专题4.1 简单的二次方程组的解法(精讲深剖)-拾阶而上之初高中数学衔接读本(原卷版)
二次方程的解法
二次方程的解法二次方程是数学中常见的一类方程，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数，且a≠0。
解二次方程是数学学习中的基本内容之一，本文将介绍二次方程的解法。
1. 求解二次方程的基本方法解二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、求根公式（也称韦达定理）和图像法等。
以下将逐一介绍。
2. 因式分解法当二次方程的形式简单、易于因式分解时，可以尝试使用这种方法。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x +2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2和x = -3两个解。
3. 配方法配方法也是解二次方程的一种常见方法。
当二次方程不易因式分解时，可以使用配方法将方程转化为一个完全平方。
具体步骤如下：a. 将二次方程的一项系数化为1，即若方程为ax^2 + bx + c = 0（其中a≠0），则将其除以a，得到x^2 + (b/a)x + c/a = 0。
b. 将方程中的二次项和常数项系数分别除以2，并将结果的平方添加到方程中，即将方程转化为(x + b/2a)^2 - (b^2/4a^2) + c/a = 0。
c. 将方程中出现两个平方项之差的部分写成一个完全平方，即(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2。
d. 对方程两边同时开方，即得到x + b/2a = ±√((b^2 - 4ac)/4a^2)。
e. 最后化简得到x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，即二次方程的两个解。
4. 求根公式（韦达定理）求根公式是解二次方程的一种常用方法，其给出了一般二次方程ax^2 + bx + c = 0的解的表达式。
根据求根公式，二次方程的两个解可以通过下式得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
5. 图像法对于较为复杂的二次方程，我们可以通过绘制方程的图像来求解。
初高中衔接——二元二次方程组求解讲义
知识梳理二元二次方程组的含义：二元二次方程组是指由两个未知数构成，且未知数的最高次数至少有一个为二次的方程组.其一般形式可以表示为：{a1x2+b1xy+c1y2+d1x+e1y+f1=0a2x2+b2xy+c2y2+d2x+e2y+f2=0.其中，a i,b i,c i,d i,e i,f i(i=1,2)为常数，且a1,b1,c1或a2,b2,c2不同时为零.二元二次方程组的求解思想：二元二次方程组的求解思想主要是“消元”与“降次”.消元，即通过一定的方法减少未知数的个数.例如，可以利用代入消元法或加减消元法，将两个未知数中的一个用另一个表示，从而将方程组转化为只含有一个未知数的方程.降次，是指降低方程中未知数的次数.通过对方程进行变形、因式分解、配方等操作，将二次方程转化为一次方程来求解.二元二次方程组的求解原理：二元二次方程组的求解原理主要基于等量代换和方程变形.通过对其中一个方程进行变形，用一个未知数表示另一个未知数，然后将其代入另一个方程，实现消元，把二元转化为一元.对于二次方程，利用配方法、因式分解等手段将其变形为乘积形式，从而降低方程的次数，达到求解的目的.其本质是利用数学的恒等变形和等量关系，逐步简化方程组，求出未知数的值，使得方程组中的两个方程同时成立.二元二次方程组的求解方法及步骤：1.代入消元法代入消元法是解决二元二次方程组的基本方法之一。
其基本思想是将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，然后代入另一个方程中，从而消去一个未知数，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再代回原式进而求出另一个未知数。
2.加减消元法加减消元法也是解决二元二次方程组的基本方法之一。
其基本思想是通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再代回原式进而求出另一个未知数。
3.因式分解法因式分解法是解决二元二次方程组的一种特殊方法。
其基本思想是将方程组中的两个方程进行因式分解，然后将因式分解后的式子相乘，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再求出另一个未知数。
初二数学二次方程解法及讨论过程详解
初二数学二次方程解法及讨论过程详解二次方程是初中数学中的重要内容之一，也是一种常见的代数方程类型。
解二次方程可以帮助我们求出方程的根，从而解决与二次方程相关的实际问题。
本文将详细介绍二次方程的解法及讨论过程，帮助初二学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、二次方程的定义与形式二次方程是指次数为2的多项式方程，一般由一元二次方程表示。
其一般形式可以表示为：ax² + bx + c = 0其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二、二次方程的解法解二次方程的常用方法包括因式分解法、配方法和求根公式法。
下面将分别详细介绍这几种解法。
1. 因式分解法对于给定的二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），通过将其进行因式分解可以快速得到方程的解。
具体步骤如下：（1）如果二次方程存在因数分解，则进行尝试，将方程进行因式分解。
例如，对于方程x² + 5x + 6 = 0，可以写成(x + 2)(x + 3) = 0。
此时，方程的解为x = -2或x = -3。
（2）如果无法进行因式分解，则需要采用其他解法。
2. 配方法当二次方程难以进行因式分解时，可以尝试采用配方法解方程。
具体步骤如下：（1）对于一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0，若a ≠ 0，令常数项与一次项系数的乘积等于二次项系数的一半的平方，即bc = (b/2)²。
（2）将方程两边同时加上常数项与一次项系数的乘积，得到ax² + bx + (b/2)² = (b/2)² - c。
（3）将等式左边的表达式进行因式分解，并化简右边的表达式，得到(a + b/2)² = (b/2)² - c。
（4）对方程两边同时开方，得到a + b/2 = ±√[(b/2)² - c]。
（5）化简上述方程得到二次方程的解x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)。
二次方程的解法与应用(知识点总结)
二次方程的解法与应用（知识点总结）二次方程是一种常见的数学表达式，它的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
解二次方程的过程被广泛应用于代数、几何等不同领域中。
本文将对二次方程的解法和应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一数学概念。
一、二次方程的基本解法解二次方程的方法主要有因式分解法、配方法和求根公式法。
下面将对每种方法进行详细介绍。
1. 因式分解法当二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以利用因式分解法来解方程。
具体步骤如下：（1）观察方程是否可以进行因式分解，即查看方程中a、b、c的关系是否存在因子。
（2）将方程分解为两个一次因式的乘积，得到(ax + m)(nx + p) = 0的形式。
（3）令每个一次因式分别为0，并解出x的值，即得到方程的解。
值得注意的是，当方程因式分解后，得到的一次因式可能会包含重复的根。
此时，只需要取其中一个即可。
2. 配方法当二次方程不易进行因式分解时，可以考虑使用配方法来解方程。
具体步骤如下：（1）观察方程中b的系数，并将方程移项，使其变为完全平方的形式。
（2）利用配方法，将方程转化为 (x + m)^2 = n 的形式。
（3）对方程进行开方，并解出x的值。
需要注意的是，使用配方法时，方程可能会有不唯一的解，因此在求解时要仔细检查。
3. 求根公式法求根公式是解二次方程的一种通用方法，利用该公式可以直接求得方程的根。
求根公式的表达式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示可以取正负两个值。
利用求根公式法解二次方程的步骤如下：（1）根据已知二次方程的系数a、b、c，计算出根的表达式。
（2）代入计算后的根的表达式，求解x的值。
使用求根公式法解二次方程时，可以得到两个解或一个解（当方程的判别式b^2 - 4ac为0时）。
二、二次方程的应用二次方程的解法在实际应用中有着广泛的用途，下面将介绍一些常见的应用场景。
初升高数学衔接教程第4讲复习篇：简单的二元二次方程组(适合优生)
(1)
解方程组
xy 5
(2)
【针对训练】解方程组
3x2 y2 8 x2 xy y 2 4
x2 y2 4 2 xy 21
( x y 2)( x y) 0 x2 y2 8
( x y)( x y 1) 0 ( x y)( x y 1) 0
2．可消二次项型的方程组
xy x 3
(1)
【例题】 解方程组
3xy y 8 (2)
x2 y2 5 xy 2
xy4 x2 y 2 10
【针对训练】解方程组
x2 y2 3 x2 y2 0
xy x 16 xy x 8
课后作业 1．解下列方程组：
xy1 2x2 3xy y 2 5
x 2y 0 3x2 2xy 10
xy 3 xy 2
x(2x 3) 0 y x2 1
x y1 xy 6
(3x 4 y 3)(3x 4y 3) 0 3x 2y 5
1．可因式分解型的方程组
方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方
程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．
【例题】 解方程组
x2 y2 5( x y)
(1)
x2 xy y 2 43
(2)
x2 xy 12
(1)
y2 4
(2)
x2 y2 26
2x y 0
(1)
x2 y2 3 0 (2)
x y 11 (1)
xy 28
(2)
【针对训练】解方程组
x y2 6 yx
x2 2 y2 8 xy2
xy3 xy 2
x 2y 4 2xy 21
x 2y 3 x2 2 y 3x 2 0
高中数学初高中衔接读本专题4.1简单的二次方程组的解法高效演练学案
第1讲 简单的二次方程组的解法在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法． 【知识梳理】1.含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．2.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组， 叫做二元二次方程组。
3.解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和 “降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
【高效演练】1.下列方程组是二元二次方程组的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．方程组⎩⎨⎧+==mx y x y 2有两组不同的实数解，则（ ）A 、m ≥41-B 、m ＞41-C 、41-＜m ＜41D 、以上答案都不对 【解析】方程组⎩⎨⎧+==mx y x y 2有两组不同的实数解，两个方程消去y 得，20x x m --=，需要△＞0，即1+4m ＞0，所以m ＞41-.【答案】B 3.请你写出一个以和为解的二元二次方程组，这个方程组可以是 ．【分析】根据两方程知x 和y 的值相等且平方和为2，据此可得． 【解析】解：这个方程组可以是，故答案为：．【点评】本题主要考查列方程组的能力，根据已知方程得出x 、y 间满足的数量关系是解题的关键． 4.阅读材料，解答问题：我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下： 解：由②得：y=2x ﹣5 ③ 将③代入①得：x 2+（2x ﹣5）2=10 整理得：x 2﹣4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3将x 1=1，x 2=3代入③得y 1=1×2﹣5=﹣3，y 2=2×3﹣5=1 ∴原方程组的解为，．（1）请你用代入消元法解二元二次方程组：；（2）若关x ，y 的二元二次方程组有两组不同的实数解，求实数a 的取信范围．【分析】（1）先消去一个未知数再解关于另一个未知数的次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可；（2）先消去一个未知数，得到关于另一个未知数的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解答即可．（2）由①得，y=1﹣2x ③，把③代入②得，ax 2+（1﹣2x ）2+2x+1=0， 整理得，（a+4）x 2﹣2x+2=0， 由题意得，4﹣4×2×（a+4）＞0， 解得a ＜﹣， ∵a+4≠0， ∴a ≠﹣4，∴a ＜﹣且a ≠﹣4．【点评】本题考查的是高次方程的解法，掌握代入消元法的一般步骤和一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 5.解下列方程组2226 (1)(1) 5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩ （2）2 4 (1)221 (2)x y xy +=⎧⎨=-⎩；（3）2244220 (1)32110 (2)x xy y x y x y ⎧-++--=⎨+-=⎩；【解析】（1） (1) +(2)2⨯得：222236()3666x y xy x y x y x y ++=⇒+=⇒+=+=-或， (1) -(2)2⨯得：222216()1644x y xy x y x y x y +-=⇒-=⇒-=-=-或．解此四个方程组，得原方程组的解是：312412341515,,,1551x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩． （2）∵方程①是x 与2y 的和,方程②是x 与2y 的积, ∴x 与2y 是方程z 2-4z-21=0的两个根解此方程得:z 1=-3,z 2=7, ∴ 37,2723x x y y 或=-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩∴原方程组的解是121237,7322x x y y =-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩（3）(用代入法) 由②得: 1132xy -=③ 把③代入①得: x 2-+4()2+x--2=0.整理得:4x 2-21x+27=0 ∴x 1=3 x 2=.把x=3代入③ 得:y=1 把x=代入④ 得:y=.∴原方程组的解为: 2112934,1718x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩6.k 为何值时，方程组24210 (1)2......(2)y x y y kx ì--+=ïí=+ïî（1）有两组相等的实数解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解。
2019届高中数学初高中衔接读本专题4.1简单的二次方程组的解法精讲深剖学案-最新资料
第1讲 简单的二次方程组的解法本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上，根据高中学习的需要，共同学习简单的二次方程组及一元二次不等式的解法。
在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法．【知识梳理】1.含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．2.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组， 叫做二元二次方程组。
3.解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和 “降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
探究1: 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【典例解析】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩【分析】由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ．【解析】 由(1)变形得：2y x = (3)将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：11111122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 【解题反思】 (1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；⑤写出答案．(2) 消x ，还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程210x y -+=，可以消去x ，变形得21x y =-，再代入消元．(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．【变式训练】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩【分析】本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，则更容易求解．【点评】(1) 对于这种对称性的方程组x y a xy b +=⎧⎨=⎩，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x 、y 的字母，如z ．(2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解47x y =⎧⎨=⎩，则必有解74x y =⎧⎨=⎩．探究2:由两个二元二次方程组成的方程组（1）可因式分解型的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．【典例解析】解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩【分析】注意到方程225()x y x y -=+，可分解成()(5)0x y x y +--=，即得0x y +=或50x y --=，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．【解题反思】由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程．【变式训练】解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 【分析】本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为上例．【解析】(1) –(2)3⨯得：223()0x xy xy y +-+=即 22230(3)()0x xy y x y x y --=⇒-+=∴ 300x y x y -=+=或 ∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：22300,44x y x y xy y xy y -=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩． 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩． 【点评】若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．（2）可消二次项型的方程组【典例解析】解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩【分析】注意到两个方程都有xy项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．【解题反思】若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解．二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决。
初中数学二次方程的解法与应用知识点
初中数学二次方程的解法与应用知识点在初中数学的学习中，二次方程就像是一座神秘的城堡，充满了各种有趣的秘密和挑战。
今天，咱们就一起来揭开这座城堡的神秘面纱，好好聊聊二次方程的解法与应用。
先来说说二次方程的一般形式：ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 （a ≠ 0）。
这就像是一个密码锁，要解开它，咱们得有钥匙。
那钥匙是什么呢？就是各种解法！最常见的就是配方法。
配方法就像是给方程这个“小怪兽”量身定制一套衣服，让它变得规规矩矩的。
比如说，对于方程 x²＋ 6x ＋ 8 ＝ 0 ，咱们先把常数项 8 移到等号右边，变成 x²＋ 6x ＝－8 。
然后在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，也就是 3²＝ 9 ，得到 x²＋ 6x ＋ 9 ＝ 1 。
这时候左边就变成了一个完全平方式（x ＋ 3）²＝ 1 ，接下来开平方，就能求出 x 的值啦。
还有公式法，这可是个万能钥匙。
只要记住那个神奇的求根公式 x＝b ± √（b² 4ac) ／（2a），把 a、b、c 的值往里一代，答案就出来了。
不过，用公式法的时候可千万要小心，别把符号给弄错了，不然就得不出正确答案咯。
因式分解法也很厉害！就像把一个大蛋糕切成小块，让问题变得简单。
比如方程 x² 5x ＋ 6 ＝ 0 ，咱们可以分解为（x 2）（x 3）＝ 0 ，那 x 2 ＝ 0 或者 x 3 ＝ 0 ，x 的值不就出来了嘛。
说完了解法，再来说说二次方程的应用。
这可有意思啦！记得有一次，学校组织我们去果园帮果农伯伯采摘水果。
果农伯伯给我们出了个难题：果园里有一块长方形的地，准备用来种苹果树。
如果这块地的长比宽多 2 米，面积是 24 平方米，那这块地的长和宽分别是多少呢？这时候，二次方程就派上用场啦！我们设宽为 x 米，那长就是 x ＋2 米。
根据长方形的面积公式，面积＝长 ×宽，就可以列出方程 x（x ＋ 2）＝ 24 ，展开得到 x²＋ 2x 24 ＝ 0 。
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第四章 方程与不等式
第1讲 简单的二次方程组的解法
本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上，根据高中学习的需要，共同学习简单的二次方程组及一元二次不等式的解法。
在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法．
【知识梳理】
1.含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．
2.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组， 叫做二元二次方程组。
3.解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和 “降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
探究1: 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组
一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．
【典例解析】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩
【变式训练】解方程组11 (1)28 (2)
x y xy +=⎧⎨=⎩ 探究2:由两个二元二次方程组成的方程组
（1）可因式分解型的方程组
方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．
【典例解析】解方程组22225() (1)43 (2)
x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩
【变式训练】解方程组
2
2
12 (1)
4 (2) x xy
xy y
⎧+=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
（2）可消二次项型的方程组
【典例解析】解方程组
3 (1) 38 (2) xy x
xy y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
【变式训练】1.解二元二次方程组．2.解二元二次方程组．。