2018湖南郴州市中考数学试卷及答案解析

2018年湖南省郴州市初中毕业、升学考试数学学科（满分130分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． 1．（2018湖南郴州，1，3） 下列实数:3、0、12、2-、0.35，其中最小的实数是（ ） A ．3 B.0 C. 2- D. 0.35【答案】C 2．（2018湖南郴州，2，3）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫.请用科学记数法表示125000为（ ） A ．51.2510⨯ B.60.12510⨯ C.41.2510⨯ D.41.2510⨯ 【答案】A 3．（2018湖南郴州，3，3）下列运算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B.221aa -=-C. 33233-=D. ()()2224a a a +-=+ 【答案】C4．（2018湖南郴州，4，3）如图，直线a 、b 被直线c 所截，下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ） A ．∠2=∠4 B. ∠1+∠4=180° C. ∠5=∠4 D. ∠1=∠3【答案】D 5．（2018湖南郴州，5，3）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（ ）【答案】B6．（2018湖南郴州，6，3）甲、乙两超市在1月至8月期间的赢利情况统计图如图所示，下列结论不正确的是（）A.甲超市的利润逐月减少 B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C.8月份两家超市利润相同D.乙超市在9月份的利润必超过甲超市【答案】D7．（2018湖南郴州，7，3）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于点C，D两点，分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P，以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A.6B.2C.3D.33【答案】D【解析】由题意得OP是∠AOB的平分线，过点M作ME⊥OB于E，又∵∠AOB=60°，∴∠MOB=30°，在Rt△MOE中，OM=6，∴EM=12OM=3，故选C．8．（2018湖南郴州，8，3）如图，A，B是反比例函数4yx在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，∵A ，B 是反比例函数4y x=在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴A ，B 两点的坐标分别为（2,2），（4，1），∴AC=2,BD=1,DC=2, ∴112232ACBDS 梯形，观察图形，可以发现：AOBBODAOCACBD SSSS 梯形，而BOD AOCSS，∴3AOBACBDSS 梯形.二、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 9．（2018湖南郴州，9，3） 计算：(23 .【答案】310．（2018湖南郴州，10，3）因式分解：3222a a b ab -+= . 【答案】()2a ab -11．（2018湖南郴州，11，3） 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是 . 【答案】720° 12．（2018湖南郴州，12，3）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是 . 【答案】813．（2018湖南郴州，13，3）已知关于x 的一元二次方程260x kx +-=有一个根为-3，则方程的另一个根为 . 【答案】2抽取瓷砖数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 合格品数m96 282 382 570 949 1906 2850合格品频率m n0.960 0.940 0.955 0.950 0.949 0.953 0.950则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是 .（精确到0.01） 【答案】0.95 15．（2018湖南郴州，15，3）如图，圆锥的母线长为10cm ，高为8cm ，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 cm .（结果用π表示）【答案】12π 16．（2018湖南郴州，16，3） 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，且∠AOC=60°，A 点的坐标是（0，4），则直线AC 的表达式是 .【答案】34y x =+ 【解析】延长BC 交x 轴于点D ，∵A 点的坐标是（0，4），∴OA=4，∵四边形OABC 是菱形，且∠AOC=60°，∴OA ∥BC ，OA=OC=4, ∠DOC=30°，∴∠AOD+∠ODB=180°，∴∠ODB=90°，∴BD ⊥x 轴，在Rt △ACD 中，sin 30CDCO︒=，cos30ODCO︒=，∴CD=2，3，∴C 点的坐标为（32）. ∵A 点的坐标是（0，4），∴可设直线AC 的表达式为4y kx =+，将C 点坐标代入，可得：2234k =+，解得：33k =-，∴设直线AC 的表达式为343y x =-+. 三、解答题（本大题共10小题，满分82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2018湖南郴州，17，6）计算：()20181122sin 4521--︒+--解：()20181122sin 4521--︒+--=2113212121212222-⨯+-=-=-18．（2018湖南郴州，18，6）解不等式组：()32214232x x x x +>-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来.解：解不等式①，得：4x >-； 解不等式②，得：0x ≤，将这两个不等式的解集分别表示在数轴上：∴不等式组的解集为：40x -<≤19．（2018湖南郴州，19，6） 如图，在□ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF ，垂足为O ，分别交AD 、BC 于E 、F ，连接BE 、DF.求证：四边形BFDE 是菱形.证明：∵BD 垂直平分EF ，∴EO=FO ，∠EOD=∠FOB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EDO=∠FBO ，∴△EOD ≌△FOB ，∴OB=OD ，∵EO=FO ，EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形. 20．（2018湖南郴州，20，8）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校举办“创文知识”抢答赛，欲购买A 、B 两种奖品以奖励抢答者.如果购买A 种20件，B 种15件，共需380元；如果购买A 种15件，B 种10件，共需280元. （1）A 、B 两种奖品每件各是多少元？（2）现要购买A 、B 两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A 种奖品最多购买多少件？ 解：（1）设A 、B 两种奖品每件各是x 、y 元，依题意，得：20153801510280x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：164x y =⎧⎨=⎩. 答：A 、B 两种奖品每件各是16、4元.（2）设A 种奖品最多购买a 件，B 种奖品购买()100a -件，依题意，得：()164100900a a +-≤，解得：1253a ≤. 答：A 种奖品最多购买41件. 21．（2018湖南郴州，21，8） 小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行高度AD ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B 、C 的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D ，B ，C 在同一水平线上，已知桥BC=30米，求无人机飞行高度AD.（精确到0.012 1.414≈3 1.732≈）解：由题意，易得：A E∥CD，∴∠EAC=∠ACD=30°，∠EAB=∠ABD=60°，设AD=x，在Rt△ACD中，tan30AD CD︒=，CD=3x；在Rt△ABD中，tan60AD BD︒=，BD=33x；∵CD-BD=BC，BC=30米，∴33303x x-=，15325.98x=≈（米）.答：无人机飞行高度AD约为25.98米.22．（2018湖南郴州，22，8）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°. （1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若A E⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长.解：（1）∵∠AEC=30°，∴∠B=∠AEC=30°，∵AB=AD，∴∠B=∠D=30°，连结OA，∴OA=OB，∴∠B=∠BAO=30°，∴∠AOD=60°，∴∠OAD=180°-30°-60°=90°，∴OA⊥A D，∴直线AD是⊙O的切线；（2）∵∠AOC=60°，OA=OB，∴△OAC是等边三角形，∵⊙O的半径为4，A E⊥BC，∴sinAMAOCOA∠=，23AM=∴AE=243AM=23．（2018湖南郴州，23，8）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血.献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型，在献血者人群中随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：血型 A B AB O 人数105（1） 这次随机抽取的献血者人数为 人，m = ； （2） 补全上表中的数据；（3） 若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A 型血？解：（1）由统计图表知：AB 型人数有5人，其所占百分比为10%，故总人数为：5÷10%=50（人）；∵B 型血有10人，∴10÷50=20%；（2）∵O 型血人数为：50×46%=23（人），∴A 型血人数有：50-10-5-23=12（人）； （3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A 型的概率是：14； ∵A 型血所占的百分比为：12÷50=24%，∴3000人中A 型血大约有：3000×24%=720（人）. 24．（2018湖南郴州，24，8） 参照学习函数的过程与方法，探究函数20x yx x的图象与性质.因为221x yx x，即21y x，所以我们对比函数2y x来探究. 列表： x…-4-3-2-112-121234…2y x =-…12 23 1 2 4-4-2 -1-2312-…2x y x-=…32532 3 5 -3 -1 013 12…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以2x yx相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示.（1）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来： （2）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当0x 时，y 随x 的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ②2x yx 的图象是由2y x的图象向 平移 个单位而得到；③图象关于点 中心对称.（填点的坐标） （3）设A 11,x y ，B 22,x y 是函数2x yx的图象上的两点，且12x x =0，试求123y y 的值.解：（1）连点成线，画出函数图象，描点如下图所示： （2）①当0x 时，y 随x 的增大而增大 ；（填“”或“减小”）； ②2x yx 的图象是由2y x的图象向上平移1个单位而得到； ③图象关于点（1，0）中心对称.（3）方法1：观察表格，当1x 、2x 分别取互为相反数的一组数时，其函数值相加的和总为2，即122y y ，∴123y y =2+3=5.方法2：∵()1212121212222221122x x y y x x x x x x +⎛⎫+=-+-=-+=- ⎪⋅⎝⎭，12x x =0，∴12y y =2，∴123y y =2+3=5.25．（2018湖南郴州，25，10） 如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，与x 轴的交点为D ，在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ，①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标.解：（1）∵2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0），∴01093b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为：223y x x =-++； （2）∵抛物线的表达式为：223y x x =-++，∴抛物线的对称轴为12bx a=-=，C 点的坐标为（0，3），∴D 点的坐标为（1，0），∵点P 的横坐标为t ，且点P 在抛物线223y x x =-++上，∴P 点的坐标为（t ，223t t -++），设M 点的坐标为（1，a ），分两种情况讨论：①M 点在x 轴的上方，当四边形CDPM 是平行四边形，且C 、P 和D 、M 分别是一组相对的顶点时，设平行四边形的对角线的交点为N ，根据平行四边形对角线互相平分，则N 点的坐标可表示为（02t +，23232t t -++）或（1，02a +），∴02t +=1，23232t t -++=02a +，解得：t =2，a =6, ∴M 点的坐标为（1，6）；②M 点在x 轴的下方，当四边形CDMP 是平行四边形，且C 、M 和D 、P 分别是一组相对的顶点时，设平行四边形的对角线的交点为N ′，根据平行四边形对角线互相平分，则N ′点的坐标可表示为（12，32a +）或（12t +，2232t t -++），∴12=12t +，32a +=2232t t -++，解得：t =0，a =0, ∴M 点的坐标为（1，0），此时M 点和D 点重合，且P 点不在第一象限，C 、D 、M 、P 四点不能形成平行四边形，故不存在； 综上，点M 的坐标为（1，6）；（3）①∵B （3，0），C （0，3），∴OB=3，OC=3，设P 点的坐标为（t ，223t t -++），过点P 分别作PE ⊥x 轴，PF ⊥y 轴，垂足分别为E 、F ，∴PE=223t t -++，PF=t ，连结OP ，则：POC POB BOC S S S S ∆∆∆=+-()2111332333222t t t =⨯⋅+⨯⋅-++-⨯⨯ ()2132332t t t =⨯⋅-++- ()223393222t t t t =-+=-+ ∴S 关于t 的函数表达式为S=23922t t -+；②∵B （3，0），C （0，3），∴OB=3，OC=3，∴BC=32，设P 点到直线BC 的距离为h ，则△PBC 的面积S=1323222h h ， ∵S=23922t t -+，∴322h =23922t t -+， 2232ht t 2229923923244228t t t ⎛⎫⎛⎫=--+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当t =32时，h 有最大值为928，此时P 点的坐标为（32，154）.26．（2018湖南郴州，26，12）在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，点P 是CD 边上的任意一点（不含C ，D 两端点），过点P 作PF ∥BC ，交对角线BD 于点F.（1）如图1，将△PDE 沿对角线BD 翻折得到△QDF ，QF 交AD 于点E.求证：△DEF 是等腰三角形； （2）如图2，将△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P ′DF ′，连接P ′C ，F ′B ，设旋转角为0180.①若0∠BDC ，即DF ′在∠BDC 内部时，求证：△DP ′C ～△DF ′B ；②如图3,若点P 是CD 的中点，△DF ′B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan ∠DBF ′的值，如果不能，请说明理由.解：（1）证明：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∵PF ∥BC ，∴PF ∥AD ，∴∠ADB=∠DFP ，∵将△PDE 沿对角线BD 翻折得到△QDF ，∴∠DFE=∠DFP ，∴∠ADB=∠DFE ，∴DE=EF ，∴△DEF 是等腰三角形； （2）①∵PF ∥BC ，∴DPDFDC DB，∵△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P ′DF ′，∴∠BDF ′=∠CDP ′，DP ′=DP ，DF=DF ′，∴DP DF DC DB′′，∴△DP ′C ～△DF ′B ；②由①知，△DP′C～△DF′B，∴∠DBF′=∠DCP′，∵点P是CD的中点，∴DP=12 DC，∵△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P′DF′，∴∠BDF′=∠CDP′，DP′=DP，∠DF′B=∠DP′C，当∠DF′B=90°时，有∠DP′C =90°，∴DP=DP′=12DC，∴∠P′CD =30°，故tan∠DBF′=tan∠DCP′=tan30°=3当∠B DF′=90°时，有∠C DP′=90°，∴DP=DP′=12DC，故tan∠DBF′=tan∠DCP′=12.第11 页共11 页。