等腰三角形存在性问题
专题04 等腰三角形存在性问题-2021年中考数学二轮复习之重难点专题(解析版)
等腰三角形存在性问题例1：如图所示，在平面直角坐标系中，已知点D的坐标为（3，4），点P是轴正半轴上的一动点，如果是等腰三角形，求点P的坐标？【解答】、【解析】方法一、几何法①当时，以D为圆心，DO为半径画圆，与轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，此时，如图1所示；②当时，以O为圆心，OD为半径画圆，与轴的正半轴交于点，如图2所示；③当时，画OD的垂直平分线与轴的正半轴交于点P，设垂足为点E，如图3所示，；方法二：代数法设，由题意可得，①当时，，解得，当时，既不满足点P在轴的正半轴②当时，，解得，如图4所示，当P 不在轴的正半轴上，故舍去；③当时，，解得.总结：几何法只要图画的够好，就能快速找到目标，代数法不需要画图，但有时计算量会比较大，而且算出来的结果还要进行检验，这类存在性的问题，要能够把几何法与代数法相结合，才能使得解题又快又准。
例2：如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点B ，其对称轴与轴交于点D .（1）求该二次函数的解析式；（2）连接BC ，在线段BC 上是否存在点EE 的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】（1）；（2），【解析】（1）二次函数的图像与两点，，解得，二次函数的解析式为；（2）假设在线段BC上存在点E由二次函数的解析式可得对称轴为，，，由二次函数解析式可得，设BC的解析式为，将B、C两点坐标代入得，解得，BC的解析式为，设，①当时，即，解得（舍），当时，，；时，即，解得，当时，，③当时，即，解得（舍），当时，，巩固练习1.如图所示，在矩形ABCD 中，，动点P 以2个单位/秒的速度从A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动，在P 、Q 两点移动过程中，则.【解答】或，，①如图1时，有，解得；②如图2，当时，过点QM，则，，解得；③如图3，当时，过点PN，，解得，图3图2图1综上，当或.2.如图，直线与轴交于点A ，与轴交于点B ，点P 是轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB 垂直，交轴于点Q是等腰三角形时，点P 的坐标为 .【解答】 或【解析】由，，，设，则，①当时，即，解得或，此时符合条件的点P 不存在； ②当时，即，解得，点P 是轴正半轴上的一个动点，；③当时，即，解得点P 是轴正半轴上的一个动点，，综上， 或.3.如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于A 、B 两点，与轴交于点C ，直线经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A 、D.（1）求抛物线的函数表达式，并求出点B 、点E 的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点FF 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是轴负半轴上的一个动点，设其坐标为，直线PB 与直线交于点Q ，试探究：当m是等腰三角形.【解答】（1）抛物线解析式：，，；（2）；（3）或.【解析】抛物线，，解得，抛物线的解析式为，，该抛物线的对称轴为，又抛物线与轴交于A、B，，设直线的解析式为，经过，，直线的解析式为又点E为抛物线与直线的交点，；（2）假设抛物线上存在点F，此时点F的纵坐标为，解得，或；（3）①当时，过点E作直线交轴于点M，交轴于点H，如图所示：，又，设直线ME的解析式为，直线ME的解析式为，令得，解得，，，即，解得；②当时，如图所示：当时，，，，，设直线CE 交轴于点N ，解析式为，解得，直线CE解析式为，令得，解得，，解得综上，当或是等腰三角形.。
等腰三角形的存在性问题
等腰三角形的存在性问题解题策略如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．例题精讲1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 在坐标为(3，4)，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标．解析．因为D （3，4），所以OD ＝5，3cos 5DOP ∠=． ①如图1，当PD ＝PO 时，作PE ⊥OD 于E ． 在Rt △OPE 中，3cos 5OE DOP OP ∠==，52OE =，所以256OO =．此时点P 的坐标为25(,0)6． ②如图2，当OP ＝OD ＝5时，点P 的坐标为(5，0)．③如图3，当DO ＝DP 时，点D 在OP 的垂直平分线上，此时点P 的坐标为(6，0)．2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 以2个单位/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P 、Q 两点移动过程中，当△PQC 为等腰三角形时，求t 的值．解析．在Rt △ABC 中，10862222=+=+=BC AB AC .因此4cos 5ACB ∠=. 在△PQC 中，CQ ＝t ，CP ＝10－2t .①如图1，当CP CQ =时，102t t =-，解得103t =(秒). ②如图2，当QP QC =时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，则CM ＝152PC t ==-. 在Rt △QMC 中，45cos 5CM t QCM CQ t -∠===，解得259t =(秒). ③如图3，当PC PQ =时，过点P 作PN ⊥BC 于N ，则CN ＝1122QC t ==. 在Rt △PNC 中，142cos 5102tCNPCN CP t∠===-，解得8021t =(秒). 综上所述，当t 为秒秒、秒、2180925310时，△PQC 为等腰三角形.3．如图，直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，直线PQ 与直线AB 垂直，交y 轴于点Q ，如果△APQ 是等腰三角形，求点P 的坐标．解析．由y ＝2x ＋2得，A (－1，0)，B (0，2)．所以OA ＝1，OB ＝2． 如图，由△AOB ∽△QOP 得，OP ∶OQ ＝OB ∶OA ＝2∶1． 设点Q 的坐标为(0，m )，那么点P 的坐标为(2m ，0)．因此AP 2＝(2m ＋1)2，AQ 2＝m 2＋1，PQ 2＝m 2＋(2m )2＝5m 2．①当AP ＝AQ 时，AP 2＝AQ 2，解方程(2m ＋1)2＝m 2＋1，得0m =或43m =-．所以符合条件的点P 不存在． ②当PA ＝PQ 时，PA 2＝PQ 2，解方程(2m ＋1)2＝5m 2，得25m =±．所以(425,0)P +．③当QA ＝QP 时，QA 2＝QP 2，解方程m 2＋1＝5m 2，得12m =±．所以(1,0)P ． 4．如图，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解析．（1）如图，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ． 在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，23OC =所以点B 的坐标为(2,23)--．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，代入点B (2,23)--，232(6)a -=-⨯-．解得3a =-． 所以抛物线的解析式为23323(4)y x x x x =--=-+．（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±． 当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-．5．如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ． （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2 解析．（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图1）．②当PA＝PD时，24m+244(2)m=+-．解得43m=（如图2）或4m=（不合题意，舍去）．③当DA＝DP时，2(4)m-244(2)m=+-．解得23m=（如图3）或2m=（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为32，43或23．[另解]第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图1，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以12PC MBCM BA==．因此12PC=，32m=．②如图2，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此42m m-=．解得43m=．（3）点H所经过的路径长为54π．思路是这样的：如图4，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym=，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？解析．(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EBCE BF=，即8m x x y -=． 整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m =-+． (2)如图1，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况． 因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ． 将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图2）； 将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图3）．第6题图1 第6题图2 第6题图37．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，DE ＝4．动线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF //AC 交AB 于点F （当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合），联结DF ，设运动的时间为t 秒（t ≥0）． （1）直接写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；（2）在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由； （3）设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．解析．（1）4BE t =+，5(4)8EF t =+．（2）△DEF 中，∠DEF ＝∠C 是确定的．①如图1，当DE ＝DF 时，DE EFAB BC =，即5(4)481016t +=．解得15625t =． ②如图2，当ED ＝EF 时，54(4)8t =+．解得125t =．③如图3，当FD ＝FE 时，FE AC DE BC=，即5(4)108416t +=．解得0t =，即D 与B 重合．第7题图1 第7题图2 第7题图3（3）MN 是△FDE 的中位线，MN //DE ，MN ＝2，MN 扫过的形状是平行四边形． 如图4，运动结束，N 在AC 的中点，N 到BC 的距离为3； 如图5，运动开始，D 与B 重合，M 到BC 的距离为34．所以平行四边形的高为39344-=，面积为99242⨯=．第7题图4 第7题图58．如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，且AB ＝3，BC ＝32，直线y ＝323-x 经过点C ，交y 轴于点G ．（1）点C 、D 的坐标分别是C （ ），D （ ）；（2）求顶点在直线y ＝323-x 上且经过点C 、D 的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y ＝323-x 平移，平移后的抛物线交y 轴于点F ，顶点为点E （顶点在y 轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG 为等腰三角形？ 若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．解析．（1）(4,23)C ，(1,23)D ．（2）顶点E 在AB 的垂直平分线上，横坐标为52，代入直线y ＝323-x ，得3y =．设抛物线的解析式为253()2y a x =-+，代入点(4,23)C ，可得23a =．所以物线的解析式为22353()2y x =-+．（3）由顶点E 在直线y ＝323-x 上， 可知点G 的坐标为(0,23)-，直线与y 轴正半轴的夹角为30°， 即∠EGF ＝30°．设点E 的坐标为(,323)m m -，那么EG ＝2m ，平移后的抛物线为223()323y x m m =-+-．所以点F 的坐标为223(0,323)m m +-．①如图1，当GE ＝GF 时，y F －y G ＝GE ＝2m ，所以22332m m m +=．解得m ＝0或332-．m ＝0时顶点E 在y 轴上，不符合题意．此时抛物线的解析式为223373(3)32y x =-++-．②如图2，当EF ＝EG 时，FG ＝23E x ，所以2233233m m m +=．解得m ＝0或32．此时抛物线的解析式为22333()322y x =--．③当顶点E 在y 轴右侧时，∠FEG 为钝角，因此不存在FE ＝FG 的情况．第8题图1 第8题图29．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，点D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，∠ADE ＝∠B ．设BD 的长为x ，CE 的长为y ．（1）当D 为BC 的中点时，求CE 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）如果△ADE 为等腰三角形，求x 的值．备用图 备用图解析．（1）当D 为BC 的中点时，AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，CE 83=． （2）如图1，由于∠ADC ＝∠ADE ＋∠1，∠ADC ＝∠B ＋∠2，∠ADE ＝∠B ， 所以∠1＝∠2．又因为AB ＝AC ，所以∠C ＝∠B ．所以△DCE ∽△ABD ．因此DC CEAB BD=，即86x y x -=． 整理，得21463y x x =-+．x 的取值范围是0≤x ≤8．（3）①如图1，当DA ＝DE 时，△DCE ≌△ABD ．因此DC ＝AB ，8－x ＝6．解得x ＝2． ②如图2，当AD ＝AE 时，D 与B 重合，E 与C 重合，此时x ＝0．③如图3，当EA ＝ED 时，∠DAE ＝∠ADE ＝∠B ＝∠C ，所以△DAC ∽△ABC ．因此8668x -=．解得72x =．第9题图1 第9题图2 第9题图3。
专题3 等腰三角形的存在性问题
专题3 等腰三角形的存在性问题（一）考点分析“两圆一线”模型已知线段AB ，在平面内找一点C ，使△ABC 为等腰三角形.（1） AB =AC 时，以A 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上所有的点均满足条件； （2） BA =BC 时，以B 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上所有的点均满足条件； （3） CA =CB 时，作AB 的垂直平分线，此直线上所有的点均满足条件.“两圆一中垂”上所有的点C 均满足△ABC 为等腰三角形，即满足“等腰”条件的点C 有无数个.因此，题目会对点C 再加上另外一个限定条件——例如还限定点C 在坐标轴上或抛物线上，这样，点C 的个数就只有几个.（二）典型例题例：已知点A (2,1),B (6,4)，若在x 轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，求满足条件的点C 的坐标. 解法1：“两圆一线”模型 由题可知：AB =5（1）如图，AB =AC 时，由勾股定理可得：DC 1=DC 2=2√6，则C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0) （2）如图， BA =BC 时，由勾股定理可得：EC 3=EC 4=3，则C 3(3,0)，C 4(9,0)（3）如图，CA =CB 时，设FC 5=x ，则HC 5=4−x ，由AC 5=BC 5得：x 2+1=(4−x)2+42图(3)图(2)图(1)图(3)图(2)图(1)解得：x =318，则C 5(478,0) 综上所述：C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0)，C 3(3,0)，C 4(9,0)，C 5(478,0)如果学生掌握了中点公式和两条垂直直线k 的关系，第（3）种情况CA =CB 也可以通过代数方法解决，具体过程如下：由A (2,1),B (6,4)可知：M (4,52),k AB =34，则k MC 5=−43 ∴直线MC 5的解析式为y =−43x +476，则C 5(478,0)解法2：两点间距离公式——暴力解法设点C (x ,0)，则AB 2=(2−6)2+(1−4)2=25，AC 2=(2−x)2+(1−0)2=x 2−4x +5，BC 2=(6−x)2+(4−0)2=x 2−12x +52（1） AB =AC 时，25=x 2−4x +5解得：x 1=2−2√6,x 2=2+2√6，则C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0) （2） BA =BC 时，25=x 2−12x +52 解得：x 1=3,x 2=9，则C 3(3,0)，C 4(9,0) （3） CA =CB 时，x 2−4x +5=x 2−12x +52 解得：x =478，则C 5(478,0) 综上所述：C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0)，C 3(3,0)，C 4(9,0)，C 5(478,0)小结：利用两点间距离公式解题的基本思路是：列点、列线、列式.① 列点：列出构建所求等腰三角形的三个点，定点找到后，动点用参数表示其坐标； ② 列线：列出构建所求等腰三角形的三条边，并用两点间距离公式表示其长度； ③ 列式：采用分类讨论思想，列出三组方程并求解.（三）巩固强化1. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C(0,−3)，顶点为D ．(1)求此抛物线的解析式；(2)求此抛物线顶点D 的坐标和对称轴；(3)探究对称轴上是否存在一点P ，使得以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．2. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与直线y =x +1相交于A(−1,0)，B(4,m)两点，且抛物线经过点C(5,0)． (1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上的一个动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作直线PD ⊥x 轴，交直线AB 于点E ．是否存在点P 使△BEC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学培优：等腰三角形存在性问题
中考数学培优：等腰三角形存在性问题【例题讲解】例题1.如图，直线l 1、12相交于点A ,点B 是直线外一点,在直线l 1、12上找一点C ，使△ABC 为一个等腰三角形.满足条件的点C 有个.【提示】①以B 为圆心,线段BA 长为半径作圆,与l 1、12交点即为满足条件点C ；②以A 为圆心,线段BA 长为半径作圆，与l 1、12交点即为满足条件点C ；③作线段AB 的垂直平分线，与l 1、12交点即为满足条件点C.(此方法简称为“两圆一线”)【巩固训练】1、一次函数y =43x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,在坐标轴上取一点C ,使△ABC 为等腰三角形,则这样的点C 最多有个。
2、已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6,在△ABC 所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.6条B.7条C.8条D.9条例题2.一次函数y =43x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，在y 轴上取一点C ,使得AC =BC ,求出C 点坐标？【代数法、几何法均可解】解：如图所示,直线AB 的解析式为y =43x +4,当y =0时,x =－3,则A (－3.0);当x =0时,y =4,则B (0,4)。
设C 点坐标为(x .0),在Rt △AOB 中,由勾股定理得5==,在Rt △BOC 中,由勾股定理得BC =。
①当以AB 为底时,AC =BC ,则3+x 整理得6x =7,解得x =76,则(76,0);②当以BC 为底时,可得AC =AB ,则35x --=,解得x =2或－8,则C (2,0)或(－8,0);③当以AC 为底时,可得AB =BC ,整理得x 2=9,解得x =±3,则C (3,0)或(－3,0)(舍去)。
综上所述,满足条件的点C 的坐标是(76,0)或(2,0)或(3,0)或(－8,0)例题3.如图,直线x =－4与x 轴交于点E ,一开口向上的抛物线过原点交线段OE 于点A ,交直线x =－4于点B ,过B 且平行于x 轴的直线与抛物线交于点C ,直线OC 交直线AB 于D ,且AD :BD =1：3.(1)求点A 的坐标；(2)若△OBC 是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.解:(1)如图过点D 作DF ⊥x 轴于点F .由题意可知OF =AF 则2AF +AE =4①∵DF ∥BE ,∴△ADF ∽△ABE ,∴12AF AD AE AB ==,即AE =2AF ②①与②联立解得AE =2,AF =1.∴点A 的坐标为(－2,0);(2)∵抛物线过原点(0,0),∴可设此抛物线的解析式为y =ax 2+bx∵抛物线过原点(0,0)和A 点(－2,0),∴对称轴为直线x ＝202-+＝－1∵B 、C 两点关于直线x =－1对称B 点横坐标为－4,∴C 点横坐标为2,∴BC ＝2－(－2)＝6∵抛物线开口向上,∴∠OAB >90°,OB >AB =OC .∴当△OBC 是等腰三角形时分两种情况讨论:①当OB =BC 时设B (－4,y 1),则16+y 12=36解得y 1=±(负值舍去).将A (－2,0),B (－4,)代入y =ax 2+bx得420164a b a b -=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得5452a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴此抛物线的解析式为yx 2x ②当OC =BC 时设C (2,y 2),则4+y 22=36解得y 2=±负值舍去)将A (－2,0),C(2,代入y =ax 2+bx ,得42042a b a b -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得2a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴此抛物线的解析式为y =22x 2x 例题4.如图甲,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =4cm,BC =3cm.如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,它们的速度均为1cm /s .连接PQ ,设运动时间为t (s )(0<t <4),解答下列问题：(1)设△APQ 的面积为S ,请写出S 关于t 的函数表达式？(2)如图乙,连接PC ,将△POC 沿QC 翻折,得到四边形PQP 'C ,当四边形PQP 'C 为菱形时,求t 的值；(3)当t 为何值时,△APQ 是等腰三角形？解:(1)如图1,过点P 作PH ⊥AC 于H ,∵∠C =90°,∴AC ⊥BC ,∴PH ∥BC ,∴△APH ∽△ABC ,∴PH AP BC AB =,∵AC =4cm ,BC =3cm ,∴AB =5cm ∴535PH t -=,∴PH ＝3－35t ，∴△AQP 的面积为:S =12×AQ ×PH =12×t ×(3－35t )=23518()1025t --+∴当t 为52秒时,S 最大值为185cm 2.(2)如图2,连接PP ',PP '交QC 于E ,当四边形PQP 'C 为菱开时,PE 垂直平分QC ,即PE ⊥AC ,QE =EC ,∴△APE ∽△ABC ,∴AE AP AC AB =,∴AE =(5)44455AP AC t t AB ⋅-⨯==-+∴QE =AE －AQ =45t -+4－t =95t -+4，QE =12QC =12(4－t )=12-t +2∴95t -+4＝12-t +2，∴解得:t ＝2013，∵0＜2013＜4.∴当四边形PQP 'C 为菱形时,t 值是2013秒;(3)由(1)知,PD =335t -+,与(2)同理得:QD =AD －AQ =945t -+∴PQ ==在△APQ 中,①当AQ =AP ,即=5－t 时,解得:t 1=52，②当PQ =AQ ,t 时,解得:t 2=2513,t 3=5.③当PQ =AP－t 时,解得:t 4=0,t 5=4013∵0<t<4,∴t 3=5,t 4=0不合题意,舍去,∴当t 为52s 或2513s 或4013s 时,△APQ 是等腰三角形.例题5.已知,如图,在Rt △ABC 中,AC =6,AB =8,D 为边AB 上一点,连接CD ,过点D 作DE ⊥DC 交BC 与E ,把△BDE 沿DE 翻折得△DE B 1,连接B 1C(1)证明:∠ADC =∠B 1DC ；(2)当B 1E /∥AC 时,求折痕DE 的长；(3)当△B 1CD 为等腰三角形时,求AD 的长.解:(1)证明由折叠的性质得:∠BDE =∠B 1DE ,∵DE ⊥DC ,∴∠ADC =180°－90°－∠BDE =90°－∠BDE ,∠B 1DC =90°－∠B 1DE ，∴∠ADC =∠B 1DC(2)解延长B 1E 交AB 于F .∵B 1E ∥AC ,∠A =90°,∴B 1F ⊥AB ,∴∠EB 1D +∠BDB 1=90°.∵∠B =∠EB 1D ,∴∠B +∠BDB 1=90°,∴∠BGD =90°,在△BDC 和△B 1FD 中,111B EB D BGD B FD BD DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDG ≌△B 1FD .∴DF =DG ,在△ADC 和△GDC 中,90ADC CDG A DGC DC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ,∴△ADC ≌△GDC ,∴DG =AD .∴DF =AD =DG ,设DF =AD =DG =x ,∴BF ＝8－2x ,∵EF ∥AC ,∴△BFE ∽△BAC ,∴EF BF AC AB =,∴EF ＝1232x -，∵△EFD ∽△ACD ,∴DF EF AC AD=,∴12326x x x -=，解得:x =3,∴BF =3,EF ＝32，∴DE.(3)解设AD =x ,则CD,BD =8－x ，∵△B 1CD 是等腰三角形,①当B 1D =B 1C 时则∠B 1DC =∠B 1CD ,∴DB 1=BD =8－x ,如图2过B 1作B 1F ⊥CD ,则DF =CF =12CD=2,∵∠ADC =∠B 1DC ,∠B 1FD =∠A =90°,∴△CDA ∽△B 1DC ,∴1B D DF CD AD =,2x =，∴3x 2－16x +36=0,此方程无实数根.∴B 1D ≠BC .②B 1D =CD 时，∴B 1D =CD =BD =8－x .∴(8－x )2=x 2+6，∴x ＝74,∴AD ＝74.③当CD =BC 时如图2过C 作CH ⊥DB ,则DH =B 1H =12DB 1=12BD =12(8－x )在△ACD 和△CHD 中，90ADC CDH A CHD CD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ∴△ACD ≌△CHD ,∴AD =DH =x∴x ＝12(8－x ),∴x =83,∴AD =83,综上所述:当△B 1CD 是等腰三角形时AD 的长为74或83.【巩固训练】1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出不同的等腰三角形的个数最多为()A.4B.5C.6D.72.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,若点P在AD边上,连接BP、PC,使得△BPC是一个等腰三角形.(1)用尺规作图画出符合要求的点P.(保留作图痕迹,不要求写做法)(2)求出PA的长.3.如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)4.如图,一长度为10的线段AC的两个端点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上滑动,以A为直角顶点,AC为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,连接BO.(1)求OB的最大值；(2)在AC滑动过程中,△OBC能否恰好为等腰三角形？若能,求出此时点A的坐标;若不能,请说明理由.5、如图,抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1，0),B(5,0)两点，直线y=－2x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D,点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x.轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若△PCE为等腰三角形,求m的值.6.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(12,－8),点B、C在x轴上，tan∠ABC=43，AB=AC，AH⊥BC 于H,D为AC的中点,BD交AH于点M.(1)求过B、C、D三点的抛物线的解析式，并求出抛物线顶点E的坐标；(2)过点E且平行于AB的直线l交y轴于点G,若将(2)中的抛物线沿直线1平移，平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为E'(点E'在y轴右侧).是否存在这样的抛物线,使△EFG为等腰三角形？若存在,请求出此时顶点E'的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中点B坐标为(6,0),点A在第一象限,△AOB为等边三角形,OH⊥AB于点H,动点P、Q分别从B、O两点同时出发,分别沿BO、OA方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点O时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s),PQ交OH于点M,设四边形AQPB的面积为y.(1)求y与t之间的函数关系式；(2)设PQ的长为x(cm)试确定y与x之间的函数关系式；(3)当t为何值时,△OPM为等腰三角形；(4)线段OM有最大值吗？如果有,请求出来;如果没有,请说明理由.8.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=20.E为矩形外一点,且△EBA∽△ABD.3(1)求AE和BE的长；(2)将△ABE绕点B顺时针旋转一个角a(0°<α<180°),记旋转中的△ABE为△A'BE',在旋转过程中,设A'E'所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形？若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.9.如图(1),∠AOB=45°,点P、Q分别是边OA,OB上的两点,且OP=2cm.将∠O沿PQ折叠,点O落在平面内点C处。
初中数学等腰三角形存在性问题(含答案)
等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点 A坐标为（ 1,1），点 B坐标为（ 4,3），在 x轴上取点 C使得△ ABC是等腰三角形．几何法】“两圆一线”得坐标1）以点 A 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有AB=AC；2）以点 B 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有BA=BC；3）作 AB 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 CA=CB ．y【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．AC1=AB= (4-1)2+(3-1)2= 13 作AH x轴于 H点， AH=1 C1H=C2H= 13-1=2 3C1(1-2 3,0) C2(1+2 3,0)C3、C4 同理可求，下求 C5．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A、B 均往下移一个单位，当点为（ 1,0），点 B坐标为（ 4,2）时，可构造直角三角形勾股解：AH =3， BH=2设AC5= x，则 BC5=x，C5H=3-x13解得： x=619故 C5坐标为（ ,0）而对于本题的 C5 ，或许代数法更好用一些．A 坐标222(3-代数法】表示线段构相等1）表示点：设点 C 5坐标为（ m ， 0），又 A 点坐标（ 1,1 ）、 B 点坐标（ 4,3），2)表示线段： AC 5 (m 1) (0 1) ， BC 5 (m 4) (0 3) 3）分类讨论：根据 AC 5 BC 5 ，可得： （m 1）2 12（m 4）2 32 ，【小结】 几何法：（ 1）“两圆一线 ”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标 A 、 B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段： AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取① AB=AC 、②AB=BC 、③ AC=BC ； （4）列出方程求解．问题总结：1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； 3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 2018 泰安 中考】4）求解得答案：解得： 23 6故 C 5 坐标为23,0如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 bx c交x轴于点 A( 4,0) 、 B(2,0) ，交y轴于点 C(0,6) ，在y轴上有一点 E(0, 2) ，连接AE ．1)求二次函数的表达式；2)若点D为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值；3)抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．分析】 1) y3x 2 3x 6； 422) 可用铅垂法，当点 D 坐标为 ( 2,6 )时，△ ADE 面积最大，最大值为 14； 3) 这个问题只涉及到 A 、 E 两点及直线 x=-1(对称轴)① 当 AE=AP 时，以 A 为圆心， AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求 P 点．∵AE=2 5 ，∴ AP 1=2 5，又 AH=3，∴ P 1H故P 1( 1, 11)、 P 2 ( 1, 11)．② 当 EA=EP 时，以 E 点为圆心， EA 为半径画圆，故 P 5 ( 1,1) ． P 5 ( 1,1)．补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．P 1HP 4Bx11，与对称轴交点即为所求 P 点．过点 E 作EM 垂直对称轴于 M 点，则 EM=1， 1, 2 19)故P 3( 1, 2 19)、 P 4( 作 AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求 ③当 PA=PE 时，P 点．设 P 5 ( 1,m )，P 5A 2 2 2 2 ( 1 4)2 (m 0)2， P 5E 2=( 1 0)2(m 2)2 ∴ m 2 9 (m2)2 1，解得： m=1 ．综上所述， P 点坐标为 P 1( 1, 11)、P 2( 1, 11 )、P 3( 1,19 )、P 4 ( 1, 2 19)、19 ，P 3M P4 M【 2019 白银中考（删减）】如图，抛物线 y ax2 bx 4交x轴于 A（ 3,0）， B（4,0）两点，与y轴交于点 C ，连接AC ，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作 PM x轴，垂足为点M ，PM 交 BC 于点 Q ．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点 Q，使得以A， C ， Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；yCP分析】1) y1x2 1x 4 ；332)①当 CA=CQ 时，∵ CA=5，∴ CQ=5，考虑到 CB 与 y 轴夹角为 45°，故过点 Q作 y 轴的垂线，垂足记为 H ，则 CH QH 5 2，故 Q 点坐标为5 2,4 5 2．2 2 2②当 AC=AQ 时，考虑直线 BC 解析式为 y=-x+4，可设 Q 点坐标为( m， -m+4)，AQ (m 3)2( m 4 0)2，即(m 3) ( m 4 0) 5 ，解得： m=1 或 0(舍)，故 Q 点坐标为( 1， 3)．③当 QA=QC 时，作 AC 的垂直平分线，显然与线段 BC 无交点，故不存在．综上所述， Q点坐标为5 2 ,4 5 2或( 1， 3)．22记直线 x=2 与 x 轴交点为 H 点， ∵ OH =2，∴ BH=1，故 B 点坐标为（ 2，1）或（ 2，-1），k=-1 或 -3． ②当 AO=AB 时，易知 B 点坐标为（ 2，0），k=-2． 综上所述， k 的值为 -1或-2 或-3． 【 2018 贵港中考(删减) 】2019 盐城中考删减 】如图所示， 二次函数 y k （x 1）2 2 的图像与一次函数 y kx k 2 的图像交于 A 、B 两点， 点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x 、 y 轴交于 C 、 D 两点，其中 k 0 ． 1）求 A 、 B 两点的横坐标；2）若 OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值．分析】1）A 、B 两点横坐标分别为 1、 2；B 点横坐标始终为 2 ，故点 B 可以看成是直线 x=2 上的一个动点， 满足△ OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形， 又 A 点坐标为（ 1， 2），故 OA 5 ① 当 OA=OB 时，即 OB 5 ，如图，已知二次函数 y ax2 bx c 的图像与x 轴相交于 A( 1,0) ， B(3,0) 两点，与y 轴相交于点 C(0, 3) ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，P H x轴于点H ，与线段 BC 交于点M ，连接 PC ．当 PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．y② 当 MP =MC 时，（表示线段列方程）设 P 点坐标为 （m,m 22m 3），则 M 点坐标为 （m, m 3）， 故线段 PM （m 3） （m 2 2m 3） m 2 3m 故点M 作y 轴的垂线，垂足记为 N ，则 MN =m ，考虑△ MCN 是等腰直角三角形，故 MC 2m ，m 2 3m 2m ，解得 m 32 或 0（舍），故 P 点坐标为 (3 2,2 综上所述， P点坐标为（ 2， -3）或 （3 2,2 分析】1） y x 2 2 x 3 ；2）①当 PM=PC 时，（特殊角分析） 考虑∠ PMC =45°，∴∠ PCM=45°， 即△ PCM 是等腰直角三角形， P 点坐标为（ 2，-3）；4 2 )．【2019 眉山中考删减】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 4 x2 bx c经过点 A（ 5,0）和点 B（1,0）．9（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A 、B重合），作 DMN DBA，MN 交线段AD 于点 N ，是否存在这样点M ，使得 DMN 为等腰三角形？若存在，求出 AN 的长；若不存在，请说明理由．x分析】1) y 4 x2 16 x 20，顶点 D 坐标为( 2,4 )；9 9 92)考虑到∠ DAB=∠DBA=∠DMN，即有△ BMD ∽△ ANM(一线三等角)①当 MD=MN 时，有△ BMD≌△ ANM，可得 AM=BD =5，故 AN=BM=1；②当 NM=ND 时，则∠ NDM =∠ NMD =∠DAB，③当 DM=DN时，∠ DNM =∠DMN =∠DAB，显然不成立，故不存在这样的点M．△ MAD ∽△ DAB ，可得AM=25，6BM116ANBMAM，即BDAN116256，5解得： AN5536AN 的值为 1 或55．综上，36【2019 葫芦岛中考（删减）】如图，直线 y x 4与x轴交于点B，与y轴交于点 C，抛物线 y x2 bx c经过B，C 两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒 2个单位长度的速度在线段 BC上由点B向点 C 运动（点P 不与点B 和点 C 重合），设运动时间为 t 秒，过点P 作x 轴垂线交x轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接AM 交 BC 于点D ，当PDM 是等腰三角形时，直接写出 t 的值．y分析】1） y x2 3x 4 ；2）①考虑到∠ DPM =45°，当 DP=DM 时，即∠ DMP =45°，直线 AM ：y=x+1，联立方程：x 3 x 4 x 1，解得： x1 3 ， x2 1 （舍）．此时 t=1 ．②当 PD=PM 时，∠ PMD =∠ PDM =67.5°，∠ MAB=22.5°，考虑 tan∠ 22.5 °= 2 1 ，直线 AM ：综上所述， t 的值为附： tan22.5 =° 2 1 ．总结】具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件，选取恰当的方法，联立方程：x2 3 x 4 ( 2 1)x 21解得：x1 5 2 ， x2 1 （舍）．此时 t= 2 1．222.5 °tan 22.5 1 2 121可减轻计算量．。
等腰三角形存在性问题(带标准答案)
等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB=．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=10，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，若△BPQ 是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P 有( )个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（4）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( B )个．A.8B.9C.10D.113、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有3处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于15．【解答】解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″，∵网格中的每个小正方形的边长为1，∴S△ABC=×4×3=6，S△ABC′=20﹣2×3﹣=6.5，S△ABC″=2.5，∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．故答案分别为：3；15．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画4个（在图中作出点P）（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画2个，（只写出结果）（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB= 90°．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有5个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；【结论】当AOB ∠为锐角，AOB ∠ο60≠，有三个点，当AOB ∠=ο60，只有一个点；当AOB ∠为钝角或直角，只有一个点；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P有( B )A.2个B.3个C.4个D.5个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( C )A.1个B.3个C.5个D.无数多个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。
等腰三角形存在性问题(带答案)
( 带答等腰三角形存在性问题等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）2、. 如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C 点有（）个．3、如图，A、B 是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ ABC为等腰三角形时，格点 C 的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．4、如图，在图中能画出与△ ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB 上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P 也在AB上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）2）若∠ DOB=6°0 ，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（3）若改变（2）中∠ DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠DOB= ．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△ PAB是等腰三角形，则这样的点P 最多能确定（）个．8、线段AB和直线l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l 上恰好只有个 1 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 2 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 3 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 4 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 5 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 6 点P，使△ ABP为等腰三角形．9、如图AOB, 当AOB为30 ，60 ，120 时，请在射线OA上找点P，使POB为等腰三角形，并分析出当AOB发生变化时，点P 个数的情况；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△ BPQ是腰长为 5 的等腰三角形，则满足题意的点P有( )个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( ) 个12、如图，边长为 6 的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△ PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个．13、在等边△ ABC所在的平面内求一点P，使△ PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ 4 ）2、. 如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的 C 点3、如图， A 、B 是网格中的两个格点，点 C 也是网格中的一个格点，连接 AB 、BC 、AC ，当△ ABC 为等腰三角形时，格点 C 的不同位置有 3 处，设网格中的每个小正方形的边长 为 1，则所有满足题意的等腰三角形 ABC 的面积之和等于 15 ．∵网格中的每个小正方形的边长为 1， ∴ S △ABC= ×4×3=6，S△ABC ′=20﹣2×3﹣ =6.5 ，故答案分别为： 3；15．格点 C 的不同位置分别是： C 、C ′、C ″，S△A BC ″=2.54、如图，在图中能画出与△ ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P 也在AB 上，这样的等腰三角形能画 4 个（在图中作出点P）（2）若∠ DOB=6°0 ，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画 2 个，（只写出结果）（3）若改变（2）中∠ DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠ DOB= 907、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△ PAB是等腰三角形，则这样的点P 最多能确定（）个．8、线段AB和直线l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有5 个直线l 上恰好只有个1点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个2点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个3点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个4点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个5点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P，使△ ABP为等腰三角形．9、如图AOB, 当AOB为30 ，60 ，120 时，请在射线OA上找点P，使POB为等腰三角形，并分析出当AOB发生变化时，点P 个数的情况；结论】当AOB为锐角，AOB 60 ，有三个点，当AOB= 60 ，只有一个点；当AOB 为钝角或直角，只有一个点；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△ BPQ是腰长为 5 的等腰三角形，则满足题意的点P有( B )A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P 有( C ) A.1 个 B.3 个 C.5 个 D. 无数多个12、如图，边长为 6 的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△ PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个．13、在等边△ ABC所在的平面内求一点P，使△ PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。
初二暑假专题一等腰三角形的存在性问题
OyPx 专题一：等腰三角形的存在性问题【专题攻略】如果△ABC 是等腰三角形，那么存在 、 、 三种情况。
已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线。
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。
几何法一般分为三步： 、 、 。
代数法一般也分为三步： 、 、 。
【引题】 如图1，在平面直角坐标系中，已知点D 的坐标为 （3,4），点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标。
【例题精析】例1 已知△ABC 的三边长分别为3、4、6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）A. 6条B. 7条C. 8条D. 9条例2 如图2，在直角梯形ABCD 中，AD//BC,∠C=90°，BC=12,AD=18,AB=10.动点P ,Q 分别从点D 、B 同时出发，动点P 沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 在线段BC 上以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点Q 运动到点C 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．射线PQ 与射线AB 相交于点E ，△AEP 能否为等腰三角形？如果能，请求t 的值；如果不能，请说明理由．B Oxy AyCxB AlO 例3（14年金华中考）如图，直角梯形ABCO 的两边OA 、OC 在坐标轴的正半轴上，BC//x 轴，OA=OC=4，点B 坐标为（2,4）；直线l:y=x-3与x 轴交于点G ，在梯形ABCO 的一边上取一点P 。
过点P 作x 轴、直线l 的垂线，垂足分别为E 、F 。
是否存在这样的点P ，使以P 、E 、F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
【题组训练】1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ∆为等腰三角形．．．．．， 则点C 的个数是（ ）A ．6B ．7 C.8D ．92.已知点A 的坐标为（3,1），O 为坐标原点，在坐标轴上找一点B,使△ABO 是等腰三角形，则满足条件的点B 有 个， 坐标为3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (0，3)， 点C 在坐标平面内．若以A 、B 、C 为顶点构成的三角形是等腰 三角形，且底角为30º，则满足条件的点C 有 个4．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.B AOCAxyB（1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN△的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.6、如图，一次函数b kx +=y 图象与x 轴、y 轴于B 、C 两点，且直线上一点A 点坐标为（3,2），△AOC 的面积为6。
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等腰三角形存在性问题1、如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A 以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？2、（2012山东临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．3、在平面直角坐标系xoy 中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点A （－1，0）．（1）请直接写出点B 、C 的坐标：B （ ， ）、C （ ， ）；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中∠EDF =90°，∠DEF =60°），把顶点E 放在线段AB 上（点E 是不与A 、B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ． 此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M ． ①设AE =x ，当x 为何值时，△OCE ∽△OBC ； ②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使△PEM 是等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图，直线l 1经过点A （－1，0），直线l 2经过点B(3，0), l 1、l 2均为与y 轴交于点C(0，3-)，抛物线2y=a x+bx+c(a 0)≠经过A 、B 、C 三点。
（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与x 轴交于点D 、与l 2交于点E 、与抛物线交于点F 、与l 1交于点G 。
求证：DE=EF=FG ;(3)若l 1⊥l 2于y 轴上的C 点处，点P 为抛物线上一动点，要使△PCG 为等腰三角形，请写出符合条件的点P 的坐标，并简述理由。
备用图答 案等腰三角形 1、解：（1）N （3，4）。
∵A （6，0）∴可设经过O 、A 、N 三点的抛物线的解析式为：y =ax （x ﹣6），则将N （3，4）代入得4=3a （3﹣6），解得a =﹣49。
∴抛物线的解析式：2448y x x 6x +x 993=--=-（）。
（2）存在。
过点N 作NC ⊥OA 于C ，由题意，AN =53t ，AM =OA ﹣OM =6﹣t ， ∴NC =NA •sin ∠BAO =544t =t 353⋅。
∴2MNA 1142S AM NC 6t t t 362233∆=⋅=⋅-=--+（）（）。
∴△MNA 的面积有最大值，且最大值为6。
（3）在Rt △NCA 中，AN =53t ，NC =AN •sin ∠BAO =544t =t 353⋅，AC =AN •cos ∠BAO =t 。
∴OC =OA ﹣AC =6﹣t 。
∴N （6﹣t ，4t 3）。
∴()222452NM 6t t +t t 24t+3639⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭。
又AM =6﹣t 且0＜t ＜6，①当MN =AN 时， 2525t 24t+36=t 93-，即t 2﹣8t +12=0，解得t 1=2，t 2=6（舍去）。
②当MN =MA 时，252t 24t+36=6t 9--，即243t 12t=09-，解得t 1=0（舍去），t 2=10843。
③当AM =AN 时，6﹣t =53t ，即t =94。
综上所述，当t 的值取 2或10843或94 时，△MAN 是等腰三角形。
2、【答案】解：（1）如图，过B 点作BC ⊥x 轴，垂足为C ，则∠BCO =90°。
∵∠AOB =120°，∴∠BOC =60°。
又∵OA =OB =4，∴OC =12OB =12×4=2，BC =OB •sin 60°=34=232⨯。
∴点B 的坐标为（﹣2，﹣23）。
（2）∵抛物线过原点O 和点A ．B ，∴可设抛物线解析式为y =ax 2+bx ，将A （4，0），B （﹣2，﹣23）代入，得16a+4b=04a 2b=23⎧⎪⎨--⎪⎩，解得3a=623b=3⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩。
∴此抛物线的解析式为323y=x+63-。
∴y =23不符合题意，舍去。
∴点P 的坐标为（2，﹣23）。
②若OB =PB ，则42+|y +23|2=42，解得y =﹣23。
∴点P 的坐标为（2，﹣23）。
③若OP =BP ，则22+|y |2=42+|y +23|2，解得y =﹣23。
∴点P 的坐标为（2，﹣23）。
综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2，﹣23）。
3、（1）B （3，0），C （0，3）解：法1： 设过A 、B 、C 三点的抛物线为()()12(0)y a x x x x a =--≠，则 ∵A （—1，0）B （3，0） ∴()()13y a x x =+- 又∵C （0，3）在抛物线上 ∴()()30103a =+-∴33a =-∴()()3133y x x =-+- 即2323333y x x =-++ （2）①解：当△OCE ∽△OBC 时，则OC OEOB OC= ∵3OC =， OE=AE —AO=1x -， OB=3∴3133x -=∴2x = ∴当2x =时，△OCE ∽△OBC ． （2）②解：存在点P. 理由如下： 由①可知2x = ∴OE=1 ∴E （1，0） 此时，△CAE为等边三角形∴∠AEC=∠A=60°又∵∠CEM=60° ∴∠MEB=60° ∴点C 与点M 关于抛物线的对称轴12bx a=-=对称. ∵C （0，3） ∴M ()2,3过M 作MN ⊥x 轴于点N （2，0） ∴MN=3 ∴ EN=1 ∴ EM=222EN EM +=若△PEM 为等腰三角形,则:ⅰ)当EP=EM 时, ∵EM=2，且点P 在直线1x =上 ∴P(1，2)或P(1，—2)ⅱ）当EM=PM 时,点M 在EP 的垂直平分线上 ∴P(1，23) ⅲ）当PE=PM 时，点P 是线段EM 的垂直平分线与直线1x =的交点 ∴P(1，233) ∴综上所述，存在P 点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，23）或（1，233）时，△EPM 为等腰三角形．4、【答案】解：（1）∵抛物线2y=ax +bx+c(a 0)≠经过A （－1，0），B （3，0），C （0，3-）三点，∴ a b c 09a 3b c 0 c 3⎧-+=⎪++=⎨⎪=-⎩ ，解得3 a 323b 3c 3⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩。
∴抛物线的解析式为：2323y=x +x 333-． （2）证明：设直线l 1的解析式为y=kx+b ，由直线l 1经过A （－1，0），C （0，3-），得∴k b 0 b 3-+=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得k 3 b 3⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴直线l 1的解析式为：y=-3-x 3- 。
直线l 2经过B （3，0），C （0，3-）两点，同理可求得直线l 2解析式为：y=33x 3- 。
∵抛物线()22323343y=x +x 3=x 13333---， ∴对称轴为x=1，D （1，0），顶点坐标为F （1，433- ）。
点E 为x=1与直线l 2：y= 33x 3-的交点，令x=1，得y=233- ，∴E（1，233-）。
点G 为x=1与直线l 1：y=-3-x 3- 的交点，令x=1，得y=23- ，∴G （1，23-）。
∴各点坐标为：D （1，0），E （1，233- ），F （1，433-），G （1，23- ），它们均位于对称轴x=1上。
∴DE=EF=FG=233。
（3）如图，过C 点作C 关于对称轴x=1的对称点P 1，CP 1交对称轴于H 点，连接CF ，PG 。
△PCG 为等腰三角形，有三种情况：①当CG=PG 时，如图，由抛物线的对称性可知，此时P 1满足P 1G=CG 。
∵C （0，3-），对称轴x=1，∴P 1（2，3- ）。
②当CG=PC 时，此时P 点在抛物线上，且CP 的长度等于CG 。
如图，C （1，3- ），H 点在x=1上，∴H （1，3-）。
在Rt △CHG 中，CH=1，HG=|y G －y H |=|23- －（3-）|= 3，∴由勾股定理得：()22CG 132=+=。
∴PC=2．如图，CP 1=2，此时与①中情形重合。
又Rt △OAC 中，()22AC 132=+=，∴点A 满足PC=2的条件，但点A 、C 、G 在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。
③当PC=PG 时，此时P 点位于线段CG 的垂直平分线上. ∵l 1⊥l 2，∴△ECG 为直角三角形。
由（2）可知，EF=FG ，即F 为斜边EG 的中点。
∴CF=FG ，∴F 为满足条件的P 点，∴P 2（1，433-）。
又CG 3cos CGE EG 2∠==，∴∠CGE=30°。
∴∠HCG=60°。
又P 1C=CG ，∴△P 1CG 为等边三角形。
∴P 1点也在CG 的垂直平分线上，此种情形与①重合。
综上所述，P 点的坐标为P 1（2，3- ）或P2（1，433- ）。