高一数学《解三角形》练习题
高一数学解三角形试题
高一数学解三角形试题1.△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，=，那么b =【答案】【解析】由已知得，【考点】等差数列性质，余弦定理2.为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得，两点的距离为海里.（1）求的面积；（2）求，之间的距离.【答案】（1）平方海里；（2）海里【解析】（1）在△ABD中，由题可知∠BAD=，∠ADB=，利用正弦定理，即可求得AD，代入三角形面积公式即可求得三角形ABD的面积；（2）由题可知∠ABC=，又知所以∠BCA=，所以AB=AC=，在△DBC中，利用余弦定理即可求出CD.试题解析：（1）如图所示,在中由正弦定理可得，， 4分则的面积（平方海里） 8分（2），12分在中，由余弦定理得，即（海里）答：的面积为平方海里，，间的距离为海里. 16分考点:正弦定理；余弦定理；三角形面积公式；运算求解能力3.在中，内角所对的边分别为，给出下列结论：①若，则；②若，则为等边三角形；③必存在，使成立；④若，则必有两解.其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）.【答案】①④【解析】对于①，在中，当时，有，又由正弦定理，则,，,由有>>,所以有成立，故①正确；对于②，由正弦定理，且因为，所以且，则，且角B,C为锐角，所以,故②不正确；对于③，=,故③不正确；对于④，如图：因为，且，所以必有两解，故④正确.【考点】正弦定理，三角形边角关系，化归与转化的数学思想.4.已知是的三条边的长，对任意实数，有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为的三边长，判别式，又三角形中两边之和大于第三边，，又，关于x的方程与x轴没有交点，二次项系数，故恒成立【考点】根的判别式，三角形三边的关系5.在分别是角A、B、C的对边，，且．(1)．求角B的大小；(2)．求sin A＋sin C的取值范围．【答案】（1）B=；（2）．【解析】（1）由，可得，等式中边角混在了一起，需要进行边角的统一，根据正弦定理可得，进一步变形化简可得，∴B；（2）由（1）可得，即，因此可以将sinA+sinC进行三角恒等变形转化为关于A的函数，即，从而可以得到sinA+sinC取值范围是．（1）由，得由正弦定理得：，又又又；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故sin A＋sin C的取值范围是．【考点】1、平面向量垂直的坐标表示；2、三角恒等变形．6.在钝角三角形ABC中，若，，则边长的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，且中必有一角为钝角，由正弦定理得，代入得，化简得，当时，，所以，当时，，所以，综合选D.【考点】解三角形与不等式的综合运用.7.已知点A（1，3）， B（3，1 ）， C（-1，0），则的面积为（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】根据题意，由于A（1，3），B（3，1 ），C（-1，0）那么可知该三角形的AB=，AC=，BC=结合三边的长度可知，该三角形的一个角A, ,结合正弦面积公式可知得到，的面积为5，故答案为A.【考点】三角形的面积点评：主要是考查了解三角形的面积公式的运用，属于基础题。
高一数学解三角形练习题
解析：△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．
若△A2B2C2不是钝角三角形，由 ，得 ，
那么，A2＋B2＋C2＝ －(A1＋B1＋C1)＝ ，与A2＋B2＋C2＝π矛盾．
所以△A2B2C2是钝角三角形．
6．C
解析：由 ＝ ，得sinA＝ ＝ ＝ ，
而b＜a，
∴有两解，即∠A＝60°或∠A＝120°．
必修五解三角形
一、选择题
1.△ABC中，若 ，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
2．在△ABC中，若 ＝ ＝ ，则△ABC是()．
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
3．三角形三边长为a，b，c，且满足关系式(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则c边的对角等于()．
得cosC＝ ，∠C＝60°．
由正弦定理 ＝ ＝ ，得sinA＝ ，sinB＝ ，
∴sinA·sinB＝ ＝ ，
∴ ＝1，ab＝c2．将ab＝c2代入(1)式得，a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，a＝b．
△ABC是等边三角形．
10．D
解析：由正弦定理得sinA＝ ，①中sinA＝1，②中sinA＝ ．分析后可知①有一解，∠A＝90°；②有两解，∠A可为锐角或钝角．
A．15°B．45°C．60°D．120°
4．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝1∶ ∶2，则sinA∶sinB∶sinC＝()．
A． ∶2∶1B．2∶ ∶1C．1∶2∶ D．1∶ ∶2
5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则()．
高中数学解三角形(有答案)
高中数学解三角形(有答案) Solving Triangles1.(2015 Henan Second Model Test) In triangle ABC。
the sides opposite to angles A。
B。
and C are a。
b。
and c。
respectively。
and a=3.c=8.and B=60°。
What is the perimeter of triangle ABC?A。
18 B。
19 C。
16 D。
172.(2015 Henan Second Model Test) In triangle ABC。
the sides opposite to angles A。
B。
and C are a。
b。
and c。
respectively。
and a=3.c=8.and B=60°。
What is the perimeter of triangle ABC?A。
17 B。
19 C。
16 D。
183.(2014 Yunnan Mock Exam) In triangle ABC。
if b^2-a^2-c^2=ac。
what is the measure of angle B?A。
30° B。
60° C。
120° D。
150°4.(2013 Shaanxi) In triangle ABC。
the sides opposite to angles A。
B。
and C are a。
b。
and c。
respectively。
and bc cos C + c cos B = a sin A。
What is the shape of triangle ABC?A。
XXX5.(2013 Hunan) In acute triangle ABC。
the XXX angles A and B are a and b。
respectively。
高一数学解三角形试题
高一数学解三角形试题1.△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，，再由正弦定理可得，又∵，根据二次函数的相关知识，可知的取值范围是.【考点】三角形与二次函数一元二次不等式综合.2.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.3.如图，要测出山上石油钻井的井架的高，从山脚测得m，塔顶的仰角，塔底的仰角，则井架的高为（）A．m B．m C．m D．m【答案】B【解析】依题意，在三角形ABC中，，角B=45°，角BAC=45°-15°=30°，所以由正弦定理得，，故选B。
【考点】正弦定理的应用点评：简单题，利用三角形内角关系，确定角创造了应用正弦定理的条件。
4.有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清．具体如下：在中角所对的边长分别为，已知角，，，求角．若已知正确答案为，且必须使用所有已知条件才能解得，请你选出一个符合要求的已知条件．（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于在中角所对的边长分别为，已知角，，，那么根据正弦定理可知，,由于b<a，则可知角A有两个解，舍去，对于A中，同理可知不成立，对于C，可知A=B,不成立，故选D.【考点】解三角形点评：主要是考查了正弦定理以及余弦定理的运用，属于基础题5.如图，在中，，，(1)求；(2)记BC的中点为D，求中线AD的长．【答案】（1）（2）AD【解析】解：（1）由，C是三解形内角，得2分4分---5分（2）在中，由正弦定理 -7分，又在中，，由余弦定理得， 910分本题也可利用向量法。
注意。
【考点】解三角形点评：主要是考查了三角函数的恒等变换以及解三角形的运用属于基础题。
6.在中，．(1)求边长的值；(2)求的面积．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）由正弦定理得……5分（2）由余弦定理 7分8分所以 10分【考点】正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积。
高一数学解三角形试题
高一数学解三角形试题1.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？【答案】点B在使∠AOB＝的位置时，四边形OACB面积最大【解析】在中,由已知OA=2,OB=1,设∠AOB=,则可应用余弦定理将AB的长用的三角函数表示出来,进而四边形OACB面积S＝S△AOB ＋S△AB表示成为的三角函数,再注意将三角函数化简成为的形式,就可求得使四边形OACB面积最大的角的值,从而就可确定点B的位置.试题解析：设∠AOB＝α， .1分在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OBcos∠AOB＝12＋22－2×1×2×cosα＝5－4cosα， .4分于是，四边形OACB的面积为S＝S△AOB ＋S△ABC＝OA·OBsinα＋AB2 6分＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)＝sinα－cosα＋＝2sin＋. .10分因为0＜α＜π，所以当α－＝，α＝，即∠AOB＝时，四边形OACB面积最大12分 12分【考点】1.解三角形;2.三角函数的性质.2.△ABC中，若sinA＜cosB，则△ABC为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】,,,是钝角三角形.【考点】三角形的形状判断.3.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)．设AD=x（x≥0），DE=y，求用x表示y的函数关系式,并求函数的定义域；(2)．如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．【答案】（1）；（2）如果DE是水管，DE的位置在AD=AE=处，如果DE是参观路线，则DE为AB中线或AC中线时，DE最长，证明过程详见解析．【解析】（1）在△ADE中，利用余弦定理可得，又根据面积公式可得，消去AE后即可得到y与x的函数关系式，又根据可以得到x的取值范围；（2）如果DE是水管，则问题等价于当时，求的最小值，利用基本不等式即可求得当时，y有最小值为，如果DE是参观路线，则问题等价于问题等价于当时，求的最小值，根据函数在[1,2]上的单调性，可得当x=1或2时，y有最小值．（1）在△ADE中，由余弦定理：①又∵②②代入①得（y＞0）, ∴，由题意可知，所以函数的定义域是，；（2）如果DE是水管,当且仅当，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝．如果DE是参观线路，记，可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，故∴y＝．即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．max【考点】1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算．4.为测量一座塔的高度，在一座与塔相距20米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为，测得塔基的俯角为，那么塔的高度是（）米．A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，＝，故选A．【考点】解斜三角形的实际应用．5.给出下列四个命题，其中错误的命题是（）①若，则是等边三角形②若，则是直角三角形；③若，则是钝角三角形；④若，则是等腰三角形；A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】D【解析】①中三者乘积为1,则其中一个应当大于1,另外两个乘积小于1,显然后者可以成立,但是前者不成立,故前者只能取到1,所以剩余两个乘积为1,同理只能都为1,因为,所以,正确;②当时, ,三角形是等边三角形,错误;③三角形中,当内角是钝角时,余弦值为负数,所以三个内角中必有一个是钝角,两个是锐角,三角形必然是钝角三角形,正确;④当时,有所以,三角形为等腰三角形或是直角三角形,错误.【考点】利用角判断三角形的形状.6.在△ABC中，，，，则△ABC的面积为 .【答案】【解析】根据三角形面积公式.【考点】三角形面积.7.如图，在△中，已知，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长.【答案】【解析】解：在△中，∵AD=10，AC=14，DC=6∴, 5分∴, ∴ 7分∴在△中，∵，∴， 11分∴ 15分【考点】解三角形点评：主要是考查了正弦定理的运用，属于基础题。
高一数学必修5《解三角形》测试题(含答案)
高一数学必修5《解三角形》测试题(含答案)work Information Technology Company.2020YEAR《解三角形》测试题一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．在△ABC 中，若BA sin sin >，则A 与B 的大小关系为（ ） A. BA > B.B A < C. A ≥B D. A 、B 的大小关系不能确定 3．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9 B ．18C ．93D ．1834．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ）A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－145．△ABC 中，1c o s 1c o s A aB b-=-，则△ABC 一定是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形6. 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为( )A ．sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C cos(B ＋C )B ．sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C cos(A ＋C )C ．sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B -2sin A sin B cos CD ．sin 2(A ＋B )＝sin 2A ＋sin 2B -2sin B sinC cos(A ＋B ) 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)7．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ．8．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________． 9、ABC ∆中，若b=2a , B=A+60°,则A= .10．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则ca bc b a +++＝________．三、解答题(本大题共3小题，共40分)11．(本小题共12分)已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．12. (本小题共14分) 一缉私艇发现在北偏东 45方向,距离12 nmile 的海面上有一走私船正以10 nmile/h 的速度沿东偏南 15方向逃窜.缉私艇的速度为14nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+45的方向去追,.求追及所需的时间和α角的正弦值.13. (本小题共14分)在∆ABC 中，设,2tan tan bbc B A -=，求A 的值。
高一数学解三角形单元测试及答案
解三角形本章测试一. 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确选项填涂在答题卡上指定位置。
1. 在ABC ∆中，2,2,6a b B π===，则A =（ ）.A4π .B 3π.C 34π .D 344ππ或2.在ABC ∆中，222a b c bc =++，则角A 为（ ）.A 030 .B 045 .C 0120 .D 01503. 已知ABC ∆中，::114A B C =：：，则::a b c 等于（ ）.A 1:1:3 .B 2:2:3 .C 1:1:2 .D 1:1:44. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若02,1,29a b B ===，则此三角形解的情况是（ ）.A 无解 .B 有一解 .C 有两解 .D 有无数解 5. 在ABC ∆中，00090,045C A ∠=<<，则下列各式中，正确的是（ ）.A sin sin A B > .B tan tan A B > .C cos sin A A < .D cos sin B B <6. 一船自西向东航行，上午10时到达灯塔的南偏西075、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为（ ）.A62海里/时 .B 346/时 .C 1722海里/时 .D 2海里/时 7. 已知ABC ∆的面积为S ，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若224(),4S a b c bc =--=，则=S （ ）.A 2 .B 4 .C3 .D 238. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若15cos 4C =，cos cos 3b A a B +=，则ABC ∆外接圆的半径为（ ） .A 3 .B 22 .C 4 .D 69. 在ABC ∆中，已知222222sin sin a A b Ba cb bc a =+-+-，则ABC ∆的形状为（ ）A.直角三角形；B.等腰三角形；C.等腰或直角三角形；D.等边三角形10. ABC ∆中，060A ∠=,若332ABC S ∆=,且2sin 3sin B C =,则ABC ∆周长为（ ）.A 57+ .B 12 .C 107+ .D 527+11. 在锐角ABC ∆中， ()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，若3a =，则22b c +的取值范围是（ ）.A 3,6（）.B 3,5（） .C ,6]（5 .D [5,6] 12. ABC ∆的内角，，的对边分别为，，，已知2511cos cos cos 2442C a A c B =-+， 且2b =，则a 的最小值为（ ）.A65 .B 75.C 9625 .D 11225二. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学解三角形精选题目(附答案)
高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
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高一数学《解三角形》练习题1.1.1正弦定理 一、选择题（1）解：由正弦定理得：又，故选（A ）. (2)解：选(C).（3）解：，或.选(D )二、填空题 (4)解：(5)解析由正弦定理得三角形，故C=° （6）解：或C=600时，,a=6C=1200时,,a=3故a=6或a=3 三、解答题（7）【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求.22sin sin 2460sin 34=⇒=︒B B B A b a >∴>, .45︒=B 12,,,::sin :sin :sin 263222A B C a b c A B C πππ======)0sin (21sin sin sin 2sin sin 2≠=⇒=⇒=B A B A B B a b ︒=∴30A ︒150.260sin 345sin =⇒︒=︒b b 11··sin C 43sin C sin C 22S BC CA =⇒=⨯⨯⨯⇒=60︒=⇒=︒60sin 3330sin 3C C.120︒090=A 030=A值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且，∴，∴. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵∴在△ABC 中，由正弦定理，得 ∴.∴△ABC 的面积.1.1.2余弦定理 一、选择题（1）解：由余弦定理选（C）（2）解：由余弦定理.选（A ）4,cos 35B A π==23,sin 35C A A π=-=21sin sin sin 32C A A A π⎛⎫=-=+=⎪⎝⎭33sin ,sin 510A C +==,3B b π==sin 6sin 5b A a B==116sin 225S ab C ==⨯=.760cos 3823822=︒⨯⨯-+=a 021202292120cos 222=⨯⨯-+=B（3）解：设，最大角为C.选（C ）(4)解：选（B ）二、填空题（5）解： (6)解：由余弦定理得所以(7)解：将及代入得：,因此另一方面由.三、解答题（8）解析：（Ⅰ） 又，，而，所以，所以的面积为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以 所以x c x b x a 7,5,3===.21)5()3(2)7()5()3(cos 222-=⨯⨯-+=x x x x x B .120︒=∴C 22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=222222013,cos ,6022b c a b c a bc A A bc +-+-====.21232)7(23cos 222=⨯⨯-+=B .60︒=∴B 1cos ,4CAB ∠=1332,42AB AC ⋅=⨯⨯=c b c b 2332=⇒=193=a bc c b a ++=2226=c ,9=b ︒=⇒++=120222A bc c b a .3227120sin 6921sin 21=︒⋅⋅==∴∆A bc S ABC 531)552(212cos 2cos 22=-⨯=-=A A ),0(π∈A 54cos 1sin 2=-=A A 353cos .===bc A AC AB 5=bc ABC ∆254521sin 21=⨯⨯=A bc 5=bc 1=c 5=b 5232125cos 222=⨯-+=-+=A bc c b a1.1.3正弦定理、余弦定理应用. 一、选择题（1）解：法一：变形整理得或故为等腰三角形或直角三角形.法二： 又或（即，故为等腰三角形或直角三角形.选(B )（2）【答案】A 【解析】由,,所以, 由正弦定理得,故选A（3）解：解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13acb c a b bc a c b a B b A a 22cos cos 222222-+⋅=-+⋅⇔=0))((22222=---b a c b a b a =⇒.222b a c +=ABC ∆.2sin 2sin cos sin cos sin cos cos B A B B A A B b A a =⇒=⇔=B A B A =∴︒<<,180,0 ︒=+90B A )90︒=C ABC ∆0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A ==+=+=a c ==075C ∠=030B ∠=1sin 2B =1sin 2sin 2ab B A=⋅==sin :sin :sin 5:11:13A B C =由余弦定理得，所以角C 为钝角（4）解：C二、填空题 （5）解：由正弦定理或当时，由勾股定理得当时，，(6)7 三、解答题（7）解：∵A、B 为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．∴2A＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A＝B 或A ＋B ＝． 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．（8）分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.0115213115cos 222<⨯⨯-+=c 22222201,,cos ,1202a cb bc b c a bc A A -=++-=-=-=323sin sin 36sin3ππ=⇒=⇒=C C C .32π3π=C ,2π=A ;3222=+=c b a 32π=C 6π==B A .3==b a 222a c b -=sin cos 3cos sin ,A C A C =解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.1.2.1应用举例 一、选择题（1）已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东，灯塔B 在观察站C 的南偏东，则灯塔A 在灯塔B 的（B ） (A)北偏东(B)北偏西(C)南偏东(D)南偏西 （2）某海轮以30海里/小时的速度航行，在点A 测得海面上油井P 在南偏东，向北航行40分钟后到达点B ，测得油井P 在南偏东，海轮改为北偏东的航向再航行80分钟到达点C ，则P ，C 两点间距离的海里数是（A ）(A)(B)(C)ABC ∆sin cos 3cos sin ,A C A C =2222223,22a b c b c a ac ab bc+-+-=2222()a c b -=222a c b -=24b b ∴=40(b b ==或舍） 40 60 10 10 10 10 60 30 60720620310二、解答题（2）解：作交BE 于N ，交CF 于M ．，w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m，．在中，由余弦定理，．（4）在中，＝30°，＝60°－＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1又＝180°－60°－60°＝60°， 故CB 是底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA 在中，，即AB ＝ 因此， 故B 、D 的距离约为0.33km 。
1.2.2应用举例 一、选择题//DM AC 22223017010198DF MF DM =+=+=222250120130DE DN EN =+=+=2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=DEF ∆2222221301501029816cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯ACD ∆DAC ∠ADC ∠DAC ∠BCD ∠CAD ∆ABC ∆ABCACBCA AB ∠=∠sin sin 2062351sin 60sin +=︒︒AC km 33.020623≈+=BD(1)一电线杆被台风吹断折成的角，电线杆根部与电线杆顶部着地处相距3米，则 电线杆原来的高度是（C ） (A)(B)米(C)(D)米(2)山坡与水平面成角，坡面上有一条与山底坡脚的水平线成角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路后升高了100米，则此人行走的路程为（C ）(A)300米 (B)400米 (C)200米(D)米二、解答题(3)解：在中，． 由正弦定理得．所以．在中，．(4)在塔底的水平地面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔底沿直线走30米，测得塔顶的仰角为，再向前走米，又测得塔顶的仰角为，求塔高.60米3534米333BCD △πCBD αβ∠=--sin sin BC CDBDC CBD=∠∠sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·ABC Rt △tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·θθ2310θ4解：设，则根据勾股定理得，解得. ,答：塔高是15米。
1.2.3应用举例 解答题 （1）解析，同理：，。
AD —AB=DB ，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。
(2)解：连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=10.∵，∴sin∠ACB=，∵∠ACB<90°，∴∠ACB=41°。
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援.x EC BEC BDC A ==∠=∠=∠θθθ4,2,2222)310()310(30x x -=+-35=x 1522=-=EC BE BC tan tan H H AD AD ββ=⇒=tan HAB α=tan h BD β=tan tan tan H H h βαβ-=tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--7710120sin 20sin ︒=ACB 73BCE D(3)解：解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角；B 点到M ，N 的俯角；A ，B 的距离d ②第一步：计算AM.由正弦定理；第二步：计算AN.由正弦定理；第三步：计算MN.由余弦定理.方案二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角，；B 点到M ，N 点的府角，；A ，B的距离d （如图所示）.②第一步：计算BM.由正弦定理；第二步：计算BN.由正弦定理；第三步：计算MN.由余弦定理全章检测题 一、选择题（1）解：D （2）解：由余弦定理得：22,αβ212sin sin()d AM ααα=+221sin sin()d AN βββ=-MN =1α1β2α2β112sin sin()d BM ααα=+121sin sin()d BN βββ=-MN =sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B ===11,αβ，，周长为选（D ） (3)解:根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B 为锐角，所以，故D正确.(4)解:∵，，由正弦定理得+=.∵=，∴+=. ∴+=.即=.故选C.(5)解：由余弦定理得，整理得：解得选（C ）(6)解：选（B ）(7)解：【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。