抛物线学案及典型例题(人教b版文科)
新教材高中数学第2章抛物线的几何性质学案含解析新人教B版选择性必修第一册
新教材高中数学：第2章平面解析几何2.7.2 抛物线的几何性质学习目标核心素养1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(重点)2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(重点、难点)3．掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识．通过抛物线的几何性质的学习，培养直观想象、数学运算素养．如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质．1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0) 图形性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1x2py p[提示]有一条对称轴．思考2：抛物线的范围是x∈R，这种说法正确吗？[提示]抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误．思考3：参数p对抛物线开口大小有何影响？[提示]参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．2．焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2＝2px(p＞0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p＞0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p＞0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p＞0)|AB|＝p－(y1＋y2)1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形．( )(2)抛物线的范围为x∈R．( )(3)抛物线关于顶点对称．( )(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但离心率都相同．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[提示](1)×在抛物线中，以－x代x，－y代y，方程发生了变化．(2)×抛物线的方程不同，其范围不同，y2＝2px(p＞0)中x≥0，y∈R．(3)×(4)√离心率都为1，正确．2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是( ) A．8 B．6 C．4 D．2A[∵抛物线的方程为y2＝8x，∴其准线l的方程为x＝－2，设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d＝|PF|，即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2，∵点P 到y 轴的距离是6， ∴x 0＝6，∴|PF |＝6＋2＝8．]3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝ ．8 [∵y 2＝4x ，∴2p ＝4，p ＝2．∵由抛物线定义知：|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8．]4．顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是 ．y 2＝24x 或y 2＝－24x [∵顶点与焦点距离为6，即p2＝6，∴2p ＝24，又对称轴为x 轴，∴抛物线方程为y 2＝24x 或y 2＝－24x ．]由抛物线的几何性质求标准方程【例xOy A OA 物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的标准方程是 ．(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．(1)y 2＝5x [线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0，与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，∴抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，∴其标准方程是y 2＝5x ．](2)解：椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3．用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置．不同的焦点设出不同的方程．[跟进训练]1．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P 到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线方程．[解] 设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0)． 因为点P 到对称轴距离为6，所以y 0＝±6， 因为点P 到准线距离为10，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋a 2＝10．①因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0． ②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，x 0＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，x 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝－9.所以所求抛物线方程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x ．抛物线性质的应用【例2】 AFO ＝120°(O 为坐标原点)，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是 ．(2)已知正三角形AOB 的一个顶点O 位于坐标原点，另外两个顶点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，求这个三角形的边长．(1)43 [如图，设A (x 0，y 0)，过A 作AH ⊥x 轴于H ， 在Rt△AFH 中，|FH |＝x 0－1， 由∠AFO ＝120°，得∠AFH ＝60°， 故y 0＝|AH |＝3(x 0－1)， 所以A 点的坐标为()x 0，3x 0－1，将点A 坐标代入抛物线方程可得3x 20－10x 0＋3＝0，解得x 0＝3或x 0＝13(舍)，故S △AKF ＝12×(3＋1)×23＝43．](2)解：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2．又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0， 整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0． ∵x 1＞0，x 2＞0,2p ＞0， ∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称． 由此得∠AOx ＝30°， 所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p ．∴|AB |＝2y 1＝43p ．利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题．提醒：解答本题时易忽略A ，B 关于x 轴对称而出错．[跟进训练]2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，求抛物线的标准方程．[解] 由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba＝3．即渐近线方程为y ＝±3x ，而抛物线准线方程为x ＝－p 2，于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，32p ，从而△AOB 的面积为12·3p ·p 2＝3．可得p ＝2，因此抛物线开口向右，所以标准方程为y 2＝4x ．焦点弦问题[探究问题]以抛物线y 2＝2px (p ＞0)为例，回答下列问题： (1)过焦点F 的弦长|AB |如何表示？还能得到哪些结论？ [提示] ①|AB |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2(焦点弦长与中点关系)．②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)． ③A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2．④S △AOB ＝p 22sin θ．⑤1|AF |＋1|BF |＝2p (定值)． (2)以AB 为直径的圆与直线l 具有怎样的位置关系？[提示] 如图，AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l ．所以以AB 为直径的圆必与准线l 相切． (3)解决焦点弦问题需注意什么？[提示] 要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．【例3】 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在直线的方程．[思路探究] 根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程． [解] ∵过焦点的弦长|AB |＝52p ，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵y 2＝2px 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0．∴直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋14k 2p 2＝0(k ≠0)， ∴x 1＋x 2＝k 2p ＋2pk 2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝k 2p ＋2pk 2＋p ，又|AB |＝52p ，∴k 2p ＋2p k 2＋p ＝52p ，∴k ＝±2． ∴所求直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2．1．(改变问法)本例条件不变，求弦AB 的中点M 到y 轴的距离．[解] 设AB 中点为M (x 0，y 0)， 由例题解答可知2x 0＝x 1＋x 2＝32p ，所以AB 的中点M 到y 轴的距离为34p ．2．(变换条件)本例中，若A 、B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，求∠A 1FB 1． [解] 由例题解析可知AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即x ＝1k y ＋p 2，代入y 2＝2px 消x 可得y 2＝2pk y ＋p 2，即y 2－2pky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2， 由A 1点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 1，B 1点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，得kA 1F ＝－y 1p ，kB 1F ＝－y 2p ．∴kA 1F ·kB 1F ＝y 1y 2p 2＝－1， ∴∠A 1FB 1＝90°．解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的轨迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定义． 3．抛物线y 2＝±2px (p ＞0)的过焦点的弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，其中x 1，x 2分别是点A ，B 横坐标的绝对值；抛物线x 2＝±2py (p ＞0)的过焦点的弦长|AB |＝y 1＋y 2＋p ，其中y 1，y 2分别是点A ，B 纵坐标的绝对值．4．求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18A [线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12．]2．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)D [抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝16x ，x 2＋y 2＝x －42＋y2⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝16x ，x ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2.所以符合题意的点为(2，±42)．]3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22) B [由题意知F (1,0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0，由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B ．]4．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是 ． 158[设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14．∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158．]5．已知点P (1，m )是抛物线C ：y 2＝2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF |＝2，直线l ：y ＝k (x －1)与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ．(1)求抛物线C 的方程； (2)若|AB |＝8，求k 的值．[解] (1)抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，由|PF |＝2得：1＋p2＝2，得p ＝2．所以抛物线的方程为y 2＝4x ． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2．∵直线l 经过抛物线C 的焦点F ， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k2＋2＝8，解得k ＝±1，所以k 的值为1或－1．。
高二数学《抛物线的习题课》学案
高二数学《抛物线的习题课》学案一、课前检测1、已知抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，则抛物线的方程为、2、已知抛物线上点P到直线的距离最小值等于、3、已知定点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上动点，则|PF|+|PA|的最小值等于，此时P点坐标为、二、例题讲解例1、已知抛物线的焦点坐标为，求过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线方程。
例2、已知抛物线的准线方程为，直线y=2x+m与抛物线交于点A、B，若线段AB中点E到准线的距离为，求线段AB的长。
总第69页（第18课时第1页）例3、若抛物线的顶点是在抛物线上距离点A（0，a）最近的点，求a的取值范围？（选修1-1课本P52第14题、选修2-1课本P66第15题）【选讲】例4、过抛物线焦点的一条直线与它交于两点A、B，经过点A和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MB平行于抛物的对称轴。
三、课堂总结总第70页（第18课时第2页）作业班级学号姓名等第1、圆心在曲线上，并且与的准线及y轴都相切的圆的一般方程方程为2、过抛物线的焦点F的直线与抛物线次于点A、B，自A、B两点向准线作垂线，垂足分别为A1、B1，则3、已知A、B是抛物线上的两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且抛物线的焦点恰好为AOB的垂心，则直线AB方程为（用表示）4、抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，点（）到焦点的距离为6，则此抛物的方程为5、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，则这个正三角形的三边长为。
6、已知抛物线的焦点在y轴上，点M（m，-3）是抛物线上的一点，M到焦点的距离是5，求m的值及抛物线标准方程、准线方程。
7、已知点M到椭圆的右焦点的距离与到直线x=6的距离相等，求点M的轨迹方程。
8、已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于点A、B，若线段AB中点的横坐标为2，求线段AB的长。
总第71页（第18课时第3页）9、在抛物线上求一点P，使其到焦点与它到点的距离之和最小、10、已知定点，P为抛物线上动点，求|PA|的最小值的表达式（用表示）、【附加题】11、已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线，被直线y=2x+1截得弦长为，求此抛物线方程。
高三文科抛物线复习学案
高二数学复习学案(文科）命制人： 审核人： 使用时间：课题：抛物线(一)学习目标：1.熟练掌握抛物线的定义和四种形式的标准方程；2能够熟练地掌握抛物线的几何性质（顶点、对称性、焦点、准线）；3.掌握直线与抛物线位置关系问题的一般解法．课前自主复习1. 动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．2.（1）顶点在原点，对称轴为x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6，则此抛物线的标准方程 .（2）顶点在原点，对称轴为y 轴，并且经过点P （-6，-3），则此抛物线的标准方程 .3.抛物线2y 2+5x =0的焦点坐标 ，准线方程 .4.抛物线y 2=2px (p >0)上一点M 到焦点距离是a （a>2p ）,则点M 到准线的距离是 ， 点M 的横坐标 .5.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|6.已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )．A ．18B ．24C ．36D ．48知识梳理：课堂探究例1、 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．例2、已知过抛物线y 2＝2px (p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．课后作业A 组1． 抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( ) A ．x 2＝4y B ．x 2＝－4y C ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y2． 从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF的面积为( ) A ．5 B ．10 C ．20 D.153． (2012·四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 D ．2 54． 动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．5． 若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________． 6. 抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．B 组7. 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值。
2013届高中人教B版文科数学专题训练及解析(51)抛物线B
专 题练习(五十一)B [第51讲 抛物线][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．若a >0，且抛物线y 2＝2ax 与x 2＝2ay 的焦点间距离为1，则a ＝( ) A ．1 B. 2 C.22D ．2 2．动点P 到点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3．点P 在抛物线y 2＝－2x 上移动，点Q (2，－1)，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )A ．(2y ＋1)2＝4x －4B ．(2y －1)2＝－4x ＋4C ．(2y ＋1)2＝－4x ＋4D ．(2y －1)2＝4x －44．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝2，则a ＝________.能力提升5． 若直线mx －y ＋n 2－1＝0(m >0，n >0)经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则1m ＋1n的最小值为( )A ．3＋2 2B ．3＋ 2C.3＋222D.3＋226． 抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y7．正数a 、b 的等差中项是92、一个等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－b ax 的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－516，0B.⎝⎛⎭⎫－25，0 C.⎝⎛⎭⎫15，0 D.⎝⎛⎭⎫－15，0图K51－28．如图K51－2所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32x B ．y 2＝9xC ．y 2＝92x D ．y 2＝3x9．以抛物线x 2＝－4y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是________________．10． 若函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1的零点是抛物线x ＝ay 2焦点的横坐标，则a ＝________.11． 已知P 为抛物线y 2＝4x 上一点，设P 到准线的距离为d 1，P 到点A (1,4)的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．12．(13分)已知圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A 、B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．难点突破13．(12分) 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．专题练习(五十一)B【基础热身】1．B [解析] 两抛物线的焦点分别为⎝⎛⎭⎫a 2，0，⎝⎛⎭⎫0，a 2，距离为⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫a 22＝1，解得a ＝ 2.故选B.2．D [解析] 依题意，动点P 到点F (0,1)的距离等于到直线y ＝－1的距离，且点F (0,1)不在直线y ＝－1上，所以动点P 的轨迹是抛物线．故选D.3．C [解析] 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋2，2y ＝y 0－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ＋1.因为点P 在抛物线y 2＝－2x 上，所以(2y ＋1)2＝－2(2x －2)，即点M 的轨迹方程是(2y ＋1)2＝－4x ＋4.故选C.4．－18 [解析] 抛物线方程为x 2＝y a ，因为准线方程为y ＝2，所以p 2＝2，所以p ＝4，于是1a ＝－2p ＝－8，所以a ＝－18. 【能力提升】5．C [解析] 抛物线的焦点为(1,0)，该点在直线mx －y ＋n 2－1＝0(m >0，n >0)上，所以有2m ＋n ＝2，于是1m ＋1n ＝12⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝12⎝⎛⎭⎫n m ＋2m n＋3≥12(22＋3)．故选C. 6．D [解析] 双曲线的焦点是(0,3)和(0，－3)，所以可设抛物线方程为x 2＝±2py (p >0)，于是p 2＝3，p ＝6，所以抛物线方程为x 2＝±12y .故选D. 7．D [解析] 正数a 、b 的等差中项是92，所以a ＋b ＝9；又因为正数a 、b 的一个等比中项是25，所以ab ＝(25)2＝20；而a >b ，所以a ＝5，b ＝4.抛物线方程为y 2＝－45x ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－15，0，故选D. 8．D [解析] 过A 、B 分别作准线的垂线AA ′、BD ，垂足分别为A ′、D ，则|BF |＝|BD |.又2|BF |＝|BC |，所以在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，又|AF |＝3，所以|AA ′|＝3，所以|AC |＝6，|FC |＝3.∴焦点F 到准线的距离为3sin30°＝3×12＝32，即P ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x . 9．x 2＋y 2＝4 [解析] 抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝4.10.14 [解析] 函数f (x )的零点是x ＝1，将x ＝ay 2化为y 2＝2×12a x ，所以14a ＝1，得a ＝14. 11．4 [解析] 由抛物线定义得P 到准线的距离d 1等于点P 到焦点F (1,0)的距离|PF |，又点A (1,4)在抛物线外部，所以当点P 、A 、F 三点共线时，d 1＋d 2取得最小值|AF |，即最小值为4.12．[解答] (1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， ∴点C 的轨迹方程为y 2＝－x . (2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)，消去x 后， 整理得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理有y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1. 设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1,0)．∵S △OAB ＝S △OAN －S △OBN ＝12|ON ||y 1|－12|ON ||y 2|， ＝12|ON ||y 1－y 2|＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，所以12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16. 【难点突破】13．[解答] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p 4. 由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。
2020版高中数学第二章抛物线的几何性质(第1课时)抛物线的几何性质学案新人教B版
第1课时 抛物线的几何性质学习目标 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一 抛物线的几何性质知识点二 焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1．椭圆、双曲线和抛物线都是中心对称图形．( × ) 2．抛物线和双曲线一样，开口大小都与离心率有关．( × ) 3．抛物线只有一条对称轴和一个顶点．( √ ) 4．抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关．( √ )题型一 由抛物线的几何性质求标准方程例1 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0.直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m ， 所以|AB |＝2|m |. 因为△OAB 的面积为4， 所以12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 2·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x . 引申探究等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 B解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以点A 的坐标为(2p,2p )，同理可得B (2p ，－2p )， 所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.反思感悟 把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程． 解 ∵椭圆x 29＋y 216＝1的短轴所在直线为x 轴，∴抛物线的对称轴为x 轴． 设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)， 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4＝5，∴a ＝±20. ∴抛物线的方程为y 2＝20x 或y 2＝－20x . 题型二 抛物线的焦点弦问题例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y ，得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5. 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，所以线段AB 的中点M 的横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.引申探究本例中，若A ，B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，求∠A 1FB 1. 解 由抛物线定义|AA 1|＝|AF |，得∠AA 1F ＝∠AFA 1，又AA 1∥x 轴， ∴∠OFA 1＝∠AA 1F ， ∴∠OFA 1＝∠AFA 1， 同理得∠OFB 1＝∠BFB 1，∴∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝90°，即∠A 1FB 1＝90°. 反思感悟 (1)抛物线的焦半径(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x 1＋x 2即可． 跟踪训练2 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________．答案 x ＋y －1＝0或x －y －1＝0解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)， 若l 与x 轴垂直，则|AB |＝4，不符合题意． 所以可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，即2k 2＋4k2＝6，解得k＝±1.所以所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8x D ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 答案 C解析 设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，p ＝4.2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±24B.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，24 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24 答案 B解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，所以P 点的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24，故选B.3．已知过抛物线y 2＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |的值为________． 答案 10解析 由y 2＝8x ，得p ＝4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由焦点弦公式得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2×x 1＋x 22＋4＝2×3＋4＝10.4．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．符合抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________．(要求填写合适条件的序号) 答案 ②⑤解析 由抛物线方程y 2＝10x ，知它的焦点在x 轴上， 所以②符合．又因为它的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，原点O (0,0)， 设点P (2,1)，可得k PO ·k PF ＝－1，所以⑤也符合． 而①显然不符合，通过计算可知③，④不合题意． 所以应填②⑤.5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴． 解 (1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p 2，故p2＝4，p ＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝±16x 或x 2＝±16y .(2)双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为标准形式为x 29－y 216＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x ＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，可得p2＝3，故p ＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝12x .1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． 3．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．一、选择题1．抛物线y ＝ax 2(a <0)的焦点坐标和准线方程分别为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫14a ，0，x ＝－14aB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ，0，x ＝14aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，y ＝－14a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14a ，y ＝14a答案 C解析 y ＝ax 2可化为x 2＝1ay ，∴其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a .2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，点P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18B ．24C ．36D ．48 答案 C解析 由题意知|AB |＝2p ，则S △ABP ＝12×2p ×p ＝p 2，又∵2p ＝12，∴p ＝6，S △ABP ＝62＝36.3．抛物线C 1：y 2＝2x 的焦点为F 1，抛物线C 2：x 2＝12y 的焦点为F 2，则过F 1且与直线F 1F 2垂直的直线l 的方程为( ) A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．4x －y －2＝0 D ．4x －3y －2＝0答案 C解析 由题意知，F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 所以直线F 1F 2的斜率为－14，则直线l 的斜率为4.故直线l 的方程为y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即4x －y －2＝0.4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |＝10，则抛物线方程是( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝2x C ．y 2＝8x D ．y 2＝6x答案 C解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 22＝3，即x 1＋x 2＝6.又|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝10， 即p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x .5．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，点A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( ) A ．43B ．8C ．83D ．16 答案 B解析 抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，焦点F (2,0)，设A (－2，y 0)，k AF ＝y 0－0－2－2＝－3，则y 0＝43，∴P (x 0,43)，将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝8x ， (43)2＝8x 0，得x 0＝6.由抛物线定义可知|PF |＝|PA |＝x 0＋p 2＝6＋42＝8.6．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.303B ．6C ．12D ．7 3答案 C解析 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1，)(x 2，y 2)．∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，消去y ，得13x 2－72x ＋316＝0.∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ， ∴|AB |＝212＋32＝12.7．直线y ＝x ＋b 交抛物线y ＝12x 2于A ，B 两点，O 为抛物线顶点，OA ⊥OB ，则b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点 题点 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将y ＝x ＋b 代入y ＝12x 2，化简可得x 2－2x －2b ＝0，故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ， 所以y 1y 2＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2. 又OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即－2b ＋b 2＝0，则b ＝2或b ＝0， 经检验当b ＝0时，不符合题意，故b ＝2. 二、填空题8．设抛物线y 2＝16x 上一点P 到对称轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF |＝________. 答案 13解析 设P (x,12)，代入y 2＝16x ，得x ＝9， ∴|PF |＝x ＋p2＝9＋4＝13.9．抛物线y ＝116x 2的焦点与双曲线y 23－x2m ＝1的上焦点重合，则m ＝________.答案 13解析 抛物线y ＝116x 2可化为x 2＝16y ，则其焦点为(0,4)，∴3＋m ＝16，则m ＝13.10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |＝3，则|BF |＝________. 答案 32解析 由题意知F (1,0)，且AB 与x 轴不垂直， 则由|AF |＝3，知x A ＝2.设l AB ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 所以x A ·x B ＝1，故x B ＝12，故|BF |＝x B ＋1＝32.11．一个正三角形的顶点都在抛物线y 2＝4x 上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是________． 答案 48 3解析 设一个顶点为(x,2x )，则tan30°＝2x x ＝33，∴x ＝12.∴S ＝12×12×83＝48 3.三、解答题12．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．解 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3.∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得 8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y . 13．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |； (2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 解 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )(x ≥0)，则|PA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13. ∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增，故当x ＝0时，|PA |min ＝23， 故距点A 最近的点P 的坐标为(0,0)．(2)设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为 d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32 ＝y 0－2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.14．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，点F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞) 答案 C解析 M 到准线的距离大于p ，即y 0＋2＞4，∴y 0＞2.15．设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →·PF →＝0.(1)当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)是曲线C 上除去原点外的不同三点，且|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，当线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)时，求点B 的坐标．解 (1)设N (x ，y )，由MN →＝2MP →，得点P 为线段MN 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，M (－x,0)， ∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－y 2.由PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，得y 2＝4x . 即点N 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)由抛物线的定义，知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，|DF |＝x 3＋1，∵|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，∴2x 2＋2＝x 1＋1＋x 3＋1，即x 2＝x 1＋x 32. ∵线段AD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32，y 1＋y 32，且线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)， ∴线段AD 的垂直平分线的斜率为k ＝y 1＋y 32－0x 1＋x 32－3. 又k AD ＝y 3－y 1x 3－x 1，∴y 3－y 1x 3－x 1·y 1＋y 3x 1＋x 3－6＝－1， 即4x 3－4x 1x 23－x 21－x 3－x 1＝－1. ∵x 1≠x 3，∴x 1＋x 3＝2，又x 2＝x 1＋x 32，∴x 2＝1.∵点B 在抛物线上，∴B (1,2)或B (1，－2)．。
人教新课标版数学高二B版选修2-1导学案 第二章 抛物线定义1
§2.4.1（1）抛物线的定义和标准方程学习目标1.阅读课本，明确抛物线的定义，并能够找到轨迹上动点满足的几何关系。
2.根据求曲线方程的一般步骤求抛物线方程，整理得抛物线的标准方程。
学习过程【任务一】阅读教材，明确定义。
请大家仔细阅读教材P59，明确抛物线的定义。
文字语言：轨迹上动点满足的几何关系式：（请描述清楚关系式中字母表示含义）【任务二】抛物线的标准方程的推导（1）建系，设动点：（2）列出动点满足几何关系：（3）几何关系代数化：（4）整理化简：（5）验证：可得焦点在x轴上的抛物线标准方程为：同理可得焦点在y轴上的抛物线标准方程为：【任务三】典型例题分析例1：判断下列方程是否表示抛物线，如果是，请判断抛物线焦点位置，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程。
（1）x y 62= （2）x y 432-= （3）y x 52=（4）y x 232=- （5）223y x -=例2：求满足下列条件的抛物线的标准方程。
（1）焦点是)02(，F 。
（2）准线方程是23-=x 。
【任务四】课堂达标练习1.顶点在原点，焦点是)50(，F 的抛物线方程是（ ） A.x y 202= B. y x 202= C.x y 2012= D.y x 2012= 2.抛物线24x y =的准线方程是（ ）A. 41-=yB. 81=yC. 161=yD. 161-=y3.准线方程为1=x 的抛物线的标准方程是（ ）A. x y 22-=B. x y 42-=C. x y 22=D. x y 42= 4.抛物线22x y -=的焦点坐标是（ ）A. )410(，B. )410(-，C. )0,41(D. )0,41(- 5.写出下列抛物线标准方程的焦点坐标和准线方程。
（1）212x y = （2）236x y -= （3）x y 82=（4）x y 162-=。
数学人教B版选修2-1学案：课前导引2.4.1抛物线的标准方程含解析
2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程课前导引问题导入求下列各抛物线的方程:（1）顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴,且经过点M （—2，-4）;（2）顶点在坐标原点，焦点在y 轴上,抛物线上一点Q(m,-3）到焦点的距离等于5 。
思路分析：(1）设抛物线为y 2=mx 或x 2=ny ，则（—4)2=m （—2）⇒m=-8.或（—2)2=n （-4)⇒n=—1.∴所求的抛物线方程为y 2=—8x 或x 2=—y 。
（2）依题意,抛物线开口向下。
故设其方程为x 2=—2py 。
则准线方程为y=2p ，又设焦点为F, 则｜QF|=2p -y Q ，即2p —（-3)=5⇒p=4。
故抛物线方程为x 2=—8y.知识预览1。
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离_______________的点的轨迹叫做抛物线。
点F 叫做抛物线的___________________—,直线l 叫做抛物线的________________。
答案：相等 焦点 准线2.方程y 2=±2px，x 2=±2py(p＞0）叫做抛物线的__________________方程。
答案：标准3。
抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点坐标是______________，它的准线方程是_________________，它的开口方向______________。
答案：（2p `,0） x=—2p 向右 4。
抛物线y 2=-2px （p ＞0)的焦点坐标是_______________，它的准线方程是________________,它的开口方向______________.答案：(-2p ，0） x=2p 向左 5.抛物线x 2=2py （p ＞0)的焦点坐标是________________，它的准线方程是_______________，它的开口方向____________________. 答案：(0，2p ） y=—2p 向上 6.抛物线x 2=—2py （p ＞0）的焦点坐标是______________,它的准线方程是___________________,它的开口方向____________________。
2018年秋人教B版数学选修1-1 2.3.1抛物线及其标准方程练习含解析
2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程课时过关·能力提升1.抛物线y2=12x的焦点坐标是()A.(12,0)B.(6,0)C.(3,0)D.(0,3)答案: C2.经过点(2,-3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是()A.y.yC.y2=.y2=4x答案:B3.抛物线yA.x.xC.x=.x=答案:D4.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且该圆与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为()A.(x-1)2+y.x2+(y-1C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-1)2=1答案:C5.设点P是抛物线y2=16x上的点,它到焦点的距离h=10,则它到y轴的距离d等于()A.3B.6C.9D.12解析:设点P到抛物线y2=16x的准线的距离为l.由抛物线y2=16x.由抛物线定义知l=h,又l=d d=l-4=6.答案:B6.设定y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为()A.(0,0)B.(1C.(2,2) D解析:连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知d1+d2的最小值是|MF|,当且仅当M,P,F三点共线时,等号成立,而直线MF的方程为y y2=2x联立求得x=2,y=2;x y=),此时,点P的坐标为(2,2).答案:C7.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为.答案:y2=8x8.抛物线x=2y2的焦点坐标是.答案9. 已知y2=2px(p>0),求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为直线3x+4y-12=0与x轴的交点;(2)焦点到直线x=-5的距离是8.解: (1)直线与x轴的交点为(4,0),则=4,∴p=8,∴方程为y2=16x.(2)焦点在x轴上,设为,∴+5=8,解得=3,则其焦点为(3,0),∴p=6,故方程为y2=12x或y2=-52x.★10.如图,已知直线AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,F是抛物线的焦点,点A(x1,y1),B(x2,y2),求证:(1)y1y2=-p2,x1x(2)|AB|=x1+x2+pθ为直线AB的倾斜角);(3.分析:设出直线AB的方程并与抛物线方程联立,借助一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解.证明:(1)由已知,得焦点F,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(k≠0),由消去x,得ky2-2py-kp2=0.①由一元二次方程根与系数的关系,得y1y2=-p2,y1+y2=.又由y=k,得x=y+,故x1x2=y1y2+(y1+y2)+(-p2)+.当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=,则y1=p,y2=-p,则y1y2=-p2,x1x2=.综上,y1y2=-p2,x1x2=.(2)当直线AB的斜率存在时,由抛物线的定义知,|AF|=x1+,|BF|=x2+,∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.②又y=k(k≠0),∴x=y+,∴x1+x2=(y1+y2)+p.由①知y1+y2=,∴x1+x2=+p,代入②得|AB|=+2p=2p=2p.当直线AB的斜率不存在,即θ=时,A,B,|AB|=2p=+p=.综上,|AB|=x1+x2+p=.(3)=,将x1x2=,x1+x2=|AB|-p,代入上式,得.故为定值.。
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抛物线（第一课时）
【知识点】
1、定义：平面内到一个定点F 和一条定直线l （l F ∉）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ，焦点到准线的距离（定长p ）叫做抛物线的 ．
【典型例题】
题型1：求焦点坐标及准线方程
例、填空
（1）抛物线2
1
2
y x =-
的焦点坐标为 （2）抛物线2
2y x =的准线方程为
（3）抛物线2
x ay =的焦点坐标为 ；准线方程为
练习：
1、抛物线的标准方程是x y 102
=，则它的焦点坐标和准线方程分别是（ ） （A ）)0,5(，5-=x （B ）)5,0(，5-=y （C ）)0,25(，5-=y （D ）)0,25(，2
5-
=x 2、抛物线2
91x y -
=的准线方程为（ ） （A ）29=y （B ）29-=y （C ）49=y （D ）4
9
-=y
3、抛物线2
ax y =（0>a ）的焦点坐标是
题型2：求标准方程
例1、求抛物线的标准方程
（1）焦点坐标为(0,2)- （2）准线方程为1x =-
（3）焦点在y 轴的正半轴上，并且焦 （4）抛物线过点(1,2) 点与准线之间的距离为5
例2、抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线20x y -+=上，则此抛物线方程为
例3、已知圆2
2
670x y x +--=与抛物线2
2y px =（0p >）的准线相切，则此抛物线的
标准方程为
例4、（13天津卷11）已知抛物线2
8y x =的准线过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个
焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为
例5、（11天津卷6）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点与抛物线
22(0)
y p x p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
例6、（12课程标准卷10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =
的准线交于,A B 两点，AB =，则C 的实轴长为（ ）
（A （B ） （C ）4 （D ）8
抛物线（第二课时）
例1、（10湖南卷）设抛物线2
上一点到轴的距离是4，则点到抛物线焦点的距离是（ ）
（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12
例2、抛物线x y 122-=上的一点P 和焦点F 的距离等于9，则P 的坐标为
例3、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点)3,(-m P 到焦点的距离等于5，求m 的值，并写出抛物线的方程、准线方程及焦点坐标
【能力提升】 1、（12四川卷）已知抛物线关于x 对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ）
（A ） （B ） （C ）4 （D ）
2、（12安徽卷）过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若3AF =，
则BF =
3、（11辽宁卷）已知F 是抛物线2
y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，
则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） （A ）34 （B ）1 （C ）54 （D ）7
4
4、（10辽宁卷）设抛物线2
8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A
为垂足。
如果直线AF 的斜率为PF =（ ）
（A ） （B ）8 （C ） （D ）16
5、已知点)1,2(-A ，抛物线x y 42-=的焦点是F ，P 是抛物线上一点，为使PF PA +取得最小值，P 点的坐标是（ ） （A ）)1,41(- （B ）)22,2(- （C ）)1,4
1
(-- （D ）)22,2(--。