一元二次方程的四种解法
二次方程四种解法
一元二次方程解法一、直接开平方法解一元二次方程 ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解.②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解两根例1.用直接开平方法解方程(1) ； (2) ； （3）3－（3x －1）2＝0； （4）（2x-5）2-2=0；例2.用配方法解方程配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成(1) ； (2) ； (3) ； (4) ；例4.用因式分解法解方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（1）022=-x x （2） 092=-x (3)x （2x-3）=（3x+2）（2x-3） （4） 9)3(22=+-x x（5）01282=+-x x （6）3312+=-x x (7)361232=-x x （8） 03072=--x x23270x -=22 1.505x -=12242x x +=27304x x --=2483xx -=-2441018x x x++=-例4.用公式法解方程3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并不是最简单的，一定要注意方法的选用. ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： . ③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.(1) ； (2) ； (3) ； (4) ；例5.用适当方法求解（1）x (x －5)＋6＝0； （2）9x2－12x ＋4＝0； （3）(x －1)2－4（x ＋3）2＝0.（4）2（t-1）2+t=1 （5）014442=-x2230x x --=23290x x --=22y -=212016x x -+=112842+=++x x x 练习1.用直接开平方法解方程(1)8142=x (2) 169)5(2=+x （3）01492=-x(2) (4)2130)3-(2-2=+x （2）()162812=-x （3）()025122=-+x2.用公式法解方程（1）01032=-+x x（2）04122=--x x（3） （4）092432=+-x3.用配方法解方程（1）04322=--x x （2）016102=++x x （3）05632=++x x （4）01142=--x x(5)9642=-x x (6)x 2+4x -12=0 (7)x x 4232=- (8)01522=+-x x4.用因式分解法解方程（1）)1(4)1(3-=-x x x （2）016102=++x x （3）()()1314-=-x x x（4）0)23()32(2=-+-x x （5）()()03342=-+-x x x (6)x 2+4x -12=0（7） 0542=--x x （8） 03072=--x x (9) 0822=--x x4、任选方法解下列方程（1）01072=+-x x （2） x x 22= （3）0432=-y y。
一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】把方程ax2+c = 0(a ≠ 0),这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
例：用直接开平方法解方程：21. 9X2-25= 0;2. (3x+2) 2-4= 0;3* (x+ 73)2 = 4V⅛4. (2x+3) 2= 3(4x+3).解：1 . 9X2-25= 09X2= 2525V2. (3x+2) 2-4= 0(3x+2) 2= 43x+2 = ± 23x = -2± 2—2 士2X ~…宜1 = 0, =—工(x+ √3) 2=4√3X;X2+ 2√3+ 3=4√3≡J2-2√3X+3=0当孤C异号时』两边同时开平方得琵=± ” -(X- √3) 2 = OE- 73= O• ∙ Xι X2 3.4. (2x+3) 2= 3(4x+3)4X2+12X+9=12x+94x2= 0• ∙ X1 X 0.【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c = 0（a ≠ 0）;把常数项移到方程的右边，如ax2+bx = -c;方程的两边都除-X=——;方程的两边都加上一次项系数一半的平方，⅛∏x a ÷—X以二次项系数，使二次项系数为 1 ,如x2+- ■+ （丄）i;把方程的左边变形为一次二项式的完2a a 2a全平方，右边合并或一个常数，如（"云）—一^厂；方程的两边同h 宀∕⅛⅛ 2 —4 津；时开平方.得到两个一元一次方程，;分别解这2a 2a两个一元一次方程，求出两个根,例：用配方法解下列方程：1. x2-4x-3 = 0; 2 . 6x2+x = 35;3. 4x2+4x+1 = 7; 4 . 2x2-3x-3= 0.2解：1 . X -4x-3= 0x2-4x = 32X -4x+4 = 3+4(X-2)2=7χ-2= + √7X = 2+ √7,-∖X I== 2 + r衍=2 一-/L2. 6x2+x= 35X + -X =—6 6 1 I o 35 16 6 14 ’ k 2 S41 仗卡——)2 =——' 12z 144 1 2912 ^ 121 29X — + 1Ξ ^1Ξ7 5 V — V •=—-=- Al λ Jl ATl ^'3. 4X 2+4X +1 = 73 √33—=+ -------4 一 4 3辰 4~ 4【公式法解一元二次方程】一元二次方程 ax 2+bx+c = 0(a-k 4- — 4sr 尹0),朋配方祛所求出的两WX l =和衍="纤瓦(b-4ac >0),有2a 1 √7X = ---- + ---2 2+T i 花__厂已4. 2X 2-3X -3= 0_ T 2 2广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a, b, C的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法称为公式法，耐巴怎二-- —-(b2~4ac≥0)叫做ax a +bx+ C二=0(a ≠ 0)的求根公式。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m± .例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
一元二次方程的解法总结
x a 0或x a 0
x1 a
形如
2
x2 a
的式子运用完全平方公式得：
x2 2ax a 2 0
( x a) 0 x1 x2 a 或 x1 x2 a
例题讲解
例1 解下列方程
16(2 x) 9 0 （1） 解：原方程变形为： 9 2 (2 x) 16
解：提公因式得：
(3x 2)( x 6) 0
(3x 5)( x 2) 0
3x 5 0或x 2 0
3x 2 0或x 6 0
2 x1 3
5 x1 3
x2 6
x2 2
平方差公式与完全平方公式
形如
x2 a2 0 运用平方差公式得：
2
（2） x( x 2) 1 0 解：原方程变形为：
直接开平方得：
x2 2 x 1 0
( x 1)2 0
3 2 x 4 11 5 x2 x1 4 4
x1 x2 1
2 十字相乘法
步骤：
1 二次项系数为1的情况：
将一元二次方程常数项进行分解成两个数(式)p , q的乘 积的形式，且p + q = 一次项系数。
例题讲解
例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解：
x 6x 7 2 x 6x 9 7 9 2 x 3 16 x 3 4 x1 1 x2 7
2
例题讲解
例2. 用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0
5 解： x 4x 2 5 2 x 4x 4 4 2
一元二次方程四种解法
一元二次方程解法【知识梳理】1. 对一元二次方程的概念及根的考察；2. 一元二次方程的求解；一元二次方程的解法一元二次方程的求解的最根本的思路是“降次”.（1）直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02（2）配方法：02=++c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ （3）求根公式法：条件()04,02≥-≠ac b a 且 aac b b x 242-±-= （4）因式分解法：()()021=--x x x x一元二次方程的求解直接开方法：由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=±p ，达到降次转化之目的．若p ＜0则方程无解。
（注：两边同时开平方的时候记得不要忘记加上±号，两根相等时记得要写成x 1=x 2=…；而不是x= ） 例1：直接开方解方程：2x 2-8=0 3592=-x ()0962=-+x配方法：1)现将已知方程化为一般形式；2)化二次项系数为1；3)常数项移到右边；4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；5)变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±q ；如果q ＜0,方程无实根． 例1：配方法解方程0462=++x x 03422=-+x x 0142=++x x例2. 试说明：无论x 取何值，代数式542+-x x 的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式542+-x x 的值最小？最小值是多少？公式法（用公式法解一元二次方程是记得要先把方程化成一般式）要点：找出a,b,c 判断：ac b 42-=∆ 应用：aac b b x 242-±-= 例1、用公式法解下列方程（1）解方程x 2-2x-1=0 （2）解方程：-x 2+3x-2=0；变式：用公式法解下列方程（1）3x 2+2x-5=0 （2） x 222-x+1=0．不解方程说明方程根的情况（1） x 2+x-3=0 （2）x （x+8）=16．因式分解的方法：提公因式法、公式法和十字相乘法.1.乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式：222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+.2.十字相乘法：（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成:()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22. 题型一：因式分解【例1】（1））（）（3x 3x x +=+； （2） 016x 2=— （3）09a 1242=++a ；题型二：十字相乘法分解因式【例1】（1）232x x ++=0； （2）212x x --=0； （3）2215x x +-=0.题型三：解一元二次方程【例1】用适当的方法解下列方程：（1）2410x x ++=； （2）210x x +-=； （3）22310x x -+=.【变式练习1】解下列一元二次方程：（1）21304x x ++=； （2）2420x x -+=；（3）2200x x --=； （4）24920x x -+=.【作业布置】（时间：20分；总分：60）用合适的方法解下列方程．（1）3y 2-6y=0 （2）x 2+2x-3=0．（3）x 2+35=12x （4）（x-3）2+9（x-3）=0（5）220x x -=； （6）2430x x +-=；(7） 22)3(4)23(-=+x x (8) )2(5)2(3+=+x x x。
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】把方程ax2+c＝0(a≠0)，这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；2．(3x+2)2-4＝0；4．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝09x2＝252．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±23x＝-2±2∴x1＝x2＝3．4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x2+例：用配方法解下列方程：1．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+4(x-2)2＝72．6x2+x＝353．4x2+4x+1＝74．2x2-3x-3＝0【公式法解一元二次方程】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。
例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)．2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝814．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)2当(a-2b≥0)时，得【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。
一元二次方程的解法详细解析
一元二次方程的解法详细解析只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)一元二次方程有4种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
下面小编和你具体讲解一元二次方程的四种解法例析。
一元二次方程的解法例析【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。
在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。
根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。
下面再讲一元二次方程的解法。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。
配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。
公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。
先化为一般形式再用公式。
因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。
方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。
【举例解析】例1：已知，解关于的方程。
分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。
解：由得：或，当时，原方程为，即，解得. 当时，原方程为，即，解得，. 说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。
通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。
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一元二次方程的解法(1) 一元二次方程的概念一、考点、热点回顾1、一元二次方程必须同时满足的三个条件：(1) ________________________________________________________ ⑵ _________________________________________________________ ⑶ _________________________________________________________2、一元二次方程的一般形式：二、典型例题③ x 2 2x 3y 0 ④ x 2 3 (x 1)(x 4)三、课堂练习1、 下列方程中，关于x 的一元二次方程是()21 1A3(x 1) 2(x 1) Br2 0x y2 2 2C.ax bx c 0D.x 2x x 12、 用换元法解方程(x 2+x)2+ (x 2 + x) = 6时，如果设x 2+ x= y,那么原方程可变2 2C 、 y — y + 6— 0D 、y + y + 6— 0例2: 元—一次方程的二次项系数、一次项系数和常数项 .(1)x 2 10x 900 0 ⑵5x 2 10x 2.2 0 (3)2 x 2 15 0(4)x 23x 0 ⑸(x2)23⑹(x3)(x 3) 0例3: 当m时，关于x 的方程(m+2 x |m| +3mx+1=0是一 儿二次方程。
⑤ ax 2bx c 0⑥mx 20 (m 是不为零常数)例1:判断下列方程是否为儿二次方程:① x 2 x 1 ② x 21形为()2 2A、y + y — 6— 0B、y — y— 6— 03、已知两数的积是12,这两数的平方和是25,以这两数为根的一元二次方程是4、已知关于x 的一元二次方程x 2 (k 1)x 6 0的一个根是2,求k 的值.四、课后练习1. 将方程3 x ( x 1 )5( x 2)化成一兀二次方程的一般形式，得 _______________ ；其中二次项系数是 _________ ； 一次项系数是 _________ ；常数项是 .2. 方程(k 4)x 2 5x 2k 3 0是一元二次方程，则k 就满足的条件是 _______ . ____3. ________________________________________________________ 已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，则代数式 m_m= ____________________________ 4. 在一幅长80cm 宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形的方程是(件下是一元一次方程(2)--直接开方法一、考点、热点回顾1、了解形如x 2=a(a > 0)或(x + h) 2= k(k > 0)的一元二次方程的解法 ---- 直接 开平方法小结：如果一个一元二次方程具有(x m)2n( n 0)的形式，那么就可以 用直接开平方法求解。
(用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的 左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯) 【复习回顾】挂图，如果要使整个挂图的面积是25400cm, 设金色纸边的宽为xcm ，则x 满足2(A) x 130x1400 0(B) x 265 x 350(C) x 2130x 1400 0 (D) x 265x 350 05•关于x 的方程(m 3)x 2nx m 0，在什么条件下是一元二次方程在什么条1.方程(k 4)x2 5x 2k 3 0是一元二次方程，则k就满足的条件是_______ . ____2.____________________________________________________ 若(a+1) x2+(x-1) 2=0 二次项的系数为-2,贝U a _____________________________二、典型例题例1:解下列方程：(1) x2= 2 (2) 4x2— 1 = 0例2、解下列方程：2 2 2⑴(x 1) 2 (2)(x 1) 4 0 ⑶ 12(3 x) 3 0推荐例3:用直接开平方法解下列方程/八 1 2 2 2 2 2(1) 3x 1 15 0 (2) x 3 4 2x 1 (3) x2 2ax a2 b 04三、课堂练习1.若方程(x-4 ) 2=m-6可用直接开平方法解，则m的取值范围是()A. m> 6 B . m> o C . m> 6 D . m=62.方程(1-x ) 2=2的根是()、3 、-3 2、1 + -丿2 2、・j2 +13.方程(3x — 1)2=— 5的解是 _______________ 。
4.用直接开平方法解下列方程：2 2(1)4x =9; (2) (x+2) =16四、课后练习1、 4的平方根是 _____________ ,方程x 2 4的解是 ____________________ .2 22、 方程 x 1 1的根是 _________ 方程4 x 11的根是 _____________ .3、 当x 取 ______ 时，代数式x 25的值是2;若x 2781 0,则x 二 _______________ 4、 关于x 的方程3x 2 k 1 0若能用直接开平方法来解，则 k 的取值范围是( )A k > 1B 、k v 1 C5、解下列方程： 2 2 1 (1) 2x 2 丄 03 9(4) 2 6 x 2128 0&已知一个等腰三角形的两边是方程 4 (x 10)2 0的两根，求等腰三角形的面积22(5) 0.5y2 2(6) x 1 4x2(3)(2x-1) 2=3；(4)3(2x+1)2=12、k< 1 D 、k>12(2) 5x 4 6、考点、热点回顾1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为（x + h ））= k （n 》0）形式的过程, 进一步理解配方法的意义；2、 填空:(1) X 2+6X +=(X + ) ___ 2; (2)x 3-2X + =(X -) (3)X 2-5X +=(X - ) __ 2; (4)X 2+X +=(X + )2 2(5) X +px+ =(X + )3、 将方程X 2+2X -3=0化为(x+h) 2=k 的形式为 _________ 小结1:用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、 把常数项移到方程右边；2、 在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方;3、 利用直接开平方法解之。
小结2:当一元二次方程二次项系数不为 1时，用配方法解方程的步骤:①二次项系数化为1;②移项；③直接开平方法求解.例1 :将下列各进行配方:(2) X 2 3X 1推荐例3:用配方法解下列关于X 的方程:23 x 5 x 5 7⑴ X 2 + 10x+ _____ = ( X + 2 ⑵ X 2 — 6X + ____ = ( X — ____ )⑶ X 2— 5X + 4例2 :解下列方程:_____ =( X —⑷ X 2 +bx + ____ =( X +（3）--配方法典型例题例5、一个小球垂直向上抛的过程中，它离上抛点的距离 h （ m 与抛出后小球运动的时间t （s ）有如下关系：h 24t 5t 2。
经过多少秒后，小球离上抛点的高度 是16m例4:例1解方程：①2x 2 5x 20 ② 3x 24x 1推荐例6:求证：对任意实数X ，代数式x 24x 4.5的值恒大于零三、课堂练习1. 完成下列配方过程:2(1)x +8x+=(x+ )2(2)x-x+ =(x-)（3）+4=(x+)2 （4）x 2-+ 9 ( =(x- ）242.若 x 2-mx+ 49 . / 7、2 =(x+ -)，则m 的值为（）.25 5A 7 7 C.14 A.-D55 53.用配方法解下列方程：2+3x-2=0 ；(3)x 2+2 . 3 x-4=0 ；(4)x2- -x- - =0. 3 32(1)x 2-6x-16=0 ；(2)4.已知直角三角形的三边a、b、c，且两直角边a、b满足等式5.用配方法解方程2y 2- 5y=1时，方程的两边都应加上（）J5 5 A. B. C.兰 D. 5 2 4 4 162 2+b +2a-4b+5=(a+ ) +(b- )27.用配方法解下列方程：2(1)2x +1= 3x;(2)3y2-y-2=0 ;⑶3x 3-4x+1=0;(4)2x2=3-7x.8.若4x 2-（4m-1）x+m 2+1是一个完全平方式，求 m.四、课后练习1、用配方法解下列方程:2（1）x 6x 16 0 211 (3)x7 6x(4)x 2 1x - 0 453 212、把方程x 3x p 0配方，得到x m2(2)x 3x 2 03、 用配方法解方程 x 2px q 0( p 24q 0)4、 用配方法解下列方程： (1) x 215 10x(2) 3x 2 12x -32 —⑶4 x — 12 ..2 x- 1= 0(4)--公式法一、考点、热点回顾2 2 ____________________________________________________1、 把方程 4-x =3x 化为 ax+bx+c=O(a 工0)形式为 ________________________ , b 2-4ac= ______.______2、 方程x 2+x-1=0的根是 __________________________________ 。
3、 方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac= _________________ ,所以方程的根的情况 是 _____ . ____4、 一元二次方程x 2-4x+4=0的根的情况是()⑷ 2x 2 7x 20,(5)3x 2+ 2x — 3= 0⑹ 2x 24x 52、你能用配方法求：当x 为何值时，代数式 3x 26x 5有最大值总结：一元二次方程ax2+bx+c=0(a 工0)的根的情况可由 ___________ 来判断: 当 b 2-4ac > 0 时， ______________________________ 当 b 2-4ac=0 时， ________________________________ 当 b 2-4ac v 0 时， ______________________________二、典型例题例1:解下列方程: (1)x 23x 20;例2:解下列方程： (1)x 2 x 1 0;(2)x 2 2 3x 3 0;(3)2x 2 2x 1 0.例3:不解方程，判别下列方程根的情况.2 2(1) 2x+3x+4=0;(2) 2x -5=6x ;(4) x 2+5=2 5x.A.有两个不等的实数根C.没有实数根D.B. 有两个相等的实数根 不能确定(2)2x 27x 4变式：1、解方程：(1)2x(x 1)3; (2)x 21 x( 2.、5x).题变：1、试说明关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根推荐例4：当k为何值时，关于x的方程kx2—( 2k + 1) x + k+ 3 = 0有两个不相等的实数根题变：1、已知一元二次方程(m-2) 2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求的取值范围.三、随堂练习1.把方程(2x-1)(x+3)=x 2+1 化为 ax2 + bx + c = 0 的形式，b2-4ac= ___________ 方程的根是________ . _______2.方程(x-1)(x-3)=2 的根是()A. x 1=1,X2=3 =2 2 .3 =2 ,3 =-2 2.33.关于x的一元二次方程x2+4x-m=0的一个根是.5 -2，则m ________ ，方程的另一个根是——4.若最简二次根式.m27和8m 2是同类二次根式，则的值为()或-15.用公式法解下列方程：(1) x2-2x-8=0 ; (2) x2+2x-4=0;6. 方程（2x+1）（9x+8）=1的根的情况是（） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定7. 关于x 的方程x 4+2.、. kx+1=0有两个不相等的实数根，则k （） >-1>-1 > 1 > 08.要使关于x 的方程kx 2-4x+3=0有实数根，则k 应满足的条件是 （）9. 已知方程x 2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组 m n 的值可以是 m= ,n=. ____10. 不解方程，判断下列方程根的情况：2(4)x 26x 16四、课后练习1. 用公式法解方程■ 2 x 2+4. 3 x=22 ,其中求的b 2-4ac 的值是（）2. 用公式法解方程x 2=-8x-15 ，其中b 2-4ac= 是3. 用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（）4(3)2y y 5 0;(1) 3x 2— x + 1 =3x 11.解下列方程： 2(1)x 6x 0;(2) 5 (x 2 + 1) = 7x2(2)x 12x 27 0(3) 3x 2 — 4 3x = — 4A. k V 4/3> 4/3 < 4/3 > 4/3B.4 C. 32，方程的根12 144 1212 144 12B.=12 J144 12 12 J144 48C. =D.= -----------2 64.三角形两边长分别是3和5,第三边的长是方程3X2-10X-8=0的根，贝吐匕三角形是______________ 三角形.25.如果分式-—X 2的值为零，那么X=.X 16.用公式法解下列方程：(1) 3y 2-y-2 = 0 ⑵ 2 X2+1=3X(3)4X 2-3X-1=X-2⑷3x(x-3)= 2(x-1)(x+1)7.下列方程中，没有实数根的方程式()=9 =3(4X-1)(X+1)=1+6y+7=08.方程ax2+bx+c=0(a工0)有实数根，那么总成立的式子是()2> 0 B. b -4ac v 02 2C. b -4ac < 0D. b -4ac > 09.如果方程9x2-(k+6)x+k+仁0有两个相等的实数根，那么k= .(4)--因式分解法一、考点、热点回顾应用回顾：下列哪些方法能用因式分解法解(1)X22X 0⑵(x-3)2(X 3) 0(3)X 1 2(X 1)2 11(4)X2 9 0小结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：1.将方程的右边化为02•将方程左边因式分解.3.把原来的一元二次方程转化为两个一元一次方程.4.分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根二、典型例题例1:用因式分解法解方程：⑴ x2 4x (2) x 3 x(x 3) 0例2:解方程(2x 1)2 x20三、随堂练习1.如果方程X2-3X+C=0有一个根为1,那么c= ______ ，该方程的另一根为________该方程可化为(x-1 ) (x ______ ) =02.方程x2=x的根为()=0 B. x 1=0,X2=1 C. X1=0,X2二1 D. X1=0,X2=23.用因式分解法解下列方程：(1) (x+2) 2=3X+6;(2) ( 3X+2)2-4X2=0;(3) 5 (2x-1 ) =(1-2x)(x+3) ; (4) 2 (x-3 ) 2+(3x-x 2)=0.4.用适当方法解下列方程：2 2 2(1) (3x-1 ) =1; (2) 2 (x+1) =x-1 ;(4) (y+3) (1-3y ) =1+2y2.四、课后训练1下面哪个方程用因式分解法解比较简便 ⑴ x 52x 50 (2) (2x 1)21 0.2. 已知方程4X 2-3X =0，下列说法正确的是（）A.只有一个根x=_B.只有一个根X =0433C.有两个根X I =0,X 2=D.有两个根X I =0,X 2=--443. 如果（X -1）（X +2）=0 ，那么以下结论正确的是（）=1 或 X =-2 B. 必须 X =14. 方程（x+1） 2=X +1的正确解法是（）5._______________________________________________ 解方程X （ x+1）=2时，要先把方程化为 ____________________________________ ;再选择适当的方法求解，得方程的两根为X 1= ,X6. 用因式分解法解下列方程：2（1）X +16X =07. 用适当的方法解下列方程:5(3)3X -4X -1=0A.化为 X +1=1B. 化为（x+1）（X +1-1）=0C.化为 X 2+3X +2=0 D. 化为X +仁0 (3) X ( X -3)+X -3=0(4) 2(X -3) 2=9-X 2=2 或 X =-1D.必须X =1且X =-22-20X +25=72+2X -4=0 2(2)5X -10X =-5(1)(3X-1)(X-2)=(4X+1)(X-2)(2) 4X (1) X24X 3 0(3) 4x(x-1)-3=0 ;(3) (2x-1) 2+2(2X-1)=3 ;。