第4讲 二元一次方程(组)的概念与解法(学生版)

第4讲 二元一次方程（组）的概念与解法一、知识回顾：一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 特别说明：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧ba＝＝y x 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩.4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式；②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；转化消元一元一次方程二元一次方程组④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.二、经典例题：知识点一、二元一次方程（组）的概念【例1】若(a −2)x |a−1|−3y =5是关于x 、y 的二元一次方程，则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1或2 【例2】下列各组数中，是二元一次方程3x −5y =8的解的是（ ）A ．{x =1y =1B ．{x =−1y =1C ．{x =−1y =−1D ．{x =1y =−1【例3】若{x =−1y =2是关于x ，y 的二元一次方程3x+ay=5的一个解，则a 的值为 【例4】如果{x =1，y =2是关于x ，y 的方程mx +2y =6的解，那么m 的值为（） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【例5】下列方程中：①xy =1 ；②3x +2y =4 ；③2x +3y =0 ；④x 4+y3=7 ，二元一次方程有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【例6】下列方程组是二元一次方程组的是（ ）A ．{mn =2m +n =3 B ．{5m −2n =01m+n =3C ．{m +n =03m +2a =16D ．{m =8m 3−n 2=1知识点二、二元一次方程组的解法【例7】用代入消元法解方程组 {y =x −13x −2y =5正确的化简结果是（ ） A ．3x −2x −2=5 B ．3x −2x +2=5 C ．3x −2x −1=5 D ．3x −2x +1=5【例8】用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（ ）A ．由（1），得x=2−4y 3B ．由（1），得y=2−3x 4C ．由（2），得x=y+52D ．由（2），得y=2x ﹣5【例9】解方程组。

（1）{2x +3y =7x =−2y +3（2）【例10】用加减消元法解方程组 {2x +5y =−10①5x −3y =−1②时，下列②-①结果正确的是（ ） A ．要消去x ，可以将①×3-②×5. B ．要消去y ，可以将①×5+②×2. C ．要消去x ，可以将①×5-②×2. D ．要消去y ，可以将①×3+②×2.【例11】用加减消元法解方程组 {2x +3y =33x −2y =11，下列变形正确的是( ) A ．{4x +6y =39x −6y =11B ．{6x +3y =96x −2y =22C ．{4x +6y =69x −6y =33D ．{6x +9y =36x −4y =11【例12】用加减消元法解二元一次方程组： {x +3y =4，①2x −y =1，②时，下列方法中无法消元的是( ) A ．①×2-②B ．②×(-3)-①C ．①×(-2)+②.D ．①-②×3 【例13】解方程组：（1）{3x −2y =6x +4y =−19（2）{x +2y+12=4(x −1)3x −2(2y +1)=4【例14】若4x a+b －3y a-b+2= 2是关于x ，y 的二元一次方程，则a+ b 的值为（ ） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．2三、练习提升：1．已知{x =3y =1是关于x ，y 的二元一次方程ax −4y =2的一个解，则a 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．3D ．－32．已知 {x =1y =−3 是关于x ，y 的二元一次方程2mx ＋y ＝3的一个解，那么m 的值为（ ）A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣3 3．若(k −1)x |k|−5y =2是关于x 、y 的二元一次方程，那么k 的取值满足（ ） A ．k =−1 B ．k =1 C ．k ≠1 D ．k =±14．如果方程x −y =3与下面方程中的一个组成的方程组的解为{x =4y =1，那么这个方程可以是（ ）A ．3x −4y =16B ．14x +2y =5C ．12x +3y =8 D ．2(x −y)=6y5．若{x =2y =1是关于x 、y 的方程x −ay =3的一个解，则a 的值为（ ）A ．3B ．-3C ．1D ．-16．若方程■x －2y ＝x ＋5是二元一次方程，■是被弄污的x 的系数，请你推断■的值的情况是( ) A ．不可能是－1 B ．不可能是－2 C ．不可能是1 D ．不可能是27．下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．x 2＋x ＝1 B ．2x ﹣3y ＝5 C ．xy ＝3 D ．3x ﹣y ＝2z8．已知方程组{ax +by =−3ax −by =5的解是{x =−1y =2，则a −2b 的值是（ ）A ．3B ．－3C ．5D ．－59．已知方程组{x +y =−1ax +5y =4和{x −y =35x +by =1有相同的解，则a −2b 的值为()A ．9B ．10C ．11D ．1210．用加减消元法解二元一次方程组{x −y =7①2x −3y =2②时，下列能消元的是（ ）A ．①×2+②B ．①×3+②C ．①×2-②D ．①×（-3）-②11．若方程组{4x +3y =1kx +(k −1)y =3的解 x 和 y 的值相等，则k 的值等于（ ）A ．4B ．10C ．11D ．1212．若关于x ，y 的方程组{x +2y =1x −2y =k的解x ，y 的值都小于1，则k 的取值范围是（ ）A ．－3<k<1B ．－3≤k<1C ．－3<k≤1D ．－3≤k≤113．若关于x 、y 的方程组{a 1x +y =c 1a 2x +y =c 2的解为{x =1y =2，则方程组{a 1x −y =a 1+c 1a 2x −y =a 2+c 2的解是 ．14．在关于x 、y 的二元一次方程组{3x +y =ax −2y =1中，若2x +3y −2=0，则a 的值为 ．15．已知 {m =−2n =1 是关于m ，n 的方程组 {am +3b =n 4m +bn =2a +3 的解，则a+b= ． 16．已知关于x ，y 的二元一次方程组的解互为相反数，则k 的值是 ．17．小亮解方程组 {2x +y =•2x −y =12的解为 {x =5y =★ ，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数• 和★，请你帮他找回 • 这个数， • = . 18．已知关于x ，y 的方程组{x +2y =2m −5，x −2y =3−4m的解满足x <1，y <2，则m 的取值范围为 ． 19．已知方程组{3x +2y =7x −y =−1的解也是关于x ，y 的方程x −ay =5的一个解，则a 的值是 ．20．用适当的方法解下列方程组：（1）{y =x −15x +2y =5（2）{2x −3y =63x +2y =2221．解方程组：（1）用代入法解方程组{y =x −1，2x +3y =7.（2）用加减法解方程组{3x +y =2，x −2y =3.22．解二元一次方程组（1）{x4−y =−1x =2y ；（2）{3m +10n =3.48m −5n =4.23．解方程组（1）{3x +4y =10y =9−4x （2）{x −y =33x −8y =1424．阅读以下内容：已知x ，y 满足x +2y =5，且{3x +7y =5m −3，2x +3y =8，求m 的值．（1）三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于x ，y 的方程组{3x +7y =5m −3，2x +3y =8，再求m 的值．乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m 的值．丙同学：先解方程组{x +2y =5，2x +3y =8，，再求m 的值．（2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．请先选择思路，再解答题目．我选择 ▲ 同学的思路（填“甲”或“乙”或“丙”）．25．已知关于x 、y 的二元一次方程组{2ax +by =7ax −by =2的解为{x =−1y =1，求2a −b 的值．26．已知{x =3y =−2与{x =−1y =6都是方程ax −y +b =0的解，求a 、b 的值．27．已知方程组{5x +y =3ax +5y =4和{x −2y =55x +by =1有相同的解，求a −5b 的平方根．28．已知关于x 、y 的二元一次方程组{2x +y =6，3x −y =4的解也是关于x 、y 的二元一次方程2ax −3y =0的一组解，求a 的值.29．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x+3y ＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．其方法为：由2x+3y ＝12可得y =12−2x 3=4−23x （x 、y 为正整数），要使y ＝4−23x 为正整数，则23x 为整数，所以x 必须为3的倍数，从而得到x ＝3，代入得y ＝4−23x ＝2．所以2x+3y ＝12的正整数解为{x =3y =2问题：（1）请你直接写出方程3x+2y ＝8的正整数解 ； （2）若6x−3为自然数，求出满足条件的正整数x 的值；（3）关于x ，y 的二元一次方程组{x +2y =92x +ky =10的解是正整数，求整数k 的值．30．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组{17x +19y =21①23x +25y =27②时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： ②-①得：6x +6y =6，即x +y =1.③ ③×17得：17x +17y =17.④①-④得：y =2，代入③得x =−1.所以这个方程组的解是{x =−1y =2.（1）请你运用小明的方法解方程组{1997x +1999y =20012017x +2019y =2021. （2）规律探究：猜想关于x 、y 的方程组{ax +(a +2)y =a +4bx +(b +2)y =b +4(a ≠b)的解是 .31．已知关于x ，y 的方程组{x +2y =5，x −2y +mx +9=0.（1）若方程组的解满足 x +y =0 ，求 m 的值；（2）无论m 取何实数，方程 x −2y +mx +9=0 总有一个公共解，求出这个方程的公共解.32．已知关于x ，y 的方程组 {a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的解是 {x =4y =−6（1）若把x 换成m ，y 换成n ，得到的关于m ，n 的方程组为 {a 1m +b 1n =c 1a 2m +b 2n =c 2，则这个方程组的解是 {m =_______n =_______ .（2）若把x 换成2x ，y 换成3y ，得到方程组 {2a 1x +3b 1y =c 12a 2x +3b 2y =c 2，则 {2x =_______3y =_______ ，所以这个方程组的解是.（3）根据以上的方法解方程组 {2a 1x −b 1y =5c 12a 2x −b 2y =5c 233．阅读下列材料：小明同学遇到下列问题：解方程组{2x+3y 4+2x−3y3=72x+3y 3+2x−3y 2=8小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y ）看成一个整体，把（2x ﹣3y ）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m ＝2x+3y ，n ＝2x ﹣3y ．原方程组化为{m 4+n 3=7m 3+n 2=8，解的{m =60n =−24，把{m =60n =−24代入m ＝2x+3y ，n ＝2x ﹣3y ，得{2x +3y =602x −3y =−24解得{x =9y =14所以，原方程组的解为{x =9y =14．请你参考小明同学的做法解方程组：（1）{x+y 6+x−y10=3x+y 6−x−y 10=−1；（2）{5x +2y=113x −2y =13．34．阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 {2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一 种“整体代换” 解法：解：将方程②变形： 4x +10y +y =5 ，即 2(2x +5y)+y =5③，把方程①代入③得：2×3+y =5 ，即 y =−1把 y =−1 代入方程①，得 x =4 ，所以方程组的解为 {x =4y =−1 请你解决以下问题（1）模仿小同学约“整体代换”法解方程组 {3x +4y =166x +9y =25（2）已知 x,y 满足方程组 {x 2+xy +3y 2=113x 2−5xy +9y 2=49(i) 求 xy 的值：(ii) 求出这个方程组的所有整数解．。