第章角动量定理和刚体的转动题解
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普通物理学知识点重难点
第1章质点的运动知识要点1.1 位移速度加速度1.2 圆周运动及其描述书后习题解析同步训练题同步训练题答案第2章牛顿运动定律知识要点2. 1 牛顿运动定律2.2 动量定理动能定理书后习题解析同步训练题同步训练题答案第3章运动的守恒定律知识要点3.1 保守力势能3.2 机械能守恒定律动量守恒定律书后习题解析同步训练题同步训练题答案第4章刚体的转动知识要点4.1 转动惯量转动动能定轴转动定律4.2 刚体的角动量角动量定理角动量守恒定律书后习题解析同步训练题同步训练题答案第5章相对论基础知识要点5.1 狭义相对论基本原理5.2 洛仑兹坐标变换书后习题解析同步训练题同步训练题答案第6章气体动理论知识要点6.1 理想气体6.2 麦克斯韦速率分布律6.3 玻尔兹曼分布律6.4 气体分子的平均碰撞次数及平均自由程书后习题解析同步训练题同步训练题答案第7章热力学基础知识要点7.1 热力学第一定律7.2 热力学第一定律对理想气体的应用7.3 循环过程7.4 热力学第二定律7.5 熵书后习题解析同步训练题同步训练题答案第8章真空中的静电场第9章导体和电介质中的静电场第10章恒定电流和恒定电场第11章真空中的恒定磁场第12章磁介质中的磁场第13章电磁感应和暂态过程第14章麦克斯韦方程组电磁场第15章机械振动和电磁振动第16章机械波和电磁波第17章波动光学第18章早期量子论和量子力学基础第19章激光和固体的量子理论第20章原子核物理和粒子物理简介。
第3章 刚体的定轴转动 习题答案
1
1 v r 78 . 5 1 78 . 5 m s (3) 解：
an r 78.5 1 6162 .2 m s
2 2
2
a r 3.14 m s
2
3-13. 如图所示，细棒长度为l，设转轴通过棒上距中心d的一 点并与棒垂直。求棒对此轴的转动惯量 J O '，并说明这一转 动惯量与棒对质心的转动惯量 J O之间的关系。(平行轴定理)
n0
J 2 2 n 收回双臂后的角动能 E k J n 0 2 J 0 n
1 2 2 1 2
Ek 0 J
1 2
2 0
3-17. 一人张开双臂手握哑铃坐在转椅上，让转椅转动起来， 此后无外力矩作用。则当此人收回双臂时，人和转椅这一系 统的转速、转动动能、角动量如何变化？
解：首先，该系统的角动量守恒。
设初始转动惯量为 J ，初始角速度为 0 收回双臂后转动惯量变为 J n ， 由转动惯量的定义容易知，n 1 由角动量守恒定理容易求出，收回双臂后的角速度 初始角动能
M t J
代入数据解得：M 12.5 N m
3-4. 如图所示，质量为 m、长为 l 的均匀细杆，可绕过其一 端 O 的水平轴转动，杆的另一端与一质量为m的小球固定在 一起。当该系统从水平位置由静止转过 角时，系统的角
速度、动能为？此过程中力矩所做的功？
解： 由角动能定理得：
解：设该棒的质量为m，则其
线密度为 m l
1 l d 2 1 l d 2
O
d O'
J O'
0
r dr
2
3
0
r dr
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
7
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量
刚体对转轴的角动量就是刚体上各质元的角动
量之和．
Li miri2
L Li (miri2) ( miri2 ) J
i
i
i
刚体对某定轴的角动量等于刚体对该轴的 转动惯量与角速度的乘积．方向沿该转动 轴，并与这时转动的角速度方向相同．
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
与OB方向成θ角，则有
l0 (m M)v1 l(m M)v2 sin
v2
(m
m2 M)2
v02
k(l m
l0 )2 M
arcsin
l0mv0
l m2v02 k(l l0 )2 (m M)
第3章 刚体力学基础
3.质点角动量守恒定律
若 M 0 ，则
r L
rr
mvv 常数
质点所受外力对某固定点的力矩为零，则质点 对该固定点的角动量守恒。这就是质点的角动 量守恒定律。
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
第四章 刚体转动
第四章 刚体的转动 问题4-1 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一个点在转轴与边缘之间的一半处。
试问：在t ∆时间内，哪一个点运动的路程较长？哪一个点转过的角度较大？哪一个点具有较大的线速度、角速度、线加速度和角加速度？ 解 在一定时间内，处于边缘的点，运动的路程较长，线速度较大；它们转动的角度、角速度都相等；线加速度、角加速度都为零。
考虑飞轮上任一点P ，它随飞轮绕转轴转动，设角速度为ω，飞轮半径为r 。
在t ∆内，点P 运动的路程为P P l r t ω=∆，对于任意点的角速度ω恒定，所以离轴越远的点（P r 越大）运动的路程越长。
又因为点P 的线速度P P v r ω=，即离轴越远，线速度也越大。
同理，点P 转动的角度P t θω=∆，对于飞轮上任一个点绕轴转动的角速度ω都相等，即在相等的时间内，飞轮上的点转动的角度都相等。
又角速度ω恒定，即线加速度0P Pd a r dtω==，角加速度0P d dtωα==.4-2 如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？解 不一定。
如图（a ）轻杆（杆长为l ）在水平面内受力1F 与2F 大小相等方向相反，合力为零，但它们相对垂直平面内通过O 点的固定轴的力矩1M F l =不为零。
如图（b ），一小球在绳拉力作用下在水平面内绕固定轴作圆周运动，小球所受的合外力通过O 点，它所受的力矩为零。
4-3 有两个飞轮，一个是木制的，周围镶上铁制的轮缘，另一个是铁制的，周围镶上木制的轮缘，若这两个飞轮的半径相同，总质量相等，以相同的角速度绕通过飞轮中心的轴转动，哪一个飞轮的动能较大。
1F（a ） （b ）解 两飞轮的半径、质量都相同，但木制飞轮的质量重心靠近轮缘，其转动惯量要大于铁制轮缘。
飞轮的动能212k E J ω=，ω相同，转动惯量J 越大，动能越大。
即木制飞轮动能较大。
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
典型例子
[例题]如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中
左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴
7 9
2 处，闸 R 3
门及钢架对质点的总转动惯量为 I mR 2 ,可用钢丝 绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架 部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为 重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.
图(a)
（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力 和质点对闸门钢架的支承力. （2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门[图(b)]
需拉力是多少？
FT
W
图(b)
[解]（1）以弧形闸门及钢架 为隔离体，受力如图(a)所示. 建立直角坐标系Oxy， 根据质心运动定理 FT FN W mac 向x及y轴投影得
考虑到
t
12v0 dr g 7lg v cos t cos( t) dt 2 24v0 7l
例：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人
走一周，求盘相对地转动的角度.
1 I 2 MR 2 2
解： 系统对转轴 角动量守恒
M=0
I11 () I 22 0
I1 mR
2
人— ，盘— （对地的角位移） d d m 1 2 dt dt
I1d I 2 d
1 2 0
2
1 M 2
I d I d
0
2m 2 2m M
例：
圆盘质量M,半径R,J=MR2/2, 转轴光滑,人的质量m,开始时， 两者静止．求：人在盘上沿边 缘走过一周时，盘对地面转过 的角度．
in ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
大学物理4-2刚体的角动量 转动动能 转动惯量
J ri2mi r2dm
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
刚体的转动动能
2. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点
的动能之设和刚。体中第i个质点的质量为 ， mi
速度为 v,i 则该质点的动能为：
1 2
mivi2
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
设质点
mi
离轴的垂直距离为
vi ri
ri ，则它的线速度
因此整个刚体的动能
EK
12mivi2
1 2
ri2mi 2
刚体的转动动能
式中 式写为
是m刚iri体2 对转轴的转动惯量
EK
1 2
J 2
，所J以上
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因 此叫刚体的转动动能。
转动惯量的计算
3. 转动惯量的计算
按转动惯量的定义： J ri2mi
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式
J r2dm 要求: 细棒、薄圆盘、圆环
dl 其中质元dm可表示为 dm ds
dv
r —为质元到转轴的距离
转动惯量的计算
刚体运动：
平动： 平动动能 1 mv2 线动量 mv
2
定轴转动：转动动能 1 J 2 角动量 J
2
质量是刚体平动时惯性大小的量度。 转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度。 补：平行轴定理、垂直轴定理（适用于薄平面刚体）。
Li Ri pi Ri mivi
因 vi Ri ，所以 L的i 大小为
Li mi Rivi
方向如图所示。
z
L
Li Liz
ri
O Ri mi
刚体的角动量
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
刚体的转动动能
2. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点
的动能之设和刚。体中第i个质点的质量为 ， mi
速度为 v,i 则该质点的动能为：
1 2
mivi2
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
设质点
mi
离轴的垂直距离为
vi ri
ri ，则它的线速度
因此整个刚体的动能
EK
12mivi2
1 2
ri2mi 2
刚体的转动动能
式中 式写为
是m刚iri体2 对转轴的转动惯量
EK
1 2
J 2
，所J以上
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因 此叫刚体的转动动能。
转动惯量的计算
3. 转动惯量的计算
按转动惯量的定义： J ri2mi
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式
J r2dm 要求: 细棒、薄圆盘、圆环
dl 其中质元dm可表示为 dm ds
dv
r —为质元到转轴的距离
转动惯量的计算
刚体运动：
平动： 平动动能 1 mv2 线动量 mv
2
定轴转动：转动动能 1 J 2 角动量 J
2
质量是刚体平动时惯性大小的量度。 转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度。 补：平行轴定理、垂直轴定理（适用于薄平面刚体）。
Li Ri pi Ri mivi
因 vi Ri ，所以 L的i 大小为
Li mi Rivi
方向如图所示。
z
L
Li Liz
ri
O Ri mi
刚体的角动量
《大学物理》3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动， 例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
1 2
卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力， 解：卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力，其它力忽 略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 m
0
r
A
θ = 90
0
mv
质点作圆周运动的角动量
θ
L = rmv = mr ω
2
2.2刚体的角动量 刚体的角动量 刚体对 oz轴的角动量为
z
ω
v
2
i
L = ∑ m r ω = (∑ m r )ω
2 i i i i
o
r
i
m
i
∑ m r 刚体绕 oz 轴的转动惯量
2 i i
L = Jω
L = Jω
刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。 刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。
1 m v 0 a = ( ML2 + ma 2 )ω 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML + ma )ω = mga (1 cos60°) + Mg (1 cos60°) 2 3 2
ω=
3(2ma + ML)g 2(3ma 2 + ML2 )
二、角动量定理和角动量守恒定理
1× mv 对时间求导 = r × (mv ) + × mv dt dt dt dr d dL ∵ = v , F = (mv ) M = dt dt dt dL 质点所受合外力矩等于质 ∴ = r × F + v × mv dt 点角动量对时间的变化率
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第章-角动量定理和刚体的转动题解
———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期：
第3章角动量定理和刚体的转动
3.１一发动机的转轴在7s内由200r／min匀速增加到3000r／min． 求：(1）这段时间内的初末角速度和角加速度. (2）这段时间内转过的角度和圈数. （3）轴上有一半径为 m的飞轮, 求它边缘上一点在7s末的切向加速度、法向加速度和总加速度．
,
由 ,
得 ，
由 ,代入得
,
3．14赤道上有一高为 的高楼. 由于地球自转, 楼顶和楼底对地心参照系都有线速度.（１）求楼顶和楼底的线速度之差. (2)证明一物体自楼顶自由下落， 由于地球自转的影响, 着地点将在楼底东侧约 处.
解：(1)楼顶的线速度为 ,楼底的线速度为
两者之差
（2)将楼所在处的地面局部视为向东以速度 平移,则落体下落时间为
解：设圆盘的转动角速度为 ,则人的角速度为 。
圆盘的转动惯量为 ，人的转动惯量为 ，有
即
3.9两滑冰运动员， 质量分别为６0kg和7０kg, 他们的速率分别为7ｍ/s和6m/s, 在相距1.5m的两平行线上相向滑行. 当两者最接近时， 互相拉手并开始绕质心作圆周运动． 运动中, 两者间距离保持 不变. 求该瞬时:（１）系统的总角动量. (2）系统的角速度. （3)两人拉手前后的总动能.
解:（1)这段时间初的角速度
这段时间末的角速度
角加速度
(2)转过的角度为
（3)切向加速度
法向加速度为
总的加速度为
总的加速度与切向的夹角
3.2地球在１98７年完成 次自转比1900年长 s. 求在１90０年到１987年间， 地球自转的平均角加速度.
解:平均角加速度为
3.3一人手握哑铃站在转盘上, 两臂伸开时整个系统的转动惯量为2kgｍ2． 推动后, 系统以15r/mｉｎ的转速转动. 当人的手臂收回时， 系统的转动惯量为0.8kｇm2. 求此时的转速．
对上式积分求得整个圆盘所受的摩擦力矩为
由于圆盘的转动惯量 ，所以圆盘的角加速度
由 , ,得
3.13通风机转动部分的转动惯量为 ， 以初角速度 绕其轴转动. 空气阻力矩与角速度成正比, 比例系数为 . 求经过多少时间后, 转动角速度减为初角速度的一半， 在此时间内共转了多少圈.
解：根据转动定理
两边积分
解：由刚体定轴转动的动能定理可知
3.4 质量为6０kg, 半径为０.25ｍ的匀质圆盘, 绕其中心轴以90０r/ｍiｎ的转速转动. 现用一个闸杆和一个外力 对盘进行制动（如图所示）， 设闸与盘之间的摩擦系数为 ． 求:（1)当 N, 圆盘可在多长时间内停止, 此时已经转了多少转？（２)如果在2s内盘转速减少一半， 需多大？
解：（1)由刚体转动定理可知：
又因为
,
解得
,
（2)对物体受力分析
，
由上式解得
ﻩ
３.7某冲床飞轮的转动惯量为 ｋgｍ2． 当转速为3０r/mｉn时, 它的转动动能是多少?每冲一次， 其转速下降10r／min. 求每冲一次对外所作的功.
解：转动动能为
第一次对外做功为
3.８半径为 , 质量为 的水平圆盘可以绕中心轴无摩擦地转动. 在圆盘上有一人沿着与圆盘同心, 半径为 的圆周匀速行走, 行走速度相对于圆盘为 . 设起始时， 圆盘静止不动, 求圆盘的转动角速度.
解:由刚体定轴转动的转动定理，可知
3．６一轻绳绕于半径为 的圆盘边缘, 在绳端施以 的拉力, 圆盘可绕水平固定光滑轴在竖直平面内转动. 圆盘质量为 , 并从静止开始转动． 求:（1）圆盘的角加速度及转动的角度和时间的关系. (2）如以质量为 的物体挂在绳端, 圆盘的角加速度及转动的角度和时间的关系又如何?
解:（１）设杆与轮间的正压力为 ， , ,由杆杆平衡条件轴
图3-5 习题1．４图
闸瓦与杆间的摩擦力
由定轴转动定律 ，有
停止转动的时间
转过的角度
圈
(2） ，在 内角速度减小一半，知
由(1）中所示 的关系,制动力为
3.5发动机带动一个转动惯量为50kｇm２的系统作定轴转动. 在0.５ｓ内由静止开始匀速增加到1２０r/ｍin的转速. 求发动机对系统施加的力矩．
解:设 在原心,质心为
3.1０半径为 的光滑半球形碗, 固定在水平面上． 一均质棒斜靠在碗缘， 一端在碗内, 一端在碗外． 在碗内的长度为 , 求棒的全长.
解：棒的受力如图所示
由上式解得
3.１１一均质的梯子, 一端置于摩擦系数为 的地板上, 另一端斜靠在摩擦系数为 的高墙上. 一人的体重为梯子的三倍, 爬到梯子顶端时， 梯子尚未开始滑动. 求梯子与地面的最小倾角.
解：梯子的受力分析如图所示，由平衡条件可知
(1)
(2)
(３)
(4）
(5)
由上面式子解径为 的均质圆盘水平放置在桌面上, 绕其中心轴转动. 已知圆盘与桌面的摩擦系数为 , 初始时的角速度为 . 求经过多少时间后圆盘将静止.
解：圆盘由于受到摩擦力距 的作用，所以最终会停止转动,为求出摩擦力矩,可将圆盘分为无限多个微元,其中一个微元 ，所受摩擦力矩为
而着地时偏东的距离为
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第3章角动量定理和刚体的转动
3.１一发动机的转轴在7s内由200r／min匀速增加到3000r／min． 求：(1）这段时间内的初末角速度和角加速度. (2）这段时间内转过的角度和圈数. （3）轴上有一半径为 m的飞轮, 求它边缘上一点在7s末的切向加速度、法向加速度和总加速度．
,
由 ,
得 ，
由 ,代入得
,
3．14赤道上有一高为 的高楼. 由于地球自转, 楼顶和楼底对地心参照系都有线速度.（１）求楼顶和楼底的线速度之差. (2)证明一物体自楼顶自由下落， 由于地球自转的影响, 着地点将在楼底东侧约 处.
解：(1)楼顶的线速度为 ,楼底的线速度为
两者之差
（2)将楼所在处的地面局部视为向东以速度 平移,则落体下落时间为
解：设圆盘的转动角速度为 ,则人的角速度为 。
圆盘的转动惯量为 ，人的转动惯量为 ，有
即
3.9两滑冰运动员， 质量分别为６0kg和7０kg, 他们的速率分别为7ｍ/s和6m/s, 在相距1.5m的两平行线上相向滑行. 当两者最接近时， 互相拉手并开始绕质心作圆周运动． 运动中, 两者间距离保持 不变. 求该瞬时:（１）系统的总角动量. (2）系统的角速度. （3)两人拉手前后的总动能.
解:（1)这段时间初的角速度
这段时间末的角速度
角加速度
(2)转过的角度为
（3)切向加速度
法向加速度为
总的加速度为
总的加速度与切向的夹角
3.2地球在１98７年完成 次自转比1900年长 s. 求在１90０年到１987年间， 地球自转的平均角加速度.
解:平均角加速度为
3.3一人手握哑铃站在转盘上, 两臂伸开时整个系统的转动惯量为2kgｍ2． 推动后, 系统以15r/mｉｎ的转速转动. 当人的手臂收回时， 系统的转动惯量为0.8kｇm2. 求此时的转速．
对上式积分求得整个圆盘所受的摩擦力矩为
由于圆盘的转动惯量 ，所以圆盘的角加速度
由 , ,得
3.13通风机转动部分的转动惯量为 ， 以初角速度 绕其轴转动. 空气阻力矩与角速度成正比, 比例系数为 . 求经过多少时间后, 转动角速度减为初角速度的一半， 在此时间内共转了多少圈.
解：根据转动定理
两边积分
解：由刚体定轴转动的动能定理可知
3.4 质量为6０kg, 半径为０.25ｍ的匀质圆盘, 绕其中心轴以90０r/ｍiｎ的转速转动. 现用一个闸杆和一个外力 对盘进行制动（如图所示）， 设闸与盘之间的摩擦系数为 ． 求:（1)当 N, 圆盘可在多长时间内停止, 此时已经转了多少转？（２)如果在2s内盘转速减少一半， 需多大？
解：（1)由刚体转动定理可知：
又因为
,
解得
,
（2)对物体受力分析
，
由上式解得
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３.7某冲床飞轮的转动惯量为 ｋgｍ2． 当转速为3０r/mｉn时, 它的转动动能是多少?每冲一次， 其转速下降10r／min. 求每冲一次对外所作的功.
解：转动动能为
第一次对外做功为
3.８半径为 , 质量为 的水平圆盘可以绕中心轴无摩擦地转动. 在圆盘上有一人沿着与圆盘同心, 半径为 的圆周匀速行走, 行走速度相对于圆盘为 . 设起始时， 圆盘静止不动, 求圆盘的转动角速度.
解:由刚体定轴转动的转动定理，可知
3．６一轻绳绕于半径为 的圆盘边缘, 在绳端施以 的拉力, 圆盘可绕水平固定光滑轴在竖直平面内转动. 圆盘质量为 , 并从静止开始转动． 求:（1）圆盘的角加速度及转动的角度和时间的关系. (2）如以质量为 的物体挂在绳端, 圆盘的角加速度及转动的角度和时间的关系又如何?
解:（１）设杆与轮间的正压力为 ， , ,由杆杆平衡条件轴
图3-5 习题1．４图
闸瓦与杆间的摩擦力
由定轴转动定律 ，有
停止转动的时间
转过的角度
圈
(2） ，在 内角速度减小一半，知
由(1）中所示 的关系,制动力为
3.5发动机带动一个转动惯量为50kｇm２的系统作定轴转动. 在0.５ｓ内由静止开始匀速增加到1２０r/ｍin的转速. 求发动机对系统施加的力矩．
解:设 在原心,质心为
3.1０半径为 的光滑半球形碗, 固定在水平面上． 一均质棒斜靠在碗缘， 一端在碗内, 一端在碗外． 在碗内的长度为 , 求棒的全长.
解：棒的受力如图所示
由上式解得
3.１１一均质的梯子, 一端置于摩擦系数为 的地板上, 另一端斜靠在摩擦系数为 的高墙上. 一人的体重为梯子的三倍, 爬到梯子顶端时， 梯子尚未开始滑动. 求梯子与地面的最小倾角.
解：梯子的受力分析如图所示，由平衡条件可知
(1)
(2)
(３)
(4）
(5)
由上面式子解径为 的均质圆盘水平放置在桌面上, 绕其中心轴转动. 已知圆盘与桌面的摩擦系数为 , 初始时的角速度为 . 求经过多少时间后圆盘将静止.
解：圆盘由于受到摩擦力距 的作用，所以最终会停止转动,为求出摩擦力矩,可将圆盘分为无限多个微元,其中一个微元 ，所受摩擦力矩为
而着地时偏东的距离为