2022年高考数学立体几何专题复习8.2 空间几何体的表面积与体积
届数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积和体积教学案含解析
20212A版
- 1 - 第2节 空间几何体的表面积和体积
考试要求 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
知 识 梳 理
1。多面体的表(侧）面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和。
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π（r1＋r2）l
3.空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体 表面积 体积
柱 体 S表面积＝S侧＋V＝S底h 20212A版
- 2 - (棱柱和圆柱) 2S底
锥 体
（棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝错误!S底h
台 体
（棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝错误!（S上＋S下＋错误!)h
球 S＝4πR2 V＝错误!πR3
［常用结论与微点提醒］
1。正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a,球的半径为R，
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝错误!a；
（2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3）若球与正方体的各棱相切，则2R＝错误!a。
2。长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b，c，外接球的半径为R,则2R＝错误!。
3。正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。
诊 断 自 测
1。判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×")
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积。（ ) 20212A版
- 3 - （2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方。（ )
(3）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（ )
(4）已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a，则R＝错误!a。( ）
解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.
（2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
答案 （1）× （2）× （3)√ (4)√
广东省新人教版数学立体几何总复习
1 专题复习 立体几何总复习
【知识要点】
1. 空间几何体三视图与直观图
① 由空间几何体画三视图
② 由三视图还原实物图
③ 斜二测画法及面积计算
2. 空间几何体的表面积与体积
① 锥、柱、台、球体表面积、体积计算
② 割补法、等体积法计算几何体的体积
③ 画空间几何体的展开图及面积计算
3. 点、线、面之间的位置关系
① 四个公理
公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号表示：lBAlBlA,,,。
公理2： 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示：lPlPP,,。
公理4： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示：313221////,//llllll
② 直线之间的位置关系：
（1）平行：在同一平面内，且没有交点。
（2）相交：在同一平面内，有且只有一个交点。 2 （3）异面：不同在任何一个平面内，没有公共点
定理： 空间中如果有两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
③ 直线与平面之间的位置关系
（1）直线在平面内----有无数个公共点
（2）直线与平面相交--有且只有一个公共点
（3）直线与平面平行----没有公共点
注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
④ 平面与平面之间的位置关系
（1）两个平面平行---没有公共点
（2）两个平面相交---有一条公共直线
4. 直线、平面平行的判定与性质
① 直线与平面平行
（1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符号表示：////,,ababa.
2023年新高考数学大一轮复习专题28 空间几何体的结构特征、表面积与体积(原卷版)
专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积
【考点预测】
知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面
（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．
（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．
知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台
1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体．
2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．
3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．
知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球
1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．
知识点四：组合体
由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．
知识点五：表面积与体积计算公式
2020高考数学二轮复习专题讲练8 立体几何(空间几何体的三视图、表面积与体积)(最新,超经典)
2020高考数学二轮复习专题讲练8 立体几何（空间几何体的三视图、表面积与体积）（最新，超经典）
专题三 立体几何
小题增分专项1 空间几何体的三视图、表面积与体积
全国卷3年考情分析
考|题|细|目|表
年份 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷 全国Ⅲ卷
2019 与三棱锥有关的球的体积·T12 空间几何体的结构特征与数学文化·T16 组合体的体积·T16
2018 空间几何体的三视图、直观图及最短路径问题·T7 圆锥的性质及侧面积的计算·T16 三视图与数学文化·T3
与外接球有关的空间几何体体积的最值问题·T10
2017 空间几何体的三视图与直观图、面积的计算·T7
三棱锥的体积·T16 空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T4 球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T8
命|题|规|律
立体几何问题既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，保持“一小一大”或“两小一大”的格局，多以选择题或者填空题的形式考查空间几何体三视图的识别，空间几何体的体积或表面积的计算。
1．空间几何体的三视图
(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等。
(2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体。
2．空间几何体的两组常用公式
(1)柱体、锥体、台体的表面积公式：
①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；
②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；
③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；
④球的表面积S＝4πR2。
(2)柱体、锥体和球的体积公式：
①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)
②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；
③V球＝43πR3。
考点一 空间几何体的三视图与直观图
【例1】 (1)(2019·河北唐山第一次摸底)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为( )
A．1－π4 B．3＋π2
空间几何体的表面积和体积经典例题(教师讲义打印一份)
空间几何体的表面积和体积
一．课标要求：
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
二．命题走向
近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。
由于本讲公式多反映在考题上，预测2016年高考有以下特色：
（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；
（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；
三．要点精讲
1．多面体的面积和体积公式
名称 侧面积(S侧) 全面积(S全) 体 积(V)
棱
柱 棱柱 直截面周长×l
S侧+2S底 S底·h=S直截面·h
直棱柱 ch S底·h
棱
锥 棱锥 各侧面积之和
S侧+S底 31S底·h 正棱锥 21ch′
棱
台 棱台 各侧面面积之和
S侧+S上底+S下底 31h(S上底+S下底+下底下底SS) 正棱台 21 (c+c′)h′
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
S侧 2πrl πrl π(r1+r2)l
S全 2πr(l+r) πr(l+r) π(r1+r2)l+π(r21+r22) 4πR2
V πr2h(即πr2l) 31πr2h 31πh(r21+r1r2+r22) 34πR3
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。
四．典例解析
题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.
2019年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)：专题8.2 空间几何体的表面积与体积(测)(原卷版)
2019年高考数学讲练测【浙江版】【测】
第八章 立体几何
第02节 空间几何体的表面积与体积
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）
1. 【湖南省长沙市长郡中学2019届高三摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．1136 B．3 C．533 D．433
2. 【2019陕西质检二】某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）
A．28 B．36 C．32
D．40
3. 设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则S1S2的值等于( )
A.2π B.6π
C.π6 D.π2
4. 把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高之比为( )
A．12 B．12π
C．21 D．1π
5. 【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2019届高三第一次联考】某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为（ ）
A. 3 B. 34 C. 2 D. 38
6.【2019云南二模】已知体积为46的长方体的八个顶点都在球O的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为23、43,那么球O的体积等于（ ）
A．323 B．1673 C．332
D．1172
7. 【云南省玉溪市第一中学2019届高三月考】三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，1ACBC，3PA ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
理科数学2010-2019高考真题分类训练22专题八 立体几何 第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积—
专题八 立体几何初步
第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积
2019年
1.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为
长方体
1111ABCDABCD
挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，
E，F，G，H分别为所在棱的中点，
16cm4cmAB=BC=, AA=
，3D打印所用原料密度
为0.9 g/cm3
，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.
2.（2019江苏9）如图，长方体
1111ABCDABCD
的体积是120，E为
1CC
的中点，则三棱
锥E-BCD的体积是 .
3.（2019天津理11
）已知四棱锥的底面是边长为2
的正方形，侧棱长均为5
.若圆柱的
一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该
圆柱的体积为 .
4.（2019全国Ⅰ理12）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC
是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A
．68
B
．64
C
．62
D
．6
5.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”
称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V
柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h
是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是
A．158 B．162 C．182 D．32
6.（2019北京11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。如果
网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________.
2010-2018年
一、选择题
1．(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
俯视图侧(左)视图正(主)视图122
1
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(2018全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在
高中数学空间几何体的表面积与体积练习题及答案
. 空间几何体的表面积与体积专题
一、选择题
1．棱长为2的正四面体的表面积是(
C
)．
A.3 B．4 C．43 D．16 解析 每个面的面积为：12×2×2×32＝3.∴正四面体的表面积为：43.
2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( B )．
A．2倍 B．22倍 C.2倍 D.32倍
解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V＝43πR3，知体积扩大到原来的22倍．
3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )．
A.1423 B.2843 C.2803 D.1403
解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体
的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去
一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积
V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－13×12×2×2×2＝2843.
4．某几何体的三视图如下，则它的体积是( A)
A．8－2π3 B．8－π3 C．8－2π D.2π3
解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V＝23－13×π×2＝8－2π3.
5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( A)A．24－32π B．24－π3 C．24－π D．24－π2
据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π2.
6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C )
2023年新高考数学大一轮复习专题四立体几何第1讲空间几何体(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：
第1讲 空间几何体
[考情分析] 几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积与体积是高考题的重点与热点，多以小题的形式进行考查，属于中等难度．
考点一 表面积与体积 核心提炼
1．旋转体的侧面积和表面积
(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．
2．空间几何体的体积公式
V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)；
V锥＝13Sh(S为底面面积，h为高)；
V球＝43πR3(R为球的半径)．
例1 (1)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．
答案 402π
解析 因为母线SA与圆锥底面所成的角为45°，
所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形．
设底面圆的半径为r，则母线长l＝2r.
在△SAB中，cos∠ASB＝78，所以sin∠ASB＝158.
因为△SAB的面积为515，即12SA·SBsin∠ASB
＝12×2r×2r×158＝515，
所以r2＝40，
故圆锥的侧面积为πrl＝2πr2＝402π.
(2)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D－BB1C1的体积为________．
答案 233
解析 如图，取BC的中点O，
连接AO.
∵正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，
∴AC＝2，OC＝1，则AO＝3.
∵AA1∥平面BCC1B1，
∴点D到平面BCC1B1的距离为3.
又11BBCS＝12×2×2＝2，
∴11DBBCV＝13×2×3＝233.
易错提醒 (1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算)．
(2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解．
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题四立体几何第一讲空间几何体的表面积与体积
专题四 立体几何
第一讲 空间几何体的表面积与体积
——小题备考
微专题1 空间几何体的表面积和体积
常考常用结论
1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式：
①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；
②圆锥的表面积 S＝πr(r＋l)；
③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；
④球的表面积S＝4πR2.
2．柱体、锥体和球的体积公式：
①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；
③V球＝43πR3.
保 分 题
1.[2022·山东枣庄三模]若圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则其体积为( )
A．√6π B．√3π
C．√63π D．√33π
2．[2022·河北保定一模]圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．2∶3
3．[2022·湖北武汉二模]如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为( )
A．2√23 B．43
C．4√23 D．83
提 分 题
例1 (1)[2022·河北张家口三模]如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，过A1B1的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则CDAC＝( )
A．13 B．12
C．2−√32 D．√3−12
(2)[2022·湖南雅礼中学二模]某圆锥高为1，底面半径为√3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为( )
A．2 B．√3
C．√2 D．1
听课笔记：
【技法领悟】
1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．