m法求解桩身内力与变形的幂级数解
m法计算桩基实例
M-Method Calculation of Pile Foundation ExampleBackground:The M-method is a commonly used analytical approach for estimating the capacity of pile foundations. It considers both the axial and lateral loads acting on the pile, as well as the soil-pile interaction. This method is based on the assumption that the pile-soil interaction can be represented by a spring-dashpot system.Example:Let's consider a pile foundation installed in a soil deposit with known geotechnical properties. The pile has a diameter of 1.5 meters and a length of 20 meters. The axial load acting on the pile is 1000 kN, and the lateral load is 200 kN at a depth of 5 meters.Calculation Steps:Soil Properties:Determine the soil's modulus of elasticity (E) and shear modulus (G).Determine the soil's cohesion (c) and friction angle (φ).Pile Properties:Determine the pile's cross-sectional area (A) and moment of inertia (I).Determine the pile's modulus of elasticity (Ep).Spring-Dashpot Model:Calculate the axial stiffness (Kz) and lateral stiffness (Ky) of the pile-soil system using the M-method formulas.Determine the damping coefficients (Cz and Cy) if required for dynamic analysis.Load-Displacement Analysis:Apply the axial and lateral loads to the pile.Solve the governing equations of motion to determine the displacement and internal forces in the pile.Capacity Estimation:Evaluate the pile's ultimate axial and lateral capacities based on the displacement and internal force results.Compare the estimated capacities with the applied loads to assess the pile's safety.Conclusion:Using the M-method, we can estimate the axial and lateral capacities of pile foundations. This method provides a practical and efficient way to analyze pile-soil interaction and assess the pile's performance under various loading conditions.背景：M法是一种常用于估算桩基承载力的分析方法。
桩基础的设计计算 m值法
桩基础的设计计算1．本章的核心及分析方法本节将介绍考虑桩与桩侧土共同抵抗外荷载作用时桩身的内力计算，从而解决桩的强度问题。
重点是桩受横轴向力时的内力计算问题。
桩在横轴向荷载作用下桩身的内力和位移计算，国内外学者提出了许多方法。
目前较为普遍的是桩侧土采用文克尔假定，通过求解挠曲微分方程，再结合力的平衡条件，求出桩各部位的内力和位移，该方法称为弹性地基梁法。
以文克尔假定为基础的弹性地基梁法从土力学观点看是不够严密的，但其基本概念明确，方法简单，所得结果一般较安全，在国内外工程界得到广泛应用。
我国公路、铁路在桩基础的设计中常用的"m"法、就属此种方法，本节将主要介绍"m"法。
2．学习要求本章应掌握桩单桩按桩身材料强度确定桩的承载力的方法，" "法计算单桩内力的各种计算参数的使用方法，多排桩的主要计算参数及其各自的含义。
掌握承台计算方法,群桩设计的要点及注意事项,了解桩基设计的一般程序及步骤。
本专科生均应能独立完成单排桩和多排桩的课程设计。
第一节单排桩基桩内力和位移计算一、基本概念（一）土的弹性抗力及其分布规律1．土抗力的概念及定义式（1）概念桩基础在荷载（包括轴向荷载、横轴向荷载和力矩）作用下产生位移及转角，使桩挤压桩侧土体，桩侧土必然对桩产生一横向土抗力，它起抵抗外力和稳定桩基础的作用。
土的这种作用力称为土的弹性抗力。
（2）定义式（4-1）式中：--横向土抗力，kN/m2；--地基系数，kN/m3；--深度Z处桩的横向位移，m。
2．影响土抗力的因素（1）土体性质（2）桩身刚度（3）桩的入土深度（4）桩的截面形状（5）桩距及荷载等因素3．地基系数的概念及确定方法（1）概念地基系数C表示单位面积土在弹性限度内产生单位变形时所需施加的力，单位为kN/m3或MN/m3。
（2）确定方法地基系数大小与地基土的类别、物理力学性质有关。
地基系数C值是通过对试桩在不同类别土质及不同深度进行实测及后反算得到。
按 m 法计算弹性桩水平位移及作用效应
B4D2) A4B2)
(0) MHຫໍສະໝຸດ 1 2EI(A3D4 A4D3) (A3B4 A4B3)
kh(A2D4 A4D2) kh(A2B4 A4B2)
(0) HM
(0) MH
1 2EI
(B3C4 (A3B4
B4C3) A4B3)
kh(B2C4 kh(A2B4
B4C2) A4B2)
(0) MM
1 EI
(A3C4 (A3B4
A4C3) A4B3)
kh(A2C4 kh(A2B4
A4C2) A4B2)
(0) HH
1 3 EI
B2D1 A2B1
B1D2 A1B2
(0) MH
1 ２EI
A2D1 A2B1
A1D2 A1B2
(0) HM
(0) MH
1 2EI
B2C1 A2B1
B1C2 A1B2
《公路桥涵地基与基础设计规范》
附录 L 按 m 法计算弹性桩水平位移及作用效应
L.0.1 桩的计算宽度可按下列公式计算： 当 d≥1.0m 时
b1 kkf d 1
（L.0.1-1）
当 d＜1.0m 时
b1 kkf 1.5d 0.5
（L.0.1-2）
对单排桩或 L1≥0.6h1 的多排桩
k 1.0
1
0.1
a d
（见图
L.0.1-1）；
k—平行于水平力作用方向的桩间相互影响系数；
L1—平行于水平力作用方向的桩间净距（图 L.0.1-2）；梅花形布桩时，若相邻两排桩 中心距 c 小于(d+1) m 时，可按水平力作用面各桩间的投影距离计算（图 L.0.1-3）；
h1—地面或局部冲刷线以下桩的计算埋入深度，可取 h1＝3(d+1) m ，但不应大于地面 或局部冲刷线以下桩入土深度 h（图 L.0.1-2）；
抗滑桩计算(刚性桩——M法)教程文件
计算 位置
剪力
弯矩
y
Qi(kN)
Mi(kN·m)
0
0
0
0.5
148.8
36.60952381
1
311.7714286
151.1619048
1.5
488.9142857
350.7428571
2
680.2285714
642.4380952
2.5
885.7142857
1033.333333
3
1105.371429
m(kPa/m2)
1320
700
40000
1508.037278
35000
滑面上半年岩土的内摩擦
滑面下岩土的容重 滑面下岩土的内摩擦角 滑面上岩土的容重
角
滑面下岩土的粘聚力
γ1(kN/m3)
φ1(度)
γ2(kN/m3)
φ2(度)
c(KPa)
23.2
38
23.2
15.9
25.2
抗弯刚度
计算宽度
变形系数
附表1
桩身内力 计算——m
1、基本数据
桩长 H(m)
15.00
桩间距 L(m)
6 截面惯性矩
I(m4) 2.304
2、桩的计算类型 3、边界条件 4、外力计算
桩前土的被动土压力 Ep(kN/m)
1144.919695
滑面上桩长 h1(m)
滑面下桩长 h2(m)
7.50
7.5
桩截面
a(m)
b(m)
2.4
2.4
16008
合力至边缘距离
a0(m)
0.2 (3)纵向受力钢筋配置
m法桩基内力计算_min
2
的4内力计 Nhomakorabea算
（m法） EhI EA=0.67EhA(KN) EI=0.67EhI(KN·m2)
I(m )
Eh(KN/m2)
0.04909 3.00E+07 桩间净距L1(m) 0 m(KN/m ) 7500
岩石地基系数C0 Raj(KPa) 1000 25000 已知Raj 4100 C0(KN/m3) 300000 15000000 待定C0 2198750
4
桩在局部冲刷线下埋入深度h1(m) 嵌岩深度(m)
15786503 986656 1472621.556 j 桩基计算埋入深度h1(m) 各桩间相互影响系数k Ra (KPa) 6 0.5 4100 局部冲刷线以上桩长h2(m) 桩的计算宽度b1=0.9k(d+1)(m) 0.9 1.1
1
0.2
α h(m) 桩的变形系数α =(mb1/EI) 0.3690 根据JTJ024-85规范P.67规定，可以按弹性基础计算！ 5.166 2)最大冲刷线处外力计算（桩顶处外力，只列出结果，计算详见其它相关资料） 位置 内力 竖向力N0(kN) 水平力H0(kN) 弯矩M0(kN.m) 桩顶处外力 2999.43 336.15 856.17 3)桩身配筋计算 根据桥博士基础计算文件可知 L'(m) 因为α L= 5.17 m>2.5m, 可以按弹性桩计算。 桩基弯矩最大截面位置距桩顶 0.00 2 f'sd (Mpa) 钢筋直径(mm) 根数 保护层厚(m) fcd(MPa） 桩基r(mm) 钢筋面积A's（m ) 0.009817477 280 25 20 0.07 13.8 500 e0=Mmax/Nd (m) g=rs/r 回转半径i(m) Mmax(KN·m) Nd(KN) rs(m) 配筋率ρ 856.17 0.285444234 2999.43 0.43 0.01250 0.8600 0.25 墩柱长度（m）= , 桩支点间长度l(m) = 0 14.00 计算长度l 0= 9.10 m 因为l 0 /i= 36.40 应考虑构件偏心距增大系数的影响！ η e0(m) e0(m) ho(m) lo （m） h(m) ξ 1 ξ 2 η 0.34 1.00 1.00 1.00 1.193 经综合考虑取ξ 、A、B、C、D值分别列出如下： A B C D ξ γ 0 1.4589 0.6635 0.4485 1.8052 0.59 1 经计算：根据上述结果得到的e0和实际计算的偏心距最相近，所以上述结果可以采用。 2 2 γ 0Nd(KN) γ 0Ndη e0 (KN·m) Ar fcd+Cρ r f sd'(KN) Br3fcd+Dρ gr3f sd' (KN·m) 5425.64 2999.43 1823.74 1021.17 桩基配筋满足要求！ 7)桩基裂缝宽度验算 自重压力Ng(KN) 汽车荷载压力Na(KN) 荷载效应: 2999.43 0 Ns=Ng+Ψ 1*Na(KN)(短期效应) Ψ1 Ψ2 2999 Nl =Ng+Ψ 2*Na(KN)(长期效应) 0.7 0.4 2999 C2=1+0.5*Nl /Ns 砼保护层C(mm) Es(Mpa) C1 d(mm) fcu,k(Mpa) lo/h η s 1.50 2.0E+05 1 25 30 9.10 1 70 2 -2/3 53.42 σ ss=[59.42*Ns*(2.8*η s*e0/r-1)/(π r fcu,k)-1.65]*ρ (Mpa) 超出24MPa，须继续进行下面裂缝宽度验算！！！ Wfk=C1*C2*[0.03+σ ss/Es*(0.004*d/ρ +1.52C)](mm) 0.091 裂缝宽度小于规范规定裂缝限值0.2的要求！ 0.2854 0.93 9.10
抗滑桩计算(刚性桩M法)
jy(rad) 0.002028979
sy(KPa)
420.7176109 546.448433 636.6721308 703.3333391 710.5981538 694.3004789 642.4956798 555.1837564 432.3647088 274.0385369 80.20524081 -149.1351795 -413.9827241 -714.337393 -1421.568103
Qy(kN)
3720.00 2990.19 2098.41 679.22
42.00 -1016.12 -2023.15 -2925.85 -3670.95 -4205.19 -4475.31 -4428.05 -4010.15 -3168.35
0.00
My(kN·m)
11957.14 13642.55 14920.34 15900.67 16009.02 15764.47 15001.42 13758.71 12101.83 10122.90 7940.66 5700.49 3574.38 1760.98
m(kPa/m2)
1320
700
40000
1508.037278
35000
滑面上半年岩土的内摩擦
滑面下岩土的容重 滑面下岩土的内摩擦角 滑面上岩土的容重
角
滑面下岩土的粘聚力
γ1(kN/m3)
φ1(度)
γ2(kN/m3)
φ2(度)
c(KPa)
23.2
38
23.2
15.9
25.2
抗弯刚度
计算宽度
变形系数
2.4
16008
合力至边缘距离
a0(m)
0.2 (3)纵向受力钢筋配置
桩基础m法计算
D4
0.00000 0.10000 0.20000 0.30000 0.39998 0.49991 0.59974 0.69935 0.79854 0.89705 0.99445 1.09016 1.18342 1.27320 1.35821 1.43680 1.50695 1.56621 1.61162 1.63969 1.64628 1.57538 1.35201 0.91679 0.19729 -0.89126 -5.85402 -15.07550
η = h0 = r+rs = h = 2r =
1
l 1 ( 0 ) 2 1 2 1400e0 / h0 h
0.400 + 0.8 46.160 1.000 1.080 1.000 1.002 12.435
0.329 m >
=
= 0.2+2.7e0/h0 = ξ
1
1.0
=
= 1.15-0.01l0/h = ξ
=
-0.01422
A3、B3、C3、D3由公路桥涵地基与基础设计规范(JTG D63-2007)附表6.12查得，计算见下表
桩 身 弯 矩 My 计 算
制作人: 李海川 2014-4-22 第 1 页
y 配筋设计 FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE 1608.0 FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
y = 2.592 处，弯矩最大 垂直力： 2、截面复核 轴向力的偏心矩： 规范怎么要求的？ 构件的计算长度： 惯性半径 长细比 ∴ 应考虑偏心矩增大系数
m法在单桩水平荷载试验中的应用 - 副本
“m ”法在单桩水平载荷试验中的应用摘要：在桩的水平抗力计算中，“m ”法法是工程上最常用的方法。
本文结合工程实例介绍了弹性抗力“m ”法法的基本原理及内力计算，以及实际应用中应该注意的问题，为工程桩设计和施工提供有益的借鉴。
1前言桩基础在荷载（包括轴向荷载、横轴向荷载和力矩）作用下产生位移（包括竖向位移、水平位移和转角），桩的竖向位移引起桩侧土的摩阻力和桩底土的抵抗力。
桩身的水平位移及转角使桩挤压桩侧土体，桩侧土必然对桩产生一横向土抗力zx σ，它起抵抗外力和稳定桩基础的作用，土的这种作用力称为土的弹性抗力。
zx σ即指深度为z 处的横向（X 轴向）土抗力，其大小取决于土体性质、桩身刚度、桩的入土深度、桩的截面形状、桩距及荷载等因素。
桩身内力与位移计算方法很多，常用的有：弹性地基梁法。
弹性地基梁法：将桩作为弹性地基上的梁，按文克尔假定(梁身任一点的土抗力和该点的位移成正比)的解法。
假定土的横向土抗力符合文克尔假定，即z zx Cx =σ⑴式中：zx σ—横向土抗力（kN/m 2）； C —地基系数（kN/m 3）； z x —深度z 处桩的横向位移（m ）。
基本概念明确，方法较简单，所得结果一般较安全。
弹性地基梁的弹性挠曲微分方程的求解方法可用数值解法、差分法及有限元法。
由于C 值的假定不同，产生了“张九龄法”、“m ”法，“k ”法及“c ”法。
工程上常用的是“m ”法，它是假定地基系数C 随深度呈线性增长(即C =mx )， m 称为地基系数随深度变化的比例系数（kN/m 4）。
2“m ”法基本原理及内力计算 2.1 “m ”法的基本假定⑴认为桩侧土为文克尔离散线性弹簧； ⑵不考虑桩土之间的粘着力和摩阻力； ⑶桩作为弹性构件考虑；⑷当桩受到水平外力作用后，桩土协调变形；⑸任一深度Z 处所产生的桩侧土水平抗力与该点水平位移z x 成正比，xz zx C =σ，且地基系数C 随深度成线性增长，即mz C =。
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m法求解桩身内力与变形的幂级数解
m法求解桩身内力与变形的幂级数解
1. 前言
在土木工程领域，桩基承载力和变形是极为重要的研究对象。
而求解
桩身内力和变形的方法有很多种，其中一种较为常用的方法是m法。
m法是一种基于幂级数展开的解法，能够提供高精度的结果。
本文将
从简单到复杂，由浅入深，详细解释m法的原理和应用，并探讨其优缺点。
2. m法的原理
m法是一种基于幂级数展开的解法，通过求解某一点处的内力和变形，来近似求解整个桩身的力学行为。
具体而言，m法假设桩身内力和变
形可以表示为幂级数的形式。
通过边界条件确定幂级数展开的起始项。
将幂级数代入相应的微分方程中，并利用幂级数的性质逐项求解。
通
过逼近和截断幂级数，得到近似解。
3. m法的应用
m法在桩基工程中有着广泛的应用，可以用于求解桩身的内力和变形。
对于不同类型的桩身，m法都可以适用。
无论是钢筋混凝土桩、钢管
桩还是木桩，m法都能提供较为准确的计算结果。
m法还可以用于考
虑桩-土相互作用的情况，从而更加真实地模拟桩体在土体中的行为。
4. m法的优点
相比其他方法而言，m法具有以下优点：
4.1 高精度：m法基于幂级数展开，可以提供非常精确的计算结果。
通过逐项求解幂级数，m法能够较好地避免由于截断误差引起的计算
偏差。
4.2 灵活性：m法能够适用于各种桩身类型和不同边界条件的情况。
无论是直桩、扭曲桩还是多支撑桩，都能够通过m法求解其内力和变形。
4.3 可视化：m法求解的结果可以较为直观地展示桩身在各个截面和
节点的内力和变形分布情况。
这有助于工程师准确评估桩身的受力状态，为后续设计和施工提供参考。
5. m法的缺点
然而，m法也存在一些缺点：
5.1 计算复杂度：m法的计算过程相对复杂，需要逐项求解幂级数，
可能导致计算耗时较长。
5.2 运算稳定性：在幂级数求解过程中，由于级数的收敛性与边界条件和各项系数相关，选择合适的级数截取点和缺省项是一个复杂的问题。
若选择不当，可能导致计算结果不稳定。
6. 个人观点和理解
从我个人的观点来看，m法在桩身内力和变形的求解中表现出了较高
的精度和适应性。
通过幂级数展开的方式，m法能够较好地模拟桩体
在土体中的受力行为，提供全面的力学分析结果。
然而，m法在计算
复杂度和运算稳定性方面也存在一定的挑战。
对于工程师而言，在使
用m法时需要谨慎选择合适的截断点和缺省项，以保证计算结果的可靠性。
7. 总结
m法是一种基于幂级数展开的求解方法，适用于桩身内力和变形的计算。
它具有高精度和灵活性的优点，能够提供较为准确的计算结果，
并可视化地展示桩身的力学行为。
然而，m法的计算复杂度较高，需
要谨慎选择截断点和缺省项以保证计算结果的可信性。
在实际应用中，工程师需要权衡m法的优缺点，并综合考虑其他方法进行工程分析。
续写：
8. 实际应用与案例分析
在实际工程中，m法被广泛应用于桩基础设计和分析。
在桥梁设计中，为了确保桥梁的稳定性和承载能力，工程师需要对桩基进行详细的计
算和评估。
m法可以帮助工程师准确计算桩基的内力和变形情况，进
而为桥梁的设计提供可靠的依据。
以某座大型桥梁的桩基设计为例，通过使用m法进行分析，工程师可以先选择合适的幂级数展开点和缺省项，以确保计算结果的准确性。
工程师使用m法求解桩基在各个加载情况下的内力和变形，并利用这些结果进行结构的稳定性分析。
通过m法的应用，工程师可以得到桩基在不同工况下的内力分布图和变形情况。
这些数据对于设计师来说非常重要，可以帮助他们优化桥梁结构，使其更加稳定和安全。
然而，在m法的应用过程中，工程师需要注意一些潜在的问题。
选择合适的幂级数展开点和缺省项是一个关键的决策，需要考虑到桩基的实际情况和加载条件。
如果选择不当，可能导致计算结果的不稳定性或不准确性。
工程师需要依靠自身的经验和专业知识，在使用m法时谨慎选择这些参数。
另外，m法的计算复杂度较高，需要大量的计算资源和时间。
在实际工程中，这可能会成为一个挑战。
工程师需要考虑到这一点，并在计算过程中合理安排资源和时间，以确保计算结果的准确性和可靠性。
m法作为一种幂级数展开的求解方法，在桩身内力和变形的计算中具有一定的优势和适用性。
它能够提供高精度和灵活性的计算结果，并帮助工程师分析桩基的力学行为。
然而，m法的应用需要谨慎选择参数，并考虑计算复杂度和运算稳定性等因素。
通过充分理解和综合考虑这些因素，工程师可以更好地利用m法进行桥梁设计和分析。