑(y i −y)2i=1=3125000×200=2150025000=4350=0.86，r 2=∑(x i −x)(v i −v)12i=1√∑(x i −x)2i=1∑(v i −v)2i=1=14√770×0.308=1477×0.2=1011≈0.91，则|r1|＜|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx+t的拟合程度更好．（2）先建立v关于x的线性回归方程，由y＝eλx+t，得lny＝t+λx，即v＝t+λx，由于λ=∑(x i−x)(v i−v)12i=1∑(x i−x)212i=1=14770≈0.018，t=v−λx=4.20−0.018×20=3.84，所以v关于x的线性回归方程为v=0.02x+3.84，所以lny=0.02x+3.84，则y=e0.02x+3.84．（3）零假设为H0：对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关，χ2=(200×150−100×150)2350×250×300×300≈0.029＜10.828，根据小概率α＝0.001独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即H0成立，该地区对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．解：（1）函数f（x）＝x2（lnx﹣a）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x（lnx﹣a）+x＝x（2lnx﹣2a+1），令f′（x）＝0，所以lnx=2a−12，得x=e2a−12，当x∈(0，e 2a−12)，f′（x）＜0，当x∈(e 2a−12，+∞)，f′（x）＞0，所以函数f（x）递减区间为(0，e 2a−12)，递增区间为(e2a−12，+∞)．（2）证明：因为函数f（x）在x＝e处取得极值，所以x=e 2a−12=e，得a=32，所以f(x)=x2(lnx−32)，f′（x）＝x（2lnx﹣2）＝2x（lnx﹣1），令g（x）＝2x（lnx﹣1），g′（x）＝2lnx，因为当x＝1时，g′（x）＝0，所以当x∈（0，1），g′（x）＜0，当x∈（1，+∞），g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，又当x∈（0，e）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＜0，当x∈（e，+∞）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＞0，所以0＜x1＜1＜x2＜e．①先证x1+x2＞2，需证x2＞2﹣x1，因为x2＞1，2﹣x1＞1，下面证明g（x1）＝g（x2）＞g（2﹣x1），设t（x）＝g（2﹣x）﹣g（x），x∈（0，1），则f′（x）＝﹣g′（2﹣x）﹣g′（x），t′（x）＝﹣2ln（2﹣x）﹣2lnx＝﹣2ln[（2﹣x）x]＞0，所以t（x）在（0，1）上为增函数，所以t（x）＜t（1）＝g（1）﹣g（1）＝0，所以t（x1）＝g（2﹣x1）﹣g（x1）＜0，则g（2﹣x1）＜g（x1）＝g（x2），又因为g（x）在（1，+∞）单调递增，所以2﹣x1＜x2，即得x1+x2＞2，②下面证明：x1+x2＜e，因为x1∈（0，1），g（x1）＝2x1（lnx1﹣1）＜﹣2x1，当x∈（1，e）时，设h（x）＝g（x）﹣（2x﹣2e）＝2xlnx﹣4x+2e，因为在（1，e）上h′（x）＝2lnx﹣2＜0，所以h（x）在（1，e）上单调递减，所以h（x）＞h（e）＝2e﹣4e+2e＝0，所以h（x2）＞0，g（x2）＞2x2﹣2e，因为g（x1）＝g（x2），所以2x2﹣2e＜g（x2）＝g（x1）＜﹣2x1，即x1+x2＜e，所以2＜x1+x2＜e．。
山东省淄博市高三数学复习阶段性诊断考试 文(淄博二模
高三复习阶段性诊断考试试题文科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}{},,,,,,,,,U U a b c d e M a d N a c e M C N ===⋃，则为 A.{},,,a c d eB.{},,a b dC.{},b dD.{}d2.已知i 是虚数单位，则32ii -+等于 A.1i -+B.1i --C.1i +D.1i -3.“a b c d a >>>且是“c bd?”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填 A.4k > B. k >5 C. k >6 D. k >75.设,a b r r是两个非零向量，则下列命题为真命题的是A.若a b a b a b +=-⊥r r r r r r ，则B.若a b a b a b ⊥+=-r r r r r r ,则C.若a b a b +=-r r r r，则存在实数λ，使得a b λ=r rD. 若存在实数λ，使得a b λ=r r，则a b a b +=-r r r r6.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 A.203B.6C.4D.437.下列函数是偶函数，且在[]0,1上单调递增的是 A.cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.212cos 2y x =- C.2y x =-D.()sin y x π=+8.已知()()()34,1log ,1a a x a x f x x x --<⎧⎪=-∞+∞⎨≥⎪⎩是，上的增函数，那么a 的取值范围是 A.()1,+∞B.(),3-∞C.()1,3D.3,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭9.函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可以是A.()sin f x x x =+B.()cos xf x x =C.()cos f x x x =D.()322f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭10.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1212,,4F F F F =，P 是双曲线右支上的一点，2F P y 与轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1PQ =，则双曲线的离心率是 A.3 B.2C.3D.2第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知3sin ,tan 25παπαα⎛⎫∈==⎪⎝⎭，，则________.12.已知等比数列{}3481298n a a a a a a a =⋅⋅⋅=若，则________. 13.若log 41,a b a b =+则的最小值为_________.14.已知x ，y 满足2211,0x y x y z x y y ⎧+≤⎪+≤=-⎨⎪≥⎩则的取值范围是________.15.对任意正整数()[]511,,,1i k k m f m k ma i =+=+∑记，其中表示不大于a 的最大整数，则()2,2f =_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分 16.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()(),2,1,2cos ,//m b c a n A m n =-=u r r u r r且.（I ）求B ；（II ）设函数()211sin 2cos cos sin cos 222f x x B x B B π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，求函数()04f x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，上的取值范围.17.（本题满分12分）某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表：按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人. （I ）求z 的值；（II ）用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率. 18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，BC=2AD ，PB ⊥AC ，Q 是线段PB 的中点. （I ）求证：AB ⊥平面PAC ； （II ）求证：AQ//平面PCD. 19.（本题满分12分）某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施.已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放最比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量()0m m >万吨.（I ）从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量（万吨）依次构成数列{}n a ，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式； （II ）证明：数列{}10n a m -是等比数列；（III ）若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围. 20.（本题满分13分）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足11222,,,BF F F AB AF A B F =⊥u u u uu r u u u r ，且过三点的圆与直线330x y --=相切.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴相交于点P （m ，0），求实数m 的取值范围.21.（本题满分14分） 已知函数()()1 1.x f x x e =-- （I ）求函数()f x 的最大值；（II ）若()()200x g x f x x λλ≥=+≤时，，求的取值范围.高三复习阶段性诊断考试数学试题参考答案2014.4BDDAC ADCCB 11．34-12．512 13.1 14.⎡⎤⎣⎦ 15.716．解：（Ⅰ）解法一：因为//m n u r r，所以 2cos 2b A c a =- ………………2分由余弦定理得222222b c a b c a bc+-⋅=-，整理得222=+ac a c b -所以222+1cos =22a cb B ac -=……4分 又因为0B π<<，所以3B π=. ………………………………………6分解法二：因为//m n u r r，所以2cos 2b A c a =- ………………………………2分由正弦定理得2sin cos 2sin sin B A C A=- 所以()2sin cos 2sin sin B A A B A =+-整理得2sin cos sin 0A B A -=因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B = ……………………4分 又因为0B π<<，所以3B π=. …………………………………………6分（Ⅱ）211()sin 2cos cos sin cos()222f x x B x B B π=+++11cos 2sin 24224x x +=+-1sin 224x x =+1sin(2)23x π=+ ………………8分 因为 04x π≤≤，则52+336x πππ≤≤， ………………………10分所以 1sin 2+23x π≤≤（）1，即()f x 在[0,]4π上取值范围是11[,]42.……12分17． 解：(Ⅰ)设该校总人数为n 人，由题意，得5010100300n =+，所以2000n = ………………3分 故2000(100300150450600)400z =-++++=． …………5分(Ⅱ)设所抽样本中有m 个女生．因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，所以40010005m=，解得2m =． ………………………7分 也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作12123,,,,A A B B B ，则从中任取2个的所有基本事件为(12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )，(21,A B )，(22,A B )，(23,A B )，(12,B B )，(13,B B )，(23,B B )，共10个； …………………9分 其中至少有1名女生的基本事件有7个： (12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )， (21,A B )，(22,A B )，(23,A B ) …………………………11分 所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为710P =． …………………12分 18． 证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂平面ABCD所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PA PB P =I , 所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分 因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I , 所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）方法一:取PC 中点E ,连接QE 、ED . 因为Q 是线段PB 的中点，E 是PC 的中点，所以 QE ∥BC ,12QE BC =………8分 因为 AD ∥BC ,2BC AD =所以 QE ∥AD ,QE AD =所以 四边形AQED 是平行四边形，………………………………9分所以 AQ ∥ED , ………………………………10分 因为AQ ∥ED ,AQ ⊄平面PCD ,ED ⊂平面PCD所以 AQ ∥平面PCD . …………………………………………12分 方法二:取BC 的中点E ,连接AE 、QE . 因为 2BC AD = 所以AD EC = 又 AD ∥EC ，所以 四边形ADCE 是平行四边形， 所以AE ∥CD因为AE ⊄平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,所以AE ∥平面PCD ……………8分 因为Q ，E 分别是线段PB ，BC 的中点，所以QE ∥PC ，所以QE ∥平面PCD ……………………………10分 因为QE AE E =I ，所以平面AEQ ∥平面PCD ……………………11分 因为AQ ⊂平面AEQ ，所以AQ ∥平面PCD . ………………………12分 19．解：（Ⅰ）由已知，1400.9a m =⨯+,10.9n n a a m +=+（1n ≥）.………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：()1100.990.910n n n a m a m a m +-=-=-，所以数列{}10n a m -是以110369a m m -=-为首项、0.9为公比的等比数列.………6分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得：()1103690.9n n a m m --=-⋅ ，即()13690.910n n a m m -=-⋅+ . ……………………8分由()13690.91055n m m --⋅+≤ ，得1155360.9 5.540.9 1.541090.910.910.9n n n n nm ---⨯-⨯≤==+-⨯--恒成立（*n N ∈） …11分 解得： 5.5m ≤；又0m > ，综上，可得(]0,5.5m ∈. ………12分 20．解：（Ⅰ）连接1AF ，因为2AF AB ⊥，211F F BF =，所以211F F AF =，即c a 2=，则)0,21(2a F ，)0,23(a B -. ……………… 3分ABC Rt ∆的外接圆圆心为)0,21(1a F -，半径a B F r ==221………4分由已知圆心到直线的距离为a ，所以aa =--2321，解得2=a ，所以1=c ，3=b ，所求椭圆方程为13422=+y x . ………………6分（Ⅱ）因为)0,1(2F ，设直线l 的方程为：)1(-=x k y ，),,(11y x M ),(22y x N . 联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y ，消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k .…… 7分则2221438k k x x +=+，22121436)2(k k x x k y y +-=-+=+， MN 的中点为)433,434(222kkk k +-+. ………………8分 当0=k 时，MN 为长轴，中点为原点，则0=m . ………………9分 当0≠k 时，MN 垂直平分线方程).434(1433222k k x k k k y +--=++令0=y ，所以43143222+=+=k kk m 因为032>k，所以2344k +>，可得410<<m ， …………12分 综上可得，实数m 的取值范围是).41,0[ ………………13分21．解：（Ⅰ）()xf x xe '=-， ……………………………………1分当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；……3分故max ()(0)0f x f ==． ………………………………………………4分（Ⅱ）由2()(1)1x g x x e x λ=-+-，得()(2)xg x x e λ'=--．…………6分 当0λ≤时，由（Ⅰ）得2()()()0g x f x x f x λ=+≤≤成立； …………8分 当102λ<≤时，因为(0,)x ∈+∞时()0g x '<，所以0x ≥时， ()(0)0g x g ≤=成立； ……………………………………………………10分当12λ>时，因为(0,ln 2)x λ∈时()0g x '>，所以()(0)0g x g >=．…13分 综上，知λ的取值范围是1(,]2-∞． ……………………………………14分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
部分学校高三阶段性诊断考试试题
数学参考答案
一、单项选择题：DCCB
ABDC
二、多项选择题：9．BC；10．AC；11．AD；12．ACD；
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．− 3 ；14． 7 ；15． 4 3 ；16．1，[ 2π , 7π ]（本题第一空 2 分，第二空 3 分）．
所以 AMNP 是平行四边形，………2 分
所以 MN //AP ，
因为 AP 平面 ACC1A1 ，
所以直线 MN // 平面 ACC1A1 ．……4 分
第4页（共9页）
初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店
（2）连结 CM ，由已知可得，
MB = BC = CM ，所以 MBC 为等边三角形，
3 ，得 1 ac sin B = 22
3 ，且 B = 60 ，得 ac = 2 ；………6 分 2
由③ a = 2 或 1 ，不仿取 a = 2 ，联立 ac = 2 ，得 a = 2，c =1；………8 分
c
2
c
余弦定理： b2 = a2 + c2 − ac = 4 +1− 2 = 3 ，得 b = 3 ，④成立；……10 分
…………………………………11 分
所以定圆 C 的方程是 x2 + y2 = 4 5
3
， C1 −
3,1, 22
3 ， B1 −
3,3, 22
3 ，
…………………………………6 分
所以 M
3 2
,
1 2
,
0
，
N
−
3 ,1, 2
3 ，
( ) 所以 MA1 = 0,0,
3
，
MN
=
−
3, 1 , 2
3
，
设平面 A1MN 的法向量为 m = ( x, y, z) ，
所以 sin = 5 . 13
………………………………12 分
21．（12 分）解：（1）依题意可得 e = c = 3 ， a2
……………………1 分
设 F1PF2 = ，由余弦定理可知： 4c2 = PF1 2 + PF2 2 − 2 PF1 PF2 cos ，
所以1+ cos = 2b2 (
得 b1 + b2 = a3 − a1 = 42 ， b3 + b4 = a5 − a3 = 34 ；
………………2 分
设数列{bn}的公差为 d ， (b3 + b4 ) − (b1 + b2 ) = 4d = −8 ，
即得 d = −2,b1 = 22 ，
………………………………………6 分
数列{bn}的通项公式为 bn = − 2n + 24 ； …………………………………7 分
所以选用 20 g / 次剂量组方案，参与该试验的1000 人比此剂量只接种一次成功人数
平均提高 273人．
………………………………12 分
20．（12 分）解：（1）取 A1C1 的中点 P ，连结 AP, NP ，
所以
PN //A1B1
，且
PN
=
1 2
A1B1 ，
所以 PN //AM ，且 PN = AM ，
（2）由于 b1 = a2 − a1,b2 = a3 − a2 ,b3 = a4 − a3,b4 = a5 − a4 ,，bn−1 = an − an−1 ，
累加可得：
an = (an − an−1) + (an−1 − an−2 ) ++ (a2 − a1) + a1 = bn−1 + bn−2 ++ b1 + a1
证明：由②得 b2 = a2 + c2 − ac ，得 cos B = 1 ，即 B = 60 ； 2
………4 分
由④ b = 3 ，且 b2 = a2 + c2 − ac ，得 a2 + c2 − ac = 3 ；
………6 分
由③ a = 2 或 1 ，不仿取 a = 2 ，代入 a2 + c2 − ac = 3 ，
从而 (a + c)2 = 3 + 6 = 9 a + c = 3 ， (a − c)2 = 3 − 2 = 1 a − c = 1 ；
得
a c
= =
2 1
或
a c
=1 =2
，得
a c
=
2
或
1 2
，③成立；
…………10 分
第1页（共9页）
初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店
方案三：如果①③④，则②；（错．误．选．择．，．零．分．）
c
2
c
即 3c2 = 1，得 c = 1, a = 2 ； ………………………………………………8 分
第2页（共9页）
初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店
从而得 1 ac sin B = 2
3 2
， SABC
=
3 ，①成立； 2
………………10 分
18．解：（1）由定义知： b1 = a2 − a1,b2 = a3 − a2 ,b3 = a4 − a3,b4 = a5 − a4 ；
从而
cos
B
=
5c2 − 4c2
3
；
同时 sin2 B + cos2 B = 1 ，得 3c4 −10c2 + 7 = 0 ，得 c = 1或 7 ， 3
当c
=
1时，得
a c
=2 ，由余弦定理得： b2
=1
=
a2
+ c2
− 2ac cos B ，且 b
=
3 ，得
cos B = 1 ，即 B = 60 ；即 b2 = a2 + c2 − ac 成立，②成立； 2
分
y1y2 = (kx1 + m)(kx2 + m) = k2x1x2 + km(x1 + x2 ) + m2
= k 2 4m2 − 4 + km −8km + m2 = m2 − 4k 2
4k 2 +1
4k 2 +1
4k 2 +1
OA OB
=
x1x2
+
y1 y2
=
4m2 4k 2
−4 +1
+
当c =
7
时，得
a
=
2
7 3 ，由余弦定理得：b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ，且 b =
3，
3
c =
7 3
得 cos B = 13 ，即 B = 60 不成立；即 b2 = a2 + c2 − ac 不成立，②不成立； 14
方案四：如果②③④，则①； …………………………………………………2 分
1000
1000
由于三次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等，
所以 (1− p)3 = 0.027 ，得 p = 0.7 ，
………………………………7 分
设参与试验的1000 人此剂量只接种一次成功的人数为 X ，
显然 X B(1000,0.7) ， EX =10000.7 = 700
参与试验的1000 人此剂量只接种一次成功的人数平均为 700 人，…………10 分 且 973− 700 = 273 ，
第3页（共9页）
初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店
………………………………4 分
所以有 99.9% 的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关…………5 分
（2）假设 20 g / 次剂量组临床试验接种一次成功的概率为 p ，
由数据，三次接种成功的概率为 973 = 0.973 ，不成功的概率为 27 = 0.027 ，
5
5
第6页（共9页）
初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y = kx + m , A(x1, y1), B(x2, y2 ) ,
m
原点 O 到直线 l 的距离为 d ,所以
=d，
1+ k2
整理得 m2 = d 2 (k 2 +1) ，
………………………………7 分
证明：由① SABC =
3 ，得 1 ac sin B =
2
2
3， 2
由③ a = 2 或 1 ，不仿取 a = 2 ，得 c2 sin B = 3 ，即 sin B = 3 ；
c
2
c
2
2c2
由④ b = 3 ，且 b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ， a = 2 ，得 5c2 − 4c2 cos B = 3 ， c
所以方案 20 g / 次剂量组接种效果好；
………………………………2 分
由公式
k=
n(ad − bc)2
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
= 2000 (900 27 −100 973)2 ， 1000 1000 1873 127
44.806 10.828
………………………………4 分
解得 a = 2,b =1,c = 3 ，
………………………………………4 分
所以椭圆方程为 x2 + y2 = 1 4
……………………………………………5 分