圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】
考点01圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长
的弦．
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
（6）弦心距：圆心到弦的距离．
考点02垂径定理及其推论
1．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的
垂线，构造直角三角形．
2．推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
考点03圆心角、弧、弦的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量
关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
考点04圆周角定理及其推论
1．定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
（2）直径所对的圆周角是直角．
考点05与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．
(1)d (2)d=r⇔点在⊙O上； (3)d>r⇔点在⊙O外． 判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可． 2．直线和圆的位置关系 位置关系相离相切相交 图形 公共点个数0个1个2个 数量关系d>rd=rd 考点06切线的性质与判定 1．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点． （2）切线到圆心的距离等于圆的半径． （3）切线垂直于经过切点的半径． 利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题． 2．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）． （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线判定常用的证明方法： ①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； ②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 考点07三角形与圆 1.三角形外接圆 外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等． 2．三角形的内切圆 内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等． 1.如图，点,,,,ABCDE 在O 上，,42ABCDAOB ，则CED （） A．48 B．24C．22D．21 2.如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若 AB＝2 ，∠CAB＝30°，则∠ABC的度 数为（） A．95°B．100°C．105°D．110° 3.如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若20A ，则BÐ的度数为（） A．70°B．90°C．40°D．60° 4.如图，RtABC 中，90ACB ，23AC ，3BC ．点P为ABC 内一点，且 满足22PAPC2AC ．当PB的长度最小时，ACP的面积是（） A．3 B．33C．33 4D．33 2 5.如图，已知在⊙O中， ABBCCD＝＝，OC与AD相交于点E．求证： （1）AD∥BC （2）四边形BCDE为菱形． 6.如图，A，B是O 上两点，且ABOA ，连接OB并延长到点C，使BCOB ，连接AC． （1）求证：AC是O 的切线． （2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交O 于点F，G，4OA ，求GF的长． 7.如图，RtABC 中，90ABC ，以点C为圆心，CB 为半径作C ，D为C 上一 点，连接AD、CD ，ABAD，AC 平分BAD． （1）求证：AD是C 的切线； （2）延长AD、BC 相交于点E，若2 EDCABCSS ，求tanBAC 的值． 8.如图，在O 中，AB是直径，弦CDAB ，垂足为H，E为 BC 上一点，F为弦DC 延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G ，连接AE交CD 于点P，若 FEFP． （1）求证：FE是O 的切线； （2）若O 的半径为8，3 sin 5F，求BG 的长． 9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D是 BC 的中点，//DEBC 交AC 的延长线于点E． （1）求证：直线DE与O 相切； （2）若O 的直径是10，45A ，求CE 的长． 10.如图，已知点C 是以AB为直径的圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的 垂线交AC 的延长线于点E，连结CD ，且CDED． （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若tan2DCE，1BD，求O 的半径． 11.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线 上一点，且∠BCE＝∠BCD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝8，BE CE=1 2，求CD的长． 12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC， BC于点E，F，其中点E是AD的中点． （1）求证：∠CAD＝∠CBA． （2）求OE的长． 13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD． （1）求证：DC∥AP； （2）求AC的长． 14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，AC =CD =DB ，连接AD，过点D作 DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若直径AB＝6，求AD的长． 15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相 交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E． （1）求证：△CBA≌△DAB； （2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB． 16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB． （1）求证：DC为⊙O的切线． （2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径． 17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线 交AC于点E． （1）求证：DE⊥AC； （2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
中考数学 专题23 圆(知识点串讲)(原卷版)
中考数学复习资料
专题23 圆
考点总结
【思维导图】
中考数学复习资料
【知识要点】
知识点一 与圆有关的概念
圆的概念：在一个平面内，线段𝑂𝐴绕它固定的一个端点𝑂旋转一周，另一个端点𝐴所形成的图形叫圆．这个固定的端点𝑂叫做圆心，线段𝑂𝐴叫做半径．以𝑂点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑴ 圆心；
⑵ 半径，
⑶ 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以𝐴、𝐵为端点的弧记作𝐴𝐵⏜，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 中考数学复习资料
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
专题02 圆的证明与计算题研究(原卷版)
专题二：圆的证明与计算题研究
【题型导引】
题型一：与圆的性质有关的证明与计算
（1）与圆内三角形、四边形为背景研究形状及其线段、周长面积等问题；（2）圆内多边形关于角的问题；（3）已知圆内特殊三角形背景下线段的长度计算等。
题型二：与圆的切线有关的证明与计算
（1）已知圆的切线与特殊三角形的关系，计算半径、线段等问题；（2）已知圆与特殊三角形相关条件判定圆的切线及其线段计算等问题；（3）已知圆与特殊四边形相关条件判定圆的切线及其线段计算等问题。
题型三：与扇形、弧长等有关的计算
（1）根据圆的性质及其相关条件进行计算弧长、扇形面积等问题；（2）根据圆的性质及其相关条件进行计算圆锥等问题；
【典例解析】
类型一：与圆的性质有关的证明与计算
例题1：（2019•湖北省荆门市•10分）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．
（1）求证：sinACB＝2R；
（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝3，求BC的长及sinC的值．
类型二：与圆的位置关系有关的证明与计算
例题2：(2018·娄底中考)如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的点，AC︵＝BC︵，弦CD交AB于点E.
(1)当PB是⊙O的切线时，
求证：∠PBD＝∠DAB；
(2)求证：BC2－CE2＝CE·DE；
(3)已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．
类型三：与扇形面积有关的证明与计算
例题3：（2019•湖北武汉•8分）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D.C两点．
（1）如图1，求证：AB2＝4AD•BC；
（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．
【变式训练】
1. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，其内切圆⊙O与边BC，AC，AB分别切于点D，E，F.
(1)求证：BF＝CE；
2021年中考数学专题复习 专题27 涉及圆的证明与计算问题(教师版含解析)
专题27 涉及圆的证明与计算问题
圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。
一、与圆有关的概念
1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为，定长称为。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
2．：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3.：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。
5．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。
二、与圆有关的规律
1.圆的性质：
(1)圆具有旋转不变性；
(2)圆具有轴对称性；
(3)圆具有中心对称性。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．圆内接四边形的特征
①圆内接四边形的对角互补；
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。
中考数学复习专题题型(七) 圆的有关计算与证明
中考数学复习专题题型(七) 圆的有关计(Ji)算与证明
（1）求(Qiu)证：△COD∽△CBE；
（2）求(Qiu)半圆(Yuan)O的(De)半径的(De)长
：
试(Shi)题解析： （1）∵CD切(Qie)半圆O于点D，
∴CD⊥OD，
∴∠CDO=90°，
∵BE⊥CD，
∴∠E=90°=∠CDO，
又∵∠C=∠C，
∴△COD∽△CBE．
（2）在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，
∴BC=r=15，
∵△COD∽△CBE．
∴r，即r，
解得：r=r．
考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.
2.（2017山东德州第20题）如图，已知RtΔABC,∠C=90°，D为BC的中点.以AC为直径的圆O交AB于点E.
（1）求证：DE是圆O的切线.
(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE的长. 2 / 28
(1)如图所(Suo)示，连接(Jie)OE，CE
∵AC是(Shi)圆(Yuan)O的(De)直径
∴∠AEC=∠BEC=90°
∵D是(Shi)BC的(De)中点
∴ED＝rBC＝DC
∴∠1=∠2
∵OE=OC
∴∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即(Ji)∠OED=∠ACD
∵∠ACD=90°
∴∠OED=90°,即OE⊥DE
又∵E是圆O上的一点
∴DE是圆O的切线. 3 / 28
考(Kao)点：圆切线判定定理及相似三角形
3.（2017甘(Gan)肃庆阳第(Di)27题）如(Ru)图，AN是(Shi)⊙M的(De)直径，NB∥x轴(Zhou)，AB交(Jiao)⊙M于点C．
（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），
∴AN=4，
∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，
∴AB=2AN=8，
∴由勾股定理可知：NB=r，
圆的证明与计算 专 题
圆的证明与计算 专 题
1 / 13 2012中考数学复习《圆的证明与计算》 专 题
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
一、考点分析：
1.圆中的重要定理:
(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.
(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.
(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.
(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.
(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.
2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
二、考题形式分析：
主要以解答题的形式出现,圆与相似 圆与面积 圆与切线 动态圆
三、解题秘笈：
1、判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.
2、与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
人教版九年级中考数学全册专项复习训练：圆的有关证明与计算
专题六 圆的有关证明与计算
圆的切线的判定与性质
【例1】 (2016·临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
(1)求证：AB是⊙O的直径；
(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
(3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．
分析：(1)连接AD，证AD⊥BC可得；(2)连接OD，利用中位线定理得到OD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出BF的长，由DE为三角形CBF中位线，即可求出DE的长．
解：(1)连接AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB为圆O的直径
(2)DE与圆O相切，证明：连接OD，∵O，D分别为AB，BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD为圆的半径，∴DE与圆O相切
(3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，连接BF，∵AB为圆O的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF，∵D为BC的中点，∴E为CF的中点，即DE为△BCF中位线，在Rt△ABF中，AB＝6，AF＝3，根据勾股定理得BF＝62－32＝33，则DE＝12BF＝332
圆与相似
【例2】 (2016·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA＝48，FG＝2，DF＝2BF，求AH的值．
分析：(1)证∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC∽△CBG得BCBG＝ABBC，可求出BC，再由△BFC∽△BCD得BC2＝BF·BD，可求出BF，再求出CF，CG，GB，通过计算发现CG＝AG，可证CH＝CB，即可求出AC.
2021年中考数学复习-圆的基本性质证明与计算(解析版)
圆的基本性质证明与计算
【典例1】如图．点A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】D
【解析】
【分析】
首先连接BE,由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数,然后由圆周角定理,求得∠BOD的度数.
【详解】
解：连接BE,
∵∠BEC＝∠BAC＝15°,∠CED＝30°,
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°,
∴∠BOD＝2∠BED＝90°.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理的应用,做题的时候分清楚每一个角是解此类题的关键.
【典例2】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，
故选：B．
【典例3】如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．
【详解】
解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO
＝90°﹣∠AED
＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC
＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
【典例4】如图，在RtAOB中，90,3,4AOBOAOB，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CDOB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PCPD最小时，OP的长为（ ）
中考专练之圆的计算与证明——圆与相似(原卷版)
中考专练之圆的计算与证明——圆与相似
1．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.
2．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=1，ED=2.
(1)求证：∠ABC=∠ADB；
(2)求AB的长；
(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．
3. 如图，AB是O的直径，点C在O上，∠CAB的平分线交O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F。
（1）求证：ED是O的切线； （2）若AB＝10，AD＝8，求CF的长。
4. 已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．
（1）求证：直线ED是⊙O的切线；
（2）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求EOFO的值．
5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，延长AB到E，使BE=AB，连接CE.
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）连接OE交BC于点F，若OF=2 , 求EF的长.
6. 如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线 交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.
（1）求证：PC是⊙O的切线.
（2）若AB=4，AP∶PC=1∶2，求CF的长.
7. 如图， AE是⊙O直径，D是⊙O上一点，连结AD并延长使AD=DC，连结CE交⊙O于点B，连结AB.过点E的直线与AC的延长线交于点F，且∠F=∠CED.
（1）求证:EF是⊙O切线；
（2）若CD=CF=2，求BE的长.
8. 如图，AB是⊙O的直径，点E是BD上一点，∠DAC=∠AED．
中考数学复习考点题型讲解与训练7---圆的证明与计算
中考数学1.如图，已知△ABC＝PB，连接 OP ，线段（1）求证：PB 为⊙O的切（2）若PA＝45PO，⊙(1)证明：如如如，连连∵PA＝PB，OA＝OB，∴△OAP≌△OBP(SSS)∴∴OAP＝∠OBP， ∵PA为⊙O的的的， 1 / 24 考数学复习考点题型讲解与训练圆的证明与计算 内接于⊙O， P是圆外一点，PA为⊙线段 AB 与线段 OP 相交于点D. 的切线； O的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 OA、OB， 第1题解图 OP＝OP， ， O的切线，且PA∴∴OAP＝，90° ∴∴OBP＝，90° ∵OB为⊙O的的的， ∴PB为⊙O的的的； (2)解：∵PA＝45PO，⊙∴在Rt△AOP中，OA＝如解PO＝503， ∴cos∴AOP＝AOOP＝ODAO∴OD＝，6 ∴PD＝PO－OD＝323. 2. 如如，在△ABC中，AB三三三⊙O，AE是⊙O的的（）求求：1AC是⊙O的的（）若2cos C＝35，AC(1)证明：∵AB＝AC， 2 / 24 O的的的为10， PO2－（45PO）2＝，10 ， ＝AC，三D为BC上上三，且AD＝的的的，连连DE. 的的的； ＝，求的的24AE的的. 第2题图 AD＝DC， DC，过A，B，D∴∴C＝∠B，∠DAC＝∠∴∴DAC＝∠B， 又∵∠E＝∠B， ∴∴DAC＝∠E， ∵AE是⊙O的的的， ∴∴ADE＝，90° ∴∴E＋∠EAD＝，90° ∴∴DAC＋∠EAD＝90°即∠EAC＝，90° ∴AE⊥AC， ∵OA是⊙O的的的， ∴AC是⊙O的的的； (2)解：如如如，过三D∵DA＝DC， ∴CF＝12AC＝，12 在Rt△CDF中，∵cos C∴DC＝，20 ∴AD＝，20 3 / 24 ∠C， ，° 三DF⊥AC于三F， 第2题解图 ＝CFCD＝35， 4 / 24 在△RtCDF中，由由由由由解1622==CFCDDF－， ∵∴ADE＝∠DFC＝，∠90°E＝∠C， ∴△ADE∽△DFC， ∴AEDC＝ADDF， 即AE20＝1620，如解AE＝，25 即⊙O的的的AE为25. 3．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过点E作⊙O的切线EF，交BC于点F． （1）求证：EF⊥BC； （2）若CD=2，tan C=2，求⊙O的半径． 第3题图 （1）证明：如解图，连接BE，OE． 5 / 24 第3题解图 ∵AB为⊙O的直径， ∴∴AEB=90°． ∵AB=BC， ∴点E是AC的中点， ∵点O是AB的中点， ∴OE∥BC， ∵EF是⊙O的切线， ∴EF⊥OE． ∴EF⊥BC； （2）解：如解图，连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∴ADB=90°， ∵CD=2，tan C==CDAD2， ∴AD=4． 设AB=x， 则BD=x－2． 6 / 24 在Rt△ABD中， 由勾股定理得AB2=AD2+BD2， 即x2=42+（x－2）2， 解得x=5，即AB=5， ∴⊙O的半径为25． 如如，已已⊙4.O是是AB为的的的△ABC的的连的，过三A三⊙O的的的的OC的的的的于三D，的BC的的的的于三E. （）求求：∠1DAC＝∠DCE； （）若2AB＝2， sin D＝13，求AE的的. 第4题图 (1)证明：∵AD是⊙O的的的， ∴∴DAB＝90°. ∵AB是⊙O的的的， ∴∴ACB＝90°. ∵∴DAC＋∠CAB＝，∠90°CAB＋∠ABC＝，90° ∴∴DAC＝∠ABC. 7 / 24 ∵OC＝OB， ∴∴ABC＝∠OCB， 又∵∠DCE＝∠OCB， ∴∴DAC＝∠DCE； (2)解：∵AB＝，2 ∴AO＝1. ∵sin D＝AOOD＝13， ∴OD＝，3DC＝，2 在Rt△DAO中， 由由由由由解AD＝OD2－OA2＝22， ∵∴DAC＝∠DCE，∠D＝∠D， ∴△DEC∽△DCA， ∴DCDA＝DEDC， 即222＝DE2， 如解DE＝2， ∴AE＝AD－DE＝2. 如如，5.AB是⊙O的的，D为的的OA的中三，过三D三CD⊥OA的的AB于三E，的⊙O 于三F，且BC是⊙O的的的. （）求求：1CE＝CB； （）连连2AF，BF，求∠ABF的的的； （）3若CD＝，15 BE(1)证明：如如如，连连∵BC是⊙O的的的， ∴OB⊥BC，即∴OBC∴∴OBA＋∠CBE＝90°∵OA＝OB， ∴∴OAB＝∠OBA， ∴∴OAB+∴CBE＝90°又∵CD⊥OA， ∴∴OAB＋∠DEA＝90°又∵∠CEB＝∠DEA，∴∴CBE＝∠CEB， ∴CE＝CB； (2)解：如如如，连连 8 / 24 ＝，10DEAE＝513，求⊙O的的的. 第5题图 OB， 第5题解图 ＝，90° ， ， ， OF， 9 / 24 ∵DA＝DO，CD⊥OA，∴AF＝OF， 又∵OA＝OF， ∴△AOF是是是三是是，∴∴AOF，=60° ∴∴ABF＝12∴AOF＝30°； (3)解：如如如，过三C三CG⊥AB于三G， ∵CD⊥OA， ∴∴ADE＝∠CGE＝，90° 又∵∠AED＝∠CEG， ∴△ADE∽△CGE， ∴DEAE＝EGCE＝513， ∵CE＝BC， ∴BG＝EG＝12BE＝，5 ∴CE＝，13 ∴DE＝CD－CE＝，∴2AE＝265， ∴在△RtADE中，由由由由由解AD22DEAE−=＝245， ∴OA＝2AD＝485， ∴⊙O的的的为485. 如如，四是是6.ABCD内连于⊙O，AB是⊙O的的的，AD＝DC，分分的的BA，CD的于三E，三BF⊥EC，的EC的的的的的于三F，连连BD. 10 / 24 （）求求：△1BFC∽△BDA； （）若2AE＝AO，求cos∴ADE； （）在（）的的的的，若32BC＝，求6BF的的. 第6题图 (1)证明：∵AB是⊙O的的的， ∴∴BDA＝90°. ∵BF⊥EC， ∴∴BFC＝，90° ∵四是是ABCD是⊙O的内连四是是， ∴∴BCF＝∠BAD， ∴△BFC∽△BDA； (2)解：如如如，连连OD，AC， 第6题解图 ∵△BFC∽△BDA， ∴BFBD＝BCAB， ∵OD是⊙O的的的，AD＝CD， ∴OD垂的垂分AC， 11 / 24 ∵AB是⊙O的的的， ∴∴ACB，=90° ∴OD∥BC， ∴△EOD∽△EBC， ∴OEBE＝ODBC， ∵AE＝AO，即OE＝2OB，BE＝3OB， ∴ODBC＝=BEOE23， ∴BC＝32OD， ∴BFBD＝BCAB＝32OD2OD＝34， ∵∴ADB＝，90° ∴∴ADE＋∠BDF＝，90° ∵∴BDF＋∠DBF＝，90° ∴∴ADE＝∠DBF， 在Rt△BDF中，cos∴DBF＝BFBD＝34， ∴cos∴ADE＝34； (3)解：∵BC＝32OD，BC＝，6 ∴OD＝，4 ∴AE＝，4BE＝，12 12 / 24 ∵△EOD∽△EBC， ∴DECE＝ODBC， ∴CE＝32DE， 又∵∠EDA＝∠EBC，∠E＝∠E， ∴△AED∽△CEB， ∴AECE＝DEBE， ∴DE·CE＝AE·BE， ∴DE·32DE＝，4×12 ∴DE＝42负负负负，() ∴CD＝22，∴AD＝22， ∵△BFC∽△BDA， ∴CFBC＝ADAB，∴CF6＝228， ∴CF＝322， 在Rt△BCF中，根根由由由由解， BF＝BC2－CF2＝3142. 如如，7.AB是⊙的的的，的OCD⊥AB，垂垂为H，连连 AC，过BD上上三E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连 接AE交CD于点F，且EG=FG，连接CE． （1）求证：△ECF（2）求证：EG是⊙O的切（3）延长AB交GE的延长求EM的值． （1）证明：∵AC∥EG∴∴G=∴ACG， ∵AB是⊙O的直径，∴AD=AC， ∴∴CEF=∴ACD， ∴∴G=∴CEF， ∵∴ECF=∴ECG， ∴△ECF∽△GCE； （2）证明：如解图，连接 13 / 24 ∽△GCE； 的切线； 的延长线于点M，若tan∴G=43，AH=3 第7题图 ， AB⊥CD， 连接OE， ， 14 / 24 第7题解图 ∵GF=GE， ∴∴GFE=∴GEF=∴AFH， ∵OA=OE， ∴∴OAE=∴OEA， ∵∴AFH+∴FAH=90°， ∴∴GEF+∴AEO=90°， ∴∴GEO=90°， ∴GE⊥OE， ∵OE是⊙O的半径， ∴EG是⊙O的切线； （3）解：如解图，连接OC， 设⊙O的半径为r． 在Rt△AHC中， 15 / 24 tan∴ACH=tan∴G=HCAH=43， ∵AH=3， ∴HC=4． 在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r－3，HC=4， ∴（r－3）2+42=r2， 解得r=625， ∵GM∥AC， ∴∴CAH=∴M， ∵∴OEM=∴AHC=90°， ∴△AHC∽△MEO， ∴OEHCEMAH=， 即62543=EM， ∴825=EM． 8．如图，AB为⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，过点C的直线CD⊥BG交BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F，且BC平分∴ABD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若32=FDOF，求∴（3）连接AD，在（2）（1）证明：如解图，连接∵OC=OB，BC平分∴∴∴OCB=∴OBC，∴∴∴DBC=∴OCB， ∴OC∥BD， ∴∴BDC=∴ECO， ∵CD⊥BD， ∴∴BDC=90°， 16 / 24 E的度数； ）的条件下，若CD=23，求AD的长 第8题图 连接OC， 第8题解图 ABD， OBC=∴DBC， 的长． 17 / 24 ∴∴ECO=90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：由（1）知，OC∥BD， ∴∴OCF=∴DBF，∴COF=∴BDF， ∴△OCF∽△DBF， ∴DBOCFDOF=， ∵32=FDOF， ∴32=DBOC， ∵OC∥BD， ∴△EOC∽△EBD， ∴EBEOBDOC=， ∴32=EBEO， 设OE=2a，则EB=3a， ∴OB=a， ∴OC=a， ∵∴OCE=90°，OC=21OE， 18 / 24 ∴∴E=30°； （3）解：∵∴E=30°，∴BDE=90°， ∴∴EBD=60°， ∵BC平分∴DBE， ∴∴OBC=∴DBC=EBD∠21=30°， ∵CD=23， ∴BC=43，BD=6， ∵32=DBOC， ∴OC=4， 如解图，过点D作DM⊥AB于点M， ∴∴DMB=90°， ∵BD=6，∴DBM=60°， ∴BM=3，DM=33， ∵OC=4， ∴AB=8， ∴AM=AB－BM=5， ∵∴DMA=90°，DM=33， ∴AD=13222=+AMDM9．如图，在△ABC中，与BC相交于点D，与的延长线于点F． （1）求证：BC为⊙O的切（2）求证：AE=AF； （3）若DE=3，sin∴（1）证明：如解图，连接∵AD平分∴FAB， ∴∴CAD=∴DAB， 19 / 24 13． ，∴ACB=90°，O是AB上一点，以AB交于点E，AD平分∴FAB，连接的切线； BDE=31，求AC的长． 第9题图 连接OD． 第9题解图 OA为半径的⊙OED并延长交AC 20 / 24 ∵OA=OD， ∴∴DAB=∴ODA， ∴∴CAD=∴ODA， ∴AC∥OD， ∴∴ODB=∴ACB=90°， ∴OD⊥BC， ∵OD为⊙O的半径， ∴BC为⊙O的切线； （2）证明：由（1）知OD∥AC， ∴∴ODE=∴F． ∵OD=OE， ∴∠OED=∠ODE， ∴∴OED=∴F． ∴AE=AF； （3）解：∵AE是⊙O的直径， ∴∴ADE=90°． ∴∴DAF+∴F=90°，
中考数学：“圆”知识点复习及重难点分析（内附真题视频讲解）
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对于圆这一章，大家要重点掌握以下几个考点：认识圆相关的概念、垂径定理及其推论、直线与圆的关系、圆与圆的位置关系，切线的判定定理与性质定理等等。大家要灵活把握这些知识点的应用。
（今天的每日一练非常重要，一定要认真做哦，不会再看视频讲解）
知识点1.认识圆相关的概念
圆有关概念：弦、弦心距、半径、直径、圆心；弧、优弧、劣弧、半圆；
等弧、等圆、同圆、同心圆；圆心角、圆周角；
①圆的定义
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
②圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
③不在同一直线上的三点确定一个圆。圆的两条平行弦所夹的弧相等。
2.垂径定理及其推论
垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
3.直线与圆的关系
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
直线l与⊙O相交d<>
直线l与⊙O相切d=r；
直线l与⊙O相离d>r；
4.圆与圆的位置关系
1、圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。