相似三角形-构造相似辅助线双垂直模型

构造相似辅助线（1）——双垂直模型

6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx 的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．

7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．

9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y 轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D 点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）

A. B.

C. D.

10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。

6.答案：解：分两种情况

第一种情况，图象经过第一、三象限

过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴

∵A（2，1），＝45°∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB

∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1

∴D点坐标为（2，3）∴B点坐标为（1，3）

∴此时正比例函数表达式为：y＝3x

第二种情况，图象经过第二、四象限

过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC 则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴

∵A（2，1），＝45°∴OC＝1，AC＝2，AO＝AB ∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝2

∴D点坐标为（3，1）∴B点坐标为（3，﹣1）

∴此时正比例函数表达式为：y＝x

7.答案：解：情形一：

情形二：

情形三：

8.答案：

证明：方法一：

连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC

根据折叠可知MN⊥CP ∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90°∴∠2=∠CNM ∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN

∴MC：CN=PD：DC ∵PD=DA ∴MC：CN=DA：DC

∵PD//BC ∴DA：DC=PA：PB ∴MC：CN=PA：PB

方法二：

如图，

过M作MD⊥AB于D，过N作NE⊥AB于E

由双垂直模型，可以推知△PMD∽NPE，则，

根据等比性质可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，∴MC：CN=PA：PB

9.答案：A

解题思路：如图

过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M，交x轴于点N，则∠M=∠DNA=90°，由于折叠，可以得到△ABC≌△ADC，又由B（1，3）∴BC=DC=1，AB=AD=MN=3，∠CDA=∠B=90°∴∠1+∠2=90°

∵∠DNA=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3

∴△DMC∽△AND，∴

设CM=x，则DN=3x，AN=1＋x，DM＝

∴3x＋＝3 ∴x＝∴，则。

答案为A

10.答案：

解：

过点C作x轴的平行线交y轴于G，过点D作y轴的平行线交x轴于F，交GC的延长线于E。

∵直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点

∴A（1,0），B（0,2）∴OA=1，OB=2，AB=

∵AB：BC=1:2 ∴BC=AD=

∵∠ABO+∠CBG=90°，∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBG=∠BAO

又∵∠CGB=∠BOA=90°∴△OAB∽△GBC ∴

∴GB=2，GC=4 ∴GO=4 ∴C（4,4）

同理可得△ADF∽△BAO，得

∴DF=2，AF=4∴OF=5∴D（5,2）