导数的应用习题课
导数的应用习题课（5月8日）
教学目标 掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值
教学重点 多项式函数的单调区间、极值、最值的求法
教学难点 多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用
一、课前预习
1.设函数)(x f y =在某个区间内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则)(x f y =是这个区间内的＿＿＿＿＿；如果在这个区间内＿＿＿，则)(x f y =是这个区间内的＿＿＿＿＿.
2.设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的值都大（小），则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个＿＿＿＿＿＿.
3.如果)(x f y =在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：
（1）求导数＿＿＿＿＿； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点）；
（3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数)(x f y =在这个根处取得极＿值；
如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数)(x f y =在这个根处取得极＿值.
4.设)(x f y =是定义在[a ，b]上的函数，)(x f y =在(a ，b)内有导数，可以这样求最值：
（1）求出函数在(a ，b)内的可能极值点（即方程0)(/=x f 在(a ，b)内的根n x x x ,,,21Λ）；
（2）比较函数值)(a f ，)(b f 与)(,),(),(21n x f x f x f Λ，其中最大的一个为最大值，最
小的一个为最小值.
二、举例
例1.确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间.
例2.设一质点的运动速度是31574
3)(234++-=
t t t t v ，问：从t ＝0到t ＝10这段时间内，运动速度的改变情况怎样？
例3.求函数4931)(3+-=
x x x f 的极值.
例4.设函数x bx ax x f ++=232
131)(在1x ＝1与2x ＝2处取得极值，试确定a 和b 的值，并问此时函数在1x 与2x 处是取极大值还是极小值？
例5.求函数593)(3
+-=x x x f 在[－2,2]上的最大值和最小值.
例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d 的圆木锯成强
度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？
例7.求内接于抛物线21x y -=与x 轴所围图形内的最大矩形的面积.
例8.某种产品的总成本C （单位：万元）是产量x （单位：万件）的函数：
3202.004.06100)(x x x x C +-+=，试问：当生产水平为x ＝10万件时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？
三、巩固练习
1.若函数)(x f 在区间[a ，b]内恒有0)(/<x f ，则此函数在[a ，b]上的最小值是＿＿＿＿
2.曲线12
13141234+--+=x x x x y 的极值点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3.设函数a ax ax ax x f ---=23)()(在x ＝1处取得极大值－2，则a ＝＿＿＿＿.
4.求下列函数的单调区间：
（1）1123223+-+=x x x y （2）)2()1(2
++=x x y
5.求下列函数的极值：
（1）642+-=x x y ， （2）59323+--=x x x y ，[－4,4]
6.求下列函数的最值：
（1）642+-=x x y ，[－3,10] （2）233x x y -=，[－1,4]
7.设某企业每季度生产某个产品q 个单位时，总成本函数为cq bq aq q C +-=2
3)(，（其中a ＞0，b ＞0，c ＞0），求：（1）使平均成本最小的产量（2）最小平均成本及相应的边际成本.
8.一个企业生产某种产品，每批生产q 单位时的总成本为q q C +=3)(（单位：百元），可
得的总收入为26)(q q q R -=（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使利润最大？最大利润是多少？
9.在曲线)0,0(12≥≥-=y x x y 上找一点（00,y x ），过此点作一切线，与x 轴、y 轴构成
一个三角形，问：0x 为何值时，此三角形面积最小？
10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为73108102.2)(⨯+⨯=q q C ，通过市场调查，
可以预计这种彩电的年需求量为p q 50101.35-⨯=，其中p （单位：元）是彩电售价，q （单位：台）是需求量. 试求使利润最大的销售量和销售价格.。
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
5.2导数的运算习题课
数列
的前n项和为S n _________.
n 1
解答
1. ′ = 3 2 − 2
= ′
=1
=3−2=1
= 450
题型七 切线问题
解答
2. ′ = −1 1 − −
= −1 1 − − = − + 1 −1
习题
1.若函数 y f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导，且 x0 ( a, b) 则 lim
h 0
（
f ( x0 h) f ( x0 h)
的值为
h
）
'
B． 2 f ( x0 )
'
A． f ( x0 )
'
2.若 f ( x0 ) 3 ，则 lim
h 0
A. 3
x
x
x ln 2
f
x
sin
x
,
f
x
f
x
,
f
x
f
x
,
，
f
x
f
2. 若 0
， 则
1
0
2
1
n 1
n x , n N
f 2005 x
题型四 基本函数的求导公式
解答
1.
C
3
′
+
1 ′
=1−
1
2
错误
= 3 ln 3 错误
2021_2022学年高中数学第三章导数应用习题课_导数的综合应用课件北师大版选修2_2
课标阐释
1.利用导数研究函数的单调
性、极值,以及连续函数在区
间[a,b]上的最大(小)值.
2.利用导数研究不等式恒成
立问题及含有参数的最值问
题的解法
思维脉络
知识梳理
1.求可导函数y=f(x)的单调区间
求可导函数y=f(x)单调区间的步骤是:
(1)求f'(x);
(2)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0);
∪(0,1].
探究一
探究二
探究三
探究二 含参数的最值问题
【例2】 已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2) ,其中a<0.
(1)当a=-4时,求f(x)的递增区间;
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.
分析(1)将a=-4代入,令f'(x)>0得递增区间;(2)先求导,求出单调区间,
③当-2>4,即 a<-8 时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在 x=1 或 x=4 处取
得,而 f(1)=8 时没有符合题意的 a 值,由 f(4)=2(64+16a+a2)=8 得
a=-10 或 a=-6(舍去),当 a=-10 时,f(x)在(1,4)上是减少的,f(x)在[1,4]
上的最小值为 8.故 a=-10.
范围是(
)
1
A.a≤-8
C.a≤0
1
B.-8≤a<0
1
D.a≤- 或 a=0
8
解析:由题意知函数 f(x)的定义域为
1
-22 ++1
(0,+∞),f'(x)=-2ax+1=
高等数学习题课(3)中值定理与导数的应用
（3）
中值定理与导数的应用
第二课 中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理； 会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等 式证明等问题； ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项，掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳 林公式； ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法； ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、 拐点的方法，并会用其证明一些相关问题。
证：由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件， 则 (1,2)，使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续，在(1,1)内可导，且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理， (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值，试证：曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。 证：曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值，且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析：只需证明 sin x x 0 3 cos x
证：令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
，显见
f
(0)
0；
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x
微分中值定理与导数的应用习题课(一)
【例3】设 f ( x)在[0, a]上连续, 在 (0, a)内可导, 且 f (a) 0 . 证明存在一点 (0, a), 使 f ( ) f ( ) 0. 分析 从结论 f ( ) f ( ) 0 看等价于方程 x f ( x) f ( x) 0 有实根，但若利用零点定理，无法验证 f (0) f (a) 0，所以
证明: 设 F ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x, 易知多项式函数F ( x)在[0, x0 ] 上连续且可导，由题设
F ( x0 ) 0 F (0).
由罗尔定理，存在 (0, x0 ), 使 F ( ) 0, 即 a0n n1 a1 (n 1) n2 an1 0, 这说明 就是方程 a0nx n1 a1 (n 1) x n2 an1 0 的一个小于 x 0的正根.
2
x 1)
分析 证明函数恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推论：
如果函数 f ( x)在区间 I上的导数恒为零，那么 f ( x)在区间 I上是一个常数.
证明：设 f ( x) arcsin x arccos x,(1 x 1)
因 f ( x) 1 1 0,(1 x 1) 1 x2 1 x2
试证在(a,
b)内至少存在一点 ,
使 f (b)
f (a)
f ( ) ln b
a
成立.
分析
将所证等式变形为
f (b)
f (a)
f ( ) 或
ln b ln a 1
f (b) f (a) ln b ln a
f ( x)
ln x
,
x
可见，应对 f ( x)与 ln
x 在[a,
b]上应用
ln b ln a 1
最新-江苏省邳州市第二中学高中数学选修22教学课件：导数的应用习题课 精品
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
S( x) 6x2 24x 16.
令
S(
x)
0
,得x1
2
2
3 3
,
x2
2
2
3 3
.
x1 (0,2), 所以当 因此当点B为(2 2
x
3
2
,0)
23 3
时,S( x)max
32 9
3
.
时,矩形的最大面积是
32
3.
2
9
谢谢观看
演 练
在 x 2 x 1 都取得极值
3
a, 求 b的值及函数 f (x)
的单调区间
a 1 ,b 2 2
(, 2), (1, ) 3
( 2 ,1) 3
题 05福建
型 已知函数 f (x) x3 bx2 cx d
二 的图像过点 P(0, 2) 且在点 M (1, f (1))
2 ( x 1)3( x 3
0).
则
f
( x)
1 x
1 x2
(x
1)
2( x 1)2
( x 1)3
2x 1 x2 ,
令f (x) 0 ,结合x>0得x=1.
而0<x<1时, f (x) 0;x>1时,f (x) 0 ,所以x=1是f(x)的 极小值点.
所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.
导数的应用习题课
导数应用的知识网络结构图：
高考典型题
题型一
（06天津）已知函数 f (x) ax3 bx2 3x
在 x 1 处取得极值
求：(1) f (x) 的解析式 a 1,b 0
习题课(中值定理和导数的应用)
例10. 求
解法1 利用中值定理求极限
a a 原式 lim n ( ) 2 n n 1 n 1
2
1
a a ( 在 与 之间） n n 1
n2 a lim n n( n 1) 1 2
a
机动
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解法2 利用罗必塔法则
原式 lim
arctan a arctan b x x
机动 目录
x
f ( x)
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arctan x ( x 0) . 例8. 证明 ln(1 x) 1 x 证: 设 ( x) (1 x) ln(1 x) arctan x , 则 (0) 0 1 ( x) 1 ln(1 x) 0 ( x 0) 2 1 x 故 x 0 时, (x) 单调增加 , 从而 ( x) (0) 0 arctan x 即 ln(1 x) ( x 0) 1 x 1 x ln(1 x) (0 x 1) 时, 如何设辅助 思考: 证明 1 x arcsin x 函数更好 ? 2 提示: ( x) (1 x) ln(1 x) 1 x arcsin x
二 课堂练习
1. 判断是非（共7个） 3. 计算题（共5个）
1. 掌握四个微分中值定理
罗尔中值定理：
[ 若 f ( x ) : (1)在闭区间a , b]上连续； (2)在开区间 a , b)内可导； (
(3) f (a)= f (b) ;
则至少存在一点 (a , b)，使得
f ( ) 0 .
1 2
1 cos x 1 o 1 . 及时求出已定式的极限. 原式 lim 2 x 0 3 x 2 1 sin x lim 2 x 0 6 x 1 1 1 2 6 12
北师版高中数学选择性必修第二册课后习题 复习课 第2课时 导数及其应用
第2课时导数及其应用课后训练巩固提升1.若函数f(x)=α2-cos x,则f'(α)等于( ).A.sin αB.cos αC.2α+sin αD.2α-sin α2.函数y=f(x)的导函数y'=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( ).(第2题)y'=f'(x)的图象与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1,x2,x3(其中x1<0<x2<x3),由导函数y'=f'(x)的图象易得当x∈(-∞,x1)∪(x2,x3)时,f'(x)<0;当x∈(x1,x2)∪(x3,+∞)时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,x1),(x2,x3)上单调递减,在(x1,x2),(x3,+∞)上单调递增,观察各选项,只有D选项符合.3.已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=1,f'(x)>1,则f(x)>x的解集是( ).A.(0,1)B.(-1,0)∪(0,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)f(x)>x可化为f(x)-x>0.设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1,由题意知g'(x)=f'(x)-1>0,∴函数g(x)在R上单调递增.又g(1)=f(1)-1=0,∴g(x)>g(1),即f(x)-x>0的解集为(1,+∞).故选C.4.经过点(2,0)且与曲线y=1x相切的直线方程为 .解析:设切点坐标为x 0,1x 0,x 0≠0,则1x 0x 0-2=-1x 02,解得x 0=1,所以切点为(1,1),斜率为-1.故直线方程为x+y-2=0.5.若函数f(x)=ax 2-1x在区间(0,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 . 解析:f'(x)=ax-1x'=a+1x2,由题意得,a+1x2≥0对x ∈(0,+∞)恒成立,即a≥-1x2对x ∈(0,+∞)恒成立,所以a≥0.6.某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒,其表面积为定值S.若罐头盒的底面半径为r,则罐头盒的体积V 与r 的函数关系式为 ;当r= 时,罐头盒的体积最大.解析:由题意得,罐头盒的高h=S -2πr 22πr,则V=πr 2·S -2πr 22πr=12Sr-πr 30<r<√2πS 2π.V'=12S-3πr 2. 令V'=0,得r=√6πS6π,令V'>0,得0<r<√6πS6π,令V'<0,得√6πS 6π<r<√2πS2π,所以函数V=12Sr-πr 3在区间0,√6πS 6π上单调递增,在区间√6πS 6π,√2πS2π上单调递减. 故当r=√6πS6π时,V 最大.答案:V=12Sr-πr 30<r<√2πS 2π√6πS6π7.求下列函数的导数: (1)y=sin x-x+1; (2)y=-2e x ·x 3; (3)y=lnx x+1-2x .(2)y'=(-2e x ·x 3)'=(-2e x )'·x 3+(-2e x )·(x 3)'=-2e x x 3-6x 2e x . (3)y'=lnx x+1-2x '=lnx x+1'-(2x )'= 1x(x+1)-lnx (x+1)2-2xln2=1x−1x+1−lnx (x+1)2-2x ln2.8.设函数f(x)=aln x+12x+32x+1,其中a ∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y 轴. (1)求a 的值;(2)求函数f(x)的极值.因为f(x)=alnx+12x+32x+1,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax −12x2+32.由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线的斜率为0,则f'(1)=a-12+32=0,解得a=-1.(2)由(1)知f(x)=-lnx+12x +32x+1(x>0),f'(x)=-1x−12x2+32=3x2-2x-12x2=(3x+1)(x-1)2x2.令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-13(舍去).当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,无极大值.1.已知函数f(x)=xln x,若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于( ).A.1B.2C.±1D.ef(x)=xlnx,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+1,于是有x0lnx0+lnx0+1=1,解得x0=1或x0=-1(舍去),故选A.2.设函数f(x)=12x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( ).A.(1,2]B.[4,+∞)C.(-∞,2]D.(0,3]f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=x-9x.又x>0,由f'(x)=x-9x≤0,得0<x≤3.因为函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减,所以{a-1>0,a+1≤3,解得1<a≤2.3.函数f(x)=xe x的图象为( ).f(x)=xe x ,所以f'(x)=1-xe x.当x<1时,f'(x)>0,函数f(x)=xe x在区间(-∞,1)上单调递增;当x>1时,f'(x)<0,函数f(x)=xe x在区间(1,+∞)上单调递减,只有选项A 中图象符合,故选A.4.若函数f(x)在区间(0,+∞)上可导,且满足f(x)>-xf'(x),则一定有( ). A.函数F(x)=f (x )x 在区间(0,+∞)上单调递增 B.函数F(x)=f (x )x 在区间(0,+∞)上单调递减C.函数G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)上单调递增D.函数G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)上单调递减则x>0时,G'(x)=xf'(x)+f(x)>0,故G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故选C.5.已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1,x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,则a 的取值范围为( ). A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e]D.[1,e]时,f(x)=x 2-2ax+2a≥0恒成立,且f(in =f(a)=2a-a 2≥0,解得0≤a<1. 综上,a≥0.当x>1时,由f(x)=x-alnx≥0恒成立,即a≤xlnx恒成立.设g(x)=xlnx,则g'(x)=lnx -1(lnx )2.令g'(x)=0,得x=e,且当1<x<e时,g'(x)<0,当x>e时,g'(in=g(e)=e,故a≤e.综上,a的取值范围是[0,e].6.已知函数y=f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示,记k1=f'(1),k2=f'(2),k3=f(2)-f(1),则k1,k2,k3之间的大小关系为.(请用“>”连接)(第6题)k1=f'(1)与k2=f'(2)分别表示曲线在点A与点B处的切线的斜率,而k3=f(2)-f(1)=f(2)-f(1)表示直线AB的斜率,结合2-1图象知k1>k3>k2.>k21>k37.设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.试用t表示实数a,b,c.f(x),g(x)的图象都过点(t,0),所以f(t)=0,即t3+at=0.因为t≠0,所以a=-t2.由g(t)=0,得bt2+c=0,即c=ab.又因为函数f(x),g(x)的图象在点(t,0)处有相同的切线,所以f'(t)=g'(t).而f'(x)=3x2+a,g'(x)=2bx,所以3t2+a=2bt.将a=-t2代入上式得b=t,从而c=ab=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3.8.设函数f(x)=ln x-a(x-1)e x,其中a∈R.(1)若a≤0,讨论f(x)的单调性;(2)若0<a<1e,求证:f(x)恰有两个零点.f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=1x -[ae x+a(x-1)e x]=1-ax2e xx.因为当a≤0时,1-ax2e x>0,从而f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.(1)知,f'(x)=1-ax 2e xx. 设g(x)=1-ax2e x(x>0).因为g'(x)=-axe x(2+x),且0<a<1e,所以g'(x)<0,从而函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递减.又g(1)=1-ae>0,且ln1a >1,g ln1a=1-a ln1a21a=1-ln1a2<0,所以方程g(x)=0在区间(0,+∞)上有唯一解,从而f'(x)=0在区间(0,+∞)上有唯一解,不妨设为x0,则1<x0<ln1a.当x∈(0,x0)时,f'(x)=g(x)x >g(x0)x=0,所以f(x)在区间(0,x0)上单调递增;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)=g(x)x <g(x0)x=0,所以f(x)在区间(x0,+∞)上单调递减,因此x0是函数f(x)的极大值点,也是唯一的极值点.设h(x)=lnx-x+1(x>0),当x>1时,h'(x)=1x-1<0,则h(x)在区间(1,+∞)上单调递减,从而当x>1时,h(x)<h(1)=0,所以当x>1时,lnx<x-1.所以f ln1a =ln ln1a-a ln1a-1e ln1a=ln ln1a-ln1a+1=h ln1a<0,又因为f(x0)>f(1)=0,所以f(x)在区间(x0,+∞)上有唯一零点.又因为f(x)在区间(0,x0)上有唯一零点1,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上恰有两个零点.。
1.2导数计算习题课
第一章 1.2
导数及其应用 导数的计算 习题课
回顾与总结
1.常见函数的导数公式 常见函数的导数公式. 常见函数的导数公式
为常数) (C )′ = 0 (C 为常数) 为有理数) ( x n )′ = nx n−1 ( n 为有理数) (sin x )′ = cos x (cos x )′ = －sin x (a x )′ = a x ln a (a > 0，a ≠ 1) 特殊地 (e x )′ = e x 1 1 (log a x )′ = log a e = (a > 0, a ≠ 1) 且 x x ln a 1 特殊地 (ln x )′ = x
2 ∴k2 = y′ |x=3 = − . 3 因为k 所以两条切线互相垂直.从而命题成立 因为 1k2=-1,所以两条切线互相垂直 从而命题成立 所以两条切线互相垂直 从而命题成立.
9 8 − x2 9
利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下: 利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下 圆锥曲线的切线方程如下 (1)过圆 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点 0(x0,y0)的切线方程是 上一点P 的切线方程是: 过圆 的切线方程是 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
2 3 2 3
说明:在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤 说明 在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤 在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤.
y′ = 4(1 + sin x) （1+ sin x） ⋅ x
2 3 2 ’
= 4(1 + sin2 x)3 ⋅ 2sin x ⋅ cos x = 4sin 2x ⋅ (1 + sin2 x)3 .
导数的应用习题课课件
例4: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所
y
围成的图形中有一个
内接矩形ABCD,求这
个矩形的最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
2
3
f ( )
3
33 8
,又f(0)=f(π)=0,[
f ( )]max
33 8
.
故当 x 3 , y
2
3 4
时,
( xy)max
33 8
.
例6:证明不等式: ln x 1 1 ( x 1)2 1 2 (1 x)3( x 0).
x2
3
证:设
f
(x)
ln
x
1 x
1 2
(x
1)2
解:函数的定义域为(,0) (0,1) (1,).
当x<0或x>1时, f (x) x x 1 2x2 2x 1 .
x 1 x x(x 1)
f ( x)
2x 1 x2( x 1)2
.
故当x<0时,
f (x) 0;当x>1时, f (x) 0.
当0<x<1时,
f (x)
2x2 2x 1 ,
设 x 1 cos , y 1 sin ,由x,y为正实数得: 0 .
xy
1
(1
2
cosBiblioteka ) s in.2
设 f ( ) 1 (1 cos )sin .