高三阶段性考试数学试卷
山东省名校考试联盟2023-2024学年高三上学期12月阶段性检测数学答案及评分细则
山东名校考试联盟2023年12月高三年级阶段性检测数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．35； 14．3281； 15．6−； 16．2a ． 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】（1）方法一：因为等差数列{}n a 中，2616a a +=，所以48a =， …………………………………2分 又因为15355()5(2)3022a a a S +===，所以36a =， …………………………………4分 所以122a d ==，，2n a n =. …………………………………5分 方法二：由，，得 …………………………………2分 解得 …………………………………4分 所以 ………………………………5分 （2）由（1）得2n S n n =+， ………………………………7分所以ABC △. ……………………… 12分 【评分说明】 1.方法一中没有标注t 的取值范围，不扣分；2.方法二中没有指出等号成立的条件扣一分.20．【解析】（1）连接1AB ，设11A B AB M =，则1A B 中点为M ，且1AM A B ⊥，………………1分 因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC平面111ABB A A B =，AM ⊂平面11ABB A ，所以AM ⊥平面1A BC ，因为BC ⊂平面1A BC ，AM BC ⊥，…………………2分又在直三棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BC ⊥， …………………………………3分因为11AM BB B =，AM ，1BB ⊂平面11ABB A ， 所以BC ⊥平面11ABB A ，………………………………4分又因为AB ⊂平面11ABB A ，所以AB BC ⊥； …………………………………5分（2）由（1）得AM ⊥平面1A BC ，则直线AC 与平面1A BC 所成的角为6ACM π∠=，在正方形11ABB A 中，2,2AB AM AC BC =====，…………… 7分建立以B 为原点的空间直角坐标系B xyz −，如图所示：(0,2,0)A ，(2,0,0)C ，(0,1,1)M ， ………………………8分 设11(2,2,2)A E A C λλλλ==−−，[0,1]λ∈，则11(2,22,22)BE BA A E λλλ=+=−−，又(0,2,0)BA =设平面ABE 的法向量为(,,)n x y z =，则20(1)(1)0n BA y n BE x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+−+−=⎪⎩，取1x =，则0y =，1z λλ=−，故曲线()n y f x =在2x =−处的切线斜率为12n −．………………………………………2分（2）因为()22e −x f x k 对任意x ∈R 恒成立，则()22122e e −−+−=x x x x f x k对任意x ∈R 恒成立． ……………………………………3分 令212()e −−+=x x x g x ，则()()42e −'=xx x g x ， 故()g x 在(,0]−∞上单调递减，在(0,4)上单调递增，在[4,)+∞上单调递减 …………4分 又(0)1g =−，且当4x >时， ()0g x >， ………………………………………5分 故()g x 的最小值为(0)1g =−，故1k −，即k 的取值范围是(,1]−∞−． ………………………………………6分(3) ()1111n f n '−=−−−−=−．当1x ≠−时，()()()()()211111.11n n n n n x x f x x x x x x −−−−−'=−+−++−=−=−−+………………7分因此当n 为奇数时，()2311231n n n x x x x f x x n n −=−+−++−−．此时1,1,()1, 1.n n x x f x x n x ⎧+−≠−⎪'=+⎨⎪−=−⎩ 则()0n f x '<，所以()n f x 单调递减． 此时(0)10n f =>．1()1f x x =− 显然有唯一零点，无最小值．当2n 时，()2312222212231−=−+−++−−n nn f n n()2123212220.321−⎛⎫⎛⎫=−+−++−< ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭n n n n 且当2x >时，()()()231211231311,321n n n n x x x x f x x n n x x n x x x x n n −−⎛⎫⎛⎫=−+−++− ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=−+−++−<− ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭由此可知此时()n f x 不存在最小值．从而当n 为奇数时，()n f x 有唯一零点，无最小值．………………………………… 8分当2()n k k *=∈N 为偶数时，()2311231n nn x x x x f x x n n−=−+−+−+−， 此时1,1,()1, 1.n n x x f x x n x ⎧−≠−⎪'=+⎨⎪−=−⎩则()n f x 在(,1]−∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()n f x 的最小值为()()111111110,2321n f n n n⎛⎫⎛⎫=−+−++−+> ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭ 即()(1)0n n f x f >，当n 为偶数时，()n f x 没有零点．………………………………… 9分在不等式()ln 1(0)1x x x x +>>+中令1x n =可得11ln 1n n n +>+， 分别取,1,,21n k k k =+−可知 ()2111111112342121111111223224211111112322111122−=−+−++−−⎛⎫⎛⎫=++++−+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++++−+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++++k f k kk k k k k k k……………………………10分 1222ln ln ln ln ln 2,121++<+++==+−k k k k k k k k…………………………11分 即()211ln 2k m f =>−．从而当n 为偶数时，()n f x 没有零点，存在最小值m ，且1ln 2m >−． ……………… 12分综上所述，当n 为奇数时，()n f x 有唯一零点，无最小值；当n 为偶数时，()n f x 没有零点，存在最小值m ，且1ln 2m >−．。
河南省三门峡市2024-2025学年高三上学期11月阶段性考试数学试题
河南省三门峡市2024-2025学年高三上学期11月阶段性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2log 2A x x =≤，{}24B x x =-<<，则A B = （）A ．()2,2-B ．()0,2C ．()0,4D ．(]0,42．“1x >”是“2x x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数2x y -=-与2x y =的图象（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y=x 对称4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为341,2n S S a a =-，且2415a a +=，则35a a +=（）A ．3B ．5C ．30D ．455．如图，平行四边形ABCD 中，2,AE EB DF FC ==，若,CB a CE b == ，则AF =（）A ．1322a b+ B ．3122a b-C ．1322a b- D ．1322a b -+ 6．关于x 的方程(1)(4)x x a --=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论错误的是（）A ．当0a =时，121,4x x ==B ．当0a >时，1214x x <<C ．当0a >时，121,4x x <>D ．当904a -<<时，122544x x <<7．已知角αβ，满足tan 2α=，2sin cos()sin βαβα=+，则tan β=（）A ．13B ．17C ．16D ．28．在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且CD a =，AB b =，EF 和GH 为平行于底的两条割线，其中EF 为中位线，GH 过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（）A．)0,02a ba b +≥>>B ．()20,0112a ba b a b+≤>>+C．)0,02a b a b +≤>>D．)220,0a b a b +≥>>二、多选题9．在实际应用中，通常用吸光度A 和透光率T 来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为1lg A T=，下表为不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料3T0.70.80.9设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为123,,A A A ，则下列结论正确的是（）A ．12A A >B ．233A A >C ．1322A A A +>D ．231A A A +>10．已知非零向量,,a b c，则下列结论正确的是（）A ．若a c b c ⋅=⋅ ，则a b=B ．若()0a b c ⋅= ，则b c⊥C ．若()()a b a b +⊥-，则||||a b = D ．向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直11．已知函数()cos sin f x x x x =-在区间(0,3π)内有两个零点12,x x ，则下列结论正确的是（）A ．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x>B ．12πx x ->C ．12sin 02x x +⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．1221sin sin 0x x x x +<三、填空题12．在ABC V 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则cos B =13．已知二次函数()f x 从1到1x +∆的平均变化率为23x ∆+，请写出满足条件的一个二次函数的表达式()f x =．14．已知函数()11x x e f x e -=+，()()11g x f x =-+，()*12321n n a g g g g n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式为．四、解答题15．设函数()e xf x =，x ∈R .(1)求方程()()()22f x f x =+的实数解；(2)若不等式()22x b b f x +-≤对于一切x ∈R 都成立，求实数b 的取值范围.16．已知函数2()2sin cos f x x x x =+-R x ∈，且将函数()f x 的图象向左平移π(02ϕϕ<<个单位长度得到函数()g x 的图象．(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数()g x 是奇函数，求ϕ的值；(3)若1cos 3ϕ=，当x θ=时函数()g x 取得最大值，求π12f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17．ABC V 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .(1)若sin sin sin sin cos21A B B C B ++=，3π4C =，求a b的值；(2)求证：()222sin sin A B a b c C--=.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11nn S a n n+=--，*N n ∈.(1)求n S ；(2)令()11121n n n n n n n S S b na a n a a ++++=-+，证明：12313n b b b b ++++< .19．若函数()f x 对其定义域内任意()1212,x x x x ≠满足：当()()12f x f x =时，恒有12x x m =，其中常数m ，则称函数()f x 具有性质()V m .(1)函数1()2=+g x x x具有性质()V m ，求m .(2)设函数()()()1221()ln ,0h x x x h x h x x x =-=>>，（ⅰ）判断函数()h x 是否具有性质()V m ，若有，求出m ，若没有，说明理由；（ⅱ）证明：2122x x <.。
江西省5市重点中学2023届高三下学期阶段性联考数学(理)试题真题卷(含答案与解析)
江西省5市重点中学2023届高三下学期阶段性联考数学（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合{}{}23041x A x x B x x =+->=->，，则A B = （ ）A. {}13x x << B. {}31x x -<< C. {}3x x >- D. {}1x x >2. 若复数z 满足2i 2iz=-，则1z +=（ ）A.B.C. 5D. 173. 函数2221,0()log 1,0x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()()1f f =（ ）A. －2B. －1C. 1D. 24. 8x ⎛- ⎝的展开式中含5x 项的系数是（ ）A. －112B. 112C. －28D. 285. 已知非零向量a 与b 满足|a |＝2|b |，且|a + 2b2b ，则向量a 与b的夹角是A.6πB.3πC.23π D.56π 6. 在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，12AA AB =，D ，E ，F 分别是棱11B C ，1CC ，1AA 的中点，则异面直线BE 与DF 所成角的余弦值是（ ）AB.C.D.7. 某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，8.7，9.3，x ，y .已知这5名参赛选手的得分的平..均数为9，方差为0.1，则x y -=（ ） A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.88. 设函数()f x 导函数为()f x '，若()f x 在其定义域内存在0x ，使得()()00f x f x '=，则称()f x 为“有源”函数.已知()ln 2f x x x a =--是“有源”函数，则a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞- B. ()1,-+∞ C.(],ln 21-∞--D. ()ln 21,--+∞9. 已知函数()π2cos 2sin 23f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ） A. ()f x 最小正周期是π B. ()f x 在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增C. ()f x 的图象关于点()ππ,0212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称D. ()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡-⎢⎣10. 如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是（ ）A.27B.37C.47D.5711. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，且直线1l ，2l 分别与抛物线C 交于A ，B 和D ，E ，则四边形ADBE 面积的最小值是（ ） A 32B. 64C. 128D. 25612. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，且cos cos 1b A B -=，则22sin B A +的取值范围是（ ）A. ()1B. ()1+C. (]1,3D. (]2,3第Ⅱ卷的的.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率是2，实轴长为2，则双曲线C 的焦距是______.14.已知πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 15. 已知()f x 是定义在[]4,4-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,1对称，则关于x 的不等式()()23350f x f x x +-+->的解集为______.16. 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在平面1BC D 上运动，则11A P D P +的最小值为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，11221n nn nS S a a ++=+. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. 某企业为鼓励员工多参加体育锻炼，举办了一场羽毛球比赛，经过初赛，该企业的A ，B ，C 三个部门分别有3，4，4人进入决赛.决赛分两轮，第一轮为循环赛，前3名进入第二轮，第二轮为淘汰赛，进入决赛第二轮的选手通过抽签确定先进行比赛的两位选手，第三人轮空，先进行比赛的获胜者和第三人再打一场，此时的获胜者赢得比赛.假设进入决赛的选手水平相当（即每局比赛每人获胜的概率都是12）. （1）求进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率； （2）记进入决赛第二轮的选手中来自B 部门的人数为X ，求X 的数学期望.19. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点(M 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）直线l ：y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P （点P 不与原点重合），使得直线PA ，PB 与x 轴交点的横坐标之积的绝对值为定值？若存在，求出P 的坐标；若不存在，请说明理由. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，AB CD ∥，PD =，22PB CD AB AD ===，PC DE ⊥，E 是棱PB 的中点.（1）证明：PD ⊥平面ABCD .（2）若()01AF AB λλ=<≤，求平面DEF 与平面PAB 夹角的余弦值的最大值.21. 已知函数()ln f x x ax x=-+12. （1）当0a ≥时，讨论()f x 的单调性.（2）证明：①当0x >时，1ln 1x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭；②ln(1)n +<+ ，*N n ∈.（二）选考题；共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作苦.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2cos sin 10ρθρθ--=. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()0,1P -，求11PA PB +的值. [选修4-5；不等式选讲]23. 已知函数()23f x x x =-++. （1）求()f x 的最小值；（2）若[]3,2x ∈-，不等式()f x x a ≥+恒成立，求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}23041x A x x B x x =+->=->，，则A B = （ ）A. {}13x x << B. {}31x x -<< C. {}3x x >- D. {}1x x >【答案】A 【解析】【分析】构造函数()23xf x x =+-，利用其单调性可化简集合A ，后化简集合B ，后由交集定义可得答案.【详解】构造函数()23xf x x =+-，因函数2x y =，3y x =-均在R 上单调递增，则()f x 在R 上单调递增，又()10f =，则2301x x x +->⇔>， 故{}1A x x =>.因{}3B x x =<，则{}13A B x x ⋂=<<. 故选：A 2. 若复数z 满足2i 2iz=-，则1z +=（ ）A.B.C. 5D. 17【答案】C 【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】∵2i 2iz=-， ∴()2i 2i 24i z =-=+，∴134i 5z +=+==.故选：C .3. 函数2221,0()log 1,0x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()()1f f =（ ）A. －2B. －1C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据函数解析式，从里到外计算即可.【详解】由2221,0()log 1,0x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，得()11212f =--=-， 则()()()12112ff f =-=+=.故选：D.4. 8x ⎛- ⎝的展开式中含5x 项的系数是（ ）A. －112B. 112C. －28D. 28【答案】B 【解析】【分析】根据题意，得到二项式的通项公式，代入计算即可得到结果.【详解】由题意可得，其通项公式为()3882188C 2C ,08,rr r r r r r T x x r r --+⎛==-≤≤∈ ⎝N ，令3852r -=，可得2r =， 所以含5x 项的系数是()2282C 112-= 故选:B5. 已知非零向量a 与b 满足|a |＝2|b |，且|a + 2b2b ，则向量a 与b的夹角是A.6πB.3πC.23π D.56π 【答案】B 【解析】【分析】根据题意，对|a + 2b2b 平方，结合|a |＝2|b |，求出向量a 、b 的夹角的余弦值，即得a 、b的夹角．【详解】因为|a +2b2b ，所以()222244344a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即221628a b a b ⋅=+ ，所以2228cos 16||||a b a b a b +〈〉=⨯ ，，因为|a |＝2|b |，所以2161cos 2162||||b a b b b 〈〉==⨯ ，，所以a 与b 的夹角为3π 故选B.【点睛】本题考查了利用平面向量的数量积求向量的模长与夹角的问题，是基础题目．6. 在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，12AA AB =，D ，E ，F 分别是棱11B C ，1CC ，1AA 的中点，则异面直线BE 与DF 所成角的余弦值是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】取等边△ABC 的AC 边的中点O ，以O 为原点建立空间直角坐标系，运用异面直线所成角的计算公式即可得结果.【详解】取等边△ABC 的AC 边的中点O ，连接OB ，则OB AC ⊥，过O 作1AA 的平行线，则以O 为原点，分别以OB 、OC 、Oz 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设等边△ABC 的边长为2，则B ，(0,1,2)E，1,4)2D ，(0,1,2)F -，∴(2)BE =，3(,2)2DF =-- ，∴|||cos ,|||||BE DF BE DF BE DF ⋅<===. 所以异面直线BE 与DF7. 某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，8.7，9.3，x ，y .已知这5名参赛选手的得分的平均数为9，方差为0.1，则x y -=（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8【答案】D 【解析】【分析】先由平均数和方差分别得到x y +和22x y +的值，再整体代入计算x y -的值即可.【详解】因为平均数为98.79.395x y++++=，所以18x y +=.因为方差为22222(99)(8.79)(9.39)(9)(9)0.15x y -+-+-+-+-=所以2222(9)(9)18181620.32x y x y x y -+-=+--+=， 所以22162.32x y +=，又因为222()2324x y x y xy +=++=， 所以2161.68xy =，所以222()20.64x y x y xy -=+-=，所以0.8x y -==.故选：D.8. 设函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 在其定义域内存在0x ，使得()()00f x f x '=，则称()f x 为“有源”函数.已知()ln 2f x x x a =--是“有源”函数，则a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞- B. ()1,-+∞ C.(],ln 21-∞--D. ()ln 21,--+∞【答案】A 【解析】【分析】根据“有源”函数概念，转化为函数有解问题，利用导函数求出函数值域即可得到参数a 的范围 【详解】∵()ln 2f x x x a =--，∴1()2f x x'=-， 由是“有源”函数定义知，存在0x ，使得0001ln 22x x a x --=-，即0001ln 22a x x x =--+有解， 记()000001ln 22,(0)g x x x x x =--+>，所以a 的取值范围是就是函数()0g x 的值域， 则()200000222000021(21)(1)112x x x x g x x x x x -++-+-=-+=='， 当001x <<时，()00gx '>，此时()0g x 单调递增，当01x >时，()00g x '<，此时()0g x 单调递减， 所以()()01ln12121g x g ≤=--+=-，所以1a ≤-，即a 的取值范围是(],1-∞-. 故选：A9. 已知函数()π2cos 2sin 23f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ） A. ()f x 的最小正周期是π B. ()f x 在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增C. ()f x 的图象关于点()ππ,0212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称D. ()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡-⎢⎣【答案】B 【解析】【分析】利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式可化简得到()πsin 43f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数最小正周期、单调性、对称中心和值域的求法依次判断各个选项即可.【详解】()212cos 22sin 22sin 2cos 22f x x x x x x x ⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭1π4sin 4sin 423x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭； 对于A ，()f x 的最小正周期2ππ42T ==，A 错误； 对于B ，当ππ,64x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，π4π4π,33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减， ()f x \在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，B 正确；对于C ，令()π4π3x k k +=∈Z ，解得：()ππ412k x k =-∈Z ，此时()0f x =， ()f x \的图象关于点()ππ,0412k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z 对称，C 错误；对于D ，当π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ4,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则πsin 43x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣，()f x \在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 错误. 故选：B.10. 如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是（ ）A.27B.37C.47D.57【答案】C 【解析】【分析】先求用5种颜色任意涂色的方法总数，再求恰好用完4种颜色涂色的方法总数，最后按照古典概型求概率即可.【详解】若按要求用5种颜色任意涂色：先涂中间块，有5种选择，再涂上块，有4种选择.再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块和右块均有3种选择； 若下块与上块涂不同颜色，则下块有3种选择，左块和右块均有2种选择. 则共有54(133322)420⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种方法. 若恰只用其中4种颜色涂色：先在5种颜色中任选4种颜色，有45C 种选择. 先涂中间块，有4种选择，再涂上块，有3种选择. 再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块有2种选择， 为恰好用尽4种颜色，则右块只有1种选择；若下块与上块涂不同颜色，则下块有2种选择，左块和右块均只有1种选择. 则共有45C 43(121211)240⋅⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种方法， 故恰用4种颜色的概率是24044207=. 故选：C .11. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，且直线1l ，2l 分别与抛物线C 交于A ，B 和D ，E ，则四边形ADBE 面积的最小值是（ ）A. 32B. 64C. 128D. 256【答案】C 【解析】【分析】两条直线的斜率都存在且不为0，因此先设一条直线斜率为k ，写出直线方程，与抛物线方程联立求出相交弦长，同理再得另一弦长，相乘除以2即得四边形面积，再由基本不等式求得最小值． 【详解】由题意抛物线的焦点为(2,0)F ，显然12,l l 斜率存在且不为0，设直线1l 方程为(2)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩，得()22224840k x k x k -++= 则12284x x k +=+，即122848AB x x k =++=+， 设直线2l 的方程为()12y x k=--，设()()3344,,,C D x y y x 由21(2)8y x ky x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，得222214480x x k k k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ 则23448x x k +=+，即234488CD x x k =++=+，∴()2211888822S AB CD k k ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭22132(2)32(2128k k =++≥+=，当且仅当221k k=，即1k =±时等号成立． 故选：C ．12. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，且cos cos 1b A B -=，则22sin B A +的取值范围是（ ）A. ()1B. ()1+C. (]1,3D. (]2,3【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理边化角可得2B A =，由△ABC 为锐角三角形可得ππ64A <<，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数π2sin(216y A =-+在ππ(,64上的值域. 【详解】∵cos cos 1b A B -=，即：cos cos 1b A B =+，1a =， ∴cos (cos 1)b A B a =+，∴由正弦定理得：sin cos (cos 1)sin B A B A =+，即：sin cos sin cos sin B A A B A =+，∴sin()sin B A A -=，∴B A A -=或πB A A -+=，解得：2B A =或B π=（舍）， 又∵△ABC 为锐角三角形，则ππ3C A B A =--=-，∴ππ0022ππ00222ππ00π322A A B A C A ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇒<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<<<-<⎪⎪⎩⎩，解得：ππ64A <<，2π2sin 21cos 22sin(216B A A A A +=+-=-+，又∵ππ64A <<， ∴πππ2663A <-<，∴1πsin(2)26A <-<，∴π22sin(2)116A <-+<+22sin B A +的取值范围1)+.故选：B.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率是2，实轴长为2，则双曲线C 的焦距是______.【答案】4 【解析】【分析】根据题意求出,a c 即可得解.【详解】因为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率是2，实轴长为2，所以2,22ca a==， 所以1,2a c ==，所以双曲线C 的焦距是4. 故答案为：4.14.已知πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 【答案】13-【解析】【分析】首先将πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭化简为ππsin 262α⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可得到答案.【详解】2πππππ1sin 2sin 2cos 212cos 662663αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为：13-.15. 已知()f x 是定义在[]4,4-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,1对称，则关于x 的不等式()()23350f x f x x +-+->的解集为______.【答案】(1,2] 【解析】【分析】观察结合原不等式，以及函数()f x 的性质，构造新函数()()1g x f x x =+-，为[]4,4-上的增函数和奇函数，再利用其奇函数和增函数的性质求解不等式即可. 【详解】因为函数()f x 的图象关于点()0,1对称， 所以函数()1f x -的图象关于原点对称， 令()()1g x f x x =+-，则()g x 为奇函数. 又()f x 是在[]4,4-上的增函数， 所以()g x 也是在[]4,4-上的增函数. 此时原不等式等价于(2)(3)0g x g x +->， 因为()g x 为奇函数，所以(2)(3)g x g x >-， 又因为()g x 是在[]4,4-上的增函数，所以有23424434x x x x >-⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得12x <≤. 即原不等式的解集为(1,2]. 故答案为：(1,2].16. 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在平面1BC D 上运动，则11A P D P +的最小值为______.【解析】【分析】根据正方形体对角线1AC 与平面1BC D 垂直，找到点1A 关于平面1BC D 的对称点F ，将1A P 转化为FP ，再根据三角形三边关系得11A P D P +的最小值为1D F ，最后通过建系利用坐标计算得1D F 的长度即可.【详解】如下图所示设1AC 与平面1BC D 交于点E ，易知AC BD ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，由BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又1AA AC A = ，1,AC AA ⊂面1AA C ，所以BD ⊥平面1AA C ，1AC ⊂面1AA C ，所以1BD A C ⊥，同理可证11BC A C ^， 由1BD BC B = ，1,BD BC ⊂面1BC D ，所以1A C ⊥平面1BC D .因1111133C BCD BCD BC DV S CC S CE -=⋅=⋅，所以113BCD BC D S CE CC S =⋅== ，又因为1AC ==所以113CE A C =. 倍长EC 至F ，则11223EF CE A C A E ===， 故点F 是点1A 关于平面1BC D 的对称点. 那么有，1A P FP =.所以1111A P D P FP D P D F +=+≥.如下图，以C 为原点，1,,CD CB CC 分别为x 轴、y 轴、z 轴建系，为则1(3,0,3)D ，1(3,3,3)A ，11(1,1,1)3CF CA =-=---，即(1,1,1)F ---.所以1D F ==，即11A P D P +的最小值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，11221n nn nS S a a ++=+. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =（2）1n nT n =+ 【解析】【分析】（1）先根据11221n n n nS S a a ++=+，可得数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公差的等差数列，从而可得数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，再根据n a 与n S 的关系结合构造法即可得解； （2）先求出数列{}n b 的通项，再利用裂项相消法即可得解. 【小问1详解】因为11221n nn nS S a a ++=+， 所以1112n n n n S S a a ++-=，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111S a =为首项，12为公差的等差数列，所以12n n S n a +=，则12n n n S a +=， 当2n ≥时，112n n nS a --=， 两式相减得1122n n n n na a a -+-=，即11n n a a n n -=-， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，且121n a a n ==， 所以2n a n =； 【小问2详解】 由（1）得()112n n n S n n a +==+， 所以()111111n n b S n n n n ===-++， 所以111111111122334111n n T n n n n =-+-+-++-=-=+++ . 18. 某企业为鼓励员工多参加体育锻炼，举办了一场羽毛球比赛，经过初赛，该企业的A ，B ，C 三个部门分别有3，4，4人进入决赛.决赛分两轮，第一轮为循环赛，前3名进入第二轮，第二轮为淘汰赛，进入决赛第二轮的选手通过抽签确定先进行比赛的两位选手，第三人轮空，先进行比赛的获胜者和第三人再打一场，此时的获胜者赢得比赛.假设进入决赛的选手水平相当（即每局比赛每人获胜的概率都是12）. （1）求进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率； （2）记进入决赛第二轮选手中来自B 部门的人数为X ，求X 的数学期望. 【答案】（1）3655（2）1211【解析】【分析】（1）进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门分为来自A ，B ，C 三个部门，分别求出其概率，由分类加法计数原理即可得出答案.（2）求出X 的可能取值及每个变量X 对应的概率，即可求出分布列，再由期望公式即可求出EX . 【小问1详解】设进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门为事件A ，的则()212121384747311C C +C C +C C 24424236=C 16555P A ++==. 故进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率为3655. 【小问2详解】X 的可能取值为0,1,2,3，()37311C 3570C 16533P X ====，()1247311C C 84281C 16555P X ====，()2147311C C 42142C 16555P X ====，()3047311C C 43C 165P X ===，则X 的分布列为：X0 1 2 3P733 2855 1455 4165所以72814412012333555516511EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点(M 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）直线l ：y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P （点P 不与原点重合），使得直线PA ，PB 与x 轴交点的横坐标之积的绝对值为定值？若存在，求出P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）22184x y +=（2）存在，()0,2P ± 【解析】【分析】（1）根据题意求出,a b ，即可得解；（2）设()()()110,0,,P t t A x y ≠，则()11,B x y --，联立方程，利用韦达定理求出12x ，再分别求出直线PA ，PB 方程，从而可得两直线与x 轴交点的横坐标，再相乘整理结合其积为定值，即可得出结论.的【小问1详解】由题意可得22222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2228,4a b c ===，所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=；【小问2详解】 假设存在，设()()()110,0,,P t t A x y ≠，则()11,B x y --，联立22184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得()222180k x +-=，则()22218k x +=，即122821x k =+，1111,PA PB y t y tk k x x -+==， 则直线PA 的方程为11y ty x t x -=+， 令0y =，则11tx x y t=--， 直线PB 的方程为11y ty x t x +=+， 令0y =，则11tx x y t=-+， 则2222221111222222211112821821t tx tx t x t x k k y t y t y t k x t t k ⎛⎫+-⋅-===⎪-+--⎝⎭-+222222222288888822121t k k k t t k k t t ===--⎛⎫---- ⎪⎝⎭， 则要使直线PA ，PB 与x 轴交点的横坐标之积的绝对值为定值，则2820t -=，解得2t =±， 所以存在，且()0,2P ±.【点睛】本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了点的存在性问题及定值问题，有一定的难度.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，AB CD ∥，PD =，22PB CD AB AD ===，PC DE ⊥，E 是棱PB 的中点.（1）证明：PD ⊥平面ABCD .（2）若()01AF AB λλ=<≤，求平面DEF 与平面PAB 夹角的余弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）由线线垂直证DE ⊥平面PBC ，并依次证DE BC ⊥、BC⊥平面PBD 、BC PD ⊥、PD ⊥平面ABCD ；（2）由向量法求面面角建立面面角余弦值的函数，进而讨论最大值. 【小问1详解】取CD 中点M ，连接BD 、BM ，设222PB CD AB AD a ====，∴DM CM AB AD a ====. ∵AD AB ⊥，AB CD ∥，∴四边形ABMD 为矩形，∴BD BC ==，∴222BD BC CD +=，∴BD BC ⊥.PD BD ===，E 是棱PB 的中点，∴DE PB ⊥.∵PC DE ⊥，,PC PB P PC PB =Ì 、平面PBC ，∴DE ⊥平面PBC ， 又BC ⊂平面PBC ，∴DE BC ⊥.∵,BD DE D BD DE =Ì 、平面PBD ，∴BC ⊥平面PBD ，∵又PD ⊂平面PBD ，∴BC PD ⊥. ∵222PB PD BD =+，∴PD BD ⊥，,BC BD B BC BD =Ì 、平面ABCD ，∴PD ⊥平面ABCD ；【小问2详解】由（1）得DA DC DP 、、两两垂直，则可建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()()()()()0,0,0,,0,0,,,0,0,2,0,,,,22a a D A a B a a C a P E ⎛ ⎝∵()01AF AB λλ=<≤ ，()0,,0AB a =，即()(),,0,,0F F F x a y z a λ-=，∴(),,0F a λa .设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =，(),,0,,22a a DF a a DE λ⎛== ⎝ ，则0220a a n DE x y z n DF ax ay λ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令x λ=，得,n λæç=-çè ， 设平面PAB 的法向量为(),,m u v w =，(),0,PA a =- ，则00m PA au m AB av ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1w =得)m = ，故平面DEF 与平面PAB 夹角的余弦值为cos ,m n m n m n×==令11,112t λéö÷=Îê÷ê+ëø，则cos ,m n =，则当12t =，即1λ=时，cos ,mn取得最大值，为.故平面DEF 与平面PAB 夹角余弦值的最大值为. 21. 已知函数()ln f x x ax x=-+12. （1）当0a ≥时，讨论()f x 的单调性.（2）证明：①当0x >时，1ln 1x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭；②ln(1)n +<+ ，*N n ∈.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求出()f x 的导数，分类讨论a 的不同取值范围时()f x 的单调性即可；（2）①展开1ln 1x ⎛⎫+<⎪⎝⎭为1ln 1x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭解不等式恒成立即可；()ln 1ln n n >+-，再求和即可.【小问1详解】由题可知()2222121ax x f x a x x x-+-'=--= 当0a =时，()221x f x x -'=，令()0f x ¢>，得12x > ()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；当0a >时，44a ∆=-（i ）当01a <<时，()f x '零点为11x =，21x =+令()0f x ¢>解得11x -<<+，故()f x在(1-单调递增，在(0,1-，()1++∞单调递减 （ii ）当1a ≥时，0∆≤，()0f x '≤，()f x 在()0,∞+单调递减；综上所述：当0a =时，()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；的当01a <<时，()f x在(1+单调递增，在(0,1，()1+∞单调递减； 当1a ≥时，()f x 在()0,∞+单调递减． 【小问2详解】==11ln 1ln 1x x ⎛⎫⎛⎫+<⇔+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t =，其中()1,t ∈+∞ 则不等式21ln t t t <-成立，即函数()12ln f t t t t=-+在()1,t ∈+∞恒小于零 由（1）可知，()f t 在定义域内单调递减，()()10f t f <=，因此当0x >时，1ln 1x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭；()11ln 1ln ln 1ln n n n n n +⎛⎫⎛⎫>+==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n ++>-+-+⋅⋅⋅++-解得ln(1)n +<+++，*N n ∈.证毕.（二）选考题；共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作苦.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2cos sin 10ρθρθ--=. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()0,1P -，求11PA PB+的值. 【答案】（1）()222+9x y -=；210x y --=（2【解析】【分析】（1）曲线C 的参数方程通过平方消元得到普通方程；通过极坐标方程与直角坐标方程关系得到直线l 的直角坐标方程；（2）由题可知点P 过直线l ，利用直线的参数方程中参数与定点位置关系即可列式计算. 【小问1详解】23cos 23cos ,3sin 3sin ,x x y y αααα=+-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩①②，22+①②得()222+9x y -=， 根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l 的直角坐标方程为：210x y --=. 【小问2详解】由（1）可知点()0,1P -过直线l ，故直线l的参数方程可写为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），代入曲线C的普通方程得240t --=，由韦达定理可知：12t t +=1240t t ⋅=-<， 所以12121212121111t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====⋅⋅.[选修4-5；不等式选讲]23. 已知函数()23f x x x =-++. （1）求()f x 的最小值；（2）若[]3,2x ∈-，不等式()f x x a ≥+恒成立，求a 取值范围. 【答案】（1）5（2）23a -≤≤ 【解析】【分析】（1）根据x 的不同取值范围，展开化解函数，根据函数的单调性即可判断出()f x 的最小值； （2）根据（1）中解析式简化不等式，再展开绝对值计算即可. 【小问1详解】当3x <-时，()()()2321f x x x x =---+=-- 当32x -≤≤时，()()()235f x x x =--++=的当2x >时，()()()2321f x x x x =-++=+综上()()()()21 35 3221 2x x f x x x x ⎧--<-⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，由此可知()min 5f x =【小问2详解】由（1）可知()5f x x a x a ≥+⇒≥+解得55x a x a +≥-⎧⎨+≤⎩，当[]3,2x ∈-时，欲使不等式()f x x a ≥+恒成立，则()()min max 55x a x a ⎧+≥-⎪⎨+≤⎪⎩，解得23a -≤≤。
山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题(解析版)
山东名校考试联盟2024年10月高三年级阶段性检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3全卷满分150分．考试用时120分钟．．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知()(){}23230,02x A x x x B x x +=∈−−==∈≤ − Q R∣，则A B = （ ）A. {}2B. {C. {}2D. ∅【答案】D 【解析】【分析】解方程与不等式求得集合,A B ，进而可求A B ∩.【详解】由2(2)(3)0x x −−=，可得2x =或x =，又Q x ∈，所以2x =，所以{2}A =；由302x x +≤−，可得(3)(2)020x x x +−≤ −≠，解得32x −≤<，所以{|32}Bx x =−≤<， 所以{2}{|32}A B x x =−≤<=∅ . 故选：D.2. 幂函数()23f x x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的判定方法，得到函数()f x 为偶函数，再由幂函数的性质，结合选项，即可求解.【详解】由函数()23f x x ==，可得函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()f x f x −===，所以函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，又由幂函数的性质得，当0x ≥时，函数()f x 单调递增， 结合选项，选项B 符合题意. 故选：B.3. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ，那么min t 后物体的温度θ（单位：C ）可由公式)01010ktθθθθ−=+−⋅求得，其中k 是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有65C 的物体，放到15C 的空气中冷却，1min 后物体的温度是35C ，已知lg20.3≈，则k 的值大约为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出等式()3515651510k−=+−⋅，化简后即可求解.【详解】由题意知015C θ= ，165C θ=， 代入公式()01010ktθθθθ−=+−⋅，可得()3515651510k−=+−⋅，则2105k−=，两边同时取对数得2lg10lg 5k−=， 即lg2lg 50.30.70.4k −=−≈−=−，则0.4k =，故C 正确. 是故选：C.4. 如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m 长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m 的正方形，已知该组合体的体积为32m 3，则其表面积为（ ）A. (22m +B. (23m +C. (22m +D. (23m +【答案】B 【解析】【分析】由题意先利用棱锥体积公式求出正四棱锥的高，然后再求出其斜面上的高，即可求解. 【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为32m 3， 长方体的体积为31110.5m 2××=，则正四棱锥体积为3211m 326−=， 所以正四棱锥的高为1316m 112×=×，2112×， 所以组合体的表面积为()(210.541143m ××+×=+，故B 正确.故选：B.5. 若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根，则1221x x x x +的最小值为（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】【分析】由题意及韦达定理可得122x x m +=+，12x x m =，从而得()2221212211222m mx x x x x x x x m+−++==，再结合基本不等式即可求解.【详解】由若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根， 所以122x x m +=+，12x x m =，则mm >0所以()()222212121212211212222x x x x m mx x x x x x x x x x m+−+−++===2244226m m m m m ++==++≥+=，当且仅当2m =时取等号，故C 正确. 故选：C.6. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21nn S n T =+，则35=a b （ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C 【解析】【分析】分别设出为n S 和n T 的二次形式，由此求得35,a b ，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列{aa nn }和等比数列{bb nn }的前n 项和分别为n S 和n T ，所以可设()21n S kn n =+，n T kn =，0k ≠， 所以可得33255421101154a S S k k b T T k k−−===−−，故C 正确. 故选：C.7. 若2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1∞−− B. (),1−∞C. ()1,−+∞D. ()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】求导，利用导数，分0a =，0a >，0a <三种情况讨论可求实数a 的取值范围.【详解】由()222exax x f x +−=，可得()222(22)e (22)e (22)4(2)(2)(e e e)x x x x xax ax x ax a x ax x f x +−+−−+−+−−−′===， 若0a =，当2x <时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意，若0a ≠时，令()0f x ′=，可得(2)(2)0ax x −−−=，可得2x =或2x a=−， 若0a >时，则20a−<，当22x a −<<时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意， 若0a <时，则20a−>，由二次函数的(2)(2)y ax x =−−−图象可知， 要使2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点， 需22a−<，解得1a <−， 所以实数a 的取值范围是(,1)∞−−. 故选：A.8. 已知函数()()6sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A. 3,32B. 3,32C. 93,2D. 93,2【答案】D 【解析】【分析】化简得23()sin 24f x x ω=−，由题意可得2π2π3π3ω<≤，求解即可. 详解】()()()66224224sin cos 1sin cos sin sin ?cos cos 1f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=+−=+−+−()242242222sin sin ?cos cos 1sin cos 3sin ?cos 1x x x x x x x x ωωωωωωωω−+−=+−−22222313sin cos 13sin cos sin 24x x x x x ωωωωω=−−=−=− ，因为π0,3x ∈，2π20,3x ωω ∈ ， 【由函数()()66sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，可得2π2π3π3ω<≤，解得932ω<≤，所以ω的取值范围是9(3,]2.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若3n n S a n =+，则（ ） A. 112a =B. 数列{}1n a −为等比数列C. 312nn a =−D. 3332nn S n =−⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】当1n =时，1131S a =+，解得112a =−；根据3n n S a n =+，可得当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−，从而得13122n n a a −=−，即()13112n n a a −−=−；根据B 可求得312nn a−=−；从而可求出333?2nn S n =−+.【详解】A ：当1n =时，1131S a =+，解得112a =−，故A 错误； B ：因为3n n S a n =+，当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−， 将两式相减可得1331n n n a a a −=−+，即13122n n a a −=−， 则()13112n n a a −−=−，因112a =−，则1312a −=−，数列{}1n a −为首项为32−，公比为32的等比数列，故B 正确；C ：由B 可得13331?222n n n a −−=−=−，所以312nn a =− ，故C 正确；D ：3333?2nn n S a n n =+=−+，故D 正确.故选：BCD.10. 已知幂函数()()293m f x m x =−的图象过点1,n m−，则（ ）A. 23m =−B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>−的解集为(),1−∞ 【答案】ABC 【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m−，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x mx =−为幂函数，所以2931m −=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n − ，故23m ≠，当23m =−，幂函数()23f x x −=的图象过点2,3n，则2332n =，解得32()32n ==，故AC 正确； ()23f x x −=的定义域为{|0}x x ≠，且()2233()()f x x xf x −−−=−==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x−=在(0,)+∞上单调递减，由()()13f a f a +>−，可得()()|1||3|f a f a +>−，所以1310a a a +<− +≠，解得1a <且1a ≠−，故D 错误.故选：ABC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=，若()2g x +的图象关于直线2x =−对称，且()()()111f x f x f x −++=+−，则（ ）A. ()g x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. 3为()y f x =的一个周期D.20251()0i g i ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】由()2g x +的图象关于直线2x =−对称，则可得()g x 关于xx =0对称，可对A 判断；由gg (xx )=ff ′(xx )，从而可得ff (xx )关于()0,1对称，可对B 判断；由ff (xx )关于()0,1对称，可得()()()113f x f x f x −+++=，故()()()213f x f x f x −+−+=，从而得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，可对C 判断；由()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，可对D 判断.【详解】A ：因为()2g x +的图象关于直线2x =−对称，故将()2g x +的图象向右平移2个单位后变为()g x 的图象，此时()g x 关于xx =0对称，所以()g x 是偶函数，故A 正确；B ：因为()g x 是偶函数，所以ff (xx )关于()0,c 对称且c 为常数，当xx =0时，()()()1110f f f −+=+，又因为()()112f f c −+=，()0f c =，所以1c =，所以ff (xx )关于()0,1对称，故B 错误； C ：因为ff (xx )关于()0,1对称，所以()()2f x f x −=−+，所以()()()()1113f x f x f x f x −++=+−=−，所以()()()113f x f x f x −+++=①，故()()()213f x f x f x −+−+=②，则①②两式相减得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，所以3是()y f x =的一个周期，故C 正确； D ：因为()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，且()g x 的周期为3，又因为20256753=×，所以()202510i g i ==∑，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：B 中因为()g x 是偶函数，所以可得ff (xx )关于()0,c 对称，从而可求出1c =；D 中可有()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，从而可知()g x 中连续3项之和为零.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是 _____.【答案】10x y −−=【解析】【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出斜率，求出切点坐标，代入点斜式方程，即可得出答案.【详解】因为()ln 1f x x ′=+，所以()11f ′=. 根据导数的几何意义可知，曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率()11k f ′==. 又()10f =，所以，切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 故答案为：10x y −−=. 13. 已知0a >且1a ≠，函数()2,1,1x x x f x a x ≥= <，若关于x 的方程()()2560f x f x −+=恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]2,3 【解析】【分析】当1x ≥时，()2xf x =，方程()()2560fx f x −+=有2个不相等实数解，则当1x <时，()x f x a =，此时方程()()2560f x f x −+=只有1个实数解，对a 分类讨论，由()x f x a =的值域求实数a 的取值范围. 【详解】方程()()2560fx f x −+=，即()2f x =或()3f x =， 当1x ≥时，()2xf x =，由()2f x =解得1x =，由()3f x =解得2log 3x =； 当1x <时，()xf x a =，此时方程()()2560fx f x −+=只有1个实数解， 若01a <<，则()xf x a =在(),1∞−上单调递减，()(),f x a ∞∈+，的此时()2f x =和()3f x =都有解，不合题意，若1a >，则()xf x a =在(),1∞−上单调递增，()()0,f x a ∈，则23a <≤.所以实数a 的取值范围是(]2,3. 故答案为：(]2,314. 已知三棱锥A BCD −的四个顶点都在球O 的球面上，若AB CD =O 的半径为，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________．【答案】 【解析】【分析】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，CD ⊥平面ABN ，三棱锥A BCD −体积的最大值，求解即可. 【详解】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,OM AB ON CD ⊥⊥，由题意可得1,2OM ON ==，当,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，最大面积为1(12)2×+， 设C 到平面ABN 的距离为d ，由题意可得D 到平面ABN 的距离也为d ，当CD ⊥平面ABN 时，d 取最大值12CD =所以三棱锥A BCD −体积的最大值为112233ABN S d ××=×=故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15. 已知函数()2π2sin 4f x x x=+．（1）求()f x 在π0,2上的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c，若π1212C f−，2c =，求ABC 面积的最大值． 【答案】（1）5π[0,]12（2）2 【解析】【分析】（1）化简π()12sin(2)3f x x =+−，利用πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，可求单调区间；（2）由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥，可求ab 的最大值，进而可求ABC 面积的最大值. 【小问1详解】()2π1cos 2π22sin 21sin 242x f x x x x x x−+=+=×−=+−πππ12(sin 2cos cos2sin 12sin(2)333x x x =+−=+−， 由πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，得π5πππ,Z 1212k x k k −+≤≤+∈， 又π0,2∈ x ，所以函数()f x 在π0,2上的单调递增区间为5π[0,]12；【小问2详解】由π1212C f−=−，得ππ12sin[2()]12123C +×−−，所以πsin()2C −，所以cos C =，因为0πC <<，所以π6C =，又2c =，在ABC中，由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥−，所以4(2ab ≤=，当且仅当a b ==时取等号，所以111sin 4(22222ABC S ab C =≤×+×=+所以ABC 面积的最大值为2． 16. 已知函数()()ln R mf x x m x=+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x −−+≤.【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()e e xg x xf x x =−−+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0g x ≤，从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+， 所以()221m x mf x x x x −′=−=，当0m ≤时，()0f x ′>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0m >时，令()0f x ′=，得x m =， 当()0,x m ∈时，()()0,f x f x ′<单调递减， 当(),x m ∈+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增， 综上，当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增. 【小问2详解】当1m =时，()1ln f x x x=+， 令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =−−+=−−++，则()ln e xg x x =−′， 令()()ln e xh x g x x ′==−，则()1e xh x x=′−，因为1x ≥，所以11,e e 1x x≤≥>， 所以当1x ≥时，()h x ′1e 0xx=−<恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()ln e x g x x =−′在[)1,+∞上单调递减，所以()()1e 0g x g ′≤−′=<， 所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即()e e 0xxf x x −−+≤. 【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<． （2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔−> ；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔−< ； （4）1x M ∀∈，2x N ∀∈，()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．17. 已知函数()33x x af x a+=−．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）当0a <时，函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −− ，求a 的取值范围．【答案】（1）1或1−（2）(,3−∞−− 【解析】【分析】（1）由ff (xx )为奇函数，可得()()0f x f x +−=，从而可求解； （2）当0a <时，可得()y f x =是单调增函数，从而可得即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，参数分离可得23313x x xa +=−，利用换元法设13xt =−，可得23a t t =+−，且1t <，再结合对勾函数性质从而可求解.【小问1详解】由()32133x xx a af x a a+==+−−，所以()22?31131?3x x x a a f x a a −−=+=+−−， 因为ff (xx )为定义域上的奇函数，所以()()0f x f x +−=， 即22?311031?3xx xa a a a +++=−−，化简得·3131?3x xx a a a a +=−−−， 则22222·3?3?33?3?30x x x x x x a a a a a a a −+−+−−+=，则得21a =， 所以aa =−1或1a =. 【小问2详解】当0a <时，()32133x x xa af x a a+==+−−，所以()y f x =是单调增函数， 由函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −−， 所以()3133m m m a f m a +==−−,()3133n n n a f n a +==−−，即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，则得23313x x xa +=−，设130xt =−<，则22332313x xxa t t +==+−−，0t <，根据对勾函数性质可得23y t t=+−在()上单调递减，(,−∞上单调递增，其中23y t t=+−在(),0−∞上的值域为(,3 −∞− ，当t =时取最大值，综上可得3a <−，所以a 的取值范围为(),3−∞−−. 18. 已知函数()()28ln 1exf x axbx =+++．（1）若()f x ′在R 上单调递减，求a 的最大值； （2）证明：曲线()y f x ′=是中心对称图形； （3）若()8ln2f x ，求a 的取值范围． 【答案】（1）1− （2）证明见解析 （3）(],1−∞−【解析】【分析】（1）对ff (xx )求导得()8e 21e x x f x ax b =+++′，令()8e 21exxg x ax b =+++，再结合基本不等式从而可得()8201e 2ex x g x a =++′≤+，即可求解. （2）由()()28f x f x b ′′−+=+，从而曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，即可求解. （3）分情况讨论求出0a <，4b =−，然后再利用导数讨论1a ≤−，10a −<<情况下，从而可求出a 的取值范围是(],1−∞−. 【小问1详解】由函数()()28ln 1e xf x ax bx =+++，所以()8e 21exxf x ax b =+++′， 令()8e 21e xxg x ax b =+++，因若ff ′(xx )在RR 上单调递减，则()()28e 822011e e 2exxxx g x a a =+=+++′≤+恒成立，因为1e 224e x x ++≥=，当且仅当xx =0时取等号， 则821e 2e x x −≥−++，所以821e 2ex x a ≤−++，即22a ≤−，得1a ≤−. 故a 的最大值为1−. 【小问2详解】证明：由（1）知()8e 21e x x f x ax b =+++′，则()8e 21exxf x ax b −−−=−++′， 则()()8e 8e 8e 8222281e 1e 1e 1ex x x x x x xf x f x ax b ax b b b −−−+=−++++=++=+′+′+++， 所以曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，是中心对称图形.【小问3详解】当aa >0时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾，所以0a ≤；为当0a =，0b ≥时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 当0a =，0b <时，则当x →−∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 所以0a <.当4b >−，则当402b x a +<<−时，()8e 24201exxf x ax b ax b =++>++>+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 当4b <−，则当402b x a +−<<时，()8e 24201ex x f x ax b ax b =++<++<+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 因此4b =−，所以()8e 241exxf x ax =+−+′， 当1a ≤−，由（1）可知ff ′(xx )在RR 上单调递减，又()00f ′=，所以当0x ≤时，()0f x ′≥，ff (xx )在区间(],0−∞上单调递增； 当xx >0时，()0f x ′<，ff (xx )在区间(0,+∞）上单调递减； 此时()()08ln 2f x f ≤=，符合题意； 当10a −<<，则当0ln 1x <<−时，()()()228e 82201e 1e xxxg x a a =+>+′>++，此时()()()00f x g x g >′==，则()()08ln 2f x f >=，不合题意. 综上所述：a 的取值范围是(],1−∞−.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19. 若存在1,1,2,2,,,n n 的一个排列n A ，满足每两个相同的正整数()1,2,,k k n = 之间恰有k 个正整数，则称数列n A 为“有趣数列”，称这样的n 为“有趣数”．例如，数列7:4,6,1,7,1,4,3,5,6,2,3,7,2,5A 为“有趣数列”，7为“有趣数”．（1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①2:1,2,1,2A ；②3:3,1,2,1,3,2A ． （2）请写出“有趣数列”4A 的所有可能情形；（3）从1,2,,4n 中任取两个数i 和()j i j <，记i 和j 均为“有趣数”的概率为n P ，证明：14n P <． 【答案】（1）①不是；②是（2）4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据“有趣数列”定义逐项判断即可求解.（2）分当两个1中间为2，当两个1中间为3，当两个1中间为4，共3种情况从而可找到符合题意的“有趣数列”，即可求解.（3）先设“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，从而可得()21111n n n k k k k k k a a a k k === +++=∑∑∑，可求得()1314nk k n n a =−=∑，再分情况讨论当()*43,42n m m m =−−∈N ，()*41n m m =−∈N ，()*4nm m ∈N 时符合“有趣数列”的情况，从而可得224C 1C 4nn nP =<，即可求解.【小问1详解】①2:1,2,1,2A 中两个2之间间隔数只有一个，故不是“有趣数列”， ②3:3,1,2,1,3,2A 中两个1之间间隔数有1个，两个2之间间隔数有2个， 两个3之间间隔数有3个，故是“有趣数列”.小问2详解】当两个1中间为2，不妨设1,2,1右边两个2中间可能为1,3或1,4， 则4A 可能为4,3,1,2,1,3,2,4或4,3,1,2,1,4,2,3，不符合题意； 当两个1中间为3，两个2中间可能为3,4或4,3，则4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4，符合题意；【当两个1中间为4，不妨设1,4,1右边两个2中间可能为3,4或4,3， 则4A 可能为1,4,1,2,3,4,2,3或1,4,1,2,4,3,2,3，不符合题意； 综上所述：“有趣数列”4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4. 【小问3详解】将“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项， 由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项， 于是()21111n nn k kk k k k a aa k k === +++=∑∑∑，则()()13221222nk k n n n n a =+++=∑，即()1314nk k n n a =−=∑，又因为1nk k a =∑为整数，故必有()314n n −为整数，当()*43,42n m m m =−−∈N时，()314n n −不可能为整数，不符合题意； 当()*41n m m =−∈N时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”41m A −为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,21,43,,21,42,m m m m m −−−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43m m m m m m −−−−+− ，符合题意； 当()*4nm m ∈N 时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”4m A 为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,4,43,,21,42,m m m m m m −−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43,21,4m m m m m m m m −−−−+−− ，符合题意；这里44,,2m m − 是指将44m −一直到2m 的偶数按从大到小的顺序进行排列，23,,1m − 是指将23m −一直到1的奇数按从大到小的顺序进行排列，故1,2,,4n 中的“有趣数列”为3,4,7,8,,41,4n n − 共2n 个，则所求概率为()224C 211C 2414nn nn P n −==<−. 【点睛】方法点睛：本题主要是根据“有趣数列”定义，理解并应用，对于（3）中主要巧妙设出“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项，从而求出()1314nk k n n a =−=∑，从而可求解.。
河南省周口市项城市2023-2024学年高三上学期第三次段考试题 数学含解析
项城2023-2024学年度上期第三次考试高三数学试卷（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3A =，{}2,3,5B =，则()UB A = ð（）A.{}3 B.{}1 C.{}1,4 D.{}1,3,42.已知1i22iz -=+，则z z -=（）A.i- B.iC.0D.13.命题“()21,2,23xx x ∀∈+>”的否定是（）A.()21,2,23xx x ∃∈+> B.()21,2,23xx x ∉+≤∃C.()21,2,23x x x ∈+≤∃ D.()21,2,23xx x ∈+≤∀4.不等式23208kx kx +-≤对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是（）A.30k -<≤B.30k -≤<C.30k -≤≤ D.30k -<<5.已知0a >，0b >，若2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（）A.2B.4C.3+D.96.设()()121,1x f x x x <<=->⎪⎩，若()()1f a f a =+，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2B.4C.6D.87.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A.3231x xy x -+=+ B.321x xy x -=+ C.22cos 1x x y x =+ D.22sin 1x y x =+8.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A.10π B.5πC.310π D.25π二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在等差数列{}n a 中，113a =，45163a a +=，33k a =，则下列结论中正确的是（）A.49k = B.50k = C.213n n a -= D.213n n a +=10.有下列几个命题，其中正确的是（）A.函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上是增函数B.函数y ＝11x +在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数C.函数y 254x x +-[－2，＋∞)D.已知函数g (x )＝23,0(),0x x f x x ->⎧⎨<⎩是奇函数，则f (x )＝2x ＋311.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=⋯，k 、b 为常数）．若该食品在0C ︒的保鲜时间是120小时，在20C ︒的保鲜时间是30小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是（）A.0k <B.储存温度越高保鲜时间越长C.在10℃的保鲜时间是60小时D.在30℃的保鲜时间是20小时12.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，现将()y f x =的图象向左平移4π个单位，得到()y g x =的图象，下列说法错误．．的是（）A.该图象对应的函数解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.函数()y g x =的图象关于直线6x π=对称C.函数()y g x =的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.函数()y g x =在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．14.已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则=a ________.15.若函数2,0,()0xb x f x x ⎧-<⎪=≥有且仅有两个零点，则实数b 的一个取值为______.16.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f (x )＝sin26x π+（）（1）求f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间[0,]2π上的最大值和最小值．18.求下列函数的导数．（1）()3224f x x x=-+（2）()e xf x x =（3）()sin cos f x x x x =+（4）1()1x f x x +=-19.已知函数()log (31)xa f x =-（0a >且1a ≠），(2)3f =．（1）若[1,2]x ∈，求()f x 的取值范围；（2）求不等式()3f x ≤的解集．20.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．21.已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．22.已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．（1）当0a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．项城2023-2024学年度上期第三次考试高三数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3A =，{}2,3,5B =，则()UB A = ð（）A.{}3 B.{}1 C.{}1,4 D.{}1,3,4【答案】D 【解析】【分析】先根据题意求U B ð，再结合并集的概念求答案.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,3,5B =，所以{}U =1,4B ð，又因为集合{}1,3A =，所以(){}U 1,3,4B A = ð，故选：D.2.已知1i22iz -=+，则z z -=（）A.i -B.iC.0D.1【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．3.命题“()21,2,23xx x ∀∈+>”的否定是（）A.()21,2,23x x x ∃∈+> B.()21,2,23xx x ∉+≤∃C.()21,2,23x x x ∈+≤∃ D.()21,2,23xx x ∈+≤∀【答案】C 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“()21,2,23xx x ∀∈+>”的否定是：()21,2,23xx x ∈+≤∃.故选：C4.不等式23208kx kx +-≤对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是（）A.30k -<≤B.30k -≤<C.30k -≤≤D.30k -<<【答案】C 【解析】【分析】分0k =和0k ≠两种情况讨论即可.【详解】当0k =时，038-≤恒成立，当0k ≠时，则203Δ4208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫=-⨯⨯-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得30k -≤<，综上所述，30k -≤≤.故选：C.5.已知0a >，0b >，若2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（）A.2B.4C.3+D.9【答案】D 【解析】【分析】由基本不等式结合乘“1”法可得答案.【详解】由2a b ab +=可得121a b+=，()122222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当3a b ==等号成立，故选：D.6.设()()121,1x f x x x <<=->⎪⎩，若()()1f a f a =+，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2 B.4C.6D.8【答案】C 【解析】【分析】分01a <<、1a >两种情况解方程()()1f a f a =+，求出a 的值，然后代值计算可得出1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()()121,1x f x x x <<=->⎪⎩，且()()1f a f a =+.当01a <<时，则112a <+<，由()()1f a f a =+2a =，解得14a =，合乎题意.当1a >时，由()()1f a f a =+可得()212a a -=，无解.所以，14a =，则()()142416f f a ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭.故选：C.7.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A.3231x xy x -+=+ B.321x xy x -=+ C.22cos 1x x y x =+ D.22sin 1x y x =+【答案】A 【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设()321x x f xx -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x xh x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++，故排除C;设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A.8.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A.10π B.5π C.310π D.25π【答案】C 【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A ∠的值，最后利用三角形内角和定理可得A ∠的值.【详解】由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+，整理可得sin cos 0B A =，由于()0,πB ∈，故sin 0B >，据此可得πcos 0,2A A ==，则ππ3πππ2510B AC =--=--=.故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在等差数列{}n a 中，113a =，45163a a +=，33k a =，则下列结论中正确的是（）A.49k = B.50k = C.213n n a -= D.213n n a +=【答案】BC 【解析】【分析】由113a =，45163a a +=得出通项公式，进而由33k a =得出k .【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则45116273a a a d +=+=，113a =，则23d =，1221(1)333n n a n -=+-⨯=，故21333k k a -==，解得50k =.故选：BC.10.有下列几个命题，其中正确的是（）A.函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上是增函数B.函数y ＝11x +在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数C.函数y [－2，＋∞)D.已知函数g (x )＝23,0(),0x x f x x ->⎧⎨<⎩是奇函数，则f (x )＝2x ＋3【答案】AD 【解析】【分析】根据简单函数的单调性，复合函数的单调性，以及由函数奇偶性求函数解析式，即可容易判断和选择.【详解】由y ＝2x 2＋x ＋1＝2217()48x ++在1[,)4-+∞上递增知，函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A 正确；y ＝11x +在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数，但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是减函数，如－2<0，但112101<-++故B 错误；y 在[),(5,)2,1--+∞上无意义，从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C 错误；设x <0，则－x >0，g (－x )＝－2x －3，因为g (x )为奇函数，所以f (x )＝g (x )＝－g (－x )＝2x ＋3，故D 正确．故选：AD .【点睛】本题考查函数单调区间的求解，复合函数的单调性判断以及利用函数奇偶性求函数解析式，属中档题.11.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=⋯，k 、b 为常数）．若该食品在0C ︒的保鲜时间是120小时，在20C ︒的保鲜时间是30小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是（）A.0k <B.储存温度越高保鲜时间越长C.在10℃的保鲜时间是60小时D.在30℃的保鲜时间是20小时【答案】AC 【解析】【分析】根据指数的运算律以及指数复合型函数的单调性即可求解.【详解】因为在0C ︒的保鲜时间是120小时，在20C ︒的保鲜时间是30小时，所以易知e kx b y +=是减函数，结合复合函数的单调性可知0k <，A 正确，则储存温度越高保鲜时间越短，B 错误；由题可知120e b =，202030e e e k b k b +==⨯，则201e 4k=，故101e 2k=，故11001ee e 12060C 2b k bk +=⨯=⨯=︒，C 正确，330301e e e 12015C 2k k bb +⎛⎫=⨯=⨯=︒ ⎪⎝⎭，D 错误，故选：AC.12.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，现将()y f x =的图象向左平移4π个单位，得到()y g x =的图象，下列说法错误．．的是（）A.该图象对应的函数解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.函数()y g x =的图象关于直线6x π=对称C.函数()y g x =的图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称D.函数()y g x =在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BD【解析】【分析】根据图象可知2A =，4312T ππ=-，212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而求出()f x ，再利用三角函数的平移变换求出()g x ，结合三角函数的性质逐一判断即可.【详解】由图象可知2A =，4312T ππ=-，即T π=，所以22T πω==，又212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得2sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即πsin φ16骣琪+=琪桫，又因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确；将()y f x =的图象向左平移4π个单位，可得()2sin 22cos 2433y g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当6x π=时，2223633x ππππ+=⨯+=，126g π⎛⎫=-≠± ⎪⎝⎭，故B 错误；当12x π=时，2231232x ππππ+=⨯+=，012g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故C 正确；当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则[]20,3x ππ+∈，函数()g x 单调递减，故D 错误.故选：BD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．【答案】5-【解析】【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得sin 5θ=或sin 5θ=-（舍去），所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：5-.14.已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则=a ________.【答案】1【解析】【详解】试题分析：()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)(21)1a a =+-⇒=.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先求导可得()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)a =+•(21)1a -⇒=.15.若函数2,0,()0x b x f x x ⎧-<⎪=≥有且仅有两个零点，则实数b 的一个取值为______.【答案】12（答案不唯一）【解析】【分析】由零点的概念求解【详解】令()0f x =，当0x ≥0=得0x =，即0x =为函数()f x 的一个零点，故当0x <时，20x b -=有一解，得(0,1)b ∈故答案为：12（答案不唯一）16.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【答案】255-；【解析】【详解】f(x)＝sin x －2cos x sin cos 55x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭sin(x －φ)，其中sin φ＝5，cos φ＝5，当x －φ＝2kπ＋2π(k ∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f (x )＝sin26x π+（）（1）求f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间[0,]2π上的最大值和最小值．【答案】（1）π（2）最大值1，最小值－12【解析】【分析】（1）根据正弦函数的性质即可求解；（2）将26x π+看作整体，根据正弦函数的图像即可求解.【小问1详解】f (x )＝sin (26x π+，所以f (x )的最小正周期为T ＝22π＝π；【小问2详解】因为x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2x ＋6π∈7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数sin y x =的图像可知：当2x ＋6π＝2π，即x ＝6π时，f (x )取得最大值1，当2x ＋6π＝76π，即x ＝2π时，f (x )取得最小值－12；综上，最小正周期为π，最大值为1，最小值为12-.18.求下列函数的导数．（1）()3224f x x x =-+（2）()e xf x x =（3）()sin cos f x x x x=+（4）1()1x f x x +=-【答案】（1）()268f x x x'=-+（2）()()1ex f x x '=+（3）()cos f x x x'=（4）()22(1)f x x '=--【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解.【小问1详解】由()3224f x x x =-+可得()268f x x x'=-+【小问2详解】由()e x f x x =可得()()e e 1e x x xf x x x =+=+'【小问3详解】由()sin cos f x x x x =+得()sin cos sin cos f x x x x x x x'=+-=【小问4详解】由1()1x f x x +=-得()()()()2211211x x f x x x --+-'=--=19.已知函数()log (31)x a f x =-（0a >且1a ≠），(2)3f =．（1）若[1,2]x ∈，求()f x 的取值范围；（2）求不等式()3f x ≤的解集．【答案】（1）[]1,3；（2）(]0,2．【解析】【分析】（1）根据(2)3f =求出a 的值，由[1,2]x ∈得出31x -的范围，由对数函数的性质可得结果；（2）由对数的性质可得0318x <-≤，进而可得x 的范围.【详解】（1） 函数()log (31)x a f x =-（0a >且1a ≠），(2)log 83a f ==，2a ∴=，函数2()log (31)x f x =-．若[]1,2x ∈，[]312,8x -∈，故()f x 的取值范围为[]1,3．（2）不等式()3f x ≤，即2log (31)3x -≤，0318x <-≤，解得02x <≤，故不等式的解集为(]0,2．20.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．【答案】（1）210n a n =-+；（2）110()n n *≤≤∈N .【解析】【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于1a 和d 的方程组，求得1a 和d 的值，利用等差数列的通项公式求得结果；（2）根据题意有50a =，根据10a >，可知0d <，根据n n S a >，得到关于n 的不等式，从而求得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩，解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+；（2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-，由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-，因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤，解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n *≤≤∈N 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.21.已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．【答案】（1）10（2）6【解析】【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sin B ,再由正弦定理求出b ，根据等面积法求解即可.【小问1详解】3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，310sin 10A ∴==.【小问2详解】由（1）知，cos 10A ==，由sin sin()B AC =+23101025sin cos cos sin )210105A C A C =+==，由正弦定理，sin sin c b C B =，可得255522b ⨯==，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 610h b A ∴=⋅==.22.已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．（1）当0a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）1-（2）()0,+∞【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得()()()211ax x f x x --'=，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.【小问1详解】当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-->，则()22111x f x x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==-；【小问2详解】()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>，则()()()221111ax x a f x a x x x--+'=+-=，当0a ≤时，10ax -<，所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意；当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减；又()110f a =-<，由（1）得1ln 1x x +≥，即1ln 1x x ≥-，所以ln ,ln x x x <<<当1x >时，11()(1)ln 2((2f x ax a x ax a ax a x x =--+>--+>-+，则存在2312m a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，使得()0f m >，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x -'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =-=，所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，11a<，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减；此时()110f a =->，由（1）得当01x <<时，1ln 1xx >-，ln 1>ln 21x ⎛> ⎝，此时11()(1)ln 2(11)1f x ax a x ax ax x x ⎛=--+<--+-< ⎝存在2114(1)n a a=<+，使得()0f n <，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为()0,∞+.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.。
高三数学阶段性测试卷(附答案)
高三数学阶段性测试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若集合P＝{x｜x＝3m＋1，m∈N*}，Q＝{y｜y＝5n＋2，n∈N*}，则P∩Q＝( B)A.{x｜x＝15k－7，k∈N*}B.{x｜x＝15k－8，k∈N*}C.{x｜x＝15k＋8，k∈N*}D.{x｜x＝15k＋7，k∈N*}(2)已知tan160o＝a，则sin2000o的值是( A)A.a1＋a2B.－a1＋a2C.11＋a2D.－11＋a2(3)等差数列{a n}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于( B)A.66B.99C.144D.297(4)已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋4－3a)的值域为实数集R，则实数a的取值范围是( C )A.(－∞，－4) (1，∞)B.[－4，1]C.(－∞，－4] [1，∞)D.(－4，1)(5)设函数f(x)＝1－x2＋log12(x－1)，则下列说法正确的是( D)A.f(x)是增函数，没有最大值，有最小值B.f(x)是增函数，没有最大值、最小值C.f(x)是减函数，有最大值，没有最小值D.f(x)是减函数，没有最大值、最小值(6)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1＋k，2＋k－k2)，若a⊥b，则实数k为( B)A.－1B.0C.－1或0D.－1或4(7)设函数y＝f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，若对于任意的正数a，函数g(x)＝f(x＋a)－f(x)都是其定义域y( C)A B C D(8)在直角坐标系中，函数y ＝－21－(x －1)2的图像关于直线y ＝x 的对称曲线为 ( D )(9)已知定义在实数集上的函数)(x f 满足f(x ＋1)＝x 2＋2，则f －1(x ＋1)的表达式是 ( B )A.2x －2B.2x －1C.2x ＋2D.2x ＋1(10)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，且对任意实数x 都有f (x )＝f (－m －x )，其中m ∈(0，2)，那么( B ) A.f (－2)＜f (0)＜f (2) B.f (0)＜f (－2)＜f (2) C.f (0)＜f (2)＜f (－2) D.f (2)＜f (0)＜f (－2) (11) 函数y ＝－3sin x ＋cos x 在x ∈[－π6，π6]时的值域是 ( D )A. [0，62] B.[－3，0] C.[0，1] D.[0，3] (12)已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 ( C )A.7个B.8个C.9个D.10个 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.(13)已知命题p ：不等式｜x ｜＋｜x －1｜＞a 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ，q中有且仅有一个为真命题，则实数a 的取值范围是 [1，2） ． (14)计算：2cos10o －sin20o cos20o＝(15)已知f (x )＝2x ＋3x －1，若函数y ＝g (x )的图象与y ＝f －1(x )＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则g (3)＝__7_．(16)给出四个命题①函数y ＝a |x |与y ＝log a |x |的图象关于直线y ＝x 对称(a ＞0，a ≠1)；②函数y ＝a |x |与yB CD＝(1a )|x |的图象关于y 轴对称(a ＞0，a ≠1)；③函数y ＝log a |x |与log 1a |x |的图象关于x 轴对称(a ＞0，a ≠1)；④函数y ＝f (x )与y ＝f－1(x ＋1)的图象关于直线y ＝x ＋1对称，其中正确的命题是 ③ ．三、解答题：本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数f (x )＝12(sin ωx ＋a cos ωx )(a ∈R ，0＜ω≤1)满足：f (x )＝f (π3－x )，f (x －π)＝f (x ＋π)． （I ）求f (x )的解析式；（II ）若m 2－4n ＞0，m ，n ∈R ，求证：“｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f （x ）]2＋mf (x )＋n ＝0在区间(－5π6，π6)内有两个不等的实根”的充分不必要条件．解：（I ）由f (x －π)＝f (x ＋π)知f (x )＝f (x ＋2π)，即函数f (x )的周期为2π．∵ f （x ）＝12（sin ωx ＋a cos ωx ）＝a 2＋12sin （ωx ＋ϕ），其中sin ϕ＝a a 2＋1，cos ϕ＝1a 2＋1，∴2π|ω|≤2π，即|ω|≥1．又0＜ω≤1，∴ ω＝1． 又∵ f （x ）＝f （π3－x ），∴ f （0）＝f （π3），即 12（sin0＋a cos0）＝12（sin π3＋a cos π3），解得 a ＝3，∴ f （x ）＝sin （x ＋π3）． (II)显然，x ∈（－5π6，π6）等价于x ＋π3∈（－π2，π2）．令u ＝x ＋π3，f (x )＝t ，g (t )＝t 2＋mt ＋n ，则f (x )＝sin u ，由｜m ｜＋｜n ｜＜1得｜m ＋n ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1，∴ m ＋n ＞－1． 同理由｜m －n ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1得m －n ＜1． ∴ g (1)＝m ＋n ＋1＞0，g (－1)＝1－m ＋n ＞0． 又∵｜m ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1，∴－m2∈（－1，1）．又∵Δ＝m 2－4n ＞0，∴ 一元二次方程t 2＋mt ＋n ＝0在区间（－1，1）内有两个不等的实根． ∵ 函数y ＝sin u （u ∈（－π2，π2））与u ＝x ＋π3（x ∈（－5π6，π6））都是增函数， ∴ [f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根．∴ “｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根”的充分条件．令m ＝56，n ＝16，由于方程t 2＋56t ＋16＝0有两个不等的实根－13，－12，且－13，－12∈(－1，1)，∴ 方程sin 2（x ＋π3）＋56sin （x ＋π3）＋16＝0在（－5π6，π6）内有两个不等的实根，但 ｜m ｜＋｜n ｜＝56＋16＝1，故“｜m ｜＋｜n ｜＜1”不是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根”的必要条件．综上，“｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根”的充分不必要条件．(18)（本小题满分12分）已知函数f (x )＝a x －24－a x －1(a ＞0，a ≠1).(I)求函数f (x )的定义域、值域；(II)是否存在实数a ，使得函数f (x )满足：对于区间(2，＋∞)上使函数f (x )有意义的一切x ，都有f (x )≥0.(I)解：由4－a x ≥0,得a x ≤4．当a ＞1时，x ≤log a 4；当0＜a ＜1时，x ≥log a 4．即当a ＞1时，f (x )的定义域为(－∞，log a 4]；当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为[log a 4，＋∞)． 令t ＝4－a x ，则0≤t ＜2，且a x ＝4－t 2，∴ f (x )＝4－t 2－2t －1＝－(t ＋1)2＋4， 当t ≥0时，f (x )是t 的单调减函数，∴f (2)＜f (x )≤f (0)，即－5＜f (x )≤3， ∴ 函数f (x )的值域是(－5，3]．(II)若存在实数a 使得对于区间(2，＋∞)上使函数f (x )有意义的一切x ，都有f (x )≥0，则区间(2，＋∞)是定义域的子集．由(I)知，a ＞1不满足条件；若0＜a ＜1，则log a 4＜2，且f (x )是x 的减函数．当x ＞2时，a x ＜a 2．由于0＜a 2＜1，∴t ＝4－a x ＞3，∴f (x )＜0，即f (x )≥0不成立． 综上，满足条件的a 的取值范围是 ．(19)（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是边长为a 的正方形，且PD ＝a ，P A ＝PC ＝2a ． (Ⅰ)求证：直线PD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求二面角A －PB －D 的大小．DBACP(Ⅰ)证明：∵ 在ΔPDA 中，AD ＝a ，PD ＝a ，P A ＝2a ，)∴ AD 2＋PD 2＝P A 2，即 PD ⊥AD ．同理，PD ⊥CD ． (第19题) 又AD 、CD ⊂平面ABCD ，AD CD ＝D ，∴ 直线PD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)解：如图，连接AC 和BD ，设AC BD ＝O ．由(I)知AC ⊥PD ．又 AC ⊥BD ，且PD 、BD ⊂平面PBD ，PD BD ＝D ，∴ 直线AC ⊥平面PBD ．过点O 作OE ⊥PB ，E 为垂足，连接AE ．由三垂线定理知 AE ⊥PB ，∴ ∠AEO 为二面角A －PB －D 的平面角． ∵ AB ⊥AD ，由三垂线定理知 AB ⊥P A ，∴ 在ΔPAB 中，AE ＝P A ·AB PB ＝23a ，在ΔABD 中，OA ＝22a ，在ΔAOE 中，sin ∠AEO ＝AEOA＝22a 23a ＝32，即 ∠AEO ＝60o ，∴ 二面角A －PB －D 为60o ．(20)（本小题满分12分）以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的32倍；③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润． (I)分别求该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季最高价格；(II)问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？ 解：设在旺季销售时，羊毛衫的标价为x 元/件，购买人数为kx ＋b （k ＜0）， 则旺季的最高价格为－bk元/件，利润函L （x ）＝（x －100）·（kx ＋b ）＝kx 2－（100k －b ）－100b ，x ∈[100，－bk]，D BACP OE当x ＝100k －b 2k ＝50－ b 2k 时，L （x ）最大，由题意知，50－ b 2k ＝140，解得 － b k ＝180，即旺季的最高价格是180（元/件），则淡季的最高价格是180×23＝120（元/件）．现设淡季销售时，羊毛衫的标价为t 元/件，购买人数为mt ＋n （m ＜0）， 则淡季的最高价格为－nm＝120（元/件），即n ＝－120m ，利润函数L （t ）＝（t －100）·（mt ＋n ）＝（t －100）·（mt －120m ） ＝－m （t －100）·（120－t ），t ∈[100，120]． ∴ t －100＝120－t ，即t ＝110时，L （t ）为最大，∴ 在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．(21)（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n +1＞50成立的正整数n 的最小值．解：（I ）设此等比数列为a 1，a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，其中a 1≠0，q ≠0．由题知⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28， ①a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)， ②由②×7－①得 6a 1q 3－15a 1q 2＋6a 1q ＝0， 即 2q 2－5q ＋2＝0， 解得 q ＝2或q ＝12．∵ 等比数列{a n }单调递增，∴a 1＝2，q ＝2，∴ a n ＝2·2n -1＝2n ． （II ）由（I ）得 b n ＝a n log 12a n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ，∴ S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－（1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ）． 设 T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， ③ 则 2T n ＝ 1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1， ④由③－④得 －T n ＝1×2＋1×22＋1×23＋…＋1×2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝－（n －1）2n ＋1－2，∴ S n ＝－（n －1）·2n ＋1－2．要使S n ＋n ·2n +1＞30成立，即要 －（n －1）·2n ＋1－2＋n ·2n +1＞50，即要 2n ＞26． ⑤ ∵ 函数y ＝2x 是单调增函数，且24＝16＜26，35＝32＞26， 由⑤得n 的最小值是5．(22)（本小题满分14分）已知F 1(－2，0)，F 2(2，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 1的直线与椭圆C 的两个交点为M ，N ，且|MN |的最小值为6． (I)求椭圆C 的方程；(II)设A ，B 为椭圆C 的长轴顶点．当|MN |取最小值时，求∠AMB 的大小． 解：(Ⅰ)由题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其中c ＝2，a 2－b 2＝4．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．若直线MN ⊥x 轴，则MN 的方程为x ＝－2，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y 2＝b 2(1－4a 2)＝b 4a 2，∴ |y 1－y 2|＝b 2a ，即|AB |＝2b 2a．若直线MN 不与x 轴垂直，则设MN 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得 x 2a 2＋k 2(x 2＋4x ＋4)b 2＝1，即 (a 2k 2＋b 2)x 2＋4a 2k 2x ＋a 2(4k 2－b 2)＝0．△＝(4a 2k 2)2－4(a 2k 2＋b 2)a 2(4k 2－b 2)＝4a 2b 2[(a 2－4)k 2＋b 2]＝4a 2b 4(1＋k 2)， ∴ |x 1－x 2|＝2ab 21＋k 2a 2k 2＋b2，∴ |MN |＝2ab 21＋k 2a 2k 2＋b 2·1＋k 2＝2ab 2(1＋k 2)a 2k 2＋b2＝2b 2a ·1＋k 2k 2＋b 2a2＞2b 2a ．综上，|MN |的最小值为2b 2a ．由题知 2b 2a＝6，即 b 2＝3a ．代入a 2－b 2＝4，得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1(舍)，或a ＝4．∴ b 2＝12． ∴ 椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知A (－4，0)，B (4，0)．当|MN |取得最小值时，MN ⊥x 轴． 根据椭圆的对称性，不妨取M (－2，3)，∠AMB 即直线AM 到直线MB 的角．∵ AM 的斜率k 1＝3－0－2＋4＝32，BM 的斜率k 2＝3－0－2－4＝－12，∴ tan ∠AMB ＝k 2－k 11＋k 1k 2＝－12－321－12×32＝－8．∵ ∠AMB ∈(0，π)，∴ ∠AMB ＝π－arctan8．。
高三数学阶段性测试试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，则$f(x)$的对称中心为（）。
A. $(1, 1)$B. $(1, 0)$C. $(0, 1)$D. $(0, 0)$2. 若$\sin \alpha = \frac{1}{2}$，且$\alpha$在第二象限，则$\tan\alpha$的值为（）。
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$B. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$C. $\sqrt{3}$D. $-\sqrt{3}$3. 下列各式中，能表示集合$A = \{x | x^2 - 4x + 3 = 0\}$的是（）。
A. $\{1, 3\}$B. $\{x | x = 1 \text{或} x = 3\}$C. $\{x | x^2 - 4x + 3 = 0\}$D. $\{x | x^2 = 4x - 3\}$4. 设$a, b$是方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的两个实数根，则$(a+b)^2 + 4ab$的值为（）。
A. 16B. 12C. 8D. 45. 已知函数$y = a(x-1)^2 + b$（$a \neq 0$）的图像与$x$轴交于点$(2, 0)$，则$y$的取值范围是（）。
A. $y \geq 0$B. $y \leq 0$C. $y > 0$D. $y < 0$6. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，$a_4 = 9$，则该数列的公差$d$为（）。
A. 3B. 6C. 2D. 47. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z-1| = |z+1|$，则实数$a$和$b$的关系是（）。
A. $a = b$B. $a = -b$C. $a^2 + b^2 = 1$D. $a^2 + b^2 = 4$8. 已知平面直角坐标系中，点$A(2, 3)$，$B(4, 5)$，则线段$AB$的中点坐标为（）。
河南省部分名校阶段性测试2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题
河南省部分名校阶段性测试2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}22,1,0,1,2,3,4,5A x x B =-<≤=-，则A B = （）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,1-D ．{}2,3,4,52．已知复数0z ≠，若|3||3i |z z -=-，则z 的实部与虚部的比值为（）A ．3B ．2C ．1D ．123．已知{}n a 是正项等比数列，若2436,,a a a 成等差数列，则{}n a 的公比为（）A ．13B ．12C ．2D ．34．函数2,2lg (),lg ,2lg x x xxf x x x---⎧≤=⎨>⎩在区间(0,)+∞上（）A ．单调递增B ．单调递减C ．先减后增D ．先增后减5．放射性物质的衰变规律为：012t TM M ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中0M 指初始质量，t 为衰变时间，T 为半衰期，M 为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为12,T T （单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则2111T T -=（）A ．31024B ．1512C ．11024D ．35126．若函数2e ()1xf x x bx =++在2x =时取得极小值，则()f x 的极大值为（）A ．1eB ．1C ．3e 8D ．e7．若函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上有唯一极值点，则ω的取值范围是（）A ．(0,2]B ．(1,2]C ．72,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．71,2⎛⎤ ⎥⎝⎦8．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22228a b c --=，点O 在ABC V 所在的平面内，满足1110OA OB OC a c b++= ，且1cos 3OAC ∠=，则a （）A ．有最大值10B ．有最小值10C ．有最大值8D ．有最小值8二、多选题9．已知函数()()π2sin ,2sin 232x x f x g x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴D ．将()f x 的图象绕点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭旋转180︒可得到()g x 的图象10．如图，ABC V 是边长为1的等边三角形，13BD BC =，点P 在以CD 为直径的半圆上（含端点），设AP xAB yAC =+，则（）A ．y 的值不可能大于1B ．1233AD AC AB=+ C ．AP AB ⋅ 的最小值为13D ．AP AB ⋅的最大值为111．已知数列{}n a 满足1,042ππn a a =<<，且()()11(21)sin sin ,n n n n n a a a a +++-=+则（）A ．2sin 5a =B ．1tan 2n n a -=C ．当2n ≥时，1n a >D ．2πn a <-三、填空题12．若[0,1]x ∃∈，使得230x x a +-≤，则实数a 的取值范围为.13．如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形，若九芒星的顶点将圆九等分，设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为α，则cos cos 2cos 4ααα=.14．已知函数3()1f x x x =++，若关于x 的不等式(1)(ln )2f ax f x x -+->的解集中有且仅有2个整数，则实数a 的最大值为.四、解答题15．已知数列{}12n n a a +-是以3为首项，2为公比的等比数列，且11a =.(1)证明：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .16．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且11tan tan B C +=(1)求B ；(2)若ABC V 的外接圆半径为R ，周长为R ，且a b >，求A .17．已知函数()2()2sin cos ().f x x x x a x a a =++-∈R(1)求()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，求a 的取值范围.18．已知函数()e 2()x f x ax a =--∈R .(1)当2a =时，求()f x 的零点个数；(2)设2a ≥，函数2e ()()e 12xx g x f x a =-+-.（i ）判断()g x 的单调性；（ii ）若()()()g m g n m n ''=<，求()()g m g n +的最小值.19．设有穷数列{}n b 的项数为m ，若1i m i b b a +-=（a 为常数，且0,1,2,3,,a i m ≠= ），则称该数列为等积数列，a 叫做该数列的公共积.(1)若231,,,2,4b b 是公共积为a 的等积数列，求该数列的公共积a 及23,b b ；(2)若{}n b 是公共积为a 的等积数列，且212k k b b c -=（*k ∈N 且,2mk c 为常数），证明：当()*42m r r =+∈N 时，对任意给定的,a c ，数列{}n b 中一定存在相等的两项；(3)若{}n b 是公共积为1的等积数列，且10(1,2,3,,1),i i b b i m m +<<=- 是奇数，对任意的1,,,,2i j m b b i j m ⎛⎫+⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭都存在正整数[]1,u m ∈，使得j i u b b b =，求证：{}n b 是等比数列.。
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2019高三阶段性考试数学试卷小编寄语：下面小编为大家提供2019高三阶段性考试数学试卷，希望对大家学习有帮助。
2019高三阶段性考试数学试卷
一、填空题(每题5分，共70分)
1.设a，bR，集合{1，a+b，a}={0，b
a
，b}，则b-a=. 显示解析2.已知集合A={x|x1}，B={x|xa}，且AB=R，则实数a的取值范围是. 显示解析3.xR，x2+2x-1=0的否定式. 显示解析4.已知命题p：xR，使tanx=1，命题q：x2-3x+20的解集是{x|1
①命题pq是真命题；
②命题pq是假命题；
③命题p是真命题；
④命题pq是假命题.
其中正确的是. 显示解析5.m=1
2
是直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0互相垂直的条件. 显示解析6.设全集U=R，集合M={x|x
=x2-2
，xR} N={x|x+1
2，xR}，则(CuM)N=. 显示解析7.函数y=log2(2x-x2)的单调
递增区间是. 显示解析8.设f(x)=lgx
1-x2
的定义域为. 显示解析9.若f(x)为奇函数，且x0时，
f(x)=x2-x+1，则x0时的解析式为. 显示解析10.设函数
f(x)=2-x-1，x0
x1
2
，x0
，若f(x0)1，则x0的取值范围是. 显示解析11.如图所示的图象所表示的函数解析式为. 显示解析12.y=f(x)为定义在R 上的奇函数，满足f(x+2)=-f(x)，x[0，1]时，f(x)=x+1，求f(7.5)=. 显示解析13.若定义域为(-1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a-3)+f(9-a2)0，则实数a的取值范围是. 显示解析14.若关于x的不等式x2-4xm对任意x[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是. 显示解析二、解答题(共90分)
15.已知集合A={x|x2-3x-100}，B={x|m+12m-1}，若AB=A，求实数m的取值范围. 显示解析16.(1)求f(x)=x-2
x-3
+lg4-x
的定义域；
(2)求g(x)=x+2x+1
的值域. 显示解析17.设命题p：函数f(x)=(a-3
2
)x是R上的减函数，命题q：函数f(x)=x2-4x+3在[0，a]的值域为[-1，3].若p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围. 显示解析18.有一批材料可以建成长为200m的围墙，如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图)，则围成的矩形的最大面积是多少? 显示解析19.函数f( x )=2x-a
x
的定义域为(0，1](a为实数).
(1)当a=-1时，求函数y=f(x)的值域；
(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围；
(3)讨论函数y=f(x)在x(0，1]上的值域. 显示解析20.已知函数y=f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)=3x
9x+1
-1
2
(1)判断并证明y=f(x)在(-，0)上的单调性；
(2)求y=f(x)的值域；
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。
而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。
前者始于宋，乃“宗学”“律
学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。
“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。
唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。
至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。
至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。
(3)求不等式f(x)1
要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
3
的解集.
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后，
教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。