导数习题课

ax－1 解： （1）由题得：f (x)＝ ax2 ， ∵f (x)在[1,＋∞)上是增函数， ax－1 1 ∴f (x)＝ ax2 ≥0 即 a≥x对 x≥1 恒成立 1 ∵x≤1 ∴a≥1， 即正实数 a 的取值范围是[1,＋∞)．
x－ 1 （2）当 a＝1 时，f (x)＝ x2 ， 令 f (x)＝0∴x＝1，列表
导数习题课1
例 1、
设f 1(x)＝ex· sinx，且f n(x)＝fn－1 (x) （n≥2），记an＝f n(0)，则a1＋a2＋…＋ a2013＝ ．
例 2、
设曲线 f (x)＝(ax－1)· e 在点 A(x0,y1)处的切 -x 线为 l1，曲线 g(x)＝(1－x)· e 在点 B(x0,y2) 3 处的切线为 l2，若存在 x0 [0,2]，使得 l1⊥ l2，则实数 a 的取值范围是_________．
x2＋x－1 1 1 令 g(x)＝ ＝x＋2＋ ＝x－1＋ ＋3 x－1 x－1 x－1
2
令 t＝x－1∈(－1,0) 1 ∴y＝t＋ t ＋3 在(－1,0)上递减∴y＜1∴a≥1
x ＋x－1 ③当 x＞1 时，x－1＞0∴a≤ ， x－1 2 x ＋x－1 1 令 g(x)＝ ＝x＋2＋ x－1 x－1 1 ＝x－1＋ ＋3 x－1 令 t＝x－1∈(0,＋∞) 1 1 ∴y＝t＋ t ＋3≥2 t· ＋ 3 ＝ 5 t （当且仅当 t＝1 时等号成立）∴a≤5 综上，1≤a≤5．
2
1 2 1 令 G(x)＝ln(x ＋1)－2x ＋2，
2
1 2 1 讨论 G(x)＝ln(x ＋1)－2x ＋2的图像．
2
2x－x －x 2x 则 G(x)＝ 2 －x＝ 2 x ＋1 x ＋1 －x(x＋1)(x－1) 令G(x)＝0， ＝ ． 2 x ＋1 则x＝－1或0或1
x (－∞,－1) ＋ －1 0 (－1,0) － 0 0 (0,1) ＋ 1 0 (1,＋∞) －
1 1 ∴f (x)在[ ,2]上的最大值 f ( )＝1－ln2，最小值 f (0)＝0． 2 2
1 3 1 ∵f (2)－f (2)＝2－2ln2＝2(3－4ln2) 1 1 3 ＝2(lne －ln16)＞0 ∴f ( )＞f (2) 2
（3）证明：对任意正整数 n＞1，不等式 1 1 1 1 lnn＞2＋3＋4＋· · · ＋n都成立．
例8、关于x的方程ax3－x2＋x＋1＝0 在(0,＋∞)上有且仅有一个实数根， 则实数a的取值范围是_______．
解：【注意题型：有几解问题】 2 x －x－1 1 1 1 2 3 a＝ x3 ＝x－x2－x3＝t－t －t 1 (t＝x＞0 且 t 与 x 一一对应) 讨论出y＝t－t2－t3(t＞0)的图形， 7 易得：a＝25或 a≤0．
∵ a＞ln2－1
∴ F (x) ≥ F (ln2) ＝2－2ln2＋2a ＞0 ∴F(x)在(0,＋∞)上单调递增
∵F(0)＝0 ∴ F(x) ＞0
1－ x 例14、 已知函数 f (x)＝ ax ＋lnx． （1）若函数 f (x)在[1,＋∞)上是增函数，求正 实数 a 的取值范围； 1 （2）当 a＝1 时，求函数 f (x)在[2,2]上的最大 值和最小值； （3）证明：对任意正整数 n＞1，不等式 1 1 1 1 lnn＞2＋3＋4＋· · · ＋n都成立．
本问与题目中的函数有何关系？ 建立对数与分式的大小关系！
1－x （3）当 a＝1 时，由（1）知 f (x)＝ x ＋lnx
在[1,＋∞)上是增函数，∴对任意正整数 n＞1， n n 有 ＞1，则 f ( )＞f (1)＝0 n－1 n－1 n 1 n ∴f ( )＝－n＋ln ＞0 n－1 n－1 n 1 ∴不等式 ln ＞n n－1 2 3 n ∴lnn＝ln1＋ln2＋· · · ＋ln n－1 1 1 1 1 ＞2＋3＋4＋· · · ＋n都成立．
x
例3、若函数f (x)＝loga(x3－ax＋5)(a＞ 0且a≠1)在区间(－2,－1)内单调递增， 则实数a的取值范围是__________．
①当0＜a＜1时，y＝x3－ax＋5在(－2,－1) 上递减，且y＞0． ∴y＝3x2－a≤0在(－2,－1)上恒成立 ∴a≥3x2在(－2,－1)上恒成立， ∵3x2＜12∴a≥12不成立．
3
G(x) G(x)
↗
ln2
↘
1 2
↗
ln2
↘
x
(－∞,－1)
＋
－1 0
(－1,0)
－
0 0
(0,1)
＋
1 0
(1,＋∞) －
G(x) G(x)
ห้องสมุดไป่ตู้
↗
ln2
↘
1 2
↗
ln2
↘
函数在x→ ＋∞ 与－∞ 时变化趋势？ 1 1 ∵G(2)＝G(－2)＝ln5－2＋2＜2 ∴G(x)没有最大与最小值．
1 ∴当2＜m＜ln2 时， 图象恰有四个不同交点．
注： alna＋blnb≥(a＋b)ln(a＋b)－(a＋b)ln2 a＋b alna＋blnb≥(a＋b)ln 2 alna＋blnb a＋b a＋b ≥ ln 2 2 2
即：函数f (x)＝xlnx的凹凸性．
用导数证明不等式
例13、 【2010安徽理17】 设a为实数，且 a＞ln2－1， 求证：当x＞0时， ex＞x2－2ax＋1。
2
例12、若a＞0,b＞0，证明： alna＋blnb≥(a＋b)ln(a＋b)－(a＋b)ln2． 证明：记f (x)＝xlnx＋blnb －(x＋b)ln(x＋b)＋(x＋b)ln2
∴f (x)＝lnx＋1－ln(x＋b)－1＋ln2 2x ＝lnx－ln(x＋b)＋ln2＝ln x＋b
2x 2x 当 x＞b 时， ＞1 ∴ln ＞0 ∴f (x)＞0 x＋ b x＋ b 2x 2x 当 0＜x＜b 时， 0＜ ＜1 ∴ln ＜0 ∴f (x)＜0 x＋b x＋ b
∵(x＋1)(2x＋1)＜(2＋1)(4＋1)＝15∴a≥15．
课时作业P20/13
a 设 a＞0，函数 f (x)＝x＋ x ，g(x)＝x－lnx， 若对任意 x1,x2∈[1,e]，都有 f (x1)≥g(x2)成 立，求实数 a 的取值范围． 解：由题意得：f (x)min≥g(x)max． 易得：g(x)max＝e－1 ∴f (x) ≥e－1
作业1
1、已知函数 f (x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1． （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）设a≤－2，证明：对任意 x1, x2∈ (0,＋∞)，|f (x1)－f (x2)|≥4|x1－x2|．
44 解：易求得 f (x)的值域为 P＝[－5,5]， 设g(x)的值域为Q，由题意：PQ．
∵g(x)＝3x2－3a ＝3(x＋ a)(x－ a)＝0∴x＝± a
1 ∵a 为正整数∴ a≥2， 11 ∴g(x)＜0，x∈[－2,2] 11 ∴g(x)在[－2,2]上单调递减 1 1 ∴Q＝[g(2),g(－2)] 1 4 3 4 g( )≤－ 1－ a≤－ a≥16 2 5 2 5 15 16 ∴ ∴ ∴ ∴ a ≥ 1 4 3 3 4 1 15 g(－ )≥ ＋ a≥ a≥ 2 5 4 2 5 20
∴f (x1)＋x1＞f (x2)＋x2对x1,x2＞恒成立 ∴函数f (x)＋x在(0,＋∞)上单调递增
∴(f (x)＋x)≥0 对 x∈(0,＋∞)恒成立 a－ 1 ∴ x－ a＋ x ＋ 1≥ 0 2 ∴x ＋x－1≥a(x－1)对 x∈(0,＋∞)恒成立
①当x＝1时，1≥0∴a∈R．
x ＋x－1 ②当 0＜x＜1 时，x－1＜0∴a≥ ， x－1
min
2
∴f (x)≥e－1对任意x∈[1,e]恒成立
∴a2≥(e－1－x)· x ∵x∈[1,e]，∴(e－1－x)· x≤e－2 ∴a2≥e－2．
2x 3 例10、 设函数 f (x)＝ 2 ，g(x)＝x －3ax x ＋1 7 11 11 ＋8，若对于 x1∈[－2,2]， x2∈[－2,2]， 使得 g(x2)＝f (x1)成立，则正整数 a 的最 小值为__________．
例3、若函数f (x)＝loga(x3－ax＋5)(a＞ 0且a≠1)在区间(－2,－1)内单调递增， 则实数a的取值范围是__________．
②当a＞1时，y＝x3－ax＋5在(－2,－1) 上递增且y＞0． ∴y＝3x2－a≥0在(－2,－1)上恒成立 ∴a≤3x2在(－2,－1)上恒成立， ∵3x2＞3∴a≤3． ∵y＞0∴x＝－2时，y＝－8＋2a＋5≥0 3 3 ∴a≥2 综上，a∈[2,3]．
导数习题课2
例5、已知函数f (x)＝mx2＋lnx－2x在 定义域内不是单调函数，则实数m的取 值范围是 ．
例 6、
函数 f
(x≤1) x－1 (x)＝ 的图 2 x －4x＋3 (x＞1)
象和函数 g(x)＝log2x 的图象的交 点个数为_______个．
例 7、
|x| 3 已知关于 x 的方程 ＝kx x＋3 有三个不同的实数解， 则实数 k 的取值范围是__________．
解：不妨设p＞q，则 f (p＋1)－f (q＋1)＞p－q ∴f (p＋1)－p＞f (q＋1)－q ∴y＝f (x＋1)－x在(0,1)上单调递增，
∴y＝f (x)－x＋1在(1,2)上单调递增， ∴y≥0对x∈(1,2)恒成立， a ∴ －2x－1≥0 对 x∈(1,2)恒成立， x＋1 ∴a≥(x＋1)(2x＋1)
例 4、 设f (x)、g(x)分别是定义在R上的奇 函数和偶函数，当x＜0时，f (x)· g (x ) ＋f (x)· g(x)＞0，且f (－2)＝0，则不等 式 f (x)· g(x)＜0的解集是________