圆的证明与计算讲义.
三、解题思想与方法
（3）构造策略：如： ①构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径； ②构造勾股定理模型（已知线段长度） ③构造三角函数(已知有角度的情况）； ④构建矩形转化线段； ⑤构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条 线段可求其它所有线段长）及转换角度； ⑥构造切割线，找相似； ⑦构造平行线，找线段比 常用数学方法：如面积法，勾股定理，相似，三角函 数等
六、复习建议
2.应充分利用数学的现实原型作为反映数学思想方法的基础。 数学思想方法是对数学问题解决或构建所做的整体性考虑， 它来源于现实原型又高于现实原型，往往借助现实原型使数 学思想方法得以生动地表现，有利于对其深入理解和把握。 例如：分类讨论的思想方法始终贯穿于整个数学教学中。在 教学中要引导学生对所讨论的对象进行合理分类（分类时要 做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级），然后逐类 讨论（即对各类问题详细讨论、逐步解决），最后归纳总结。 教师要帮助学生掌握好分类的方法原则，形成分类思想。数 学思想方法的渗透应根据教学计划有步骤地进行。一般在知 识的概念形成阶段导入概念型数学思想，如方程思想、相似 思想、已知与未知互相转化的思想、特殊与一般互相转化的 思想等等。在知识的结论、公式、法则等规律的推导阶段， 要强调和灌输思维方法 。
三、解题思想与方法
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理、三 角形全等、三角形相似等知识相结合，形式复杂，无规律性。 解题时要重点注意观察已知线段间的关系，结合问题设问的角 度，选择合适的定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助 圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段 与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要 而常见的数学思想有： （1）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系， 把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型 快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段或角之间的 数量关系。 （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的 关系，运用勾股定理、比例线段或三角函数建立方程，解决问 题。
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
四、典型基本图形(其来源均为课本中的例题与习题)
四、典型基本图形(其来源均为课本中的例题与习题)
四、典型基本图形(其来源均为课本中的例题与习题)
四、典型基本图形(其来源均为课本中的例题与习题)
四、典型基本图形(其来源均为课本中的例题与习题)
四、典型基本图形(其来源均为课本中的例题与习题)
六、复习建议
3.要注意设计具有探索性的范例和能从中抽象一般和特 殊规律的范例，在对其分析和思考的过程中展示数学思 想和具有代表性的数学方法，提高学生的思维能力。例 如，对某些问题，要引导学生尽可能运用多种方法，从 各条途径寻求答案，找出最优方法，培养学生的变通性； 对某些问题可以进行由简到繁、由特殊到一般的推论， 让学生大胆联系和猜想，培养其思维的广阔性；对某些 问题可以分析其特殊性，克服惯性思维束缚，培养学生 思维的灵活性；对一些条件、因素较多的问题，要引导 学生全面分析、系统综合各个条件，得出正确结论，培 养其横向思维等等。此外，还要引导学生通过解题以后 的反思，优化解题过程，总结解题经验，提炼数学思想 方法。
二、考题形式分析：
主要以选择题（T10）和解答题（T21）的形式出 现。近年来，选择题（T10）的选材全面，设计广 泛。解答题（T21）考查形式均由原来的单图题演 变成双图题，第一小问也由原来的切线的证明，转 变成应用圆中简单性质进行计算和证明，第二问则 在第一问的基础上进行深化和运用，考查学生灵活 运用所学圆的相关知识解决求线段长、求面积、求 线段比、求三角函数值等有关问题的能力。
圆的证明与计算（中考复习）
一、圆的证明与计算的几大几何理论依据：
1、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.（共斜边的两个直角三角形四 个点共圆） (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系以及 中点等等. (3)弧、弦、圆心角之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线 段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推论: 主要是用来证明——直角、角相等、弧 相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等及全等。 2、圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等 都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
四、典型基本图形(其来源均为课本中的例题与习题)
四、典型基本图形(其来源均为课本中的例题与习题)
五、典型例题
五、典型例题
五、典型例题
五、典型例题
五、典型例题
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Hale Waihona Puke 五、典型例题五、典型例题
五、典型例题
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五、典型例题
五、典型例题
五、典型例题
五、典型例题
五、典型例题
五、典型例题
五、典型例题
五、典型例题
六、复习建议
1.要通过对教材完整的分析和研究，理清和 把握教材的体系和脉络，统揽教材全局，高 屋建瓴。然后，建立各类概念、知识点或知 识单元之间的界面关系，归纳和揭示其特殊 性质和内在的一般规律。按知识──方法── 思想的顺序提炼数学思想方法，就能运用它 们去解决问题，最终形成一个活动的知识与 思想互联网络。
七、总结
初中数学圆之解题思想方法在教学中应 以数学知识为载体，结合教学大纲和计划， 按照启发、吸收、消化和发展的认识规律进 行总体策划，分阶段、有步骤地贯彻实施。 同时，要在教材的知识结构和教学设计上不 断完善和丰富数学思想的理念和观点，在数 学知识与数学思想方法之间建立有机的结合， 形成完整的系统。
圆幂定理+讲义2023年九年级数学中考复习【附解析】
圆幂定理九年级数学中考复习一、圆幂的定义：一点P对半径为r的圆O的幂=22OP r-二、圆幂定理：是相交弦定理、切割线定理、割线定理（切割线定理推论）的统称。
1、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则··PAPB PC PD=()PAC PBD∆∆∽2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线(PA)长是割线和这点到割线（PD）与圆交点的两条线段长的比例中项²·PA PC PD=()PAC PDA∆∆∽3、割线定理（切割线定理的推论）：例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B 与C、D，则·PA PB PC PD⋅=总结：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。
22··PA PB PC PD r OP==-222·PA PC PD OP r==-22·PA PB PC PD OP r⋅==-例题讲解【例1】如图，在圆O 中，M 、N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ， 若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为( )A ．83B ．3C ．103D ．52【例2】如题图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于 点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE = ．【例3】如图，点P 为弦AB 上一点，连接OP ，过P 作PC OP ⊥，PC 交O 于点C ，若 6AP =，3PB =，则PC 的长为( )A ．4B ．5C ．23D ．32【例4】如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，交AC 于点Q ．若 QP QO =，则QC QA的值为( )A ．231B ．23C 32D 32+【例5】如图，PA 切圆于点A ，直线PCB 交圆于C ，B 两点，切线长42PA =4PC =， 则AB AC等于( )A 2B ．22C ．2D ．以上结果都不对 【例6】如图，AT 切O 于T ，若6AT =，3AE =，4AD =，2DE =，则BC 等于()A ．3B ．4C ．6D ．8【例7】如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，A 为大圆上任意一点，过A 作小圆的割线 AXY ，若4AX AY ⋅=，则图中圆环的面积为( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π【例8】如图，在ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若4AB =， 5BE =，则DE 的长为( )A ．3B ．4C ．154D ．165【例9】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，AB 、DC 的延长线交于点P ，若C 是PD 的中点，且6PD =，2PB =，那么AB 的长为( )A ．9B ．7C ．3D ．92【例10】已知：P 为O 外一点，PQ 切O 于Q ，PAB 、PCD 是O 的割线，且PAC BAD ∠=∠．求证：22PQ PA AC AD -=．【例11】圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：已知：如图①，点P为O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B、C．求证：2=⋅．PA PB PC证明：如图，连接AB、AC、BO、AO，PA切O于点A，∠+∠=︒．PAB BAO∴⊥，即90PA AO⋯阅读以上材料，完成下列问题：（1）请帮助天天补充完成以上证明过程；（2）如图②，割线PDE与圆交于点D、E，且4PE=，求DE的长．==，7PB BC挑战训练【挑战训练1】如图，已知：PA切O于A，若AC为O的直径，PBC为O的割线，E 为弦AB的中点，PE的延长线交AC于F，且45FPB∠=︒，点F到PC的距离为5，则FC 的长为()。
【2-平几】4.圆的幂与根轴【学生版】
自招竞赛 秋季数学讲义圆的幂与根轴学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位圆的幂与根轴是上海高中数学中没有提到的内容，但是每年全国高中数学联赛二试必定会考到（40分），在三大联盟的自招中有时也会涉及。
参加三大联盟自招的同学对圆的幂与根轴应稍微掌握。
本课将会介绍圆的幂与根轴的一些基本概念、性质与简单的应用。
知识梳理一. 圆的幂P 是O 所在平面上任一点，定义P 点对O 的幂为22OP R -，其中R 为圆的半径。
由定义知对于定圆，圆内的点圆幂小于0，圆上的点圆幂等于0，圆外的点圆幂大于0.二. 圆幂定理过O 所在平面上任一点P （不在圆上）作直线l 交O 于点A 、B （可以重合），则PA PB ⋅即为圆幂。
证明易。
圆幂定理的逆定理是证明四点共圆的常用手段。
三. 圆的根轴对于平面上任意两个不同心的圆（其中一个圆的半径可以为0，从而成为一个点），称对这两个圆的幂相等的点的集合为这两个圆的根轴。
两圆圆的根轴是一条直线。
特别地，若两圆相交，则它们的根轴是公共弦所在的直线；若两圆相切，则他们的根轴是过切点的公切线。
例题精讲一. 根轴的几个性质【例1】【题目来源】【题目】根据圆的幂与根轴的定义，证明两圆的根轴是一条直线（此性质常被用来证明三点共线与直线垂直）【难度系数】2【例2】【题目来源】【题目】证明：若两圆相交，则它们的根轴是公共弦所在的直线。
【难度系数】1【例3】【题目来源】【题目】证明：若两圆相切，则他们的根轴是过切点的公切线。
【难度系数】1【例4】【题目来源】【题目】证明：三个圆，其两两的根轴相交于一点或互相平行。
（此性质常被用来证明三线共点）【难度系数】1EABCD【例5】 【题目来源】【题目】证明：两圆公切线段的中点在根轴上。
【难度系数】1习题演练【练1】 【题目来源】【题目】以AB 为直径作圆，两弦AC 、BD 相交于E ，求证：2AE AC BE BD AB ⋅+⋅=【难度系数】3 【练2】 【题目来源】【题目】在线段AB 的同侧作三个互相相似的三角形PAB AQB ABR ∽∽，作P 、Q 、R 关于AB 的中垂线的对称点P ’、Q ’、R ’，求证：P 、Q 、R 、P ’、Q ’、R ’共圆。
圆的概念及性质(一)讲义
（一）圆的相关概念及性质一 知识梳理1. 圆的有关概念和性质（1）圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径． ②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． （2）圆的有关性质：①圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心． ②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论1：a .平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； b.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；c .平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根 据 垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么 它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心a ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．b ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．c ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心r a 2d O CBA2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
《正多边形与圆》讲义
第 8 讲 正多边形与圆圆内正多边形的计算 （1）正三角形在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA =.重点:正多边形的概念与正多边形和圆的关系． 难点：对定理的理解以及定理的证明方法．1如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在圆O 上，∠1=∠BCD 。
（1）求证：CB//PD 。
（2）若BC=3，sin ∠BPD=53，求圆的直径。
No. 8 Date Time NameDCBAOECBA D OBAO2,如图,在平面直角坐标系xOy中,圆O交x轴于A、B两点,直线FA⊥x轴于点A,点D在FA 上,且DO平行圆O的弦MB,连DM并延长交x轴于点C.(1)判断直线DC与圆O的位置关系,并给出证明;(2)设点D的坐标为（-2,4）,试求MC的长及直线DC的解析式。
【正多边形与圆】1．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角的度数是_______，半径是_______，边心距是_______，它的每一个内角是_______．正n边形的一个外角度数与它的_______角的度数相等．2．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是( )A．八边形B．十二边形C．十边形D．九边形3．边长为a的正六边形的内切圆的半径为( )A．2a B．a C．32a D．12a【直线与圆的位置关系】1．如图，BD为⊙O的直径，直线ED为⊙O的切线，A，C两点在圆上，弦AC平分∠BAD 且交BD于点F．若∠ADE=19°，则∠AFB的度数为（）A．97°B．104°C．116°D．142°第1题第2题2．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4 B．33C．6 D．233．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PB切⊙O 于点B，则PB的最小值是（）A．13B．5C．3 D．2第3题第4题4．如图，线段AB是⊙O的一条直径，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E= ．5．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D，AC=2，AO=5，则OD的长度为．第5题第6题6．如图，射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以1cm/s的速度向右移动，经过t s，以点P为圆心，3cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值：．7．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过点C作CD⊥AB于点D，CD 交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）求证：AF=CF；（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．【切线有关的计算】2017星海月考1、2、3、年月日五、圆有关的证明和计算（切线，线段相等，角相等，三角函数，相似）。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆
第二十三讲圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有文档设计者：设计时间：文档类型：文库精品文档，欢迎下载使用。
Word精品文档，可以编辑修改，放心下载如下三种方法：1．通过两圆交点的个数确定；2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；3．通过两圆的公切线的条数确定．为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC 交⊙O l于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=22，那么∠BAF= 度．思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2O l必过A点，先求出∠D O2A的度数．注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．【例2】如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( )A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO l O2 (或∠DO2O l)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．【例3】如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．思路点拨(1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=24，大、小两圆半径差为2．(1)求大圆半径长；(2)求线段BF的长；(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．思路点拨(1)设大圆半径为R，则小圆半径为R-2，建立R的方程；(2)证明△EBC∽△ECF；(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′，必在BF上，连OˊC，证明∠O′CE=90°．注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．【例5】 如图，AOB 是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O 1的圆心O 1在OA 上，并与弧AB 内切于点A ，半圆O 2的圆心O 2在OB 上，并与弧AB 内切于点B ，半圆O 1与半圆O 2相切，设两半圆的半径之和为x ，面积之和为y ． (1)试建立以x 为自变量的函数y 的解析式； (2)求函数y 的最小值．思路点拨 设两圆半径分别为R 、r ，对于(1)，)(2122r R y +=π，通过变形把R 2+r 2用“x =R+r ”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因x =R+r ，故是在约束条件下求y 的最小值，解题的关键是求出R+r 的取值范围．注：如图，半径分别为r 、R 的⊙O l 、⊙O 2外切于C ，AB ，CM 分别为两圆的公切线，O l O 2与AB 交于P 点，则： (1)AB=2r R ；(2) ∠ACB=∠O l M O 2=90°； (3)PC 2=PA ·PB ； (4)sinP=rR rR +-； (5)设C 到AB 的距离为d ，则dR r 211=+．学力训练1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是 ．2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围 ． (2003年上海市中考题)3．如图；⊙O l 、⊙O 2相交于点A 、B ，现给出4个命题：(1)若AC 是⊙O 2的切线且交⊙O l 于点C ，AD 是⊙O l 的切线且交⊙O 2于点D ，则AB 2=BC ·BD ；(2)连结AB 、O l O 2，若O l A=15cm ，O 2A=20cm ，AB=24cm ，则O l O 2=25cm ；(3)若CA 是⊙O l 的直径，DA 是⊙O 2 的一条非直径的弦，且点D 、B 不重合，则C 、B 、D 三点不在同一条直线上，(4)若过点A 作⊙O l 的切线交⊙O 2于点D ，直线DB 交⊙O l 于点C ，直线CA 交⊙O 2于点E ，连结DE ，则DE 2=DB ·DC ，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) ．4．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是 ，自变量x 的取值范围是 ．5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( )A ．2B ．221+C ．231+D ．231+ 6．如图，已知⊙O l 、⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O l 在⊙O 2上，过A 作⊙O l l 的切线AC交B O l 的延长线于点P ，交⊙O 2于点C ，BP 交⊙O l 于点D ，若PD=1，PA=5，则AC 的长为( )A ．5B ．52C ．52+D ．537．如图，⊙O l 和⊙O 2外切于A ，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B 、C 是切点①PB=AB ；②∠PBA=∠PAB ；③△PAB ∽△O l AB ；④PB ·PC=O l A ·O 2A ． 上述结论，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．两圆的半径分别是和r (R>r)，圆心距为d ，若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( )A．一定内切B．一定外切C．相交D．内切或外切9．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙O l于点D，交⊙O2于点E，DA与⊙O2相切，切点为C．（1）求证：PC平分∠APD；(2)求证：PD·PA=PC2+AC·DC；(3)若PE=3，PA=6，求PC的长．10．如图，已知⊙O l和⊙O2外切于A，BC是⊙O l和⊙O2的公切线，切点为B、C，连结BA并延长交⊙O l于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E、F，求证：(1)CD是⊙O l的直径；(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．11．如图，已知A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点M是O l O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O l、⊙O2于B、C．(1)求证：AB=AC；(2)若O l A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d l、d2，求证：d l+d2=O1O2；(3)在(2)的条件下，若d l d2=1，设⊙O l、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．14．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O l的圆心O l，交⊙O l于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O l与⊙O2的直径之比为( )A．2：7 B．2：5 C．2：3 D．1：315．如图，⊙O l与⊙O2相交，P是⊙O l上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( )A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，416．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立( )A．有内切圆无外接圆B有外接圆无内切圆C．既有内切圆，也有外接圆D．以上情况都不对17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P P于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．（1）求证：BC是⊙P的切线；(2)若CD=2，CB=22，求EF的长；(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．(1)若PC=PD，求PB的长；(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD 具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图) ．方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．参考答案温馨提示After writing the test paper, you must remember to check Oh, I wish you all can achieve good results!可以编辑的试卷（可以删除）。
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 正多边形与圆的相关计算(解析版)
正多边形与圆的相关计算课前测试【题目】课前测试如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．【答案】∠AED=45°；DE =。
【解析】（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=总结：本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型。
【难度】4【题目】课前测试如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．（1）求tan∠OAB的值；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形）【答案】tan∠OAB=；S△AOB=（cm2）；的长度==（cm）．【解析】（1）作OC⊥AB．∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．∴OC=1，AC=．∴tan∠OAB=．（2）AC=，∴AB=2．∴S△AOB=2×1÷2=（cm2）．（3）如图，延长BO交⊙O于点P1，∵点O是直径BP1的中点，S△AP1O=AD×P1O，S△AOB=AD×BO，∵P1O=BO，∴S△P1OA=S△AOB，∠AOP1=60°．∴的长度为（cm）．作点A关于直径BP1的对称点P2，连接AP2，OP2，AP3，易得S△P2OA=S△AOB，∠AOP2=120°．∴的长度为（cm）．过点B作BP3∥OA交⊙O于点P3，则P2P3直径，易得S△P3OA=S△AOB，∴的长度==（cm）．总结：本题综合考查了解直角三角形，及三角形的面积公式及弧长公式．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：正多边形与圆的相关计算是九年级下册第三章的内容，主要讲解了正多边形的相关概念、圆内接正多边形与外切正多边形定义与相关计算、弧长和扇形面积的计算公式。
第13讲 圆的概念与垂径定理(点题名师班讲义)
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2018 年暑期九年级数学点题名师讲堂
传授秘笈，助你扬帆！
【例 7】等腰△ABC 内接于半径为 5 的⊙O，点 O 到底边 BC 的距离为 3，则 AB 的长为
．
【变 1】如图扇形 AOB 的圆心角∠AOB＝90°，半径为 5，正方形 CDEF 内接于该扇形，则正方形 CDEF
的边长为
.
【变 2】如图，正方形 ABCD 的顶点 A，D 和正方形 JKLM 的顶点 K，L 在一个以 5 为半径的⊙O 上，点 J， M 在线段 BC 上．若正方形 ABCD 的边长为 6，求正方形 JKLM 的边长．
点 B 不重合），且 CE⊥CD 交 AB 于 E，DF⊥CD 交 AB 于 F． （1）求证：AE＝BF； （2）在动弦 CD 滑动过程中，四边形 CDFE 的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请
予以证明并求出这个定值．
FB
E
A
O
C
D
【例 5】如图，已知 AB，CD 是⊙O 内两条相互垂直的弦，垂足为 K，⊙O 的半径为 5，且 AB＝CD＝8， 求 OK，KD 的长度．
（2） 圆的旋转对称性 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．
2. 轴对称性
（1） 圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴． （2） 圆的轴对称性 垂径定理．
三、圆的性质定理
1. 垂径定理
（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2） 推论 1： ①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
传授秘笈，助你扬帆！
人教版 九年级数学 圆及其基本性质讲义 (含解析)
第8讲圆及其基本性质知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习圆及其基本性质，重点掌握圆的有关概念，能够对相关概念进行辨析，其次理解与圆有关的性质、定理及其推论，着重学习圆心角与弧、弦的关系以及圆周角定理，能够利用相关定理及推论进行解题，本章是中考重点内容之一，也是历年常考难点知识点之一，希望同学们认真学习，为后面的学习奠定良好的基础。
知识梳理讲解用时：25分钟圆的相关概念（1）圆的定义①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以O点为圆心的圆，记作“①O”，读作“圆O”；①圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）半径：联结圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径；（3）直径：经过圆心，并与圆两端相交的线段叫做圆的直径；（4）圆心角：以圆心为顶点并且两边都和圆相交的角叫做圆心角；（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角；（6）弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；（7）半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（8）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；课堂精讲精练【例题1】下列说法错误的是（）。
A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧【答案】B【解析】本题考查了与圆有关的概念，A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；根据半圆和等弧的定义对D进行判断。
圆的方程(2015版)
圆的方程与圆的性质（2课时）【教学目标】掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程等形式，能根据已知条件求出圆的方程，掌握圆的性质．【教学重点】圆的三种形式的方程，圆的性质．【教学难点】圆的三种形式的方程及圆的性质的灵活运用．一．基础知识（一）圆的方程1．圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是：222)()(r b y a x =-+-． 『几何意义』两点间的距离的平方．2．圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )．3．圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）． 【备注】利用圆的参数方程进行三角换元．2．圆系方程：过圆1C ：011122=++++F y E x D y x （设为0),(1=y x f ）与圆2C ：22y x + 0222=+++F y E x D （设为0),(2=y x f ）交点的圆系方程是：)(11122F y E x D y x ++++22(y x ++λ0)222=+++F y E x D （不含圆2C ）． 当1λ=-时圆系方程变为：两圆公共弦所在直线方程． 【备注】曲线0),(1=y x f 0),(2=y x f 可以是直线或圆．（二）圆的性质二．典例分析： （一）方程与圆例1、已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆.(1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆半径r 的取值范围；(3)求圆心的轨迹方程．【解】(1) 方程表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，即4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)>0，所以－17<m <1. (2) r ＝－7 m －37 2＋167≤477，所以0<r ≤477. (3) 设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3，y ＝4m 2－1. 消去m ，得y ＝4(x －3)2－1.因为－17<m <1，所以207<x <4，即轨迹为抛物线的一段．y ＝4(x －3)2－1(207<x <4)． A C B D B O C P A B P A C C A PA 2= ∠AOB= ∠ACB R 2=d 2+(AB 2)2d R ∠DAB+∠DCB= N M D B例2、已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，求实数a 的取值范围．【解法一】将圆的方程配方，得(x ＋a 2)2＋(y ＋1)2＝4－3a 24. ∴圆心C 的坐标为(－a 2，－1)，半径r ＝4－3a 24. 则4－3a 2>0，过点A (1,2)所作圆的切线有两条，则点A 必在圆外，∴|AC |>r .即( 1＋a 2) 2＋ (2＋1 ) 2>4－3a 24，化简得a 2＋a ＋9>0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a ＋9>0，4－3a 2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ∈R ，－233<a <233. ∴－233<a <233. 故a 的取值范围是(－233，233)． 【解法二】由题意，A 在圆外，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋22－4a 2>0，x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2>0， 将A (1,2)代入，得－233<a <233. 故a ∈(－233，233)． 例3、曲线)(1)sin ()cos (22R y x ∈=-+-θθθ在直角坐标平面上形成的面积是 ．【解】)(1)sin ()cos (22R y x ∈=-+-θθθ圆心的轨迹方程为122=+y x ，所以所有圆覆盖的区域是以原点为圆心，半径为2的圆，所以形成的面积为π4．例4、已知圆C ：x 2+y 2+bx +ay -3=0()a >0，b >0上任意一点关于直线l ：x +y +2=0的对称点都在圆C 上，则1a +4b的最小值为( ) A.94B ．9C ．1D ．2 【解】依题意得：直线l ：x +y +2=0经过圆的圆心，则有－b 2－a 2+2=0，所以a ＋b ＝4. 1a +4b = (1a +4b )(a ＋b )×14=14×(5+b a +4a b )≥94， 当且仅当b =2a 时取等号【补充练习】1、已知圆的方程为2222210x y ax ay a a +++++-=，则圆心的轨迹方程为 ．【解】222431)()2(a a a y a x --=+++,由04312>--a a 得：322<<-a ，圆心),2(a a -- 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=ay a x 2消参数a 得：x y 2=)311(<<-x ．易忽视a 的限制条件． 2、已知圆014222=+-++y x y x 关于直线022=+-by ax ),(+∈R b a 对称，则ab 的最大值为 ，ba 21+的最小值为 ． 【解】易知圆心)2,1(-在直线022=+-by ax 上，所以有1=+b a ，所以41)2(2=+≤b a abba 21+22323))(21(+≥++=++=b a a b b a b a 3、如果直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 相交于N M ,两点，且N M ,关于直线0=+y x 对称，若⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y m y kx y kx ，则22)3()4(++-y x 的取值范围是 ．【解】 由圆的性质得1+=kx y 与0=+y x 垂直，所以1=k ，圆心)2,2(m k --在直线0=+y x 上，所以1-=m ，由线性规划知识得：22)3()4(++-y x 的取值范围是]34,25[（二）圆的方程求解求圆的方程有两种方法：① 几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程；② 代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：a ．根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式(本例中涉及圆心及切线，故设标准形式较简单)；b ．利用条件列出关于a ，b ，r ，或D ，E ，F 的方程组；c ．解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程．例1、根据下列条件，求圆的方程．(1) 过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程；(2) 经过A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上；(3) 与x 轴相交于A (1,0)和B (5,0)两点且半径为的圆的标准方程；(4) 圆心在原点，且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分．【解】(1) 由题意可知，圆心在线段AB 的中垂线上，又∵k AB ＝－1且线段AB 的中点为(0,0)，则线段AB 的中垂线方程为y ＝x .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得圆心为(1,1)．半径r ＝ 1－1 2＋ 1＋1 2＝2. (2) 方法一：从数的角度，若选用一般式：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心(－D 2，－E 2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，32＋22＋3D ＋2E ＋F ＝0，2× －D 2 － －E 2 －3＝0.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－8，E ＝－10，F ＝31. ∴圆的一般方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋31＝0.(3) 方法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5.∵点A ，B 在圆上，所以可得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋ 0－b 2＝5， 5－a 2＋ 0－b 2＝5，解得a ＝3，b ＝±1. ∴圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.方法二：由A ，B 两点在圆上，那么线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可设圆心为C (3，b )，又|AC |＝5，即 3－1 2＋b 2＝5，解得b ＝1或b ＝－1.因此，所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.(4) 设直线与圆相交于A ，B 两点，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB ＝120°.而圆心到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3， 在△ABO 中，可求得|OA |＝6.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36.例2、已知圆满足：① 截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，求该圆的方程． 【解】设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝|2b |，|a －2b |5＝55，2r 2－a 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，r ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r ＝ 2.∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.例3、求经过两已知圆1C ：22420x y x y +-+=和2C ：22240x y y +--=的交点，且圆心在直线l ：241x y +=上的圆的方程． 【解】设满足条件的圆系为：++-+)24(22y x y x 0)42(22=--+y y x λ，整理得：圆系的圆心为)11,12(λλλ+-+，依题意知：)11,12(λλλ+-+在直线l ：241x y +=上， 代入得：111414=+-⨯++λλλ得：31=λ，代入得：01322=-+-+y x y x 例4、（2008年江苏）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象 与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求：（Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．【解】（Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令()220f x x x b =++=，由题意0≠b 且Δ＞0，解得1<b 且0≠b ． （Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=令y ＝0 得20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0 是同一个方程，故b F D ==,2．令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出1--=b E ． 所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=.（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0)1(021022=++-⨯++b b ，右边＝0，所以圆C 必过定点（0，1）．同理可证圆C 必过定点（－2，1）．【另】0)1(1222=---++y b x y x 则⎩⎨⎧=-=-++0101222y x y x 解得：2,0-==x x例5、已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．（1）求证：△OAB 的面积为定值；（2） 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．【证明】（1）∵圆C 过原点O ，∴|OC |2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t . ∴S △OAB ＝12|OA |×|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4， 即△OAB 的面积为定值． （2）∵|OM |＝|ON |，∴|CM |＝|CN |，∴OC 垂直平分线段为MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12. ∴直线OC 的方程是y ＝12x . ∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离为d ＝15<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离为d ＝95>5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意，舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.【补充练习】1、已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为__________________．【解】易知圆心坐标为)1,0(-，35|114|=--=d ，由垂经定理得：1899=+=r ，所以所求圆的方程为22(1)18x y ++=2、求经过直线042=++y x 及圆014222=+-++y x y x 的交点，并且面积最小的圆的方程．【解】设满足条件的圆系为： ++-++)142(22y x y x 0)42(=++y x λ要使面积最小，则需圆心落在直线042=++y x 上，代入解得：58=λ， 所以圆方程为：029********=+-++y x y x3、设圆满足：① 截得y 轴的弦长为2，② 被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为1:3，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线02:=-y x l 的距离最小时圆的方程．【解法一】设圆的圆心为),(b a P ,半径为r ,则点P 到x 轴,y 轴的距离分别为||b ,||a由题意知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为090,知P 截x 轴所得弦长为r 2,故222b r = ，又圆P 截y 轴所得的弦长为2,所以有122+=a r从而得1222=-a b , 又点),(b a P 到直线02=-y x 的距离为5|2|b a d -=所以 22|2|5b a d -=ab a b 4422-+=)(242222b a b a +-+≥1222=-=a b当且仅当b a =时上式等号成立,此时152=d 从而d 取得最小值.由此有:b a =及1222=-a b 解得:1,1==b a 或1,1-=-=b a 由于222b r =知2=r ．于是,所求圆的方程是 2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．【解法二】同解法一得 ：5|2|b a d -= ∴ d b a 52±=- 得 2225544d bd b a +±= ---------------------------------------------------------①将1222=-a b 代入①式,整理得： 01554222=++±d bd b ------------②把它看作b 的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即△0)15(82≥-=d ,得 152≥d所以25d 有最小值1，从而d 有最小值55， 将其代入②式得02422=+±b b 解得1±=b .将1±=b 代入222b r =,得2=r .由122+=a r 得1±=a .综上 1,1==b a 或1,1-=-=b a ． 于是，所求圆的方程是： 2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．4、已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．（1）求证：△OAB 的面积为定值；（2） 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．【证明】（1）∵圆C 过原点O ，∴|OC |2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t . ∴S △OAB ＝12|OA |×|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4， 即△OAB 的面积为定值． （2）∵|OM |＝|ON |，∴|CM |＝|CN |，∴OC 垂直平分线段为MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12. ∴直线OC 的方程是y ＝12x . ∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离为d ＝15<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离为d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.5、已知圆C 的圆心在直线011=--y x l ：上，与直线014342=++y x l ：相切，且截直线010433=++y x l ：所得的弦长为6，求圆C 的方程．【解】设圆C 的圆心坐标为)1,(-a a ，因为圆C 与直线014342=++y x l ：相切，所以圆C 的半径5|117|+=a R ， 圆C 的圆心到直线010433=++y x l ：的距离为5|67|+=a d ， 由圆C 截直线010433=++y x l ：所得的弦长为6， 所以22)5|67|(9)5|117|(++=+a a 解得：2=a ， 所以圆C 的方程为25)1()2(22=-+-y x ． 6、已知圆P 与圆0222=-+x y x 外切，并且与直线03=+y x l ：相切于点)3,3(-Q ，求圆P的方程．【解】设所求圆P 的圆心坐标为),(b a ，已知圆0222=-+x y x 的圆心为)0,1(，半径为1=r 因为所求圆P 与与直线03=+y x l ：相切于点)3,3(-Q ，所以l PQ ⊥，故1-=⋅l PQ k k ，所以1)33(33-=-⋅-+a b ，即01233=--b a -------------------------------------① 又因为两圆相外切，所以有2|3|1)1(22b a b a ++=+--------------------------② 联立方程①②解得： 4=a ，0=b 或0=a ，34-=b ， 此时圆P 的半径22|3|=+=b a r 或6； 所以所求圆P 的方程为： 4)4(22=+-y x 或36)34(22=++y x ．（三）圆中的最值问题与圆有关的最值问题的求解方法(1)研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．(2)常见的最值问题有以下几种类型：① 形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ② 形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③ 形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．（3）可以利用参数方程求解．例1、已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1) 求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3) 求x 2＋y 2的最大值和最小值．【解】(1) 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2) 【方法一】y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.【方法二】设圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(0≤θ≤2π)， 则y －x ＝3sin θ－3cos θ－2＝6sin(θ－π4)－2， 当θ＝34π时，取最大值6－2，当θ＝74π时，取最小值－6－2. (3) 【方法一】x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－0 2＋ 0－0 2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.【方法二】由(2)中的参数方程可得：x 2＋y 2＝(2＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝7＋43cos θ从而得最值．例2、已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 为圆上的动点，求d ＝|P A |2＋|PB |2的最大、最小值及对应的P 点坐标．【解】若设P (x 0，y 0)，则d ＝|P A |2＋|PB |2＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 20＝2(x 20＋y 20)＋2.欲求d 的最值，只需求ω＝x 20＋y 20的最值，即求圆C 上的点到原点距离的平方的最值．故过原点O 与圆心C 的直线与圆的两个交点P 1，P 2即为所求．设过O ，C 两点的直线交圆C 于P 1，P 2两点，则ωmin ＝(|OC |－1)2＝16＝|OP 1|2，此时d min ＝2×16＋2＝34，P 1(125，165)； ωmax ＝(|OC |＋1)2＝36＝|OP 2|2，此时d max ＝2×36＋2＝74，P 2(185，245)． 例3、设点P (x ，y )是圆P ：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A →·PB →的最大值为________．【解】由题意，知P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4.由于点P (x ，y )是圆P 上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12. 易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.（四）圆中的轨迹问题求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程；(4)代入法：找到要求点与已知点的关系代入已知点满足的关系式．不论哪种方法，充分利用圆与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键．例1、已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2,3)作圆C 的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程．【解法一】直接法设P (x ，y )，由题意知圆心C (1,1)．∵P 点是过点A 的弦的中点，∴P A →⊥PC →. 又∵P A →＝(2－x,3－y )，PC →＝(1－x,1－y )，∴(2－x )(1－x )＋(3－y )(1－y )＝0，∴P 点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝54. 【解法二】定义法：由已知知，P A ⊥PC ，∴由圆的性质知点P 在以AC 为直径的圆上，又圆心C (1,1)，而AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2， |AC |＝ 2－1 2＋ 3－1 2＝5，所以半径为52. 所求动点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝54. 例2、如图，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．【解】以O 1O 2的连线为x 轴，以O 1O 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，如图：则：O 1(－2,0)，O 2(2,0)，P (x ，y )又∵|PO 1|2＝|PM |2＋1，|PO 2|2＝|PN |2＋1 ∴|PM |2＝|PO 1|2－1，|PN |2＝|PO 2|2－1.又∵|PM |＝2|PN | ∴|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)∴(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1] ∴x 2＋y 2－12x ＋3＝0为动点P 的轨迹方程．例3、已知点A (3,0)，点P 是圆x 2＋y 2＝1上的一点，∠AOP 的角平分线交AP 于Q ，求点Q的轨迹方程．【解】设Q 点坐标为(x ，y )，P 点坐标为(x ′，y ′)．∵OQ 是∠AOP 的平分线，∴|OA ||OP |＝|AQ ||QP |.又|AO |＝3，|OP |＝1， ∴|AQ ||QP |＝3，即AQ →＝3QP →，(x －3，y )＝3(x ′－x ，y ′－y )． ∴⎩⎨⎧ x ′＝4x －33，y ′＝4y 3，代入圆的方程，得 4x －3 29＋16y 29＝1， 即(x －34)2＋y 2＝916为所求方程． 例4、(2013·课标全国Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1) 求圆心P 的轨迹方程；(2) 若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．【解】(1) 设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3，故P 点的轨迹方程y 2－x 2＝1.(2) 设P (x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0 λ≠－1 ，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.【补充练习】1、已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切．(1) 求圆的标准方程；(2) 设点A (x 0，y 0)为圆上任意一点，AN ⊥x 轴于N ，若动点Q 满足＝m ＋n (其中m ＋n ＝1，m ，n ≠0，m 为常数)，试求动点Q 的轨迹方程C 2.【解】(1) 设圆的半径为r ，圆心到直线l 1的距离为d ，则r ＝d ＝|－22|12＋12＝2， 所以圆C 1的方程为x 2＋y 2＝4.(2) 设动点Q (x ，y )，A (x 0，y 0)，AN ⊥x 轴于N, 则N (x 0,0)．由题意，(x ，y )＝m (x 0，y 0)＋n (x 0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ m ＋n x 0＝x 0y ＝my 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝1m y ， 将A (x ，1m y )代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 24m 2＝1. 即动点Q 的轨迹方程C 2为：x 24＋y 24m2＝1.。
2024年新高二数学提升精品讲义圆的一般方程(思维导图+3知识点+6考点+过关检测)(原卷版)
2024年新高二数学提升精品讲义圆的一般方程（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解圆的一般方程及其特点；2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化；3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.知识点1圆的一般方程1、圆的一般方程：当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程．其中,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径．2、圆的一般方程的形式特点（1）22,x y 项的系数相同且不等于0（2x 和2y 的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；（2）不含xy 项；（3）2240D E F +->．3、一般方程与标准方程关系：对方程220x y Dx Ey F ++++=的左边配方，并将常数移项到右边，得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据圆的标准方程可知：（1）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，知识点2圆的一般方程判断点和圆的位置关系已知点()00,M x y ，和圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）则知识点3轨迹与轨迹方程1、轨迹方程和轨迹的定义已知平面上一动点(,)M x y ，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式。
轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别：（1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；（2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．3、坐标法求轨迹方程的步骤（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；（2）设点：用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任意一点的M 的坐标；（3）列式：列出关于.x y 的方程；（4）化简：把方程化为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．考点一：二元二次方程与圆例1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆22:4650O x y x y +-++=，则圆心O 和半径r 分别为（）A ．()2,3,O r -=B ．()2,3,O r -=C ．()2,3,O r -=D ．()2,3,O r -=【变式1-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若32,1,0,,14a ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，则方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示的圆的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1-2】（23-24高二上·广东江门·期末）方程22210x y x m ++--=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．()1,-+∞C ．(),2-∞-D ．()2,-+∞【变式1-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知方程()()2224232141690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆，则实数m 可能的取值为（）A ．－1B ．0C ．12D ．1考点二：求圆的一般方程例2.（23-24高二上·内蒙古·期末）已知圆C 经过点()1,1-和点()1,3B ，且圆心在y 轴上，则圆C的方程为（）A ．()2222x y ++=B ．()22210x y -+=C ．()2222x y +-=D ．()22210x y ++=【变式2-1】（23-24高二上·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（）A ．22230x y x y +--=B ．22230x y x y ++-=C ．22230x y x y +-+=D ．22230x y x y +++=【变式2-2】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知(2,0)A ，(4,2)B ，O 为原点，则AOB 的外接圆方程为.【变式2-3】（23-24高二上·安徽·月考）已知在ABC 中，AB 边所在直线的方程为360x y --=，AC 边所在直线的方程为20x y --=，AC 边上的中线所在直线的方程为20x y +-=．(1)求C 点的坐标；(2)求ABC 的外接圆方程．考点三：点与圆的位置关系例3.（22-23高二上·天津和平·月考）已知圆C ：22220x y x y +--=，则点(3,1)P 在（）A ．圆外B ．圆上C ．圆内D ．以上情况均有可能【变式3-1】（23-24高二上·内蒙古·期中）若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（）A ．(4,)-+∞B ．1,2⎛⎫-∞ ⎝C ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1(,4),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【变式3-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆C 的方程为222245330x y mx my m m +-++-+=，若点(1,2)m -在圆外，则m 的取值范围是（）A ．(,1)(4,)-∞+∞B ．(1,)+∞C ．(1,4)D ．(4,)+∞【变式3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）若点()1,1a a +-在圆22240x y ay +--=的内部，则a 的取值范围是（）.A ．1a >B ．01a <<C ．115a -<<D ．1a <考点四：与圆有关的轨迹问题例4.（23-24高二上·北京·期末）已知点(2,0)B 和点(2,4)C ，直角ABC 以BC 为斜边，求直角顶点A 的轨迹方程.【变式4-1】（23-24高二上·上海青浦·月考）已知两点(5,0)A -，(5,0)B ，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则点P 的轨迹方程是．【变式4-2】（23-24高二上·山东威海·期末）（多选）已知A ，B 是平面内两个定点，且||6AB =，则满足下列条件的动点P 的轨迹为圆的是（）A ．||||6PA PB +=B ．1PA PB ⋅=-C ．||2||PA PB =D ．22||||18PA PB +=【变式4-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）已知点(6,0)A ，O 为坐标原点，若动点(,)P x y 满足2OP PA =．(1)试求动点P 的轨迹方程；(2)过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．考点五：圆过定点问题例5.（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆:²²250C x y ax ay ++--=恒过的定点为（）A ．()()2,1,2,1--B ．()()1,2,2,1--C ．()()1,2,1,2--D ．()()2,1,2,1--【变式5-1】（23-24高二上·全国·专题练习）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）对任意实数m ，圆2236920x y mx my m +--+-=恒过定点，则定点坐标为．【变式5-3】（23-24高二上·河南信阳·期中）圆2220x y mx y m ++--=恒过的定点是.考点六：与圆有关的实际问题例6.（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（）A B C ．米D ．【变式6-1】（23-24高二上·广东佛山·期中）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度20AB =米，拱高4OP =米，建适时每间隔4米需要用一根支柱支撑，则支柱22A P 的高度为米．（精确到0.01米，参考数据：33 5.744≈）【变式6-2】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16m ，拱高为4m ，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；(2)若该景区游船宽10m ，水面以上高3m ，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.(3 1.732)≈一、单选题1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆222440x y x y +-+-=的圆心和半径分别为（）A ．()1,2,3B ．()1,2,3-C ．()1,2,2-D ．()1,2,3-2．（23-24高二上·四川成都·月考）过三点()()()4,2,1,1,14A B C --,的圆的一般方程为（）A ．227320x y x y ++-+=B ．227320x y x y ++++=C ．227320x y x y +-++=D ．227320x y x y +--+=3．（2024·河北沧州·二模）若点()2,1A 在圆222250x y mx y +--+=（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()2,-+∞4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）“4k >”是“方程22(2)50x y kx k y +++-+=表示圆的方程”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆22224590x y ax ay a +-++-=上所有点都在第二象限，则a 的取值范围（）A ．(),3-∞-B ．(],3-∞-C ．33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A ，B ，则所有满足PA PBλ=（0λ>，且1λ≠）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点(1,0)P ，(1,0)Q -，动点M 满足MP =，记M 的轨迹为C ，则轨迹C 围成图形的面积是（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π二、多选题7．（23-24高二上·重庆万州·期中）若()2,1，()4,2，()3,4，()1,m 四点共圆，则m 的值为（）A ．2B C ．12+D ．38．（23-24高二上·河北邢台·222:240C ax ay x a y +-+=，下列结论正确的是（）A ．当0a =时，曲线C 是一条直线B ．当0a ≠时，曲线C 是一个圆C ．当曲线C 是圆时，它的面积的最小值为2πD ．当曲线C 是面积为5π的圆时，1=a 三、填空题9．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=，则两圆心之间的距离为.10．（23-24高二上·四川泸州·期末）若圆22:220C x y mx y ++-=被直线210x y ++=平分，则圆C 的半径为．11．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点()0,5A ，()1,2B -，()3,4C --，()2,D a 四点共圆，则=a .四、解答题12．（23-24高二上·全国·专题练习）已知曲线C ：()()2211480a x a y x ay +++-+=．(1)当a 取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．13．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线12:20,:0l x y l x y ++=+=，直线l 过点()10,4-且与1l 垂直.(1)求直线l 的方程；(2)设l 分别与12,l l 交于点A ，B ，O 为坐标原点，求过三点A ，B ，O 的圆的方程.。