2016届上海市浦东区高三一模数学试卷(word版)
2016届上海市金山区高三一模数学试卷(word版)
上海市金山区2016届高三一模数学试卷2016.01一. 填空题（本大题共14题，每题4分，共56分） 1. 31lim 23n n n →∞-=+ ； 2. 已知全集U R =，集合2{|450}M x x x =--<，{|1}N x x =≥，则()U M C N = ；3. 若复数z 满足3412i z i+=-（i 为虚数单位），则||z = ； 4. 若直线1:610l x my +-=与直线2:210l x y -+=平行，则m = ； 5. 若线性方程组的增广矩阵为122332c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ； 6. 方程46280x x -⨯+=的解是 ；7. 函数sec sin y x x =⋅的最小正周期T = ；8. 二项式621()x x-展开式中3x 系数的值是 ； 9. 以椭圆2212516x y +=的中心为顶点，且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是 ； 10. 在报名的5名男生和3名女生中，选取5人参加数学竞赛，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为 ；（结果用数值表示）11. 方程cos 2sin 1x x +=在(0,)π上的解集是 ；12. 行列式a b c d(,,,{1,1,2})a b c d ∈-所有可能的值中，最小值为 ； 13. 已知点P 、Q 分别为函数2()1f x x =+(0)x ≥和()g x 则点P 和Q 两点距离的最小值为 ；14. 某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”；黑“电子狗”爬行的路线是111...AA A D →→，黄“电子狗”爬行的路线是1...AB BB →→，它们都遵循如下规则：所爬行的第2i +段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）；设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 ；二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15.“直线1l 、2l 互相垂直”是“直线1l 、2l 的斜率之积等于1-”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 若m 、n 是任意实数，且m n >，则（ ）A. 22m n > B. 1n m < C. lg()0m n -> D. 11()()22m n < 17. 已知a 、b 是单位向量，0a b ⋅= ，且c 满足||1c a b --= ，则||c 的取值范围是（ ）A. 11]B. 1C. 1]D. [218. 如图，AB 为定圆O 的直径，点P 为半圆AB 上的动点，过点P 作AB 的垂线，垂足为Q ，过Q 作OP 的垂线，垂足为M ，记 AP 的长为x ，线段QM 的长为y ，则函数()y f x =的大致图像是（ ）A. B. C. D.三. 解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，cos A =， 2B A π=+；试求b 的大小及△ABC 的面积S ；20. 在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，90BAC ︒∠=，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于60︒，设1AA a =；（1）求a 的值；（2）求三棱锥11B A BC -的体积；21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12412x y C +=，设点00(,)R x y 是椭圆C 上一点，从 原点O 向圆2200:()()8R x x y y -+-=作两条切线，切点分别为P 、Q ；（1）若直线OP 、OQ 互相垂直，且点R 在第一象限内，求点R 的坐标；（2）若直线OP 、OQ 的斜率都存在，并记为1k 、2k ，求证：12210k k +=；22. 已知函数()||1m f x x x=+-(0)x ≠； （1）当2m =时，证明()f x 在(,0)-∞上是单调递减函数；（2）若对任意x R ∈，不等式(2)0x f >恒成立，求m 的取值范围；（3）讨论函数()y f x =的零点个数；23. 已知各项均为正数数列{}n a 前n 项和n S 满足11S >，且2632n n n S a a =++*()n N ∈； （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足,2,n n n a a n b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ； （3）设1n n nb C b +=*()n N ∈，问是否存在正整数N ，使得当任意正整数n N >时恒有 2015n C >成立？若存在，请求出正整数N 的取值范围；若不存在，请说明理由；。
2016届上海高三数学摸底考数学试题(教师)
2016届高三数学摸底考数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1 已知集合{}2≤=x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=015x x xB ,则A B = .解析:{}12<≤-x x .2 若函数)(x f y =与2x y e +=的图像关于直线x y =对称,则=)(x f .解析:由2x y e +=得2ln x y +=,从而ln 2x y =-,所以2x y e+=的反函数()ln 2,(0)f x x x =->.3.已知命题1|211:|≤+-x p ，命题)0(012:22><-+-m m x x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的范围是 .4、),2(+∞ 4 已知z 和31z i+-都是纯虚数,那么=z .解析:3i . 5. 若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 .【解析】：2222x y x +≥⋅=6 若抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线222x y -=的右焦点,则_______p =.解析:4. 7设{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28tan()a a +的值为 .解析:8. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = .【解析】：223111011a a q a q q q q q ==⇒+-=⇒=--，∵01q <<，∴q =9．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P 到面BCD ACD ,的距离分别为21,d d ，则=+21d d ___ ．a 36．10，设R y x ∈,，且满足55sin 201416sin cos 1007x x y y y ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，则cos(2)x y += 1 ．11. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则 选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）. 【解析】：3108115P C == 12. 设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= .【解析】：化简得2sin()3x a π+=，根据下图，当且仅当a =即12370233x x x πππ++=++=13.设函数()1f x x x=-．对任意[)1,x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞- ．14 设函数()122014122014,()f x x x x x x x x =+++++++-+-++-∈R ,下列四个命题中真命题的序号是 .(1)()f x 是偶函数； (2)不等式()20132014f x <⨯的解集为∅； (3)()f x 在()0,+∞上是增函数； (4)方程2(56)(2)f a a f a -+=-有无数个实根. 解析:(1)(2)(4).提示:特殊到一般,分别画出()11()f x x x x =++-∈R 和()1212()f x x x x x x =++++-+-∈R 的草图,就可以类比猜想出()f x 的图像,根据图像数形结合不难得出结论. 二、选择题:(每题5分,共20分) 15、已知:p “,,a b c 成等比数列”，:q “ac b =”，那么p 成立是q 成立的（ D ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分又非必要条件16 某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10g 黄金,售货员先将5g 的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金 ( A ).A 大于10g .B 小于10g .C 大于等于10g .D 小于等于10g解答:设两边的臂长分别是12,l l ,二次称得的黄金重量分别是1212,()m m m m ≠.则有杠杆原理得112122125255l m l m m m l l =⎧⇒⋅=⎨=⎩,从而1212210m m m m +>=.17、一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2 012个圆中共有●的个数是（ A ）A ．61B ．62C ．63D ．6418 设函数()xxxf x a b c =+-,其中0,0c a c b >>>>.若,,a b c 是ABC ∆的三条边长,则下列结论中正确的是 ( D ) ①对一切(),1x ∈-∞都有()0f x >；②存在x R +∈,使,,xxxxa b c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC ∆为钝角三角形,则存在()1,2x ∈,使()0f x =..A ①② .B ①③ .C ②③ .D ①②③三、解答题:(本大题共74分)19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等腰直角三角形，1AB AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且12AA =，E 是BC 的中点，F 是1A C 上的点．（1）求异面直线AE 与1A C 所成角θ的大小（结果用反三角函数表示）；（2）若1EF A C ⊥，求线段CF 的长．19.（本题12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解：（1）取11B C 的中点1E ，连11A E ，则11//A E AE ，即11CA E ∠即为异面直线AE 与1A C 所成的角θ．…………（2分） 连1E C .在11Rt E C C ∆中，由1122E C =12CC =知1132422AC =+=在11Rt A C C ∆中，由111AC =，12CC =知15AC =……（4分） 在11A E C ∆中，222232((5)(1022cos 210252θ+-===⋅⋅∴10θ=6分） （2）以A 为原点，建立如图空间直角坐标系，设CF 的长为x 则各点的坐标为，11(,,0)22E ，525(0,1)F x x ，1(0,0,2)A ，(0,1,0)C ……（2分）∴11525(,)22EF x =-，1(0,1,2)AC =- 由1EF A C ⊥知10EF AC ⋅=…………（4分） 即1525202x -=，解得5x =∴线段CF 的长为510…………（6分）20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数0a ≥，函数2()2x x af x a+=-.(1) 若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y fx -=；(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.【解析】：（1）∵4a =，∴24()24x x f x y +==-，∴4421x y y +=-，∴244log 1y x y +=-， ∴1244()log 1x y f x x -+==-，(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ （2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，∴2222x x x x a aa a--++=--，整理得(22)0xxa --=，∴0a =，此时为偶函数若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--，∴2222x x x x a aa a--++=---，整理得210a -=，∵0a ≥，∴1a =，此时为奇函数当(0,1)(1,)a ∈⋃+∞时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数21(本小题14分)设ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 已知,cos cos 3C a A b B π==.(1)求角A 的大小；(2)如图,在ABC ∆的外角ACD ∠内取一点P ,使得2PC =.过点P 分别作直线,CA CD 的垂线,PM PN PCA α∠=,求PM PN +的最大值及此时α的取值.解析:(1)由cos cos a A b B =及正弦定理可得 sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =,又(0,),(0,)A B ππ∈∈, 所以有A B =或2A B π+=.又因为3C π=,得23A B π+=,与2A B π+=矛盾,所以A B =,因此3A π=. (2)由题设,得在Rt PMC ∆中,sin 2sin PM PC PCM α=⋅∠=；在Rt PNC ∆中,sin 2sin[()]2sin()33PN PC PCN πππαα=⋅∠=-+=+；所以,2sin 2sin()23sin()36PM PN ππααα+=++=+因为2(0,)3πα∈,所以5(,)666πππα+∈,从而有1sin()(,1]62πα+∈, 即23sin()(3,23]6πα+∈. 于是,当623πππαα+=⇒=时,PM ＋PN PM PN +取得最大值23.22.(1)如图，曲线y x =下有一系列正三角形，求第n 个正三角形的边长n L .(2)若不等式1(1)2(1)n n a n n +-⋅⋅--＜对于任意的正整数n 恒成立,实数a 的取值范围是?解：（1）ABDCMNPα（2）当n 为奇数,21a n n ⋅+＜,所以12a n +＜恒成立,减函数,所以2a ≤; 当n 为偶数,21a n n -⋅-＜,所以12a n -+＞恒成立,减函数,所以32a -＞;综上: 322a -≤＜.23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d ，且2122d d =．直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B (A ，B 都在x 轴上方)，且180OFA OFB ∠+∠=︒． （1）求椭圆C 的方程；（2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程；（3）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．31211333(.y x A b y x⎧=⎪∴=⎨=⎪⎩由得{}2233,,n b 即是以为首项为公差的等差数列22233323(1),.n b n n n n =+-=故即第个正三角形的边长为312312(),n n n nnn n A S b S b -=-2233111114242,nn n n n n b S b b S b +++→=-=-22312111423()().n n n n n n b b b b b b +++∴-=+→-=解：（1）设(,)P x y，则12|2|,d x d =+=2分）21d d == 化简得：2212x y += ∴椭圆C 的方程为：2212x y +=…………（4分） （2）(0,1),(1,0)A F -1010(1)AF k -∴==--， 180OFA OFB ∠+∠=1BF k ∴=-，:1(1)1BF y x x =-+=--…………（3分） 代入2212x y +=得：2340x x +=，40,3x x ∴==-或，代入1y x =--得 403()113x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩舍，或，41(,)33B ∴-…………（5分） 11113,:14220()3AB k AB y x -==∴=+--，…………（6分） （3）解法一：由于180OFA OFB ∠+∠=，0AF BF k k +=。
区高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(word版)
浦东新区2016-2017学年第一学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷 2016.12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.已知U R =，集合{}|421A x x x =-≥+，则U C A =____________．2.三阶行列式351236724---中元素-5的代数余子式的值为____________． 3. 812x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含2x 项的系数是____________．4.已知一个球的表面积为16π，则它的体积为____________．5．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球．这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是____________．6．已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =____________． 7．若复数()()12ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =____________． 8．函数())cos sin f x x xx x =+-的最小正周期为____________．9．过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线于两点A B 、，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积的最小值为____________． 10．若关于x 的不等式1202xx m --<在区间[]0,1内恒成立，则实数m 的取值范围为____________．11．如图，在正方形ABCD 中，2,,AB M N =分别是边,BC CD 上的两个动点，且MN =则AM AN u u u u v u u u vg 的取值范围是____________．12．已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有()*f n N ∈，且()()3f f n n =恒成立，则()()20171999f f -=____________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项中，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分． 13.将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ）． A ．cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭14.已知函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，则函数()y f x =-与()1y f x -=-的图像（ ）．A ．关于y 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线0x y +=对称D ．关于直线0x y -=对称 15.设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）．A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >．若10a <，则()()21230a a a a --> 16.元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A B 、的大小关系是（ ）．A ．AB > B ． A B <C ．A B =D ．A B 、的大小关系不确定 三、解答题 （本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在长方体1111ABCD A B C D -中（如图）, 11,2AD AA AB ===，点E 是棱AB 的中点. （1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由.18.（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）若,7,3B b ABC π==∆的面积332S =，求a c +值； （2）若()22cos C BA BC AB AC c +=u u u v u u u v u u u v u u u v g g ，求角C .19.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2 小题满分8分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的一条直线交椭圆于P Q 、两点，若12PF F ∆的周长为442+，且长轴长与短轴长之比为2:1.（1）求椭圆C 的方程；（2）若12F P F Q PQ +=u u u v u u u u v u u u v，求直线PQ 的方程.20.（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设数列{}n a 满足221241,2n n n n a a n n b a n n +=+-+=+-；（1）若12a =，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）在（1）的条件下，对于正整数()22q r q r <<、、，若25q r b b b 、、这三项经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(),q r ； （3）若11,c ,n n n n a b n d M ==+=是n d 的前n 项和，求不超过2016M 的最大整数.21.（本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不是常值函数.设011i i n a t t t t t b -=<<<<<<=L L ，其中分点121n t t t -L 、、、将区间[],a b 任意划分成()*n n N ∈个小区间[]1,i i t t -，记{}()()()()()()01121,,n n M a b n t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-=-+-++-L ，称为()x ϕ关于区间[],a b 的n 阶划分“落差总和”.当{},,M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a b n . （1）已知()x x ϕ=，求{}1,2,2M -的最大值0M ；（2）已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b 的充要条件是()x ϕ在[],a b 上单调递增.（3）若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，求证：0n 是偶数，且00110i i n t t t t t -+++++=L L .参考答案一、填空题1. ()1+∞，2. 343. 74.323π5. 256. 42±7. 38. π9. 8 10.32⎛⎫⎪⎝⎭，2 11. )482⎡⎣，12. 54 二、选择题13. A 14. D 15. C 16. A 三、解答题17.解：（1）作//AE CE '交CD 于E '，因为11AD AA DE '===，所以12AE D E ''==，故1AD E '∆为正三角形，异面直线1AD 与EC 所成角为60°……………………………6分（2）E 是棱AB 上的中点，则ADE CBE ∆∆、均为等腰直角三角形，而显然11DD E DD C ∆∆、均为直角三角形，故四面体1D CDE 四个面均为直角三角形，．．．．．．． 14分 18．解：（1）∵133,sin 322ABC B S ac B π∆===，∴6ac =……………………………2分 由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=……………………………………4分 ∴()225,5a c a c +=+=……………………………………….7分（2）∵()()22cos cosB bccosA 2cos cos cos C ac c C a B b A c +=⇒+=…………………10分又∵cos cos a B b A c +=……………………………12分 ∴12cos 1,cos 2C C ==， ∵()0,C π∈，∴3C π=……………………………………14分19.解：（1）由条件可知：224a c +=+，:a b =，∵222a b c =+，解得：2,2a b c ===，……………………………4分所以椭圆C 的方程为22184x y +=…………………………6分 （2）设直线2PF 的方程为：()()11222,,,,x ty P x y Q x y =+；因为1212F P F Q FO OP F O OQ OP OQ +=+++=+u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v，所以OP OQ PQ +=u u u v u u u v u u u v，所以OP OQ ⊥，所以12120x x y y +=…………………………9分 ()222212440842x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 12122244,22t y y y y t t --+==++……………………………11分 ()()2412121212121x x y y t y y t y y ++=+++解得：21,2t t ==………………………………………13分 所以直线PQ0y ±-=…………………………………14分20.解：（1）由21241n n a a n n +=+-+，∴()()()22112122n n a n n a n n +++-+=+-，即12n n b b +=，又11110b a =-=≠，∴数列{}n b 是以1 为首项，2为公比的等比数列；………………4分 （2）由（1）知()1*22,5,,n n qrb n N b b b -=∈这三项经适当排序后能构成等差数列；①若225q r b b b ⨯=+，则211110222q r ---⨯=+，∴122225q r +---=，左边为偶数，右边为奇数，∴等式不成立；…………………………………8分 ③若225r q b b b =+，同理也不成立；综合①②③得，()(),3,5q r =；…………………………………10分（3）由211111210a b =⇒=+-⨯=，∴0n b =，…………………………………12分∴0n c n n =+=；………………………………13分由()()()()2222222222211111111111n n n n n n n d c c n n n n +++++=++=++=++ ()()()()2222211111111111n n n n n d n n n n n n n n ++++⎛⎫=⇒==+=+- ⎪+++⎝⎭+；∴2016122016111111223M d d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦L L 111112016120172016201720172017⎡⎤⎛⎫++-=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. ∴不超过2016M 的最大整数为2016…………………………………16分 21.解：（1）()()()()010023M ϕϕϕϕ=--+-=………………………4分（2）若()x ϕ在[],a b 上单调递增，则{}()()()(){}11,,,,1ni i i M a b n t t b a M a b ϕϕϕϕ-==-=-=⎡⎤⎣⎦∑，故()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b …………………………6分若()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b ，倘若()x ϕ在[],a b 上不单调递增， 则存在[]()()121212,,,,x x a b x x x x ϕϕ∈<>. 由()()()()()()()()1122a b a x x x x b ϕϕϕϕϕϕϕϕ-≤-+-+-…………………………（*）等号当且仅当()()()()()()11220,0,0a x x x x b ϕϕϕϕϕϕ-≥->-≥时取得，此时()()()()()()()()()()11220a b a x x x x b a b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-=-+-+-=-<，与题设矛盾，舍去，故（*）式中等号不成立，即：增加分点12,x x 后，“落差总和”会增加，故{},,M a b n 取最大值时n 的最小值大于1，与条件矛盾.所以()x ϕ在[],a b 上单调递增……………………………………………10分（3）由（2）的证明过程可知，在任间区间[],a b 上，若()x ϕ存在最佳划分{},,1a b ，则当()()a b ϕϕ=时，()x ϕ为常值函数（舍）；当()()a b ϕϕ<时，()x ϕ单调递增；当()()a b ϕϕ>时，()x ϕ单调递减…………………………………12分若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则此时在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=L 上均为最佳划分{}1,,1i i M t t -.否则，添加分点后可使()x ϕ在[],a b 上的“落差总和”增大，从而{}0,,M a b n 不是“落差总和”的最大值，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,,n i i t t i -=L 上都是单调………………………………14分若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则()x ϕ在相邻的两个区间[][]11,,i i i i t t t t -+、上具有不同的单调性，否则，()()()()()()11111i i i i i t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-+-+-=-+-，减少分点i t ，“落差总和”的值不变，而n 的值减少1，故n 的最小值不是0n ，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾………………………16分()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,,n i i t t i -=L 上都单调，而()x ϕ是偶函数，故()x ϕ在y 轴两侧的单调区间对称，共有偶数个单调区间，且当000,1,,2n i j n i ⎛⎫+== ⎪⎝⎭L 时，0i j t t +=，从而有00120n t t t t ++++=L ……………………………18分。
【首发】上海交大附中2016届高三摸底考数学试卷Word版缺答案
上海交大附中2016届高三摸底试卷一．填空题(本大题共14题，每题4分，满分56分）1、 已知全集U R =，集合{}{}2,,1,A x x x R B x x x R =≤-∈=<∈，则()U C A B =2、 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=3、不等式2520ax x +->的解集122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则22510ax x a -+->的解集为 4、对比数列{}n a 的前n 项和n S ，且102010,30S S ==，则30S =5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2(cos cos )2c a B b A b -=，则sin sin A B= 6、若点(23A ，）与点(1,)B y 位于直线:250l x y -+=的两侧，则y 的取值范围 7、将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是8、已知b R ∈，若(1)(2)bi i +-为纯虚数，则1bi +=9、已知24,2,,3OA OB AOB OC xOA yOB π==∠==+，且21x y +=，则OC 的最小值是 10、已知一圆锥的底面半径为1cm 的圆，若圆锥的侧面积是底面面积的3倍，则该圆锥的体积是11、抛物线24y x =的交点为F ，过点(2.0)P 的直线与该抛物线相交与,A B 两点，直线,AF BF 分别交抛物线与点,C D ，若直线,AB CD 的斜率分别为12k k ，则12k k = 12、已知23()344f x x x =-+，若()f x 的定义域与值域都是[],a b ，则a b += 13、关于函数()cos(2)cos(2)66f x x x ππ=-++，有下列说法 （1）()y f x =；（2）()y f x =是以π为最小正周期的函数；（3）()y f x =咋区间132424ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减； （4）将函数2y x =的图象向左平移24π个单位后，将与已知函数的图象重合。
2016上海浦东高三数学一模试卷
上海市浦东新区2016届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1. 已知集合{|3}A x x =≤，{|2}B x x =<，则R A C B = ；2. 已知向量(2,1)a =- ，(1,)b m = 平行，则m = ；3. 关于,x y 的一元二次方程组23122x y x y +=⎧⎨-=⎩的系数矩阵 ； 4. 计算：1132lim 32n nn n n ++→∞-=+ ； 5. 若复数z 满足1012i i z=-（i 为虚数单位），则||z = ； 6. 10(21)x +的二项展开式中的第八项为 ；7. 某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方 向航行8.1海里达到C 处，这时灯塔B 与船相距 海里；（精确到0.1海里）8. 已知3cos()25πα-=，(,)2παπ∈，则sin()3πα+= ； 9. 如图，已知正方体1111ABCD A BC D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，则AE 与平面11B BCC 所成的角为 ；（结果用反三角表示）10. 已知函数()f x 的图像与()2x g x =的图像关于直线y x =对称，()(1||)h x f x =-，则关于函数()h x有下列命题：①()h x 的图像关于原点对称；②()h x的图像关于y 轴对称；③()h x 的最大值为0；④()h x 在区间(1,1)-上单调递增； 其中正确命题的序号为 ；（写出所有正确命题的序号）11. 有一列向量{}n a ：111(,)a x y = ，222(,)a x y = ，…，(,)n n n a x y = ，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列，已知等差向量列{}n a ，满足1(20,13)a =- ，3(18,15)a =- ，那么这列向量{}n a 中模最小的向量的序号n = ；12. 已知函数()2sin f x x π=，()g x =()f x 与()g x 图像交点的横坐标之和为 ；二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13. 如果0a b >>，那么下列不等式中不正确的是（ ） A. 11a b < B. 11a b> C. 2ab b > D. 2a ab > 14. 设:1x α=且2y =，:3x y β+=，α是β成立的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件15. 方程2244kx y k +=表示焦点在x 轴的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ）A. 4k >B. 4k =C. 4k <D. 04k <<16. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 1617. 直线0ax by +=与圆220x y ax by +++=的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定18. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为,,10,11,9x y ，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 119. 设函数()f x ()x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+，当0x π≤<时，()0f x =，则 23()6f π=（ ）A. 12B. 2C. 0D. 12- 20. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于（ ）A. B. C. D. 21. 已知函数()f x 存在反函数1()f x -，若函数(1)y f x =+过点(3,3)，则函数1()f x -恒过点（ ）A. (4,3)B. (3,4)C. (3,2)D. (2,3)22. 一个弹性小球从10米高处自由落下，着地后反弹到原来高度的45处，再自由落下，又 弹回到上一次高度的45处，这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（ ）A. 50B. 80C. 90D. 10023. 符合以下性质的函数称为“S 函数”：① 定义域为R ；② ()f x 是奇函数；③ ()f x a < （常数0a >）；④ ()f x 在(0,)+∞上单调递增；⑤ 对任意一个小于a 的正数d ，至少存 在一个自变量0x ，使0()f x d >；下列四个函数中：12()arctan af x x π=，22||()1ax x f x x =+， 31,0()0,01,0a x x f x x a x x ⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪--<⎩，421()()21x x f x a -=⋅+中“S 函数”的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个24. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x 、y 分别为点O 到两个顶点的向量；若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写成ax by + 的形式，则a b +的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6三. 解答题（本大题共8题，共8+8+8+10+14+6+12+12=78分）25. 已知OA 、OB 、OC 交于点O ，AD //=12OB ，E 、F 分别为BC 、OC 的中点； 求证：DE ∥平面AOC ；26. 已知函数()2sin f x x =，将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位，再把横坐标缩短 到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =的解析式，并写 出它的单调递增区间；27. 已知两个向量22(1log ,log )a x x =+ ，2(log ,1)b x = ；（1）若a b ⊥ ，求实数x 的值；（2）求函数()f x a b =⋅ ，1[,2]4x ∈的值域；28. 已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-*()n N ∈； （1）求{}n a 的通项公式；（2）当2n ≥时，1n n a a λλ++≥恒成立，求实数λ的取值范围；29. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点00(,)P x y ，直线:0l ax by c ++=，我们称δ=为点00(,)P x y 到直线:0l ax by c ++=的方向距离；（1）设椭圆2214x y +=上的任意一点(,)P x y 到直线1:20l x y -=、2:20l x y +=的方向 距离分别为1δ、2δ，求12δδ的取值范围；（2）设点(,0)E t -、(,0)F t 到直线:cos 2sin 20l x y αα+-=的方向距离分别为1η、2η， 试问是否存在实数t ，对任意的α都有121ηη=成立？若存在，求出t 的值；若不存在，请 说明理由；（3）已知直线:0l mx y n -+=和椭圆2222:1x y H a b+=(0)a b >>，设椭圆H 的两个焦点 1F 、2F 到直线l 的方向距离分别为1λ、2λ满足212b λλ>，且直线l 与x 轴的交点为A ，与 y 轴的交点为B ，试比较||AB 的长与a b +的大小；30. 如图，点(1,0)A -、(1,0)B ，点C 在x 轴正半轴上，过线段BC 的n 等分点i D (1,2,i = 3,...,1)n -作与BC 垂直的射线i l ，在i l 上的动点P 使APB ∠取得最大值的位置记作i P ；是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数2n ≥，点i P 都在这条曲线上？说明理由；31. 定义符号函数1,0sgn()1,0x x x ≥⎧=⎨-<⎩，已知,a b R ∈，()||sgn(1)f x x x a x b =--+； （1）求(2)(1)f f -关于a 的表达式，并求(2)(1)f f -的最小值；（2）当12b =时，函数()f x 在(0,1)上有唯一零点，求a 的取值范围； （3）已知存在a ，使得()0f x <对任意的[1,2]x ∈恒成立，求b 的取值范围；32. 已知两个无穷数列{}n a 、{}n b 分别满足111||2n n a a a +=⎧⎨-=⎩、111||2n nb b b +=-⎧⎪⎨=⎪⎩，其中*n N ∈， 设数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ；（1）若数列{}n a 、{}n b 都为递增数列，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k (2)k ≥，使得1k k c c -<，称数列{}n c 为“k 坠点数列”；① 若数列{}n a 为“5坠点数列”，求n S ；② 若数列{}n a 为“p 坠点数列”，数列{}n b 为“q 坠点数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，说明理由；。
高考数学一模试题浦东2016届高三一模数学卷(附答案)
浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷 （含答案） 2016.1注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 注：填写其他等价形式则得分1．已知集合{}{}=3,2A x x B x x ≤=<，则R A C B =I []2,32．已知向量()2,1,(1,)a b m =-=r r 平行，则m = 12-3．关于,x y 的一元二次方程组23122x y x y +=⎧⎨-=⎩的系数矩阵 2312⎛⎫⎪-⎝⎭4．计算：1132lim 32n nnn n ++→∞-+ 3 5．若复数z 满足1012ii z=-（i 为虚数单位），则z6．()1021x +的二项展开式中的第八项为 3960x7．某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒方向，与A 相距6.0海里.船由A 向正北方向航行8.1海里达到C 处，这时灯塔B 与船相距_____4.2______海里（精确到0.1海里） 8．已知3cos(),,252ππααπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭9．如图，已知正方体1111D C B A ABCD -，21=AA ，E 为棱1CC 的中点，则AE与平面11BCC B 所成的角为552arctan ．（2arcsin 3，）（结果用反三角表示）10．已知函数()f x 的图像与()2xg x =的图像关于直线y x =对称，令()(1)h x f x =-，则关于函数()h x 有下列命题：①()h x 的图像关于原点对称； ②()h x 的图像关于y 轴对称； ③()h x 的最大值为0； ④()h x 在区间(1,1)-上单调递增。
其中正确命题的序号为____②③_____（写出所有正确命题的序号）。
上海市黄浦区2016届高考数学一模试卷 理(含解析)
2016年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．不等式|x﹣1|＜1的解集用区间表示为．2．函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T= ．3．直线=3的一个方向向量可以是．4．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．5．若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a= ．7．若函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为．8．若对任意不等于1的正数a，函数f（x）=a x+2的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是．9．在（a+b）n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为（结果用数字作答）．10．在△ABC中，若cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，且AB=2，则BC= ．11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是（结果用最简分数表示）．12．已知k∈Z，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，则k= ．13．已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m= ．14．若非零向量，，满足+2+3=，且•=•=•，则与的夹角为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也不必要条件16．已知x∈R，下列不等式中正确的是（）A．＞B．＞C．＞D．＞17．已知P为直线y=kx+b上一动点，若点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，则k，b满足的条件分别为（）A．k=1，b＜2 B．k=1，b＞2 C．k≠1，b＜2 D．k≠1，b＞218．已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（共5小题，满分74分）19．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．20．如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．21．如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E，F分别在AB，BC边上，OA=5米，OC=4米，∠EOF=，设CF=x，AE=y．（1）试用解析式将y表示成x的函数；（2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值．22．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．23．已知a1，a2，…，a n是由n（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列．数列{b n}满足b k=n+1﹣a k（k=1，2，…，n），c1，c2，…，c n是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，记S n=c1+2c2+…+nc n．（1）证明：当n为正偶数时，不存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}；（2）写出c k（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示S n；（3）利用（1﹣b1）2+（2﹣b2）2+…+（n﹣b n）2≥0，证明：b1+2b2+…+nb n≤n（n+1）（2n+1）及a1+2a2+…+na n≥S n．（参考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1））2016年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．不等式|x﹣1|＜1的解集用区间表示为（0，2）．【考点】绝对值三角不等式．【专题】计算题；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】直接将不等式|x﹣1|＜1等价为：﹣1＜x﹣1＜1，解出后再用区间表示即可．【解答】解：不等式|x﹣1|＜1等价为：﹣1＜x﹣1＜1，解得，0＜x＜2，即原不等式的解集为{x|0＜x＜2}，用区间表示为：（0，2），故答案为：（0，2）．【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及解集的表示方法，属于基础题．2．函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T= π．【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】先利用二倍角的余弦化简，再求出函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期．【解答】解：y=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T==π．故答案为：π．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．直线=3的一个方向向量可以是（﹣2，﹣1）．．【考点】二阶矩阵．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；矩阵和变换．【分析】平面中，直线方程Ax+By+C=0它的一个方向向量是（B，﹣A），由此利用二阶行列式展开式能求出直线的一个方向向量．【解答】解：∵直线=3，∴x﹣2y﹣3=0．∴直线=3的一个方向向量可以是（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．【点评】本题考查直线的方向向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】利用熔化前后球的体积的不变性，建立等式关系进行求解即可．【解答】解：设大球的半径为r，则根据体积相同，可知，即．故答案为：．【点评】本题主要考查球的体积公式的计算和应用，利用体积相等是解决本题的关键，比较基础．5．若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；极限思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】设数列中的任意一项为a，利用无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和列方程，即可求得公比．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限，解题的关键是利用无穷等比数列的求和公式，是基础的计算题．6．若函数y=a+sinx 在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a= 1 ． 【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；作图题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】作函数y=sinx 在区间[π，2π]上的图象，从而结合图象解得． 【解答】解：作函数y=sinx 在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx 在区间[π，2π]上有且只有一个零点， 则a ﹣1=0， 故a=1； 故答案为：1．【点评】本题考查了学生对三角函数的掌握情况及数形结合的思想应用．7．若函数f （x ）=+为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为 a ＞1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，结合函数的定义域，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，∴f（﹣x）=f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），又，∴a≥1．a=1，函数f（x）=+为偶函数且奇函数，故答案为：a＞1．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8．若对任意不等于1的正数a，函数f（x）=a x+2的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是（1，﹣2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由指数函数可知图象经过点（﹣2，1），再由反函数可得．【解答】解：∵当x+2=0，即x=﹣2时，总有a0=1，∴函数f（x）=a x+2的图象都经过点（﹣2，1），∴其反函数的图象必经过点P（1，﹣2）故答案为：（1，﹣2）【点评】本题考查指数函数的单调性和特殊点，涉及反函数，属基础题．9．在（a+b）n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为70 （结果用数字作答）．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理．【分析】利用二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和为2n，展开式中中间项的二项式系数最大．【解答】解：在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，∴2n=256，解得n=8，展开式共n+1=8+1=9项，据中间项的二项式系数最大，故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为=70．故答案为：70．【点评】本题考查二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和是2n；展开式中中间项的二项式系数最大．在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．10．在△ABC中，若cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，且AB=2，则BC= 2．【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，可得cos（A+2C﹣B）=1，sin（B+C﹣A）=1，由范围A，B，C∈（0，π），结合三角形内角和定理，三角函数的图象和性质可得：①，或②，可解得A，B，C，利用正弦定理可得BC的值．【解答】解：∵cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，cos（A+2C﹣B）≤1，sin（B+C﹣A）≤1，∴cos（A+2C﹣B）=1，sin（B+C﹣A）=1，∵A，B，C∈（0，π），∴A+2C﹣B∈（﹣π，3π），B+C﹣A∈（﹣π，2π），∴由正弦函数，余弦函数的图象和性质可得：A+2C﹣B=0或2π，B+C﹣A=，∴结合三角形内角和定理可得：①，或②，由①可得：A=，B=，C=，由②可得：A=，B=﹣，C=，（舍去），∴由AB=2，利用正弦定理可得：，解得：BC=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了正弦定理，正弦函数，余弦函数的图象和性质，三角形内角和定理的综合应用，考查了转化思想和计算能力，利用三角函数的图象和性质求三角形的三个内角是解题的关键，属于中档题．11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，先求出基本事件总数，再求出选择的2天恰好为连续2天包含的基本事件个数，由此能求出选择的2天恰好为连续2天的概率．【解答】解：某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，基本事件总数为n==10，选择的2天恰好为连续2天包含的基本事件个数m=4，∴选择的2天恰好为连续2天的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12．已知k∈Z，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，则k= ±1．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用三角代换化简表达式，转化方程无解，通过k是整数求解即可．【解答】解：曲线x2+y2=k2，令x=kcosθ，y=sinθ，代入曲线xy=k，曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，可得k2sinθcosθ=k，不成立．即sin2θ=不成立， 1，k∈Z，可得k=±1．故答案为：±1．【点评】本题考查曲线与方程的关系，考查分析问题解决问题的能力．13．已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m= ．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，利用已知条件求出A，B的坐标，通过向量关系求出m值即可．【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，可得|m﹣1|=，解得m=．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．14．若非零向量，，满足+2+3=，且•=•=•，则与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由+2+3=，把用含有的式子表示，结合•=•=•，可得，．然后代入数量积求夹角公式求解．【解答】解：由+2+3=，得，代入•=•，得，即．再代入•=•，得，即．∴cos===﹣．∴与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也不必要条件【考点】复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型；对应思想；分析法；数系的扩充和复数．【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0．∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B．【点评】本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．16．已知x∈R，下列不等式中正确的是（）A．＞B．＞C．＞D．＞【考点】不等式比较大小．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】举反例可排除A、B、D，再证明C正确即可．【解答】解：取x=0可得=1=，故A错误；取x=0可得=1=，故B错误；取x=1可得==，故D错误；选项C，∵x2+2＞x2+1＞0，∴＞，故正确．故选：C【点评】本题考查不等式比较大小，举反例是解决问题的关键，属基础题．17．已知P为直线y=kx+b上一动点，若点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，则k，b满足的条件分别为（）A．k=1，b＜2 B．k=1，b＞2 C．k≠1，b＜2 D．k≠1，b＞2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】设出P的坐标，根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式的关系，结合不等式恒成立进行求解即可．【解答】解：∵P为直线y=kx+b上一动点，∴设P（x，kx+b），∵点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，∴（x﹣kx﹣b+2）（0﹣0+2）＞0，即2[（1﹣k）x+2﹣b]＞0恒成立，即（1﹣k）x+2﹣b＞0恒成立，则1﹣k=0，此时2﹣b＞0，得k=1且b＜2，故选：A．【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用条件转化为不等式关系是解决本题的关键．18．已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形【考点】等差数列的通项公式；三角形中的几何计算．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】利用等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，即可判断出结论．【解答】解：A：对任意的d，假设均存在以l1，l2，l3为三边的三角形，∵a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，∴a2+a3＞a1，a3+a1=2a2＞a2，而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0，因此不一定存在以为l1，l2，l3三边的三角形，故不正确；B：由A可知：当a1﹣d＞0时，存在以为l1，l2，l3三边的三角形，因此不正确；C：对任意的d，由于a3+a4，＞a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3＞0，a2+a3﹣a4=a1＞0，因此均存在以l2，l3，l4为三边的三角形，正确；D．由C可知不正确．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）19．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】整体思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据直三棱柱的表面积公式进行求解即可．（2）作出棱柱的高，结合三棱柱的体积公式进行求解即可．【解答】解：（1）因为侧棱AA′⊥底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱AA′的长，而底面三角形ABC的面积S=AC•BC=6，周长c=4+3+5=12，于是三棱柱的表面积S全=ch+2S△ABC=132．（2）如图，过A作平面ABC的垂线，垂足为H，A′H为三棱柱的高．因为侧棱AA′与底面ABC所长的角为60°，所以∠A′AH=60°，又底面三角形ABC的面积S=6，故三棱柱的体积V=S•A′H=6×=30．【点评】本题主要考查三棱柱的表面积和体积的计算，根据直三棱柱和斜三棱柱的特点和性质，结合棱柱的表面积和体积公式进行计算是解决本题的关键．20．如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；三角函数的求值．【分析】（1）利用三角函数的定义直接表示A，B坐标；（2）设出M，利用向量的数量积为0，得到关系式，然后求解点M横坐标的取值范围．【解答】解：（1）点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（），sin（）），即B（﹣sinα，cosα）．（2）设M（x，0），x≠0，=（cosα﹣x，sinα），=（﹣sinα﹣x，cosα）．MA⊥MB，可得（cosα﹣x）（﹣sinα﹣x）+sinαcosα=0．xsinα﹣xcosα+x2=0，可得﹣x=sinα﹣cosα=sin（）∈[﹣，]．综上x∈[﹣，0）∪（0，]．点M横坐标的取值范围：[﹣，0）∪（0，]．【点评】本题考查平面向量的数量积，三角函数定义的应用，考查转化思想以及计算能力．21．如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E，F分别在AB，BC边上，OA=5米，OC=4米，∠EOF=，设CF=x，AE=y．（1）试用解析式将y表示成x的函数；（2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由∠EOF=，可得∠COF+∠AOE=，则tan（∠COF+∠AOE）==1，化简可得函数的解析式，由0≤y≤4求得x的范围；（2）三角形池塘OEF面积S=S矩形OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF，运用三角形的面积公式，设t=x+4，求得S的表达式，运用基本不等式可得最小值和x的值．【解答】解：（1）由∠EOF=，可得∠COF+∠AOE=，即有tan∠COF=，tan∠AOE=，则tan（∠COF+∠AOE）==1，即有y=，由y≤4，解得x≥，则函数的解析式为y=，（≤x≤4）；（2）三角形池塘OEF面积S=S矩形OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF=4×5﹣×5y﹣×4x﹣×（4﹣y）（5﹣x）=20﹣•﹣2x﹣（5﹣x）•=20+（≤x≤4），令t=x+4（≤t≤8），即有S=20+（5t+﹣80）≥20+（2﹣80）=20﹣20．当且仅当5t=即t=4，此时x=4﹣4，△OEF的面积取得最小值，且为20﹣20．【点评】本题考查函数的解析式的求法，注意运用两角和的正切公式，考查三角形的面积的最小值，注意运用间接法求面积，再由换元法和基本不等式，属于中档题．22．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过ACBD为正方形可知直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，进而联立直线与椭圆方程，利用对称性即得结论；（2）通过妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），利用点到直线的距离公式及+=1，整理可知+的表达式，进而利用d12+d22为定值计算即得结论；（3）通过设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），联立切线AC的方程与椭圆方程，分x0=0或y0=0、x0≠0或y0≠0两种情况讨论即可．【解答】解：（1）∵ACBD为正方形，∴直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），解方程组，得==，由对称性可知，S=4=；（2）由题意，不妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），则+=1，又∵d1=，d2=，∴+=+=，将=b2（1﹣）代入上式，得+=，∵d12+d22为定值，∴k2﹣=0，即k=±，于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣，此时+=；（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），则切线AC的方程为：x0x+y0y=1，点A、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）为方程组的实数解．①当x0=0或y0=0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点（1，1），于是有+=1；②当x0≠0或y0≠0时，将y=（1﹣x0x）代入+=1，整理得：（a2+b2）x2﹣2a2x0x﹣a2（1+b2）=0，由韦达定理可知x1x2=，同理可知y1y2=，∵ACBD为菱形，∴AO⊥CO，即x1x2+y1y2=0，∴+=0，整理得：a2+b2=a2b2（+），又∵+=1，∴a2+b2=a2b2，即+=1；综上所述，a，b满足的关系式为+=1．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．23．已知a1，a2，…，a n是由n（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列．数列{b n}满足b k=n+1﹣a k（k=1，2，…，n），c1，c2，…，c n是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，记S n=c1+2c2+…+nc n．（1）证明：当n为正偶数时，不存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}；（2）写出c k（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示S n；（3）利用（1﹣b1）2+（2﹣b2）2+…+（n﹣b n）2≥0，证明：b1+2b2+…+nb n≤n（n+1）（2n+1）及a1+2a2+…+na n≥S n．（参考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1））【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）可用反证法证明，假设存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}，由条件结合奇数、偶数的概念即可得证；（2）由题意可得{c k}：n，n﹣1，n﹣2，…，1，再由累加法即可得到S n；（3）由（1﹣b1）2+（2﹣b2）2+…+（n﹣b n）2≥0，展开即可证得b1+2b2+…+nb n≤n（n+1）（2n+1）；再由排序定理：乱序之和不小于倒序之和．【解答】解：（1）证明：当n为正偶数时，存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}，由b k=n+1﹣a k（k=1，2，…，n），可得a k=，由n为正偶数，可得n+1为奇数，不为整数，a k为整数，故不成立，则当n为正偶数时，不存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}；（2）{c k}：n，n﹣1，n﹣2， (1)由S1=1，S2﹣S1=3，S3﹣S2=6，S4﹣S3=10，…，S n﹣S n﹣1=3+，n＞1．累加可得，S n=1+3+6+10+…+[3+]=（12+22+…+n2）+（1+2+…+n）]=×n（n+1）（2n+1）+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；（3）证明：由（1﹣b1）2+（2﹣b2）2+…+（n﹣b n）2≥0，可得12+22+…+n2﹣2（b1+2b2+…+nb n）+（b12+b22+…+b n2）≥0，即有b1+2b2+…+nb n≤ [（12+22+…+n2）+（b12+b22+…+b n2）]=12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1）；由排序定理可得，乱序之和不小于倒序之和，由a1+2a2+…+na n为乱序之和，S n=c1+2c2+…+nc n为倒序之和．即可得到a1+2a2+…+na n≥S n．【点评】本题考查数列的求和方法，以及数列不等式的证明，考查反证法的运用和综合法的运用，考查推理能力，属于中档题．21。
上海市浦东新区届高三数学一模试卷(有标准答案)
上海市浦东新区届高三数学一模试卷(有答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5,7}B =，则A B =I 2. 不等式11x<的解集为 3. 已知函数()21f x x =-的反函数是1()f x -，则1(5)f -=4. 已知向量(1,2)a =-r ，(3,4)b =r，则向量a r 在向量b r 的方向上的投影为5. 已知i 是虚数单位，复数z 满足(13)1z i ⋅+=，则||z =6. 在5(21)x +的二项展开式中，3x 的系数是7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好 有1个二等品的概率为8. 已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，若(1)(4)f a f +≤，则实数a 的取值范围是9. 已知等比数列11,,1,93⋅⋅⋅前n 项和为n S ，则使得2018n S >的n 的最小值为 10. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为23π的扇形，则此圆锥的表面积为11. 已知函数()sin f x x ω=（0ω>），将()f x 的图像向左平移2πω个单位得到函数()g x 的 图像，令()()()h x f x g x =+，如果存在实数m ，使得对任意的实数x ，都有()()(1)h m h x h m ≤≤+成立，则ω的最小值为12. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-u u u r u u u u r u u u r，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、 2F ，使得12||||||PF PF -为定值，则该定值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若实数,x y R ∈，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要14. 已知ABC ∆中，2A π∠=，1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，则BQ CP ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A. 4-B. 2-C. 1-D. 015. 某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系kx b y e += （ 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，k 、b 为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小 时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时 A. 22 B. 23 C. 24 D. 3316. 关于x 的方程2arcsin(cos )0x x a ++=恰有3个实数根1x 、2x 、3x ，则222123x x x ++= （ ）A. 1B. 2C. 22π D. 22π三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =. （1）求异面直线1BC 与1CD 所成的角； （2）求三棱锥1B D AC -的体积.18. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(2,1)m =u r，(cos ,cos cos )n c C a B b A =+r，且m n ⊥u r r .（1）求C ；（2）若227c b =，且23ABC S ∆=，求b 的值.19. 已知等差数列{}n a 的公差为2，其前n 项和22n S pn n =+（*n N ∈，p R ∈）.（1）求p 的值及{}n a 的通项公式；（2）在等比数列{}n b 中，21b a =，324b a =+，令(21)(2)n n na n k cb n k =-⎧=⎨=⎩（*k N ∈），求数列{}n c 的前n 项和n T .20. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，设点(0,)A b ，在12AF F ∆中，1223F AF π∠=，周长为423+.（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆Γ相交于B 、C 两点，若直线AB 与AC 的斜率之和为1-，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E ，点P 为椭圆Γ上的一个动点，试根据AEP ∆面积S 的 不同取值范围，讨论AEP ∆存在的个数，并说明理由.21. 已知函数()f x 的定义域为D ，值域为()f D ，即(){|(),}f D y y f x x D ==∈， 若()f D D ⊆，则称()f x 在D 上封闭.（1）分别判断函数2017()2017log xf x x =+，2()1x g x x =+在(0,1)上是否封闭，说明理由；（2）函数()1f x x k =++的定义域为[,]D a b =，且存在反函数1()y f x -=，若函数()f x在D 上封闭，且函数1()f x -在()f D 上也封闭，求实数k 的取值范围；（3）已知函数()f x 的定义域为D ，对任意,x y D ∈，若x y ≠，有()()f x f y ≠恒成立， 则称()f x 在D 上是单射，已知函数()f x 在D 上封闭且单射，并且满足()x f D D ，其中1()(())n n f x f f x +=（*n N ∈），1()()f x f x =，证明：存在D 的真子集， n D 1n D - ⋅⋅⋅ 3D 2D 1D D ，使得()f x 在所有i D （1,2,3,,i n =⋅⋅⋅）上封闭.参考答案一. 填空题1. {}1,32. (,0)(1,)-∞+∞U3. 34. 1-5. 126. 807. 16338. []5,3- 9. 10 10. 36π 11. π 12. 210二. 选择题13. B 14.B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）11//AD BC Q1AD C ∴∠是异面直线1BC 与1CD 所成的角或其补角.2分在等腰1ACD ∆中，115,5,2AC CD AD ===易得11010CD A ∠=……………………4分即：异面直线1BC 与1CD 所成的角10arccos 10……………………1分（2）11B D AC D ABC V V --=……………………4分111(12)1323=⨯⨯⨯⨯=……………………3分 18. （1）由m n ⊥u r r，∴2cos cos cos 0c C a B b A ++=，……………………2分由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，……2分 ∴()2sin cos sin 0C C A B ++=；2sin cos sin 0C C C +=；由sin 0C ≠，∴1cos 2C =-，……………………2分 ∴23C π=；……………………1分 （2）由2222cos c a b ab C =+-，∴22272cos b a b ab C =+-，∴2260a ab b +-=，∴2a b =；……………………4分由23ABC S ∆=知，1sin 232ab C =，∴1322322b b ⋅⋅⋅=，……………2分 ∴2b =.……………………1分19. （1）22n S pn n =+Q*2,22,2n p a n N pn p n +⎧∴=∈⎨-+≥⎩*22,n a pn p n N ∴=-+∈……………………3分122n n a a p +∴-==1p ∴=， 122)1(3+=-+=n n a n ……………………3分（2）∵21323,49b a b a ===+=，∴3=q ，2212333n n n n b b q---==⨯=，……………………2分 当*2,n k k N =∈时，1234212n k k T a b a b a b -=++++++L1321242(+)()k k a a a b b b -=++++++L L21(37+4-1)(3273)k k -=++++++L L(341)3(19)3(91)(21)2198kk k k k k +---=+=++- (1)3(31)28n n n +-=+……………………3分当*21,n k k N =-∈时，1n +是偶数，111(1)(2)3(31)T T 328n nn n n n n b +++++-=-=+-(1)(2)3328n n n ++-=+**(1)3(31);2,28(1)(2)33;21,28n n nn n n k k N T n n n k k N ⎧+-+=∈⎪⎪∴=⎨++-⎪+=-∈⎪⎩……………………3分 20. （1）由1223F AF π∠=得：13F AO π∠= ，所以2323a b c ==………① 又12AF F ∆周长为423+，所以22423a c +=+………②解①②方程组，得21a b =⎧⎨=⎩所以椭圆方程为2214x y +=………………………4分（2）设直线l 方程：y kx m =+，交点1122(,),(,)B x y C x y22222(14)84(1)044y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩………………………1分 212122284(1),1414km m x x x x k k -+=-⋅=++…………………………1分121211,AB AC y y k k x x --== ………………………………………1分依题：1AB AC k k +=-即：1212111y y x x --+=-…………………………1分 1122,,y kx m y kx m =+=+Q121212121112(1)1kx m kx m x xk m x x x x +-+-++=-⇒+-=-⋅ 21m k ⇒=-- ……………………………………………………………1分21y kx m kx k ∴=+=--过定点(2,1)-…………………………………………1分（3）:10AE l x y +-=，(0,1),(2,1),22A E AE -=………………………1分设直线:l y x t =-+与椭圆2214x y +=相切，2222521041405y x tx tx t x y t =-+⎧⎪⇒-+-=⎨+=⎪⎩∆=⇒=±……………………1分 得两切线到:10AE l x y +-=的距离分别为125151,22d d +-==()1151225122AEP d S ∆+=⋅⋅=+()2151225122AEP dS ∆+=⋅⋅=-………………………1分 当51AEP S ∆>+时，AEP ∆个数为0个 当51AEP S ∆=+时，AEP ∆个数为1个 当5151AEP S ∆-<<+时，AEP ∆个数为2个 当51AEP S ∆=-时，AEP ∆个数为3个当051AEP S ∆<<-时，AEP ∆个数为4个……………………3分21. （1）因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，值域为(,)-∞+∞，（取一个具体例子也可）， 所以()f x 在()0,1上不封闭.…………………………（结论和理由各1分）1(1,2)t x =+∈2(1)11()()2(0,)(0,1)2t g x h t t t t -===+-∈⊆ ()g x 在()0,1上封闭……………………（结论和理由各1分）（2）函数()f x 在D 上封闭，则()f D D ⊆.函数1()f x -在()f D 上封闭，则()D f D ⊆，得到：()D f D =.…………………………………………（2分）()1f x x k =++在[],D a b =单调递增.则(),()f a a f b b ==()1f x x k x ⇔=++=在[)1,-+∞两不等实根．…………（1分）(){221g()2110x x x k x k x k ≥-⎛⎫=-++-= ⎪≥⎝⎭， 故22(21)4(1)0g(1)0g()02122112k k k k kk ⎧⎪+-->⎪-≥⎪≥⎨+⎪>⎪+⎪>-⎩，解得(5,14k ⎤∈--⎥⎦． …………（3分）另解：()1f x x k x ⇔=++=在[)1,-+∞两不等实根．令1(0)t x t =+≥21k t t +=-在[)0,t ∈+∞有两个不等根，画图，由数形结合可知，(11,04k ⎤+∈-⎥⎦解得(5,14k ⎤∈--⎥⎦．（3）如果()f D D =，则()n f D D =，与题干()n f D D ≠⊂矛盾.因此()f D D ≠⊂，取1()D f D =，则1D D ≠⊂.…………………………（2分）接下来证明11()f D D ≠⊂，因为()f x 是单射，因此取一个1\p D D ∈， 则p 是唯一的使得()()f x f p =的根，换句话说1()()f p f D ∉.……………（2分）考虑到1\p D D ∈，即{}1\D D p ⊆，因为()f x 是单射，则{}(){}{}111()\()\()\()f D f D p f D f p D f p D ≠≠⊂==⊂这样就有了11()f D D ≠⊂.………………………………………………（3分）接着令1()n n D f D +=，并重复上述论证证明1n n D D +≠⊂.…………（1分）。
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上海市浦东新区2016届高三一模数学试卷
2016.01
一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）
1. 已知集合{|3}A x x =≤，{|2}B x x =<，则R A C B = ；
2. 已知向量(2,1)a =- ，(1,)b m =
平行，则m = ；
3. 关于,x y 的一元二次方程组231
22
x y x y +=⎧⎨
-=⎩的系数矩阵 ；
4. 计算：11
32lim 32n n
n
n n ++→∞-=+ ； 5. 若复数z 满足1012i
i z
=-（i 为虚数单位）
，则||z = ； 6. 10(21)x +的二项展开式中的第八项为 ；
7. 某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒
方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方 向航行8.1海里达到C 处，这时灯塔B 与船相距 海里；（精确到0.1海里） 8. 已知3cos(
)25π
α-=，(,)2παπ∈，则sin()3
π
α+= ； 9. 如图，已知正方体
1111ABCD A BC D -，12AA =，
E 为棱1CC 的中点，则AE 与平面11B BCC 所成的角
为 ；（结果用反三角表示）
10. 已知函数()f x 的图像与()2x
g x =的图像关于直
线y x =对称，()(1||)h x f x =-，则关于函数()h x 有下列命题：①()h x 的图像关于原点对称；②()h x
的图像关于y 轴对称；③()h x 的最大值为0；④()h x 在区间(1,1)-上单调递增； 其中正确命题的序号为 ；（写出所有正确命题的序号）
11. 有一列向量{}n a ：111(,)a x y = ，222(,)a x y = ，…，(,)n n n a x y =
，如果从第二项起，
每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列，已知等差向量列
{}n a ，满足1(20,13)a =- ，3(18,15)a =- ，那么这列向量{}n a
中模最小的向量的序号
n = ；
12. 已知函数()2sin f x x π=，()g x =()f x 与()g x 图像交点的横坐标之
和为 ；
二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）
13. 如果0a b >>，那么下列不等式中不正确的是（ ） A.
11a b < B. 11
a b
> C. 2ab b > D. 2a ab > 14. 设:1x α=且2y =，:3x y β+=，α是β成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
15. 方程2244kx y k +=表示焦点在x 轴的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ） A. 4k > B. 4k = C. 4k < D. 04k << 16. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是（ ） A.
14 B. 13 C. 12 D. 16
17. 直线0ax by +=与圆220x y ax by +++=的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
18. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为,,10,11,9x y ，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
19. 设函数()f x ()x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+，当0x π≤<时，()0f x =，则
23(
)6f π
=（ ）
A. 12
B.
C. 0
D. 12-
20. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于（ ）
A.
B. C. D. 21. 已知函数()f x 存在反函数1()f x -，若函数(1)y f x =+过点(3,3)，则函数1
()f x -恒
过点（ ）
A. (4,3)
B. (3,4)
C. (3,2)
D. (2,3) 22. 一个弹性小球从10米高处自由落下，着地后反弹到原来高度的4
5
处，再自由落下，又 弹回到上一次高度的4
5
处，这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（ ）
A. 50
B. 80
C. 90
D. 100
23. 符合以下性质的函数称为“S 函数”：① 定义域为R ；② ()f x 是奇函数；③ ()f x a < （常数0a >）；④ ()f x 在(0,)+∞上单调递增；⑤ 对任意一个小于a 的正数d ，至少存
在一个自变量0x ，使0()f x d >；下列四个函数中：12()arctan a
f x x π
=
，22||
()1
ax x f x x =
+， 31,0()0,01
,0
a x x f x x a x x ⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪--<⎩
，421
()()21x x
f x a -=⋅+中“S 函数”的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 24. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成 的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，
如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x 、y
分别为点
O 到两个顶点的向量；若将点O 到正六角星12个顶点的向
量，都写成ax by +
的形式，则a b +的最大值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
三. 解答题（本大题共8题，共8+8+8+10+14+6+12+12=78分）
25. 已知OA 、OB 、OC 交于点O ，AD //=
12
OB ，E 、F 分别为BC 、OC 的中点； 求证：DE ∥平面AOC ；
26. 已知函数()2sin f x x =，将函数()y f x =的图像向右平移6
π
个单位，再把横坐标缩短 到原来的
1
2
（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =的解析式，并写 出它的单调递增区间；
27. 已知两个向量22(1log ,log )a x x =+ ，2(log ,1)b x =
；
（1）若a b ⊥
，求实数x 的值；
（2）求函数()f x a b =⋅ ，1
[,2]4
x ∈的值域；
28. 已知数列{}n a 的前n 项和为231
22
n S n n =-*()n N ∈； （1）求{}n a 的通项公式； （2）当2n ≥时，1n n
a a λ
λ++≥恒成立，求实数λ的取值范围；
29. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点00(,)P x y ，直线:0l ax by c ++=，我们称
δ=
为点00(,)P x y 到直线:0l ax by c ++=的方向距离；
（1）设椭圆2
214
x y +=上的任意一点(,)P x y 到直线1:20l x y -=、2:20l x y +=的方向 距离分别为1δ、2δ，求12δδ的取值范围；
（2）设点(,0)E t -、(,0)F t 到直线:cos 2sin 20l x y αα+-=的方向距离分别为1η、2η， 试问是否存在实数t ，对任意的α都有121ηη=成立？若存在，求出t 的值；若不存在，请 说明理由；
（3）已知直线:0l mx y n -+=和椭圆22
22:1x y H a b
+=(0)a b >>，设椭圆H 的两个焦点
1F 、2F 到直线l 的方向距离分别为1λ、2λ满足212b λλ>，且直线l 与x 轴的交点为A ，与 y 轴的交点为B ，试比较||AB 的长与a b +的大小；
30. 如图，点(1,0)A -、(1,0)B ，点C 在x 轴正半轴上，过线段BC 的n 等分点i D (1,2,i =
3,...,1)n -作与BC 垂直的射线i l ，在i l 上的动点P 使APB ∠取得最大值的位置记作i P ；
是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数2n ≥，点i P 都在这条曲线上？说明理由；
31. 定义符号函数1,0
sgn()1,0x x x ≥⎧=⎨
-<⎩
，已知,a b R ∈，()||sgn(1)f x x x a x b =--+；
（1）求(2)(1)f f -关于a 的表达式，并求(2)(1)f f -的最小值； （2）当1
2
b =
时，函数()f x 在(0,1)上有唯一零点，求a 的取值范围； （3）已知存在a ，使得()0f x <对任意的[1,2]x ∈恒成立，求b 的取值范围；
32. 已知两个无穷数列{}n a 、{}n b 分别满足111||2n n a a a +=⎧⎨-=⎩、111
||2n n
b b b +=-⎧⎪⎨=⎪⎩，其中*
n N ∈，
设数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ；
（1）若数列{}n a 、{}n b 都为递增数列，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k (2)k ≥，使得1k k c c -<，称数列{}n c 为“k 坠点数列”；
① 若数列{}n a 为“5坠点数列”，求n S ；
② 若数列{}n a 为“p 坠点数列”，数列{}n b 为“q 坠点数列”，是否存在正整数m ，使得
1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，说明理由；。