习题课(中值定理和导数的应用)
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高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
中值定理导数应用习题课(11级
拉格朗日中值定理
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 (a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点 ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
柯西中值定理
如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开 区间(a,b)上可导，且g'(x)≠0，那么在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得(f'(ξ))/(g'(ξ))=(f(g(x))f(g(a)))/(g(b)-g(a))。
中值定理的重要性
中值定理是微分学中的基本定理之一，它们揭示了函数在 某一点处的导数与函数值之间的关系，对于研究函数的单 调性、极值等问题具有重要意义。 中值定理是解决一些数学问题的有力工具，例如求函数的 极值、证明不等式等。
中值定理在经济学、工程学等领域也有广泛的应用。
中值定理的历史背景
罗尔中值定理是由法国数学家 罗尔提出的，时间是18世纪的 末期。
02 03
详细描述
在数学中，极值问题一直是研究的重点之一。利用中值定理求函数的极 值时，通常需要分析函数在区间上的性质与区间内某一点的值之间的关 系，然后利用中值定理的结论找到函数的极值点。
举例
例如，要找到一个函数在某个区间上的最小值点，可以通过构造一个辅 助函数，利用中值定理找到该函数在区间上的某个点的值最小，从而得 出所需的最小值点和对应的函数值。
详细描述
在实际生活中，导数有许多应用场景。例如，在物理中，速度和加速度是导数的应用；在经济学中， 导数可用于研究成本、收益和利润等；在工程中，导数可用于优化设计、控制过程等。
03 中值定理的应用
利用中值定理证明等式
总结词
详细描述
举例
利用中值定理证明等式是一种常见的 数学问题，通过选取适当的辅助函数 和区间，结合中值定理的结论，可以 推导出所需的等式关系。
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 (a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点 ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
柯西中值定理
如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开 区间(a,b)上可导，且g'(x)≠0，那么在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得(f'(ξ))/(g'(ξ))=(f(g(x))f(g(a)))/(g(b)-g(a))。
中值定理的重要性
中值定理是微分学中的基本定理之一，它们揭示了函数在 某一点处的导数与函数值之间的关系，对于研究函数的单 调性、极值等问题具有重要意义。 中值定理是解决一些数学问题的有力工具，例如求函数的 极值、证明不等式等。
中值定理在经济学、工程学等领域也有广泛的应用。
中值定理的历史背景
罗尔中值定理是由法国数学家 罗尔提出的，时间是18世纪的 末期。
02 03
详细描述
在数学中，极值问题一直是研究的重点之一。利用中值定理求函数的极 值时，通常需要分析函数在区间上的性质与区间内某一点的值之间的关 系，然后利用中值定理的结论找到函数的极值点。
举例
例如，要找到一个函数在某个区间上的最小值点，可以通过构造一个辅 助函数，利用中值定理找到该函数在区间上的某个点的值最小，从而得 出所需的最小值点和对应的函数值。
详细描述
在实际生活中，导数有许多应用场景。例如，在物理中，速度和加速度是导数的应用；在经济学中， 导数可用于研究成本、收益和利润等；在工程中，导数可用于优化设计、控制过程等。
03 中值定理的应用
利用中值定理证明等式
总结词
详细描述
举例
利用中值定理证明等式是一种常见的 数学问题，通过选取适当的辅助函数 和区间，结合中值定理的结论，可以 推导出所需的等式关系。
辽宁工业大学高数习题课(3)
1 cos x ~
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析 当 x 0 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析 当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或
型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项 佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析 当 x 0 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析 当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或
型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项 佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课
一 点 的 个 , 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内 如 存 着 x0的 个 域 对 这 域 的 任 点 ,除 点 0外 f (x) < f (x0 )均 立就 何 x 了 x , 成 , 称 f (x0)是 数 (x)的 个 大 ; 函 f 一 极 值 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内 如 存 着 x0的 个 域 对 这 域 的 何 x 了 x , 任 点 ,除 点 0外 f (x) > f (x0 )均 立就 成 , 称 f (x0)是 数 (x)的 个 小 . 函 f 一 极 值
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求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
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定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当
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求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
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定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3章课后习题详解
第3章中值定理与导数的应用内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：5(01)12,ξ±=，∴5(01)12,ξ∃=∈，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
第03章微分中值定理与导数的应用习题详解
M 12丿」I 2丿第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。
可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。
—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。
可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。
「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二 内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件， 所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。
导数的应用习题课
所确定， 【例2】设可微函数 y = f ( x ) 由方程3 x 3 + y 3 4 x + y = 0 所确定， 】 的单调区间。 试确定此函数 y = f ( x ) 的单调区间。 求导， 解: 在方程两边对 x 求导，得 9 x 2 + 3 y 2 y′ 4 + y′ = 0 ，即
ln sin x 【例2】计算 lim 】 2 π x → (π 2 x )
2
解：
ln sin x lim 2 π x → (π 2 x )
2
cos x = lim π x → sin x [ 4(π 2 x )]
2
1 cos x = lim 4 x→π π 2 x
2
（
型）
1 1 sin x = lim = π 4 x→ 2 8
f ( x ) 在 [a , b]上连续 在 ( a , b ) 内可导 则至少存在一ξ ∈ ( a , b ), 上连续, 内可导,
使
f ( b ) f ( a ) = f ′(ξ )(b a ).
二、判别
的方法
若 f ′( x ) ≡ 0 ，则 f ( x) ≡ C
三、两个定理之间的内在联系
凹弧与凸弧的分界点 ( x 0 , f ( x 0 )) 。
3．函数凹凸性的判别 ．
f ′′( x ) > 0 凹 ；f ′′( x ) > 0 凸。
三、函数极值的充分条件
1．第一充分条件 ．
（1）若 x ∈ ( x 0 δ , x 0 ) 时，f ′( x ) > 0 ） 而 x ∈ ( x 0 , x 0 + δ ) 时，f ′( x ) < 0 处取得极大值； 则 f ( x ) 在 x 0 处取得极大值；
高等数学习题课(3)中值定理与导数的应用
高等数学习题课
（3）
中值定理与导数的应用
第二课 中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理； 会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等 式证明等问题； ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项，掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳 林公式； ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法； ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、 拐点的方法，并会用其证明一些相关问题。
证：由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件， 则 (1,2)，使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续，在(1,1)内可导，且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理， (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值，试证：曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。 证：曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值，且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析：只需证明 sin x x 0 3 cos x
证：令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
，显见
f
(0)
0；
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x
（3）
中值定理与导数的应用
第二课 中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理； 会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等 式证明等问题； ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项，掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳 林公式； ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法； ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、 拐点的方法，并会用其证明一些相关问题。
证：由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件， 则 (1,2)，使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续，在(1,1)内可导，且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理， (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值，试证：曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。 证：曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值，且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析：只需证明 sin x x 0 3 cos x
证：令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
，显见
f
(0)
0；
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x
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例10. 求
解法1 利用中值定理求极限
a a 原式 lim n ( ) 2 n n 1 n 1
2
1
a a ( 在 与 之间） n n 1
n2 a lim n n( n 1) 1 2
a
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解法2 利用罗必塔法则
原式 lim
arctan a arctan b x x
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x
f ( x)
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arctan x ( x 0) . 例8. 证明 ln(1 x) 1 x 证: 设 ( x) (1 x) ln(1 x) arctan x , 则 (0) 0 1 ( x) 1 ln(1 x) 0 ( x 0) 2 1 x 故 x 0 时, (x) 单调增加 , 从而 ( x) (0) 0 arctan x 即 ln(1 x) ( x 0) 1 x 1 x ln(1 x) (0 x 1) 时, 如何设辅助 思考: 证明 1 x arcsin x 函数更好 ? 2 提示: ( x) (1 x) ln(1 x) 1 x arcsin x
二 课堂练习
1. 判断是非（共7个） 3. 计算题（共5个）
1. 掌握四个微分中值定理
罗尔中值定理：
[ 若 f ( x ) : (1)在闭区间a , b]上连续； (2)在开区间 a , b)内可导； (
(3) f (a)= f (b) ;
则至少存在一点 (a , b)，使得
f ( ) 0 .
1 2
1 cos x 1 o 1 . 及时求出已定式的极限. 原式 lim 2 x 0 3 x 2 1 sin x lim 2 x 0 6 x 1 1 1 2 6 12
2. 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？
.
2o. 需要先验证条件.
.
x sin x 1 cos x 例1 2. lim lim x x sin x x 1 cos x
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) f ( x0 ) f ( ) x x0 f ( x0 ) M (b a ) K
(定数) 可见对任意 x (a , b) , f ( x) K , 即得所证 .
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例2. 设
在
上连续, 在
内可导, 且 使
证明至少存在一点
证: 问题转化为证 f ( ) 2 f ( ) 0 .
设辅助函数
显然 少存在一点
( x) x 2 f ( x)
使
在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至
( ) 2 f ( ) 2 f ( ) 0
n
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例5. 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1, 试证必存在 (0, 3) , 使 f ( ) 0. (03考研)
证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故
m f (0), f (1), f (2) M
m
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
f (0) f (1) f ( 2) 3
M
f (0) f (1) f ( 2) f (c ) f1 3 f (0) (1) f ( 2) 1, f (3) 1 分析: 所给条件可写为 3 c ) f (c) f (3) 1, 且 f ( x) 在[c, 3] 上连续,f在)( , 32)内可导 , f (0) (1 f ( 想到找一点 c , 使 f (c) 3 由罗尔定理知, 必存在 (c, 3) (0, 3) , 使 f ( ) 0.
f (b) f ( a ) f ( ) F (b) F ( a ) F ( )
o
a
b x
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微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
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有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理, 可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用 柯西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
几何解释： 曲线 y = f (x) 至少有一条切线平行于 连接曲线端点的弦。
.
推广： 用 F(x)代替 x.
柯西中值定理：
若 f ( x若 F ( x ) : )和 1 f
(1)在闭区间a , b]上连续； [ (2)在开区间 a , b)内可导； (
(3)F ( x ) 0
x (a, b).
x
则 故
( x) e x [ f ( x) f ( x) ] 0
在 上连续单调递增, 从而至多只有
一个零点 . 又因 e x 0 , 因此 f (x) 也至多只有一个零点 . 思考: 若题中 其它不变时, 如何设辅助函数? 改为 f ( x) f ( x) 0 ,
( x) e
第三部分 中值定理和导数的应用
第三部分 中值定理和导数的应用
基本思想：用导数研究函数 一 重点和难点： 1. 理解和掌握四个重要的微分中值定理：
罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及泰勒定理的内容；
中值定理的条件是定理成立的什么条件？中值定理中的 唯一吗？ 2. 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？ 3. 会判别函数单调性、凹凸性。能利用函数的单调性做证明题. 4. 熟练掌握求函数极值(确定极大还是极小)和最值的方法. 5. 求给定函数的竖直渐近线及斜渐近线. 6. 会做y = f (x)的图形. 7. 正确求出函数在某点处的曲率. 2. 选择题（共7个） 4. 证明题（共7个）
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例6. 证明
证: ln f ( x) x ln(1 1 ) x
在
上单调增加.
x [ ln(1 x) ln x ]
令 F (t ) ln t , 在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理, 得
ln(1 x) ln x
1
(0 x x 1)
1 x2
x
1 令t x
lim
t 0
arctan at arctan bt t2
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2. 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？
1 sin x 1 x 例11. lim x 0 (sin x) 3 1 sin x x lim 3 x 0 x 1 sin x 1 x
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
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例1. 设函数
证明 在
在
内有界.
内可导, 且
证: 取点 x0 (a , b) , 再取异于 x0 的点 x (a , b) , 对 为端点的区间上用拉氏中值定理, 得
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
几何解释：
曲线 y=f(x) 至少有一条水平切线。 推广： 减少一个条件
.
拉格朗日中值定理：
[ 若 f ( x ) : (1)在闭区间a , b]上连续； (2)在开区间 a , b)内可导； (
(3) f (a)= f (b) ;
则至少存在一点 (a , b)，使得
f ) f ( ) f (b) f (a(1 0.)(b a ).
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二、 导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率 2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化
• 最值的判别问题
3. 其他应用 : 相关变化率; 求不定式极限 ; 证明不等式 ; 几何应用 ; 研究方程实根等.
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.
则至少存在一点 (a , b)，使得
f (b) f (a ) f ( ) f (b) f (a ) f ( )( a ). 1 ) F b ) . F (b) F (a (
几何解释：
曲线的参数式方程, x为参数.
. .
X F ( x) 曲线 Y f ( x ) 至少有一条切线平行于连接曲线端点的弦。
即有
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例3. 试证存在
且
f ( ) f ( ) f ( )(b a ) f ( ) , 即要证 . 证: 欲证 2 2 ab 2 2 b a 因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, 故有
f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b)
因为 lim cos x不存在 .
x
应该怎么做？
sin x 1 x 原式 lim 1. x sin x 1 x
3. 利用函数的单调性做证明题