第十章(含耦合电感的电路)习题解答
天津理工电路习题及答案第十章含耦合电感电路
第十章 耦合电感和变压器电路分析一 内容概述1 互感的概念及VCR ：互感、同名端、互感的VCR 。
2 互感电路的分析方法：①直接列写方程：支路法或回路法； ②将互感转化为受控源； ③互感消去法。
3 理想变压器：①理想变压器的模型及VCR ； ②理想变压器的条件；③理想变压器的阻抗变换特性。
本章的难点是互感电压的方向。
具体地说就是在列方程时，如何正确的计入互感电压并确定“＋、－”符号。
耦合电感1）耦合电感的伏安关系耦合电感是具有磁耦合的多个线圈 的电路模型，如图10-1(a)所示，其中L 1、 L 2分别是线圈1、2的自感，M 是两线圈之 间的互感，“．”号表示两线圈的同名端。
设线圈中耦合电感两线圈电压、电流 选择关联参考，如图10-1所示，则有：dtdiM dt di L )t (u dt di M dt di L )t (u 12222111±=±=若电路工作在正弦稳态，则其相量形式为： .1.2.2.2.1.1I M j I L j U I M j I L j U ωωωω±=±=其中自感电压、互感电压前正、负号可由以下规则确定：若耦合电感的线圈电压与电流的参考方向为关联参考时，则该线圈的自感电压前取正号(如图10-l (a)中所示)t (u 1的自感电压)，否则取负号；若耦合电感线圈的线圈电压的正极端与该线圈中产生互感电压的另一线圈的电流的流入端子为同名端时，则该线圈的互感电压前取正号(如图10-l (a)所示中)t (u 1的互感电压)，否则取负号(如图10-1(b)中所示)t (u 1的互感电压)。
2）同名端当线圈电流同时流人(或流出)该对端钮时，各线圈中的自磁链与互磁链的参考方向一致。
2 耦合电感的联接及去耦等效 1）耦合电感的串联等效两线圈串联如图10-2所示时的等效电感为：M 2L L L 21eq ±+= （10-1）图10-1（10-1）式中M前正号对应于顺串，负号对应于反串。
第十章含有耦合电感的电路-精选文档
d di u L dt dt
+
u _
在此电感元件中，磁链Ψ和感 应电压u均由流经本电感元件的电 流所产生，此磁链感应电压分别称 为自感磁链和自感电压。
2、互感：如图所示表示两个耦合电感，电流i1在线 圈1和2中产生的磁通分别为Φ11和Φ21，则Φ21≤Φ11。 这种一个线圈的磁通交链于另一线圈的现象，称为 磁耦合。电流i1称为施感电流。Φ11称为线圈1的自感 磁通，Φ21称为耦合磁通或互感磁通。如果线圈2的 匝数为N2，并假设互感磁通Φ21与线圈2的每一匝都 交链，则互感磁链为Ψ21＝N2Φ21。
§10-1 互感
耦合电感：耦合元件，储能元件，记忆元件。
一、耦合电感：为互感线圈的理想化电路模型
1 、自感：对于线性非时变电感元件，当电流的 参考方向与磁通的参考方向符合右螺旋定则时， 磁链Ψ与电流I满足Ψ＝Li，L为与时间无关的正实 常数。
根据电磁感应定律和线圈的绕向，若电压的参考 正极性指向参考负极性的方向与产生它的磁通的参 考方向符合右螺旋定则时，也就是在电压和电流关 联参考方向下，则
输入阻抗Z为
Z Z Z ( 8 j 4 ) 8 . 94 26 . 57 1 2
为： 50 0 V 令U ，解得 I
50 0 I U / Z A 5 . 59 26 . 57 A 8 . 94 26 . 57
第十章 含有耦合电感的电路
内容提要
本章主要介绍耦合电感中的磁耦合 现象、互感和耦合因数、耦合电感的同 名端和耦合电感的磁通链方程、电压电 流关系；还介绍含有耦合电感电路的分 析计算及空心变压器、理想变压器的初 步概念。
§10-1 互感 §10-2 含有耦合电感电路的计算 §10-3 空心变压器
邱关源《电路》配套题库-课后习题(含有耦合电感的电路)【圣才出品】
第10章含有耦合电感的电路1．试确定图10-1所示耦合线圈的同名端。
图10-1解：图10-1（a）先指定电流i1和i2从线圈1的1端和线圈2的2端流入，按照右手螺旋法则，电流i1所产生的磁通链（用实线表示）方向和电流i2所产生的磁通链（用虚线表示）方向相反，如图10-2所示，它们是相互消弱的，所以可以断定端子1与端子2为异名端，则同名端为（1，2＇）或（1＇，2）。
用同样的方法可得图10-1 （b）的同名端为（1，2＇）或（1，3＇）或（2，3＇）。
图10-22．两个耦合的线圈如图10-3所示（黑盒子）。
试根据图中开关S闭合时或闭合后再打开时，毫伏表的偏转方向确定同名端。
图10-3解：根据右手螺旋法可知，线圈的同名端为（1，2）。
当开关S闭合时，线圈1中随时间增大的电流i从电源正极流入线圈端子1，这时毫伏表的高电位与端子1为同名端；当开关S闭合后再打开时，电流i减小，毫伏表的低电位端与端子1为同名端。
3．若有电流i1＝2＋5cos（10t＋30°）A，i2＝10A，各从图10-4（a）所示线圈的1端和2端流入，并设线圈1的电感＝6H，线圈2的电感＝3H，互感为M＝4H。
试求：（1）各线圈的磁通链；（2）端电压和；（3）耦合因数k。
解：（1）（1，2）为异名端，两个线圈的磁通是相互消弱的，所以（2）根据电压和磁通的关系得：（3）耦合因数为：k＝＝0.943。
4．如图10-5所示电路中（1）＝8H，＝2H，M＝2H；（2）＝8H，＝2H，M＝4H；（3）＝＝M＝4H。
试求以上三种情况从端子1-1′看进去的等效电感。
图10-5解：（a）＝M＋（L1－M）//（L2－M）当L1＝8H，L2＝2H，M＝2H时，＝2H；当L1＝8H，L2＝2H，M＝4H时，＝0H；当L1＝L2＝M＝4H时，＝4H。
（b）＝－M＋（L1＋M）//（L2＋M）当L1＝8H，L2＝2H，M＝2H时，＝0.857H；当L1＝8H，L2＝2H，M＝4H时，＝0H；当L1＝L2＝M＝4H时，＝0H。
电路分析第十章习题解答
1 + 0.6282
ϕ = − arctan 4000 × 2π ×10−5 0.16 + 1 + 0.6282
= −0.16o
10.求图题 10-10 所示电路的转移电压比 Au ( jω) = U& 2 U&1 。当 R1C1=R2C2 时，此网络函数有何
特性。
R1
+
U&1
-
1 jωC1
1 jωC2
200
20
H ( j10) = 112 + 92 = 0.7106 20
2.求图题 10-2 所示 RC 电路的电压转移比 Au ( jω) = U& 2 U&1 。绘出电路的频率响应曲线。
说明该电路具有高通及相位超前的性质。分析截止频率与电路参数的关系。
+
C
+
u1
R
u2
-
-
解：电路的相量模型为
图题 10-2
当 R1C1 = R2C2 时
U& 2 U& 1
=1 1 + R1
R2
该网络函数为实数，相移为 0，不随频率变化。
11.当ω=5000 rad/s 时，R、L、C 串联电路发生谐振。已知：R=5Ω，L=400 mH，端电压 U=1V。
求电容 C 及电路中电流和各元件电压的瞬时表达式。
解：
R ， L ， C 串联电路谐振时
解：
Q ω0 =
1 LC
∴
L
=
1
ω
2 0
C
=
(2π
1 ×106 )2 × 200 ×10−12
= 127μH
Q
CH10含有耦合电感的电路
CH10含有耦合电感的电路第⼗章含有耦合电感电路§10-1 互感⼀、互感: 当两个线圈都有电流时，每⼀线圈的磁链为⾃磁链与互磁链的代数和： 1111211122L i M i ψψψ=±=± 2222122211L i M i ψψψ=±=±注意：1）互感系数M 12和M 21的值与线圈形状、⼏何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流⽆关，因此，满⾜ M 12 =M 21 =M ，单位为（H ）2）⾃感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。
正值表⽰⾃感磁链与互感磁链def ⼀般有：1k ≤；当 k =1 称全耦合。
耦合因数 k 与线圈的结构、相互⼏何位置、空间磁介质有关。
三、耦合电感上的电压、电流关系I 注意：互感电压的正负：（1）与电流的参考⽅向有关（2）与线圈的相对位置和绕向有关。
四、互感线圈的同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端⼦同时流⼊或流出时，若产⽣的磁通相互增强，则这两个对应端⼦称为两互感线圈的同名端。
注意：当有多个线圈之间存在互感作⽤时，同名端必须两两线圈分别标定。
确定同名端的⽅法：(1) 当两个线圈中电流同时流⼊或流出同名端时，两个电流产⽣的磁场将相互增强。
(2) 当随时间增⼤的时变电流从⼀线圈的⼀端流⼊时，将会引起另⼀线圈相应同名端的电位升⾼。
同名端的实验测定：实验线路如图所⽰，当开关 S 闭合时，线圈 1 中流⼊*号⼀端的电流 i 增加，在线圈 2 的*号⼀端产⽣互感电压的正极，则电压表正偏。
如图所⽰（a ）、（b ）、（c ）、（d ），已知同名端和各线圈上电压电流参考⽅向，试写出每⼀互感线圈上的电压电流关系。
例 10-1 图（a ）例 10-1 图（b ）例 10-1 图（c ）例 10-1 图（d ）⼀、耦合电感的串联（1）顺向串联:122L L L M =++，互感起“增助”作⽤，耦合电感等效阻抗⼤于⽆互感时。
（2）反向串联: 122L L L M =+-，互感起“削弱”作⽤，耦合电感等效阻抗⼩于⽆互感时。
电路习题第十章
第十章 含有耦合电感的电路习题一、填空题1.电路如图1-1所示，已知负载R L =100Ω时可获得最大功率，则R o =（ ）2.图1-2所示理想变压器，若此时R L 可以获得最大功率，则变比n 为（ ）3. 图1-3电路，求输入电阻R ab =（ ）图1-1 图1-2 图1-34. 如图1-4所示单口网络的开路电压和等效电阻为（ ）V 和（ ）Ω8Ω3:1a b 2:1图1-4 图1-55.如图1-5所示电路的等效电阻Rab=（ ）。
二、计算题。
1.图1所示电路，V )cos(210t u s ω=，R 1=10 Ω，R 2=40 Ω， L 1=L 2=0.1mH ， M=0.02mH ， C 1=C 2=0.01µF ，ω=106rad/s 。
列出回路电流方程并求电流1i 和2i图12.图2所示，已知R=1Ω, ωL 1=2Ω, ωL 2=32Ω, 耦合系数k = 1，Ω=32C 1ω,求 1I •、2U •。
图23.图3示电路，电路原已稳定，t = 0时开关S 由1转向2，求t >0时的电容电流)(t i c 。
图34.图4示，已知正弦电源电压U=200V ，R=500Ω，L=5H ，L1=2H ，M=1H ，L2=0.5H ， C=200μF ，电流表的读数为零：求：（1）电源的角频率ω；（2）各支路的电流；（3）电路的P 、Q 、S 、功率因数图45.求图5所示，负载Z L 是：C L ＝1F 元件，求单口网络的输入阻抗Zab 。
1Ωa b 2Ωj2Ωj1Ωω＝1rad/s Zj1Ω图56.图6所示电路中R=50Ω，L 1=70mH ，L 2=25mH ，M=25mH ，C=1uF ，正弦电压5000U V =∠，ω=104rad/s 。
画出此电路的去耦等效图，并求各支路电流（相量形式）。
Rj ωL 1j ωL 2U +1I 2I I j ωM图67.电路如图7，已知u s = 20.2 cos(5t + 45°)V ，画出此电路的去耦等效电路图，分析计算负载Z 取何值时可获得最大功率？并计算最大功率max P 。
电路10答案
•
1 : 10
* *
I2
+
•
& 求U oc :
10∠0 V
o
U1
– –
U oc
–
& & Q I 2 = 0, ∴ I 1 = 0 & & U = 10U
oc 1
= 100∠ 0 o V
求Z0：
1Ω Ω
1 : 10
* *
Z0
Z0=102×1=100Ω Ω
戴维南等效电路： 戴维南等效电路：
100Ω Ω
•
方法2 方法2：阻抗变换
•
I 1 1Ω Ω
+ +
•
& U1
10∠0 V
o
U1
– –
1 1 ( ) 2 × 50 = 10 2
& U2
10∠ 0 o 1 10 = × = ∠0 o V 1 + 1/ 2 2 3 & = 10 U
1
= 33.33∠ 0 o V
方法3：戴维南等效 方法3
•
•
I 1 1Ω Ω
求内阻： 求内阻：Z0
M R1 • L1 L2 •
& I0
+ _
& Ia
R2
& Ib
& U0
（1）加电压源求入端电阻：列回路电流方程 加电压源求入端电阻：
& & & ( R1 + R2 + jωL1 ) I a + R2 I b + jωM I b = 0
& & & & ( R2 + jωL2 ) I b + R2 I a + jωM I a = U 0
邱关源《电路》笔记及课后习题(含有耦合电感的电路)【圣才出品】
第10章含有耦合电感的电路10.1 复习笔记一、互感1．互感现象及互感磁链某个线圈中的电流产生的磁通链除穿过本线圈外，还与其他线圈相交，称为“互感”现象。
设有n个载流线圈，第k个线圈中的总磁通链为Ψk＝±Ψk1±Ψk2±…＋Ψkk±…±Ψk（n－1）±Ψkn其中，Ψkk为自感磁通链，Ψkj（j≠k）为互感磁通链。
“＋”表示互感磁通链和自感磁通链的方向一致，即同向耦合；“－”为反向耦合。
2．互感系数互感磁通链与产生它的电流比为互感系数，即M12＝Ψ12/i2M21＝Ψ21/i1式中，M12和M21称为互感系数，简称互感，单位为H（亨）。
当只有两个电感有耦合时，M＝M12＝M21。
3．耦合因数用来描述两个线圈间磁耦合的松紧程度，定义为4．互感元件的伏安关系（1）时域伏安关系图10-1-1（a）为互感元件的时域电路模型图，其时域伏安关系为图10-1-1 互感元件时域电路模型（2）相量伏安关系图10-1-1（b）为相量电路模型，其相量伏安关系为二、含有耦合电感电路的计算当耦合电感的两线圈串联、并联或各有一端相连成为三端元件时，其电路可以等效为无互感（无耦合）的等效电路，我们称这种等效电路为去耦合等效电路。
1．耦合电感的串联等效（1）同向串联：如图10-1-2（a）所示，等效电感为：L＝L1＋L2＋2M。
（2）反向串联：如图10-1-2（b）所示，等效电感为：L＝L1＋L2－2M。
图10-1-22．耦合电感的并联等效（1）同向并联如图10-1-3（a）所示，去耦等效电路如图10-1-3（b）所示，其中L a＝L1－M，L b ＝M，L c＝L2－M。
（2）反向并联如图10-1-3（c）所示，去耦等效电路如图10-1-3（d）所示，其中L a＝L1＋M，L b＝－M，L c＝L2＋M。
图10-1-33．其他连接图10-1-4（a）为含耦合电感的两个线圈的单侧同名端连接，其去耦等效电路如图10-1-4（b）所示。
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第十章（含耦合电感的电路）习题解答
一、选择题
1．图10—1所示电路的等效电感=eq L A 。
Ａ．8H ； Ｂ．7H ； Ｃ．15H ； Ｄ．11H
解：由图示电路可得 121 d d 2d d )
63(u t i t i =++， 0d d 4d 221=+t
i
t i d
从以上两式中消去
t
i d d 2得t i
u d d 811=，由此可见
8=eq L H
2．图10—2所示电路中，V )cos(18t u s ω=，则=2i B A 。
Ａ．)cos(2t ω； Ｂ．)cos(6t ω； Ｃ．)cos(6t ω-； Ｄ．0
解：图中理想变压器的副边处于短路，副边电压为0。
根据理想变压器原副边电压的关系可知原边的电压也为0，因此，有
A )cos(29
)
cos(18 1t t i ω=ω=
再由理想变压器原副边电流的关系n
i i
121= (注意此处电流2i 的参考方向)得
A )cos(612t ni i ω==
因此，该题应选B 。
3．将图10─3（a ）所示电路化为图10—3（b ）所示的等效去耦电路，取哪一组符号取决于 C 。
Ａ．1L 、2L 中电流同时流入还是流出节点0；
Ｂ．1L 、2L 中一个电流流入0，另一个电流流出节点0 ；
Ｃ．1L 、2L 的同名端相对于0点是在同侧还是在异侧，且与电流参考方向无关；
Ｄ．1L 、2L 的同名端相对于0点是在同侧还是在异侧，且与电流参考方向有关。
解：耦合电感去耦后电路中的M 前面是取“+”还是取“–”，完全取决于耦合电感的同名端是在同侧还是在异侧，而与两个电感中电流的参考方向没有任何关系。
因此，此题选C 。
4．图10—4所示电路中，=i Z B 。
A ．Ω2j ； Ｂ．Ωj1； Ｃ．Ωj3； Ｄ．Ωj8
解：将图10—4去耦后的等效电路如图10—4（a ），由图10—4（a ）得
j1 j6
j6j6
j6j2Ω=+⨯+
-=i Z
因此，该题选Ｂ。
5．在图10—5所示电路中，=i Z D 。
A ．Ωj8； Ｂ．Ωj6； Ｃ．Ωj12； Ｄ．Ωj4
解：图中的耦合电感反向串联，其等效阻抗为
j4j22j4j4j 2j j 21Ω=⨯-+=ω⨯-ω+ω=M L L Z i
所以此题选D 。
6.互感系数M 与下列哪个因素无关 D
A ．两线圈形状和结构； Ｂ．两线圈几何位置； Ｃ．空间煤质； Ｄ．两线圈电压电流参考方向 7.理想变压器主要特性不包括 C
A ．变换电压； Ｂ．变换电流； Ｃ．变换功率； Ｄ．变换阻抗 8.对于图10-6所示电路中，下列电压、电流的关系叙述中，正确的是：D
A.
121211
22,di di di di u L M u M L dt dt dt dt
=--=--； B.121211
22,di di di di u L M u M L dt dt dt dt =-=-+； C .121211
22,di di di di
u L M u M
L dt dt
dt dt
=+=--； 图1-6 D. 121211
22,di di di di
u L M u M L dt dt dt dt
=+=+ 9.如果图10-7（b ）是图10-7（a ）的去耦等效电路，则图10-7（b ）中的1Z 等于：C
A. j M ω-；
B. j M ω； C . ()1j L M ω-；
D. ()1j L M ω+。
图10-7（a ） 图10-7（b ）
10．在应用等效电路法分析空心变压器时，若原边阻抗为11Z ，副边阻抗为22Z ，互感阻抗为j M ω。
则副边对原边的引入阻抗l Z 等于：B A.22j M Z ω+； B.
()
2
22
M Z ω； C .11j M Z ω+； D.
()
2
11
M Z ω
二、填空题
1．电路如图10─6所示，41=L mH ，92=L mH ，3=M mH ，当S 打开时，=eq L mH 7；
当S 闭合时，=eq L mH 3。
图10-8 图10-8（a ）
解：当S 打开时，两个具有磁耦合的电感反向串联，其等效电感为
7221=-+=M L L L eq mH ；
当S 闭合时，将互感消去可得 图10—8（a ）所示的电路。
由图10—8（a ）得其等效电感为
mH 3)
(221=-+-+
-=M
L M M L M M L L eq
2．在图10─9所示电路中(02=i 时)，=u t
i M L s
d d )
(1+。
图10-9 图10-9（a ）
解：消去图10—9中的互感得其等效电路如图10—9（a ）所示。
由图10—9（a ）可得
t
i
M L t i M L u d d )(d d )
(2211+++=
由于2i 等于0，s s i i i i =+=21，所以
t
i M L u s
d d )
(1+= 3．在图10─10所示电路中，谐振频率15.1590=f H Z 。
图10-10
解：6
010
20)01.0202.001.0(21
-⨯⨯⨯++π=
f = 159.15 Hz
４．在图10─11所示电路中，若 )cos(24t i s ω=A ，Ω=10R ，Ω+=j3)4(1Z ，
Ω+=j4)3(2Z ，电压表内阻无穷大，则电压表读数为20V 。
图10-11 图10-11（a ）
解：对图10—11的电路进行等效变换，得其相量模型如图10—11（a ）。
图中的 0/400=s
U V 。
电压表的内阻为无限大，那么02=I 。
根据理想变压器原副边电流相量的关系可知01
=I ，即s
U U =1。
而 0120/202121===s U U U V 所以电压表的读数为20V 。
5．在图10─12所示电路中，j2)2(-=i Z Ω。
图10-12
解：Ω-=-+
=)2j 2()8j 4(4
1
1i Z 三．计算题
1．在图10─13所示电路中，已知220=s U V ，Ω+= j4)3(Z ，求Z 消耗的平均功率。
图10-13
解：从原边向副边看进去的阻抗为
Ω+=⨯= j400)300(102Z Z i
以电源电压相量为参考相量，即 00/220=s
U V ，于是 0113.53/44.0j400
300220-=+==i s Z U I A
Z 消耗的平均功率为
W 8.58)13.53cos(44.0220cos 01=⨯=ϕ=I U P S
2． 在图10─14所示正弦交流电路中，已知rad/S 100=ω，010/4=I A ,求s
U 。
图10-14 图10-14（a ）
解：消去图10—14中的互感可得图10—14（a ），由图14—（a ）可得
V 90/8.368.36j 0/4)3
j 2j 3j 2j 8j (00==⨯+⨯+=s
U 3．在图10─15所示正弦交流电路中，已知 ) (cos 22t u s =V ，求电流i 。
图10-15 图10-15（a ） 解：图10—15所示电路去耦后的电路如图10—15（a ）。
由于s u 的角频率为/s rad 1，所以图中两段电感电容串联电路均发生谐振，整个电路等效于一个Ω2电阻。
于是
A )cos(22
t u i s
==
4．在图10─16所示正弦稳态电路中，Ω=40R , Ω=ω60L , Ω=ω20M ,
Ω=ω401
1
C , Ω=ω2012
C , 00/80=S U V ,求电流1I 及2I 。
图10-16 图10-16 （a ） 图10-16 （b ）
解：将图10—16的电路去耦后，等效于图10—16（a ）所示的电路（注：图中所有阻抗的单位均为Ω），图10—16（a ）可进一步等效为图10—16（b ）。
从图10—16（b ）可见电路发生了并联
谐振，电感、电容两端的电压均为2/s
U ，参考方向和1I 的参考方向相同。
因此，有 A 1 j
40
j 0/40 ,A 1 j 40j 0/400
201-===-=I I
5．欲使图10─17所示电路处于串联谐振状态，电源电压)(t u 的角频率ω应为多少？
图10-17 图10-17（a ）
解：将图10—17去耦后，电路等效变换为图10—17（a ）所示的电路。
则
s /rad 100010
1116
=⨯==
ω-LC
6. 图10-18所示电路处于正弦稳态，求：1∙
I 、2∙
I 、2∙
U 。
()1212122224104880
0.5245A 0.250A 0.250A 20V
j I j I j I j I I I U I ⎧-=∠︒
⎪⎨-++=⎪⎩∠-︒∠︒⨯∠︒∠︒解之得：＝＝又 ＝8＝8＝。