高考数学 第八章 立体几何 8.2 空间几何体的表面积、体积课件 理
【答案】 A
第33页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
(2)(2015·新课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一
部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体
三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体
的表面积为 16＋20π，则 r＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
第34页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
第2课时 空间几何体的表面积、体积
第1页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．能正 确描述现实生活中简单物体的结构．
2．了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式．(不要 求记忆台体的体积公式)
第2页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
2 A. 2
3 B. 3
2 C. 4
D. 2
第36页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【解析】 以正方形 ABCD 为底面，DD1 为 棱将上图补成一个正四棱柱 ABCD－A2B1C2D1， 如图所示．
∵截面 A1BC1D1 与底面 ABCD 成 45°的二 面角，
∴原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一半． ∵AA1＝CC1，易知∠D1BD 为截面与底面 ABCD 所成的二面 角的平面角．
【讲评】 利用等积变换是求三棱锥体积的常用技巧． 【答案】 16a3
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高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
探究 3 (1)分割法：通过对不规则几何体进行分割，化为规 则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体体积．
(2)补体法：通过补体构造出一个规则几何体，然后进行计算． (3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意 一个顶点都可以作为顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面， 常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解．
2.(2016·衡水调研卷)若一个半径为 2 的球体经 过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几 何体的表面积为________．
答案 16π 解析 由三视图，可知该几何体是一个球体挖去14之后剩余的部 分，故该几何体的表面积为球体表面积的34与两个半圆面的面积之 和，即 S＝34×(4π×22)＋2×(12π×22)＝16π.
【答案】 D
第21页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
探究 1 求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中 的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的 直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知 量与已知量间的关系，进行求解．
第22页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
答案 3π 解析 已知正三角形的面积求其边长，然后利用圆锥的母线， 底面半径与轴截面三角形之间的关系，根据圆锥的全面积公式可求． 如图所示，设圆锥轴截面三角形的边长为 a，则 43a2 ＝ 3，∴a2＝4，∴a＝2. ∴圆锥的全面积为 S＝π(2a)2＋π·2a·a＝3π.
第7页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
第8页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
3.(2015·福建文)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的 表面积等于( )
A．8＋2 2 B．11＋2 2 C．14＋2 2 D．15
第9页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
答案 B 解析 由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高 为 2 的直四棱柱，所以其表面积为 S 表面积＝S 侧面积＋2S 下底面积＝(1＋ 1＋2＋ 2)×2＋2×12×(1＋2)×1＝11＋2 2，故选 B.
第5页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
几何体的体积 (1)V 柱体＝Sh． (2)V 锥体＝13Sh． (3)V 台体＝13(S′＋ SS′＋S)h，V 圆台＝13π(r12＋r1r2＋r22)h， V 球＝43πR3(球半径是 R)．
第6页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，则这 个圆锥的全面积为________．
第10页
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4．(2016·河北质量监测)多面体的三视图如图所示，则该多 面体的体积为________cm3.
第11页
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答案
32 3
解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥，
如图所示．
在三棱锥 D－ABC 中，底面 ABC 是等腰三角
请注意 柱、锥、台、球等简单几何体的面积与体积(尤其是体积)是 高考热点．
第3页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
课前自助餐
第4页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环． (3)若圆柱、圆锥的底面半径为 r，母线长 l，则其表面积为 S 柱＝2πr2＋2πrl，S 锥＝πr2＋πrl． (4)若圆台的上下底面半径为 r1，r2，母线长为 l，则圆台的表 面积为 S＝π(r12＋r22)＋π(r1＋r2)l． (5)球的表面积为 4πR2．
思考题 1 (1)(2016·广东韶关调研)一 个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所 示，则这个四棱锥的侧面积为( )
A．2 B．6 C．2( 2＋ 3) D．2( 2＋ 3)＋2
第23页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【解析】 由三视图可知，该几何体是一个底面是正方形， 有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，所以四棱锥的的侧面积为 S＝ 2×(12×2× 2)＋2×(12× 2× 6)＝2( 2＋ 3)，故选 C.
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高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
授人以渔
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题型一 多面体的表面积和体积 例 1 (1)(2016·合肥质检)下图是一个几何体的三视图，根据 图中所给的数据，求这个几何体的表面积和体积．
第17页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【解析】 右图是还原后的几何体的直观图， 分别取 BC，AD 的中点 E，F，连接 SE，EF， SF，由图中数据有
第27页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【解析】 AB＝4，R＝2，
S 球＝4πR2＝16π.
设
DC＝x，则
AC＝2x，BC＝sin6x0°＝2
3x 3.
在 Rt△ABC 中，4x2＋4×93x2＝16，x＝ 3，
S 锥侧上＝πrl＝π· 3·2 3＝6π， S 锥侧下＝πrl＝π· 3·2＝2 3π，
【解析】 由条件知，该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面 圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成，其表面 积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面 积的一半相加所得，所以表面积为 S 表＝2r×2r＋2×12πr2＋πr ×2r＋12×4πr2＝5πr2＋4r2＝16＋20π，解得 r＝2.
5．(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆 锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个．若将它们重新制作成 总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一 个，则新的底面半径为________．
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答案 7 解析 设新的底面半径为 r，根据题意得 13×π×52×4＋π×22×8＝13πr2×4＋πr2×8， 即 28r2＝196，解得 r＝ 7.
【答案】 B
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题型三 利用割补法求体积
例 3 (1)如图所示，多面体是经过正四棱柱
底面顶点 B 作截面 A1BC1D1 而截得的，已知 AA1 ＝CC1，截面 A1BC1D1 与底面 ABCD 成 45°的 二面角，AB＝1，则这个多面体的体积为( )
第37页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
∴∠D1BD＝45°.
∵AB＝1，∴BD＝ 2，DD1＝ 2.
∴正四棱柱 ABCD－A2B1C2D1 的体积 V＝1× 2＝ 2.
∴所求多面体的体积为
2 2.
【答案】 A
第38页
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(2)已知正方体 AC1 的棱长为 a，E，F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点，求四棱锥 A1－EBFD1 的体积．
第19页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
(2)(2016·新课标全国Ⅱ)一个正方体被一
个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如
图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
()
1
1
A.8
B.7
1
1
C.6
D.5
第20页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【解析】 如图，不妨设正方体的棱长为 1， 则截去部分三棱锥 A－A1B1D1，其体积为16，又 正方体的体积为 1，则剩余部分的体积为56，故 所求比值为15.故选 D.
探究 2 此类题只需根据图形的特征求出所需元素(半径、高 等)，然后代入公式计算即可．
第30页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
第31页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
思考题 2 (1)(2015·重庆理)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为( )
A.13＋π C.13＋2π
2，AD＝1，所以 V＝13×12×2×1×
3＝
3 3.
【答案】 D
第26页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
题型二 旋转体的表面积和体积 例 2 如图所示，在直径 AB＝4 的半圆 O 内作一 个内接直角三角形 ABC，使∠BAC＝30°，将图中阴 影部分，以 AB 为旋转轴旋转 180°形成一个几何体， 求该几何体的表面积及体积．
第33页
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(2)(2015·新课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一
部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体
三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体
的表面积为 16＋20π，则 r＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
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第2课时 空间几何体的表面积、体积
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1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．能正 确描述现实生活中简单物体的结构．
2．了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式．(不要 求记忆台体的体积公式)
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2 A. 2
3 B. 3
2 C. 4
D. 2
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【解析】 以正方形 ABCD 为底面，DD1 为 棱将上图补成一个正四棱柱 ABCD－A2B1C2D1， 如图所示．
∵截面 A1BC1D1 与底面 ABCD 成 45°的二 面角，
∴原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一半． ∵AA1＝CC1，易知∠D1BD 为截面与底面 ABCD 所成的二面 角的平面角．
【讲评】 利用等积变换是求三棱锥体积的常用技巧． 【答案】 16a3
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探究 3 (1)分割法：通过对不规则几何体进行分割，化为规 则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体体积．
(2)补体法：通过补体构造出一个规则几何体，然后进行计算． (3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意 一个顶点都可以作为顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面， 常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解．
2.(2016·衡水调研卷)若一个半径为 2 的球体经 过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几 何体的表面积为________．
答案 16π 解析 由三视图，可知该几何体是一个球体挖去14之后剩余的部 分，故该几何体的表面积为球体表面积的34与两个半圆面的面积之 和，即 S＝34×(4π×22)＋2×(12π×22)＝16π.
【答案】 D
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探究 1 求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中 的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的 直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知 量与已知量间的关系，进行求解．
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答案 3π 解析 已知正三角形的面积求其边长，然后利用圆锥的母线， 底面半径与轴截面三角形之间的关系，根据圆锥的全面积公式可求． 如图所示，设圆锥轴截面三角形的边长为 a，则 43a2 ＝ 3，∴a2＝4，∴a＝2. ∴圆锥的全面积为 S＝π(2a)2＋π·2a·a＝3π.
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3.(2015·福建文)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的 表面积等于( )
A．8＋2 2 B．11＋2 2 C．14＋2 2 D．15
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答案 B 解析 由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高 为 2 的直四棱柱，所以其表面积为 S 表面积＝S 侧面积＋2S 下底面积＝(1＋ 1＋2＋ 2)×2＋2×12×(1＋2)×1＝11＋2 2，故选 B.
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几何体的体积 (1)V 柱体＝Sh． (2)V 锥体＝13Sh． (3)V 台体＝13(S′＋ SS′＋S)h，V 圆台＝13π(r12＋r1r2＋r22)h， V 球＝43πR3(球半径是 R)．
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1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，则这 个圆锥的全面积为________．
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4．(2016·河北质量监测)多面体的三视图如图所示，则该多 面体的体积为________cm3.
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答案
32 3
解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥，
如图所示．
在三棱锥 D－ABC 中，底面 ABC 是等腰三角
请注意 柱、锥、台、球等简单几何体的面积与体积(尤其是体积)是 高考热点．
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课前自助餐
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几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环． (3)若圆柱、圆锥的底面半径为 r，母线长 l，则其表面积为 S 柱＝2πr2＋2πrl，S 锥＝πr2＋πrl． (4)若圆台的上下底面半径为 r1，r2，母线长为 l，则圆台的表 面积为 S＝π(r12＋r22)＋π(r1＋r2)l． (5)球的表面积为 4πR2．
思考题 1 (1)(2016·广东韶关调研)一 个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所 示，则这个四棱锥的侧面积为( )
A．2 B．6 C．2( 2＋ 3) D．2( 2＋ 3)＋2
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【解析】 由三视图可知，该几何体是一个底面是正方形， 有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，所以四棱锥的的侧面积为 S＝ 2×(12×2× 2)＋2×(12× 2× 6)＝2( 2＋ 3)，故选 C.
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题型一 多面体的表面积和体积 例 1 (1)(2016·合肥质检)下图是一个几何体的三视图，根据 图中所给的数据，求这个几何体的表面积和体积．
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【解析】 右图是还原后的几何体的直观图， 分别取 BC，AD 的中点 E，F，连接 SE，EF， SF，由图中数据有
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【解析】 AB＝4，R＝2，
S 球＝4πR2＝16π.
设
DC＝x，则
AC＝2x，BC＝sin6x0°＝2
3x 3.
在 Rt△ABC 中，4x2＋4×93x2＝16，x＝ 3，
S 锥侧上＝πrl＝π· 3·2 3＝6π， S 锥侧下＝πrl＝π· 3·2＝2 3π，
【解析】 由条件知，该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面 圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成，其表面 积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面 积的一半相加所得，所以表面积为 S 表＝2r×2r＋2×12πr2＋πr ×2r＋12×4πr2＝5πr2＋4r2＝16＋20π，解得 r＝2.
5．(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆 锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个．若将它们重新制作成 总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一 个，则新的底面半径为________．
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答案 7 解析 设新的底面半径为 r，根据题意得 13×π×52×4＋π×22×8＝13πr2×4＋πr2×8， 即 28r2＝196，解得 r＝ 7.
【答案】 B
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题型三 利用割补法求体积
例 3 (1)如图所示，多面体是经过正四棱柱
底面顶点 B 作截面 A1BC1D1 而截得的，已知 AA1 ＝CC1，截面 A1BC1D1 与底面 ABCD 成 45°的 二面角，AB＝1，则这个多面体的体积为( )
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∴∠D1BD＝45°.
∵AB＝1，∴BD＝ 2，DD1＝ 2.
∴正四棱柱 ABCD－A2B1C2D1 的体积 V＝1× 2＝ 2.
∴所求多面体的体积为
2 2.
【答案】 A
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(2)已知正方体 AC1 的棱长为 a，E，F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点，求四棱锥 A1－EBFD1 的体积．
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(2)(2016·新课标全国Ⅱ)一个正方体被一
个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如
图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
()
1
1
A.8
B.7
1
1
C.6
D.5
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【解析】 如图，不妨设正方体的棱长为 1， 则截去部分三棱锥 A－A1B1D1，其体积为16，又 正方体的体积为 1，则剩余部分的体积为56，故 所求比值为15.故选 D.
探究 2 此类题只需根据图形的特征求出所需元素(半径、高 等)，然后代入公式计算即可．
第30页
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思考题 2 (1)(2015·重庆理)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为( )
A.13＋π C.13＋2π
2，AD＝1，所以 V＝13×12×2×1×
3＝
3 3.
【答案】 D
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题型二 旋转体的表面积和体积 例 2 如图所示，在直径 AB＝4 的半圆 O 内作一 个内接直角三角形 ABC，使∠BAC＝30°，将图中阴 影部分，以 AB 为旋转轴旋转 180°形成一个几何体， 求该几何体的表面积及体积．
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空间几何体的表面积与体积 课件
(3)S 圆台表＝____π__(R_2_＋__r_2＋__R_l_＋__r_l)___________________
(R 为下底面圆的半径，r 为上底面圆的半径，l 为圆台的 母线长)．
5．球的表面积公式：S 表面＝___4_π_R__2 _(R 为球的半径)．
[探究] 根据圆柱、圆锥、圆台之间的关系，你能发现三 者的表面积公式之间的关系吗？
2．棱柱的侧面展开图是由平__行__四__边__形__构成的平面图形；棱 锥的侧面展开图是由_三__角__形_____构成的平面图形；棱台的侧面 展开图是由___梯__形_____________构成的平面图形．
3．多面体的表面积，又称全面积，是多面体的底面积与侧 面积的和，也即多面体各个面的面积的和．
为底面面积，h 为柱体的高)．
1
2．锥体的体积公式：V 锥体＝___3_S_h___________________(S 为底3面．面台积体，的h体为积锥公体式的：高V)台．体＝_____13_(_S_′＋____S′__S_＋__S_)_h___(S′、
S 为上、下底面面积，h 为台体的高)． 4．球的体积公式：V 球＝_4_._43π __R__3 _(R 为球的半径)． [探究] 根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
[答案] B
2
► 题组二 求几何体的体积 【例题演练】
例 1 已知一个空间几何体的正视图、侧视图和俯视图均为 全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 1，那么 这个几何体的体积为( )
A．1
1 B.2
1 C.3
1 D.6
[答案] D
例 2 已知一个底面直径为 20 cm 的装有一部分水的圆柱 形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6 cm，高为 20 cm 的一个 圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从中取出后，则杯 里的水将下降(取π＝3.14)( )
(R 为下底面圆的半径，r 为上底面圆的半径，l 为圆台的 母线长)．
5．球的表面积公式：S 表面＝___4_π_R__2 _(R 为球的半径)．
[探究] 根据圆柱、圆锥、圆台之间的关系，你能发现三 者的表面积公式之间的关系吗？
2．棱柱的侧面展开图是由平__行__四__边__形__构成的平面图形；棱 锥的侧面展开图是由_三__角__形_____构成的平面图形；棱台的侧面 展开图是由___梯__形_____________构成的平面图形．
3．多面体的表面积，又称全面积，是多面体的底面积与侧 面积的和，也即多面体各个面的面积的和．
为底面面积，h 为柱体的高)．
1
2．锥体的体积公式：V 锥体＝___3_S_h___________________(S 为底3面．面台积体，的h体为积锥公体式的：高V)台．体＝_____13_(_S_′＋____S′__S_＋__S_)_h___(S′、
S 为上、下底面面积，h 为台体的高)． 4．球的体积公式：V 球＝_4_._43π __R__3 _(R 为球的半径)． [探究] 根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
[答案] B
2
► 题组二 求几何体的体积 【例题演练】
例 1 已知一个空间几何体的正视图、侧视图和俯视图均为 全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 1，那么 这个几何体的体积为( )
A．1
1 B.2
1 C.3
1 D.6
[答案] D
例 2 已知一个底面直径为 20 cm 的装有一部分水的圆柱 形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6 cm，高为 20 cm 的一个 圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从中取出后，则杯 里的水将下降(取π＝3.14)( )
空间几何体的表面积和体积
V
V大
V小
1 3
S(h
x)
1 3
S'x
A
B
h
D
S
1 [Sh (S S' )x]
3
S'
x2
S (h x)2
S' x x
S h x
B S'h
S S'
V1h[Sh(SS') 3
S' ]
S S'
1 [S
3
SS ' S ' ]h
C C
整理课件
23
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S， S′=0，则公式分别变形为什么？
圆台
底面是圆形
侧面展开图是 一个扇状环形
S上底 r2 S下底 r 2
S侧 (r r)l
S 表 (r2 r 2 rl rl )
整理课件
16
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
S r 2 rl r(r l)
S (r'2 r 2 r'l rl )
r O
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
整理课件
10
例1．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作 S，D BC 交BC于点D．
∵ BC a, SD SB2 BD2 a2 ( a )2 3 a
V球
4
3
R3
S球面 4 R2
整理课件
30
球的体积和表面积
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直 径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
空间几何体的表面积和体积 ppt课件
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
三:锥体体积
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
推论：Ｖ如果锥圆体＝锥的13Ｓ底面ｈ半径是ｒ，高是ｈ，
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换.
例8 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后， 得到一个正三棱锥，求它的体积是正方体体积的几分之 几？
球 表31概24567体性讲 练 小 作球球念球面例 课质积解 习 结 业的和的的积题 堂
球的概 念和性 质
一 球的概念
如图所示，半圆以它的直径
为旋转轴，旋转所成的曲面叫
A
做球面. 球面所围成的几何体叫
答：45
例3：一个正三棱台的上、下底面边长
分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱
台的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
r O
l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S表面积 S侧 2S底
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
1、表面积：几何体表面的面积 2、体积：几何体所占空间的大小。
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，
它们的侧面展开图还是平面图形，
计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积 之和
1.3 简单几何体的表面积和体积
斜高
作正三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出 斜高
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
三:锥体体积
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
推论：Ｖ如果锥圆体＝锥的13Ｓ底面ｈ半径是ｒ，高是ｈ，
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换.
例8 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后， 得到一个正三棱锥，求它的体积是正方体体积的几分之 几？
球 表31概24567体性讲 练 小 作球球念球面例 课质积解 习 结 业的和的的积题 堂
球的概 念和性 质
一 球的概念
如图所示，半圆以它的直径
为旋转轴，旋转所成的曲面叫
A
做球面. 球面所围成的几何体叫
答：45
例3：一个正三棱台的上、下底面边长
分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱
台的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
r O
l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S表面积 S侧 2S底
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
1、表面积：几何体表面的面积 2、体积：几何体所占空间的大小。
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，
它们的侧面展开图还是平面图形，
计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积 之和
1.3 简单几何体的表面积和体积
斜高
作正三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出 斜高
高考数学复习 第八章 第二节 空间几何体的表面积和体积课件 理
知识点二 知识空间几何体的体积
几何体名称
体积
棱(圆)柱
V＝Sh(S 为底面面积，h 为高)
棱(圆)锥
V＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)
棱(圆)台
V＝13h(S＋ SS′＋S′)(S′，S 为上、下 底面面积，h 为高)
球
V＝43πR3，(R 为球半径)
【名师助学】 1.本部分知识可以归纳为： (1)四个公式：①柱体：V 柱＝Sh，②锥体 V 锥＝13Sh，③台体 V 台 ＝13h(S＋ SS′＋S′)，④球体 V 球＝43πR3. (2)一个关系：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
[点评] (1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“ 展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将 问题转化为平面上的最值问题. (2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可 以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把 不在一个平面上的问题转化到一个平面上. 如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平 面上的问题. (3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地 画出侧面展开图，缺乏空间图形向平面图形的转化意识.
为与三视图及柱、题背景，突出空间 的体积. 算公式(不要
锥与球的接切问题几何体的线面位置 求记忆公式).
相结合，难度有所 关系的命题.在备考
增大.
中应予以重视.
知识点一 空间几何体的侧面积和表面积 1.简单几何体的侧面展开图的形状
名称 侧面展开图形状
侧面展开图
圆柱
矩形
名称 侧面展开图形状
侧面展开图
2 是一个底面边长为 3，高为 2 的正四棱柱. 球的体积为 V1＝43πR3＝43π(32)3＝92π， 正四棱柱的体积为 V2＝3×3×2＝18， 所以该几何体的体积为92π＋18，故选 B. 答案 B
空间几何体的表面积与体积ppt课件
尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,
米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5
尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为
1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 ( )
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
【答案】 B
如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,
A.26π
B.27π
C.24π
D.32π
【 答 案 】 B 【 解 析 】 设 球 的 直 径 为 d,则 d232323227. S球4πR2πd227π.
9.(2011新课标Ⅱ卷)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和
底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积
的 3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值 16
OC1 R 2 r12 R 2 5, OC2 R 2 r22 R 2 8,
R 2 5 R 2 8 1.解这个方程得R 2 9, S球 4πR 2 36π(cm2 ).
球的表面积是36πcm2.
13.(2015新课标Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的
数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五
1、我们是青年团，不是畸人，也不是愚人，应当给自己把幸福争过来。——屠格涅夫 19、使这个世界灿烂的不是阳光，而是女生的微笑。——俞敏洪
11、.教人法经：不问住题千教言学【 ，法树、解 经材不料析 住分千析】 斧法。、 合作圆 探究柱 法 侧 面 积 S 2 π r l 2 π 1 1 2 π .
D. 2
.3 3
高考数学一轮复习第8章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积课件文
【对点通关】
1．(必修 2 P27 例 4 改编)已知正四面体 A-BCD 的棱长为 12， 则其内切球的表面积为( )
A．12π
B．16π
C．20π
D．24π
解析：选 D．如图，作 BF⊥CD 于 F，AE⊥BF 于 E，
由 ABCD 为正四面体可知 AE⊥平面 BCD，设 O 为正四面体 ABCD 的内切球的球心，连接 OB．正四面体的棱长为 12， 则 OE 为内切球的半径，BF＝AF＝6 3，BE＝4 3， 所以 AE＝ 122－（4 3）2＝4 6．
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台 体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用 转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几 何体的直观图，然后根据条件求解．
令 f(a)＝3a4－a6(0<a< 3)，则 f′(a)＝12a3－6a5＝－6a3(a2－2)，
令 f′(a)＝0，解得 a＝ 2．
因为当 a∈(0， 2)时，f′(a)>0；当 a∈( 2， 3)时，f′(a)<0， 所以函数 f(a)在(0， 2)上单调递增，在( 2， 3)上单调递减． 所以 f(a)在 a＝ 2处取得极大值 f( 2)＝4． 因为函数 f(a)在区间(0， 3)上有唯一的极值，所以 f( 2)＝4 也是最大值．故三棱柱体积的最大值为 24＝1．
第八章 立体几何
第 2 讲 空间几何体的表面积与体积
1．圆柱、圆锥、圆台的面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展 开图
侧面积 公式
2020版高考数学第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积课件
1 法二(估值法)： 由题意， 知2V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又 V 圆柱＝π×32× 10 ＝90π，所以 45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有 63π 符合．
【答案】
(1)C
(2)B
角度二
求组合体的体积
(2019· 福州市质量检测)如图，网格纸上小正方形的边 长为 1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积 为( )
【解析】
)
B．18 3 D．54 3
(1)设圆柱的底面半径为 r，则 r ＝1
2 2
12 3 －2 ＝4，所
3 3π 以，圆柱的体积 V＝4π×1＝ 4 ，故选 B.
1 2 (2)设等边三角形 ABC 的边长为 x，则2x sin 60°＝9 3，得 x 6 ＝6.设△ABC 的外接圆半径为 r， 则 2r＝ ， 解得 r＝2 3， sin 60° 所以球心到△ABC 所在平面的距离 d＝ 42－（2 3）2＝2，则 点 D 到平面 ABC 的最大距离 d1＝d＋4＝6， 所以三棱锥 DABC 1 1 体积的最大值 Vmax＝3S△ABC×6＝3×9 3×6＝18 3.
(2017· 高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为 3，2，1， 其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为________．
解析：依题意得，长方体的体对角线长为 32＋22＋12＝ 14， 14 记长方体的外接球的半径为 R，则有 2R＝ 14，R＝ 2 ，因此 球 O 的表面积等于 4πR2＝14π. 答案：14π
【答案】
A
求空间几何体的体积的常用方法
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)
A．16 C．12
高考数学空间几何体及其表面积、体积ppt课件
21
2．(多选)下列命题，正确的有( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
√B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 √C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直
四棱柱
√D．存在每个面都是直角三角形的四面体
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第八章 立体几何与空间向量
22
解析：A 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行 四边形，但不一定全等；B 正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂 直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；C 正 确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D 正确， 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的三棱锥 C1ABC，四个面都是直角三角形．
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第八章 立体几何与空间向量
32
平面图形与其直观图的关系
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于 x 轴的线段平行性不
变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关
系：S
＝ 直观图
2 4S
原图形．
第八章 立体几何与空间向量
11
3．正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为 a，球的半径为 R， (1)若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； (2)若球为正方体的内切球，则 2R＝a； (3)若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
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第八章 立体几何与空间向量
12
常见误区 1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析 图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的 截面图．
高考数学第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积课件
答案：40 2π
(3)(2018 年新课标Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为
O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A.12 2π
B.12π
C.8 2π
D.10π
解析：设底面半径为 r，高为 h，过直线 O1O2 的平面截该 圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则 2r＝h＝2 2，底面
解析：长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O
的球面上，长方体的体对角线是球 O 的直径，即 32＋22＋12＝
14＝2r，r＝
214.则球
O
的表面积为
4πr2＝4π
2142＝14π.
答案：14π
(2)(2018 年新课标Ⅱ)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所
成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为 45°，若△SAB 的面
cm3)的最大值为________.
图 8-2-4
解析：如图 D67，设正三角形的边长为 x，则 OG＝13× 23x
＝
3 6 x.
图 D67
∴SG＝DG＝5－ 63x，SO＝h＝ SG2－OG2＝
5－
63x2－
63x2＝
55－
3
3
x.
∴三棱锥的体积 V＝13S△ABC·h＝13× 43x2×
解析：三视图表示的几何体如图 D70，则该几何体的表面 积为 4＋3 3 .
答案：B
图 D70
2× 22＝13.
图 D66
答案：1 3
(3)(2018 年新课标Ⅱ)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互 相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30°，若△SAB 的面积为 8， 则该圆锥的体积为________.
空间几何体的表面积和体积教学ppt课件
2. 求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公
式v=3 Sh进行计算即可.常用方法为：割补法和等体 积变换法：
(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分 割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积， 从而得出几何体的体积.
(2)等体积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥 的底面. ① 求体积时，可选择容易计算的方式来计算； ② 利用“等积性”可求"点到面的距离".
5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积 是
正视图
侧视图
俯视图
解析： 此几何体为一圆锥与圆柱的组合体. 圆柱底面半径为r=a, 高为h₁=2a, 圆锥底面半径为r=a, 高为h₂=a . 故组合体体积为V=πr²h₁+
答案：
慎
KAODIAN
TUPO
JIEJIE
GAO
考点一
多面体的表面积
则三棱锥D-ABC 的体积为
()
A.
B.
C. a3
D.
解析：设正方形ABCD的对角线AC、BD 相交于点E, 沿AC折起后依题意得，当
BD=a 时，BE⊥DE, 所以DE⊥平面ABC, 于是三棱锥D-ABC 的高为DE=
a, 所以三棱锥D-ABC 的体积
答案： D
4.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球 的表面积为 解析： 正方体的体对角线为球的直径. 答案： 27π
2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应 的底面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴 截面，将空间问题转化为平面问题.
例 3 如图所示，半径为R的半圆 内 的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，
旋转一周得到一几何体，求该几何