量子化学第四章密度矩阵
密度矩阵的定义
密度矩阵的定义
密度矩阵是指在量子力学中，系统可处的状态可以是量子单态，也可以是多个量子单态以某种概率的叠加。
密度矩阵的迹为1，密度矩阵的平方的迹小于等于1。
当平方的迹为1时，对应某个量子单态的投影算符。
密度矩阵可以描述统计系统中力学体系的量子运动状态的分布，其中的展开系数с为时间t的函数，满足与$s$无关的同样的按几率归一化的条件。
从展开系数依下式定义的所有矩阵元即构成按几率归一化的密度矩阵，其中，而$ρ_{kk}$为系综中力学体系处在运动状态$k$上的几率。
任意力学量对力学体系$s$的量子平均值为，其中矩阵元构成该力学量的矩阵。
密度矩阵纯化
密度矩阵纯化密度矩阵纯化（Purification of density matrices）是量子信息学中的一项重要技术，它能够将一般的混合态密度矩阵转化为纯态密度矩阵。
密度矩阵纯化是基于量子纠缠的思想，目的是通过将待纯化的密度矩阵与另一个纯态密度矩阵进行纠缠，从而生成一个更高纯度的密度矩阵。
本文将对密度矩阵纯化的原理、应用以及相关算法进行介绍。
一、密度矩阵纯化的原理密度矩阵是描述量子态的一个重要工具，它是一个Hermitian矩阵，通常表示为：\rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle\psi_i| 其中，{p_i}是正数，称为混合态的概率权重，|\psi_i\rangle是一组正交归一基矢，表示混合态的组成部分。
在一般的混合态情况下，|\psi_i\rangle中的矢量可能是纠缠的，难以进行量子信息处理。
而在纯态情况下，纠缠性质被最好地展现出来，可以方便地利用。
密度矩阵纯化就是将混合态密度矩阵转化为纯态密度矩阵。
其原理是通过量子纠缠将待纯化的密度矩阵与另一个纯态密度矩阵进行混合，从而生成一个更高纯度的密度矩阵。
具体地，假设存在一个密度矩阵\rho_{AB}，其中A 和B分别是两个系统。
我们可以将这个密度矩阵作为一个整体来考虑，即可以将其视为一个力学系统C的密度矩阵\rho_C，大小为d_A \times d_B，其中d_A和d_B分别表示系统A和系统B的维数。
那么，纯化任务就是将密度矩阵\rho_C进行纠缠，从而生成大小为d_C \times d_C的纯态密度矩阵|\psi_C \rangle \langle \psi_C|。
具体来说，我们可以采用另一个纯态密度矩阵|\phi_{AB}\rangle \langle\phi_{AB}|，大小为d_A\times d_B，对原密度矩阵\rho_{AB}进行扩展。
我们定义一个新的复合体系，包含三个子系统A、B和C，其中A和B分别和原系统的A和B等价，C是和|\phi_{AB}\rangle \langle\phi_{AB}|等价的纯态系统。
第四章 量子力学密度矩阵
ˆ (r ) 是只与系统自由度有关的力学量算符。 矢 Ψ (r , q ) 来描写。我们只关心系统的自由度。设 F
系统的状态能否由一个只与 r 有关的态矢来完全描述呢？显然仅当系统自由度和环境自由度 没有关联时才有可能。 1、复合系统的基矢（非耦合表象） 研究一个复合系统 A + B
A ；感兴趣的子系统， { m B ：大环境（系统）， { n
第四章
§4.1 密度算符（矩阵） 一、纯态和混合态 1、纯态 能用一个态矢描述的态称为纯态。
密度矩阵方法
任意个态矢的线性叠加是一个态矢，故仍为纯态。 2、混合态 体系的状态不能用一个态矢描述，而需要用一组态矢及其相应的概率来描述，称为 参与态： Ψ j ←→ p j （处在 Ψ j 态的概率） 3、区别 纯态：概率幅的相干叠加，两态之间发生干涉 混合态：概率的不相干叠加。
3、密度算符的性质
ˆ 满足本征值方程 如果算符力学量 F
ˆψ = F ψ F k k k
当本征值无简并时，则 {ψ k }构成正交归一完备系；当本征值简并时，本征矢未必正交， 但可以要求它是归一和完备的。
ˆ 是厄米算符： ρ ˆ+ = ρ ˆ （1） ρ ˆ 的本征值是非负的。 （2） ρ ˆ （3）对于密度算符 ρ ˆ =1 Tr ρ
Bloch 球心则是一个不含任何信息的完全随机的混态——垃圾态。
§4.2 密度算符的动力学演化方程 一、密度算符一般动力学方程
ˆ 和一般的算符不同，它不是一个固定的算符，而是依赖于系统所处的状态， 态密度算符 ρ
随时间演化。由薛定谔方程不难得到态密度算符的运动方程 1、薛定谔绘景
ˆ (t ) 1 ˆ dρ ˆ (t ) ] = H (t ), ρ dt i
高等量子力学 密度算符和密度矩阵
2
2
ψ = ψ 1 c1 + ψ 2 c2
如果在纯态(14.1)式中 ψ 1 和 ψ 2 都是某一算符 A 的本 式中, 如果在纯态 式中 征矢量, 则在纯态中, 征矢量 本征值分别为 a1 和 a 2 , 则在纯态中 物理量 A 取值 为 a1 和 a 2 的概率确是 c1 和 c 2 , 但是物理量取 a1 或 a 2 的概 率并不等于系统处于 ψ 1 态和 ψ 2 态的概率 关于这一点 态的概率. 关于这一点, 讨论一个(与 不对易的)算符 的取值概率就清楚了, 讨论一个 与 A 不对易的 算符 B 的取值概 率就清楚了 对于 纯态来讲, 系统就是处于 ψ 态 , 对于一个纯态 ψ , 不存在 纯态来讲 “系统处于某态的概率 这一概念 系统处于某态的概率”这一概念 系统处于某态的概率 这一概念.
设 K 表象的基矢为 { n m L}, 则 K 表象中的密度矩阵为
ρ mn = m ρ n = ∑ m ψ i pi ψ i n
i
(14.16)
的本征态, 如果参与构成混合态的都是物理量 K 的本征态 则这个混合 表象中的密度矩阵是对角矩阵, 态在 K 表象中的密度矩阵是对角矩阵 其对角元是相应本征 态的权重 pi .
§14 密度矩阵
§14-1 纯态和混合态 §14-2 密度算符和密度矩 阵 §14-3 例
§14-1
纯态和混合态
能用希尔伯特空间中的一个矢量描写的状态都是纯态 能用希尔伯特空间中的一个矢量描写的状态都是 纯态. 纯态 两个纯态 ψ 1 和 ψ 2 , 通过叠加可以得到另一个状态 ψ :
ψ = ψ 1 c1 + ψ 2 c2
ρ mn = m ρ n = ∑ m i pi i n = ∑ δ mi pi δ in = p mδ mn
量子纠缠的量子密度矩阵描述
量子纠缠的量子密度矩阵描述量子纠缠是量子力学中的一种现象，它描述了两个或更多个量子系统之间的纠缠状态，即它们之间的量子态无法被单独的描述，需要通过整个系统来描述。
在描述量子纠缠的过程中，我们常使用到量子密度矩阵。
量子密度矩阵是一个密度算符，它是一个厄米且正定的算符。
对于两个量子系统A和B的联合系统，可以表示为：$$\rho_{AB} = \sum_i P_i |\phi_i^A \rangle \langle \phi_i^A | \otimes|\phi_i^B \rangle \langle \phi_i^B |$$其中，$|\phi_i^A \rangle$代表系统A的第i个基态，$|\phi_i^B\rangle$代表系统B的第i个基态，$P_i$代表概率，满足$\sum_i P_i = 1$。
量子密度矩阵的描述对于理解量子纠缠的性质非常重要。
通过量子密度矩阵，我们可以推导出一系列与量子纠缠相关的物理量，如纠缠熵、纠缠度、纠缠特性等，并且可以应用于量子信息处理、量子计算和量子通信等领域。
接下来，我将从准备实验到实验过程以及实验结果的角度详细解读量子纠缠的量子密度矩阵描述。
首先，为了研究量子纠缠，我们需要准备两个具有纠缠关系的量子系统。
一个常见的实验设备是两个自旋为1/2的粒子，比如自旋为1/2的电子。
可以利用电子自旋的上、下态来描述两个自旋系统。
由于纠缠态的产生需要精准的操作和控制，实验需要使用精密的装置来保持自旋系统的稳定性。
在准备实验的过程中，我们需要对两个自旋系统进行初态的准备。
可以选择两个自旋都处于向上（$\uparrow$）的态或两个自旋都处于向下（$\downarrow$）的态作为纠缠态的初态。
接下来，我们需要进行一系列的操作，比如对其中一个自旋系统进行测量。
我们可以选择测量自旋的x分量或者z分量，这样就可以得到对应的测量结果。
测量结果可能是向上或向下的自旋态。
测量后，两个自旋系统将纠缠在一起，此时我们可以通过量子密度矩阵来描述这个纠缠态。
拉比振荡下的密度矩阵
拉比振荡下的密度矩阵
拉比振荡是指在原子或分子受到外加驱动下，发生能级之间的
周期性跃迁的现象。
在量子力学中，我们可以用密度矩阵来描述这
种振荡过程。
密度矩阵是描述量子系统状态的一个重要工具，它包
含了系统的全部信息，包括相位和幅度的信息。
当一个原子或分子受到外部驱动时，它会发生拉比振荡。
这种
振荡过程可以用密度矩阵来描述。
密度矩阵的演化可以通过薛定谔
方程来描述，而在拉比振荡下，密度矩阵的演化会受到外部驱动的
影响。
拉比振荡下的密度矩阵描述了量子系统在外部驱动下的行为。
通过对密度矩阵的分析，我们可以研究量子系统在不同驱动条件下
的行为特性，比如振荡频率、幅度和相位等。
这对于量子信息处理、量子计算和量子通信等领域具有重要意义。
总之，拉比振荡下的密度矩阵是描述量子系统在外部驱动下行
为的重要工具，它为我们研究和理解量子系统的行为特性提供了重
要的信息。
在未来的研究中，我们可以进一步深入研究拉比振荡下
的密度矩阵，以探索量子系统的更多奇妙现象。
第四章 休克尔(Hückel) 分子轨道理论
第四章
<0
相邻C间交换积分为
相间C间交换积分为0
各C原子参与共轭前2p轨道能量均为， 相邻的2p轨道间交盖引起的能量下降值为， 相邻的2p轨道间的重叠近似为0。 对共轭分子体系，在σ-π分离和π电子近似下， 应用线性变分法，能量对变分系数求一阶导数，则 可得 n 个线性方程（久期方程）。
第四章
0
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量子化学
属于E值对应的一套系数c1 , c2 ,…, c k， 波函数Ψ
第四章
c11 c 2 2 c k k c i i
i 1
k
归一化条件：
E有k个根E0, E1,…,Ek-1, E0为基态，其它为激发态。 所有分子轨道理论都基于变分方法而进行。
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量子化学 4.1 变分法
第四章
设体系哈密顿算符 的本征值按大小次序排列为： E0≤E1≤E2≤…Ei≤… 等号表示有简并态情形。 设属于每个本征值的本征函数分别为： 0 , 1 , 2 , …,i ,… 则存在 的系列本征方程：
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量子化学
第四章
根据厄米算符本征函数的性质， i , i 0 , 1, 2
i 1, 2 , , k
其中：
H ij i H j d
* S ij i j d
18
*
上式中E 代替了 ，因为求解上述方程可以得到E的 一组解，其中最小的一个就是体系基态能量的近似值。
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量子化学
为0，称此行列式为久期行列式。
第四章
ci 不全为零的条件是它们的系数构成的行列式
此，一个不太理想的 可能给出了较好的E0近似
玻色子的密度矩阵
玻色子的密度矩阵
玻色子的密度矩阵描述了玻色子系统的量子态。
在量子力学中，密度矩阵是一个非负的、厄米的、迹为1的算子，它可以描述一个量子系统的状态。
对于玻色子系统，这个矩阵需要考虑玻色子的统计性质，如玻色-爱因斯坦统计。
密度矩阵可以用于计算各种物理量的期望值，例如能量、粒子数等。
对于玻色子系统，其密度矩阵通常会涉及玻色子场的相干性、粒子数的分布以及量子纠缠等特性。
在数学上，玻色子的密度矩阵通常可以表示为一系列玻色子算子的函数，这些算子满足玻色-爱因斯坦统计的性质。
这些性质包括粒子数的不确定性和粒子间的相干性。
然而，需要注意的是，密度矩阵并不是唯一的描述量子态的方式。
另一种常见的描述方式是波函数或态矢量。
对于简单的系统，波函数或态矢量可能更为直观和方便。
但对于复杂的系统，特别是涉及多个粒子或多种相互作用的系统，密度矩阵可能更为适用。
总的来说，玻色子的密度矩阵是描述玻色子系统量子态的重要工具，它包含了系统的各种物理信息，可以用于计算各种物理量的期望值。
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第四章 密度矩阵与密度泛函上一章，我们介绍了多电子体系波函数 12(,,,)N x x x ψ⋅⋅⋅，一般说来求力学量的平均值，我们总是将其对应的算符作用在波函数上，再求积分，即A A ψψ∧=，所以利用*ψψ，我们可以定义密度函数和密度矩阵，全对称坐标函数及力学量平均值可以用密度函数或密度矩阵直接写出。
§4.1密度函数和密度矩阵§4.1.1密度函数四维（三维坐标+自旋）中某一电子i ，当不考虑其他所有电子处于任何可能位置时，它出现在x处的小体积元d τ中的机率为：111111111(,,,,,,)(,,,,,,)i i i N i i i N i i Nd x x x x x x x x x x d d d d τψψττττ*-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰(4.1)注意到*1Nd ψψτ=⎰看出(4.1)式只不过去掉i τ的积分符号，是i x的函数。
因N 个电子是不可分辨的，所以电子中的任一个出现在x处的d τ中的几率相同，由此定义电子的密度函数：11121223()(,,,)(,,,)N N N x N x x x x x x d d d ρψψτττ*=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰11()x ρ 表示的是1x处的小体积元中出现任何一个（以前的是电子i ，所以差N ）电子而不管其它电子出现在何处时的几率密度。
同样，任何两个给定的电子当不考虑其余电子出现在任何处时，它们在所给定的 1x 和2x处的小体积元1d τ和2d τ中同时出现的几率也是相同的。
（如(1,2),(3,4)但电子不可辨，几率相同）因此也可以定义两个电子的密度函数212121234(,)(,,,)(,,,)2N N NN x x x x x x x x d d dρψψτττ*⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰推而广之，q 个电子的密度函数为：12121212(,,,)(,,,)(,,,)q q N N q q N N x x x x x x x x x d d dq ρψψτττ*++⎛⎫⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰它表示在四维空间中，任意q 个电子在12,,,q x x x ⋅⋅⋅处的q 个小体积元12,,,qd d d τττ⋅⋅⋅中，各有一个电子同时出现而不管其它N-q 个电子在何处出现时的几率密度。
当1q =时 11()q x ρρ⇒当q N =时12(,,,)q N N x x x ρρψψ*⇒⋅⋅⋅=恰为量子力学中几率密度的定义。
定义了密度函数后，计算坐标函数的平均值就方便得多。
由于波函数中虽然包含有N 个粒子的坐标，但实际中常遇到的坐标函数只与几个粒子的坐标有关（更多的情况是只与一个或两个粒子的坐标有关）。
因此可以将其余粒子的坐标先积出来，这就导致了密度函数的应用。
例如对q 个粒子的全对称坐标函数1212(,,,)qNq i i i F i i i <<⋅⋅⋅<⋅⋅⋅∑的平均值为：121212121212(,,,)|(,,,)||(1,2,,)|(1,2,,)(,,,),qqNq i i i Nq i i i q q qF i i i F i i i N F q q F q x x x d d d ψψψψρτττ<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅>=<⋅⋅⋅>⎛⎫=<⋅⋅⋅> ⎪⎝⎭=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑∑⎰（N q ⎛⎫⎪⎝⎭项一样的，取其中一项即(1,2,,)F q ⋅⋅⋅）§4.1.2密度矩阵（或密度算符）定义∧Γ算符或密度矩阵： ψψ∧Γ=其中ψ为多电子体系波函数，下面来看算符∧Γ在连续空间及不连续空间的表示。
1、 连续空间一般为坐标空间，由x张成，其完备性条件给出：1x x dx =⎰所以：''''''(,)x x x x dxdx x x x x dxdxψψ∧∧∧Γ==Γ=Γ⎰⎰'(,)x x ∧Γ 在坐标表象下的表示，为x 行，'x 列的连续矩阵，矩阵元为'(,)x x ∧Γ将矩阵元明显写出来就是：''*'(,)()()x x x x x x ψψψψ∧Γ==定义密度矩阵的目的是计算力学量的平均值。
A A ψψ∧∧= 利用完备性条件''''''''''''(,)(,)(,)[(,)(,)](,)r r A A dxdx x x A x x dxdx A x x x xdxdx A x x x x dx dx A x x x x dx A x x T A T Aψψψψψψ∧∧∧∧∧∧∧====Γ=Γ=Γ=Γ=Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰2、 非连续空间——矩阵表示ψψ∧Γ=设有完全集{}i ϕ，其本征值为分立的，由完备性条件有：1ii iϕϕ=∑ψ可向完备集展开：*i iij jic c ψϕψϕ==∑∑其中*i i j jc c ϕψψϕ==下面看密度矩阵在非连续空间的表示：**,,i i j j iji j i ji jij i ji jc c c c ψψϕϕϕϕϕϕ∧Γ====Γ∑∑∑∑（或利用完备性条件）i i j j ijij i jijψψϕϕψψϕϕϕϕ∧Γ===Γ∑∑∑∑现在来看力学量的平均值：,*,,()()i i j j i jij i ji jij jii jiir A A A A c c A A T A ψψψϕϕϕψ∧∧∧∧∧====Γ=Γ=Γ∑∑∑∑所以，力学量平均值总可写为它与密度矩阵相乘的迹。
下面介绍一下密度矩阵的性质： ① 厄米性 +∧∧Γ=Γ 这是显而易见的。
()()()ψψψψψψ+∧∧+++Γ====Γ② ∧Γ为半正定的。
半正定定义：算子在任意态下的平均值总是不小于0的。
称算子为半正值确定的，简称半正定的。
对任意满足边界条件的态（波函数），总有∧Γ算子平均值为2ψψψ∧Γ=ΦΓΦ=ΦΦ=Φ≥所以，∧Γ为半正定的。
其物理意义：∧Γ的本征值大于等于0，可写为0∧Γ≥ ③如果ψ为归一化的，则1r T ∧Γ=坐标表示下：*'''1212*1212(,...)(,...)(,...)(,...)1r r N N N N N T T x x x x x x x x x x x x d ψψψψτ∧Γ===⎰矩阵表示下：1r i iii i iT ϕψψϕψϕϕψψψ∧Γ====∑∑可以看出，不管基向量连续或非连续的，∧Γ矩阵的迹总是1，∧Γ的迹与所选用的基函数无关。
④如果ψ为归一化的，则有幂等性2∧∧Γ=Γ 矩阵表示：2ψψψψψψ∧∧Γ===Γ⑤ 完备性质（单位分解性质）1ii∧Γ=∑设1ψ，2ψ， 构成正交归一的完全集，对每一个i ψ我们可以定义密度矩阵算符，i i i ψψ∧Γ=，由完备性条件：1i i iψψ=∑，所以1i i∧Γ=∑。
⑥ 而且，有i j i ij δ∧∧∧ΓΓ=Γ（正交性）证明：i j i i j ji j ij i ijψψψψψψδδ∧∧∧ΓΓ===Γ所以i ∧Γ算子满足投影算子的条件（幂等性2i i ∧∧Γ=Γ，完备性1ii∧Γ=∑，正交性i j i ij δ∧∧∧ΓΓ=Γ）。
i ∧Γ算子构成了投影算子的完全集。
⑦ 求迹的轮换性r r T B T B ∧∧∧∧Γ=Γ证明：r i iii j j iiji jjr T B B B B T Bϕϕϕϕϕϕϕϕ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧Γ=Γ=Γ=Γ=Γ∑∑∑∑下面我们看看∧Γ的运动方程，我们知道薛氏方程为：i H t ψψ∧∂=∂ 取厄米共轭，有：i H tψψ∧∂-=∂ 所以()t tt tψψψψψψ∧∂∂Γ=∂∂∂∂=+∂∂[,]i i i t t tH H H H H ψψψψψψψψ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∂∂∂Γ=+∂∂∂=-=Γ-Γ=Γ 即[,]i H t∧∧∧∂Γ=Γ∂，为密度矩阵的运动方程。
下面我们看看力学量平均值r T B ∧∧Γ的运动方程： 首先，在schrödinger 表象下：[][,]()[,]r r r r r r r i T B iT B t tiT B t iT B t t T B H T B H B H T B H ψψψψ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∂∂Γ=Γ∂∂∂=Γ∂∂∂=+∂∂=Γ=Γ-Γ=Γ再看看Heisenberg 表象下，力学量平均值r T B ∧∧Γ的运动方程：由于 ψψ∧Γ=不显含时间（Heisenberg 表象），而B ∧显含时间：0()i H ti H tB t e B e∧∧∧∧-=0000()[()][()][]()[,]r r i H t i H tr i H ti H ti H t i H tr i H ti H tr r r i T B iT B t tiT e B e tiT i H eB eeB i H eT H B eB eH T H B B H T B H ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧-∧∧∧∧∧--∧∧∧∧∧-∧∧∧∧∧∧∧∧∂∂Γ=Γ∂∂∂=Γ∂=+-Γ=-+Γ=-+Γ=Γ从而发现，力学量平均值的运动方程与表象的选择无关。
通过以上讨论我们看到，力学量的平均值可以用r T B ∧∧Γ表示，量子力学中的内容就是讨论力学量的平均值。
因此使我们有可能用迹代数来表述量子力学。
§4.1.3约化密度矩阵一般情况，全对称力学量只涉及q 个粒子的坐标，因此有必要在密度矩阵的基础上定义约化密度矩阵：'''1212*'''121212121''12121121(,,,,,,,)(,,,,,,,)(,,,,,,,)(,,,,,,,;,,,,,,)q q q q q q N q q q N q Nq q q N q q q N q Nq x x x x x x x x x x x x x x x x x x d d x x x x x x x x x x x d d Tr ψψττττ∧+++++∧++++++Γ===Γ=⎰⎰1,,N∧Γ我们也可以在q ∧Γ基础上乘以一个因子N q ⎛⎫⎪⎝⎭,构成 '''1212(,,,,,,,)q q q x x x x x x ρ∧= 称为q 阶约化密度矩阵，即：q q N T q ρ∧∧⎛⎫= ⎪⎝⎭q ρ∧中若行列指标相同，即'11x x = ，也就是q ρ∧矩阵中的对角元为密度函数q ρ，即： 121212(,,,)(,,,,,,,)q q q q q x x x x x x x x x ρρ∧=定义了q ρ∧之后，就可以计算q 个粒子全对称力学量算符的平均值： 1212(,,,)qq i i i G g i i i ∧∧∧∧∧<<<=∑*'''1212*'''12112121,,(1,2,,)(1,2,,)(,...)(,...)(1,2,,)(,...)(,...)(1,2,,)r r NN N q q N N N q q G T G N T g q q N d g q x x x x x x q N d d d g q d d x x x x x x q Tr g q τψψτττττψψρ∧∧∧∧∧∧+∧∧=Γ⎛⎫=Γ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰事实上，我们考虑的大部分力学量都只与1个或2个粒子的坐标有关，因此只有1ρ∧，2ρ∧应用的最普遍。