(完整)1力的正交分解法及其应用

3、将不在坐标轴上的各力分解为沿两坐标轴方向的分力，并 在图上标明。
4、将坐标轴上的力分别合成：按坐标轴规定的方向求代数和
Fx=F1x+F2x+F3x+...... Fy=F1y+F2y+F3y+......
其中沿坐标轴正向的取正值， 沿坐标轴负向的取负值代入。
5、求合力F的大小和方向
F合 Fx2 Fy2
正交分解力的目的： 化复杂的矢量运算为普通的代数运算。便于运
用普通代数运算公式来解决矢量的运算。
基本思想： 正交分解法求合力，运用了“欲合先分”的策
略，即先分解再合成，降低了运算的难度，是一种 重要物理思维方法。
五、典例 求合力
例1一个物体受到四个力的作用，已知F1=1N，方向
正东；F2=2N，方向东偏北600，F3= 3 3 N，方向西
o
x
37˚
FTsin37
FT
练习6如图所示,一个重力为mg的小环套在竖直的半径为r的光滑 大圆环上,一劲度系数为k,自然长度为L(L<2r)弹簧的一端固定 在小环上,另一端固定在大圆环的最高点A.当小环静止时,略去 弹簧的自重和小环与大圆环间的摩擦.求弹簧与竖直方向之间的 夹角φ.
解：小环受重力mg、大圆环的支持力N、 A
练习3如图所示，用绳AO和BO吊起一个重100N的物体， 两绳AO、BO与竖直方向的夹角分别为30o和40o，求绳 AO和BO对物体的拉力的大小。
练习4 如图所示，两竖直杆MN与PQ相距2米，一根长2.4米 的绳的两端拴在这两杆上，第一次两拴点等高，第二次两 拴点不等高。当用一光滑的钩子把重G＝50牛的物体挂在绳 子上，求两种情况绳子拉力分别为多大？
叫正交分解。
2、正交含义：相互垂直的两个方向
y
Fyபைடு நூலகம்
F
θ
O
Fx
x
3、画图说明利用正交 分解求合力的方法：
以三个共点力F1、F2、F3 作用在O点为例。
先求出沿x轴方向的合力Fx ：
Fx F1x F2x F3x ...
再求出沿y轴方向的合力Fy ： Fy F1y F2 y F3y ...
最后求出合力的大小和方向：
F Fx2 Fy2
tan Fy
Fx
y
F2
F1y F2y
F1
F2X
O
F3y
F3x F1x
x F3
y
Fy
F
φ
O
Fx x
三、正交分解法应用一 求合力的步骤
1、对物体进行受力分析，画出受力示意图。
2、以力的作用点为坐标原点，恰当建立直角坐标系，标出x 轴和y轴。
注意：坐标轴方向的选择具有任意性。原则上尽量使坐标轴 与较多的分力重合，使分解的力尽量少且容易分解。
A. mg
FN y
B. (mg+Fsin) C. (mg-Fsin) D. Fcos
Ff
F2 x

mg
F1
F
例2如图，物体A的质量为m，固定斜面倾角为α，A与 斜面间的动摩擦因数为μ。现有一个水平力F作用在A 上，当F多大时，物体A恰能沿斜面匀速向上运动？
FN=Fsinα+Gcosα
Fcosα=Gsinα+Ff Ff=μFN
③
联立①②③得F=μGB+FA(cos θ-μsin θ). 可见,随着θ不断减小,水平力F将不断增大.
答案 随着θ不断减小,水平力F将不断增大
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练习8如图1所示,重物的质量为m,轻细绳AO和BO的 A端、B端是固定的,平衡时AO水平,BO与水平面的夹
角为θ,AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是多少？
练习7如图所示，不计滑轮摩擦,A、B两物体均处于静止状 态. 现加一水平力F作用在B上使B缓慢右移,试分析B所受 力F的变化情况.
解析 对物体B受力分析如图,建立如图直角坐标系.
在y轴上有
Fy合=N+FAsin θ-GB=0, ①
在x轴上有
Fx合=F-f -FAcos θ=0, ②
又f =μN;
Fx 1/ 2
600
F =1N
y
3/2
Fy=
N
o φ
x
Fx = -1/2 N
六、正交分解法应用二
求解平衡问题
五步求解平衡问题：1、受力分析，画出物体的受力图。 2、建立直角坐标系。 3、沿坐标轴正交分解各力。 4、因为物体平衡时合力为零，即F合 Fx2 Fy2 0
所以，沿X和y方向上合力Fx=0和Fy=0也都为零。
拓展： F多大时恰能沿斜面匀速向下？
F
A
α
y
FN
Fcosα
x
Gsinα Ff
F Fsinα
Gcosα G
例3如图所示，质量为m的物体放在粗糙水平面上，它与水平面 间的滑动摩擦因数为μ，在与水平面成θ角的斜向上的拉力F作 用下匀速向右运动。求当θ满足什么条件时拉力F的最小，并求 出最小值。
y
解：物体匀速运动，合外力为零
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力
4、别写出x、y方向的方程
5、根据方程求解
练习2质量为m的物体在与水平方向成θ角的恒力F作 用下，沿水平天花板向右做匀速直线运动。物体与天 花板间动摩擦因数为μ。请写出物体受摩擦力大小的 表达式。
F mg sin cos
N F
由x方向合外力为零，有：
f
θ
F cos f
由y方向合外力为零，有：
x
N F sin mg
G
又因为f N
解得： F mg cos sin
求最小值利用数学知识，还没学？ 改用作图法试试。
例4如图，无弹性的柔软轻绳两端分别系于A、B两点，重
物用动滑轮悬挂在绳子上。平衡时两段绳子夹角为θ1，绳 子张力为F1。将绳子一端由B点竖直移动C点，待重新平衡 时，两段绳子间的夹角为θ2，绳子张力为F2。再将绳子一 端由C点水平移至D点，待重新平衡时，两段绳子间的夹角
Fy F2 y F3y F4 y
2 sin600 3 3 sin300 4 sin600
3 3 3 / 2 2 2 3 3 / 2( N )
大小F Fx2 Fy2 ( 3 / 2)2 (1/ 2)2 1N
方向tan Fy 3 / 2 3
tan Fy
Fx
注：实际中求两坐标轴上的合力Fx和Fy时，各分力也可以都
取绝对值，然后所有正向的分力减去所有负向的分力。
求合力的三种方法对比：
1、作图法（课本P63/例题）
作图法原理简单易掌握，但结果误差较大。除非明确要 求用此法，否则，一般都不用该方法。
2、公式法 计算多个共点力的合力时，如果连续运用平行四边形定 则求解，一般需要解多个任意三角形，一次接一次地求合力 的大小和方向，计算十分复杂。 3、正交分解法 在求多个力的合力时，往往用正交分解法，相比之下显 得十分简单。
偏北300；F4=4N，方向东偏南600，求物体所受的合
力。
y
F3
F3y
F2y
F2
300
600 F4x
F3x
60F0 2Fx 1
x
F4y
F4
Fx F1 F2x F3x F4x 1 2 cos600 3 3 cos300 4 cos600 1 1 3 3/2 2 1/2(N)
沿x方向和y方向分别列方程：
Fx F1x F 2xF3x 0
Fy F1y F 2 yF3y 0
5、必要时联立其它方程。 解方程组求结果。
例1如图所示，质量为m的木块在力F作用下在
水平面上做匀速运动。木块与地面间的动摩擦
因数为，则物体受到的摩擦力为（BD ）
解析 F1=mgcotθ
F2

mg
s in
.
正交分解法求合力及其应用
一、平行四边形 定则合力的方法
F3
F4
F123
F1234
F12
F2
F1 先求出任意两个力的合力。
再求出这个合力跟第三个力的 合力。直到把所有的力都合成 进去，最后得到的结果就是这 些力的总合力。
难点：大小方向都不好算。
二、力的正交分解法
1、定义： 把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，
弹簧的拉力F三个力。如图。
Fy
其中弹力F=k(2rcosθ-L)
φ
运用正交分解法列方程
O1
由Fx=0得：Nsin2φ-Fsinφ=0
由Fy=0得：Fcosφ-mg-Ncos2φ=0
解得
cos

kL
2kr mg

x
O2 2φ
mg N
另解: 力F、N、mg构成首尾相连的三角形,与三角形
Ao1o2相似,对应边成比例.
为θ3，绳子的张力为F3。不计摩擦。则（ A．θ1=θ2 =θ3 B．θ1= θ2＜θ3 C．F1＞F2＞F3 D．F1＝F2＜F3
）
θθ
θ
答案：BD
拓展练习1如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成 θ角的恒力F作用下沿粗糙墙面向上匀速运动，求物 体与墙壁间的动摩擦因数。
F θ
F G cos - sin
答案:两次拉力一样大，T=45牛。
练习5如图，氢气球被水平吹来的风吹成图示的情形，若测得 绳子与水平面的夹角为37˚，已知气球受到空气的浮力为15N， 忽略氢气球的重力，求：①氢气球受到的水平风力多大？ ②绳子对氢气球的拉力多大？
FTsin37=15N FTcos37=F