中考数学总复习题型突破05有关圆的证明计算课件
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P)=75°,∴∠OED=∠PEC=75°,∴∠D=15°.∵∠ACD=12∠AOD,∴∠ACD=45°.∵∠PEC 是△
AEC 的外角,∴∠PEC=∠A+∠ACE,∴∠A=30°.∵OE=OP-PE=2- 3,∴AE=AO+OE=3- 3.
过点 E 作 EF⊥AC 于点 F,在 Rt△AEF 中,∵∠AFE=90°,∴EF=12AE=3-2 3.
(2)在线段 AD 的延长线上取一点 E,使 AB2=AC·AE,求证:BE 为☉O 的切线;
图 Z5-5
类型2 圆与相似的综合
解:(1)证明:∵AC是☉O的切线,AB为☉O的直径, ∴AC⊥AB. 又∵EH⊥AB,∴∠CAB=∠EHB=90°. 又∵∠HBE=∠ABC,∴△HBE∽△ABC.
类型2 圆与相似的综合
例 2 [2018·衢州] 如图 Z5-5,已知 AB 为☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,连接 BC 交☉O 于点 F,取������������的中点
图 Z5-2
类型1 圆的切线的性质与判定
解:(1)证明:如图,连接 OC. ∵CF 是☉O 的切线,C 为切点,∴OC⊥PC,∴∠PCD+∠ACO=90°. ∵PE⊥AB,∴∠OAC+∠ADE=90°. 又∵OA=OC,∴∠OAC=∠ACO.∴∠ADE=∠PDC=∠PCD,∴PD=PC, ∴△PCD 是等腰三角形.
类型1 圆的切线的性质与判定
例 1 [2018·枣庄] 如图 Z5-1,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以 BC 为直径作☉O 交 AB 于点 D. (1)求线段 AD 的长; (2)E 是线段 AC 上的一点,当点 E 在什么位置时,直线 ED 与☉O 相切?请说明理由.
(2)连接 CB,∵AB 为直径,∴∠ACB=90°. 易证 Rt△AED∽Rt△ACB,∴������������������������=������������������������. ∵∠F=30°,OC⊥PC,∴∠COF=60°.
又∵OB=OC,∴△OBC 为等边三角形,∴BC=BF=2,AB=4,AC=2 3.
∴AD= 9-(152) 2=59(cm).
类型1 圆的切线的性质与判定
例 1 [2018·枣庄] 如图 Z5-1,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以 BC 为直径作☉O 交 AB 于点 D.
(2)E 是线段 AC 上的一点,当点 E 在什么位置时,直线 ED 与☉O 相切?请说明理由.
图 Z5-4
类型1 圆的切线的性质与判定
解:(1)证明:连接 OD. ∵△ADE 是直角三角形,OA=OE, ∴OD=OA=OE, ∴点 D 在☉O 上.
类型1 圆的切线的性质与判定
3.[2016·东河区二模] 如图 Z5-4,在△ABC 中,∠C=90°,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D,过点 D 作 DE⊥AD
������������ ������������
,∴EH=32.∴S△BDE=12BD·EH=145.
图 Z5-4
类型2 圆与相似的综合
例 2 [2018·衢州] 如图 Z5-5,已知 AB 为☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,连接 BC 交☉O 于点 F,取������������的中点 D,连接 AD 交 BC 于点 E,过点 E 作 EH⊥AB 于点 H. (1)求证:△HBE∽△ABC; (2)若 CF=4,BF=5,求 AC 和 EH 的长.
交 AB 于点 E,以 AE 为直径作☉O.
(2)求证:BC 是☉O 的切线;
(2)证明:∵AD 是∠BAC 的平分线,
∴∠CAD=∠DAB.
∵OD=OA,
图 Z5-4
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴AC∥OD,∴∠C=∠ODB=90°.
又∵OD 是☉O 的半径,∴BC 是☉O 的切线.
图 Z5-6
类型2 圆与相似的综合
解:(1)∵AB为直径,C是☉O上一点, ∴∠ACB=90°. ∵将△ABC沿AB翻折得到△ABD, ∴∠ADB=90°,∴点D在☉O上.
类型2 圆与相似的综合
针对训练
1. [2018·盐城] 如图 Z5-6,在以线段 AB 为直径的☉O 上取一点 C,连接 AC,BC,将△ABC 沿 AB 翻折得到△ABD.
∵D 为 AC 的中点,∴AD=DC= 3,∴DE=12 3,AE=32,∴FE=29,PE=32 3,∴PD=PE-DE= 3,
∴△PCD 的周长为 3
3.连接GB,易得Rt△AGE∽Rt△ABG,∴������������
������������
=������������
������������
类型1 圆的切线的性质与判定
2.[2018·包头样题一] 如图 Z5-3,已知 AB 是☉O 的直径,点 C 在☉O 上,过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点
P,过点 O 作 OD⊥AB 交☉O 于点 D,连接 CD 交 AB 于点 E,连接 AC.
(2)若 PC= 3,PB=1,求∠D 的度数及 CE 的长.
图 Z5-1
即 E 是 AC 的中点.
∴当点 E 在 AC 的中点处时,直线 ED 与☉O 相切.
类型1 圆的切线的性质与判定
针对训练 1.如图 Z5-2,已知 AB,AC 分别是☉O 的直径和弦,G 为������������上一点,GE⊥AB,垂足为 E,交 AC 于点 D,过点 C 的 切线与 AB 的延长线交于点 F,与 EG 的延长线交于点 P,连接 AG. (1)求证:△PCD 是等腰三角形; (2)若 D 为 AC 的中点,且∠F=30°,BF=2,求△PCD 的周长和 AG 的长.
(2)设 OB=OC=x,∴OP=x+1.在 Rt△PCO 中,∵OC2+PC2=OP2,PC= 3,∴x2+( 3)2=(x+1)2,
∴x=1,∴OC=OB=1,OP=2.∵sinP=������������=1,∴∠P=30°.∵PC=PE,∴∠PEC=1(180°-∠
������������ 2
图 Z5-5
类型2 圆与相似的综合
针对训练 1. [2018·盐城] 如图 Z5-6,在以线段 AB 为直径的☉O 上取一点 C,连接 AC,BC,将△ABC 沿 AB 翻折得到△ABD. (1)试说明点 D 在☉O 上; (2)在线段 AD 的延长线上取一点 E,使 AB2=AC·AE,求证:BE 为☉O 的切线; (3)在(2)的条件下,分别延长线段 AE,CB 相交于点 F,若 BC=2,AC=4,求线段 EF 的长.
(2)当点 E 在 AC 的中点处时,直线 ED 与☉O 相切.理由如下:如图,连接 ED,EO,OD. ∵ED 与☉O 相切,∴∠EDO=∠ECO=90°,∴ED,EC 是切线长,∴ED=EC. 又∵OD=OC,∴EO 是线段 CD 的垂直平分线,∴CD⊥EO. ∵CD⊥AB,∴AB∥EO,∴OC∶OB=CE∶AE. ∵OC=OB,∴AE=CE,
D,连接 AD 交 BC 于点 E,过点 E 作 EH⊥AB 于点 H.
(2)若 CF=4,BF=5,求 AC 和 EH 的长.
(2)连接 AF,∵AB 是直径,∴∠AFB=90°,∴∠CFA=∠CAB=90°.
又∵∠C=∠C,∴△CAF∽△CBA,∴������������=������������.∵CF=4,BC=CF+BF=4+5=9,∴������������= 4 ,∴AC=6.
图 Z5-1
类型1 圆的切线的性质与判定
解:(1)如图,连接 CD. ∵BC 为☉O 的直径,∴∠CDB=90°. 在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,∴AB= ������������2 + ������������2=5 cm. ∵S△ABC=12AC·BC=12CD·AB,∴CD=������������������·������������������=152 cm. 又在 Rt△ADC 中,AD2=AC2-CD2,
类型1 圆的切线的性质与判定
3.[2016·东河区二模] 如图 Z5-4,在△ABC 中,∠C=90°,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D,过点 D 作 DE⊥AD
交 AB 于点 E,以 AE 为直径作☉O.
(3)若 AC=6,BC=8,求△BDE 的面积. (3)在 Rt△ACB 中,AC=6,BC=8,∴根据勾股定理得 AB=10.
4
4
22
15
∵������������=������������,即 4 =������������,∴BD=5.
������������ ������������ 6 8
过点 E 作 EH⊥BD,垂足为 H,
∵EH∥OD,∴△BEH∽△BOD,∴������������ =������������
,∴AG2=AE·AB,∴AG=
6.
图 Z5-2
类型1 圆的切线的性质与判定
2.[2018·包头样题一] 如图 Z5-3,已知 AB 是☉O 的直径,点 C 在☉O 上,过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P,过点 O 作 OD⊥AB 交☉O 于点 D,连接 CD 交 AB 于点 E,连接 AC. (1)求证:PC=PE; (2)若 PC= 3,PB=1,求∠D 的度数及 CE 的长.
������������ ������������
9 ������������
∵D 为������������的中点,∴∠FAD=∠BAD.又∵EH⊥AB,EF⊥AF,∴EF=EH.
设 EH=x,则 EF=x,BE=5-x.∵△HBE∽△ABC,∴������������������������=������������������������,∴���6���=59-������,∴x=2,即 EH=2.
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中考数学---圆的证明与计算题型PPT课件
∴CD＝CN＋ND＝8. 在Rt△OCD 中，设OC＝r，
则OD＝OB－BD＝r－4.
由勾股定理，得OC2＝OD2＋CD2，
即r2＝(r－4)2＋8^2.
解得r＝10. ∴AB＝2r＝20. ∵AB是直径， ∴∠AMB＝90°. 在Rt△ABM 中，cos∠MBA＝BM/ AB ＝4/ 5，AB＝20， ∴BM＝16.
解图1 ∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A， ∴∠OAC＝90°. 在△ACO和△ECO中，
∴△ACO≌ △ECO ( SSS )． ∴∠OEC＝∠OAC＝90°. ∴OE⊥，AE，过点F作FG⊥BD于 点G.
解图2 ∵AB⊥BD， ∴∠ABD＝∠FGD＝∠FGB＝90°. ∴FG∥AB. ∴∠ABF＝∠BFG. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝∠FGB＝90°. ∴△ABE∽△BFG. ∴AB/ BF ＝BE/ FG .
(1)证明：如解图1所示，连接BD.
解图1 ∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上， ∴BD是⊙O的直径． 又∵ ∠BDE＝∠BCE，∠FDE＝∠DCE， ∴∠BDE＋∠FDE＝∠BCE＋∠DCE，即∠BDF＝∠ACB＝90°. ∴DF⊥BD. 又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
(2)解：
解图1 ∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴ PC/ AC＝AC/ OC，即PC/ 6 ＝6/ 4 . 解得PC＝9. OP＝PC＋OC＝13.
在Rt△PCB 中，由勾股定理得，
解图2
∵AC＝BC，OA＝OE， ∴OC为△ABE的中位线． ∴BE＝2OC＝8，OC∥BE
∴△DBE∽△DPO .
∴BD/ PD = BE / PO ,
类型三、切线的判定与性质综合——切割线模型
中考数学题型专题复习题型2圆的证明与计算课件
即(7＋x)2－72＝42－x2，
解得x＝1或－8(舍去)．
∴AC＝8，BD＝
＝
∴S菱形ABFC＝AC·BD＝8 . ∴S半圆＝ ×π×42＝8π.
5．[2018·无锡]如图，四边形ABCD内接于圆
O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cosB＝
3 ，求AD的长．
5
解：如图，延长AD，BC交于点E.
题型2 圆的证明与计算
考查类型
与圆的性质 有关的证明
与计算
年份 2015
2018
2017
与圆的切线 有关的证明
与计算
2016
2014
2013
与扇形有关 的计算
2018
考查形式
题型
以圆内接四边形为背景，判断三角形的形状 ，结合全等三角形探究线段间关系，通过图
形分割探究四边形最大面积
解答
已知圆的切线，根据圆的性质证明两线垂直 ，并求出线段长度及弧长
∴EA＝
∴AD＝EA－DE＝
类型②与圆的位置关系有关的证明与计算
例2►[2018·黄冈]如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦， OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过点B的切线交OP于点C. (1)求证：∠CBP＝∠ADB；
(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．
规范解答：(1)证明：如图，连接OB. ∵BC是⊙O的切线． ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°，即∠OBD＋∠DBC＝90°. ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠DBP＝90°，即∠CBP＋∠DBC＝90°， ∴∠OBD＝∠CBP. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ADB， ∴∠CBP＝∠ADB.…………………………………………(5分)
专题三 圆的综合题 课件(共21张PPT)2025年中考数学人教版一轮复习考点探究(广西)
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，
∴AB＝5x＝6 10 ，∵AB＝AC，BC＝12，AD⊥BC，∴BD＝CD＝6，∴AD＝
AB2－BD2 ＝18，设⊙O的半径为r，∴OD＝18－r，在Rt△OBD中，OB2＝OD2＋
BD2，即r2＝(18－r)2＋62，解得r＝10，
1．(2022北部湾)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点 D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.
1 2
AD.∵OA＝OB，∠PAO＝60°，∴△OAB是等
边三角形，∴AD⊥OB.∵OA＝OD，∴AF＝
1 2
AD，∴DE＝AF，在Rt△AOF中，AF
＝OA×cos30°＝
3
×
3 2
＝32
，∴DE＝AF＝32
.
3．(2024贵州)如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上， PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC＝DE.
(1)求证：ED是⊙O的切线； (2)若AD平分∠PAO，OA＝ 3 ，求DE的长．
(1)证明：如图，连接OD，OB，记OP与AD的交点为G，∵点B在⊙O上，PC是经
过圆心O的直线，∴点B关于PC的对称点D必在⊙O上，∴OD是⊙O的半径．∵点A在
⊙O上，∴∠PAD＝
1 2
∠BOD，∵点B和点D关于PC对称，∴∠POD＝
＝BDDE
，∴
AB 13m
＝
13m 2m
＝B3mD
，∴AB＝132m
，BD＝3
13m 2
.∵AB＝
AC，∠ADC＝90°，∴DC＝ 3
13m 2
，BC＝2BD＝3
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中考数学复习讲义课件 中考题型讲练 题型5 圆的证明与计算
题型5圆的证明与计算
考法透析 圆的证明与计算是宁夏中考数学试题的解答题型重 要组成部分，主要考查圆与直线的位置关系较多， 大都考查切线的性质与判定，利用图形全等、相似、 勾股定理或解直角三角形的知识综合解答图形中有 关计算问题．近10年宁夏中考数学卷中每年安排这 样一个大题，分值一般为8分(仅2012年为6分)，考 点基本固定，大同小异．主要考查的知识点有切线 的判定、垂径定理、等边三角形的判定与性质、圆 周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、 相似三角形的判定与性质、解直角三角形等.2021
︵ AM
(1)证明：连接OB.∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝60°. ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°. ∵BE＝AB， ∴∠E＝∠BAE. ∵∠ABC＝∠E＋∠BAE＝60°， ∴∠E＝∠BAE＝30°.
∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠OAB＝30°， ∴∠OBC＝30°＋60°＝90°， ∴OB⊥CE， ∴EC是⊙O的切线．
∴△OAM为等边三角形， ∴∠AOM＝60°，
∴A︵M的长为601·8π0×4＝43π.
3．(2020·贵阳)如图，AB为⊙O的直径，四边形 ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O 的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且 ∠CAD＝∠ABD. (1)求证：AD＝CD； (2)若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．
∴∠CAP＝∠BAAEC. ＝AB，
在△CAP和△BAE中∠C，AP＝∠BAE， AP＝AE，
∴△CAP≌△BAE(SAS)，∴CP＝BE. 在Rt△BPE中，∠PBE＝90°，PE＝2， ∴PB2＋BE2＝PE2，∴PC2＋PB2＝PE2＝4.
(1)证明：∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠ACD， ∴∠ADC＋2∠ACD＝180°. 又四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝2∠ACD.
考法透析 圆的证明与计算是宁夏中考数学试题的解答题型重 要组成部分，主要考查圆与直线的位置关系较多， 大都考查切线的性质与判定，利用图形全等、相似、 勾股定理或解直角三角形的知识综合解答图形中有 关计算问题．近10年宁夏中考数学卷中每年安排这 样一个大题，分值一般为8分(仅2012年为6分)，考 点基本固定，大同小异．主要考查的知识点有切线 的判定、垂径定理、等边三角形的判定与性质、圆 周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、 相似三角形的判定与性质、解直角三角形等.2021
︵ AM
(1)证明：连接OB.∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝60°. ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°. ∵BE＝AB， ∴∠E＝∠BAE. ∵∠ABC＝∠E＋∠BAE＝60°， ∴∠E＝∠BAE＝30°.
∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠OAB＝30°， ∴∠OBC＝30°＋60°＝90°， ∴OB⊥CE， ∴EC是⊙O的切线．
∴△OAM为等边三角形， ∴∠AOM＝60°，
∴A︵M的长为601·8π0×4＝43π.
3．(2020·贵阳)如图，AB为⊙O的直径，四边形 ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O 的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且 ∠CAD＝∠ABD. (1)求证：AD＝CD； (2)若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．
∴∠CAP＝∠BAAEC. ＝AB，
在△CAP和△BAE中∠C，AP＝∠BAE， AP＝AE，
∴△CAP≌△BAE(SAS)，∴CP＝BE. 在Rt△BPE中，∠PBE＝90°，PE＝2， ∴PB2＋BE2＝PE2，∴PC2＋PB2＝PE2＝4.
(1)证明：∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠ACD， ∴∠ADC＋2∠ACD＝180°. 又四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝2∠ACD.