复数(学生版)
复数及其运算-讲义(学生版)
复数及其运算一、课堂目标1．熟练掌握复数的相关概念及其几何意义并能熟练运用在解题中．2．熟练掌握复数代数形式的四则运算并会运用在解题中．3．掌握实系数一元二次方程两根的关系并会应用在解题中．4．理解复数的三角形式并能进行相关运算．二、知识讲解1. 复数的概念知识精讲（1）复数的概念形如的数叫复数.其中叫做虚数单位.（）规定：①复数中，把称为实部，称为虚部.②全体复数所形成的集合叫做复数集.一般用字母表示.即.③复数通常可以用字母表示，记作，这一表示形式称为复数的代数形式.（2）复数的分类已知复数①当时，则，为实数；特别地，当，且时，为实数.②当时，为虚数；特别地，当，且时，为纯虚数.（3）复数的相等规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.若..知识点睛（1）复数的分类归纳：（2）且（3）一般地，两个复数只能判断是否相等，不能比较大小（只有两复数均为实数时才比较大小）复数实数虚数纯虚数非纯虚数经典例题1.的实部是，虚部是．A.B.或C.D.2.复数与复数相等，则实数的值为（）巩固练习3.已知，则，．经典例题（1）（2）（3）4.已知复数，当实数为何值时，为实数．为虚数．为纯虚数．A.或B.或C.D.5.若复数，则实数的值是（）巩固练习6.设（），当时，为实数；当时，为纯虚数．2. 复数的几何意义知识精讲（1）几何意义（一）——复平面内容：复数复平面内的点对几何意义（一）的解释，如下图：一方面，根据复数相等的定义，复数被它的实部与虚部唯一确定，即复数被有序实数对唯一确定；另一方面，有序实数对在平面直角坐标系中对应着唯一的点.因此，可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即：复数复平面内的点.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．（2）共轭复数①概念：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复数的共轭复数记为，因此，当时，有.②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.知识点睛要注意的地方：（1）“虚轴上的点都表示纯虚数”这种说法是错误的，原点必须除外；（2）复平面内各象限内的点均表示虚数；（3）复平面内点的坐标是，而不是.经典例题A. B.C. D.7.已知复数，则复平面内对应的点的坐标为（）．A. B.C.D.8.已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）．巩固练习A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.复数，则在复平面内对应的点所在象限为（ ）．A. B.C.D.10.在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）．经典例题A.B.C.D.11.若复数的共轭复数是（）．A. B.C.D.12.在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数（ ）．巩固练习A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限13.设，则在复平面内对应的点位于（ ）．经典例题14.满足下列条件的复数对应的点的集合分别是什么图形？．巩固练习15.满足下列条件的复数对应的点的集合分别是什么图形？．知识精讲（2）几何意义（二）——复数的向量表示内容：复数平面向量对几何意义（二）的解释，如下图：因为平面直角坐标系中的点能唯一确定一个以原点为始点、为终点的向量，所以复数也可用向量来表示，这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中，以为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即：复数平面向量.知识精讲（3）复数的模一般地，向量的长度称为复数的模（或绝对值），复数的模长用表示，因此.特别地：①当时，②一般地，两个互为共轭复数的模相等，即经典例题A.B. C. D.16.已知为虚数单位，则（）．巩固练习A. B. C. D.17.设为虚数单位，则复数的模（）．经典例题18.若复数满足，则的最大值是．巩固练习19.设复数满足条件，那么的最大值是．3. 复数的运算——加减法知识精讲（1）复数的加法运算法则设，是任意两个复数，则有：．（2）复数的减法运算法则①复数的相反数：一般地复数记作，并规定②设，是任意两个复数，则有：知识点睛（1）加法的运算规律：交换律：结合律：（2）关于复数的模的结论经典例题20.若（，是虚数单位），则的值为．21.设为虚数单位，复数，，则．巩固练习22.复数，其中是虚数单位，则复数的虚部是．23.已知复数，满足：，则的值为．4. 复数的运算——乘除法知识精讲复数的乘法运算法则①乘法运算法则：设，是任意两个复数，则有：②的次方：个相同的复数相乘时，称为的次方（或的次幂），并记作.知识点睛（1）复数的乘法运算律对于任意的，有==（2）复数的乘方运算律即对于任何复数及正整数、，有、、经典例题24.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为．25.若，，其中为虚数单位，且，则．巩固练习26.设复数满足行，且是纯虚数，则．经典例题A. B.C.D.27.复数等于（）．巩固练习28.复数．知识精讲复数的除法运算法则①除法运算法则：设，是任意两个复数②复数的倒数：一般地，给定复数，称为的倒数.除以的商也可以看成与的倒数之积.知识点睛同实数类似，可以定义非零复数的次幂与负整数次幂，即当为非零复数且是正整数时，规定：经典例题A. B.C. D.29.若(其中为虚数单位)，则复数的虚部是（）．30.已知复数（为虚数单位），则．巩固练习31.设复数满足（是虚数单位），则复数的虚部为．5. 实数系一元二次方程在复数范围内的解集知识精讲设一元二次方程为.当时，方程有两个不相等的实数根当时，方程有两个相等的实数根引入复数后，当时，方程有两个不相等的虚数根可以发现这两个虚数根是一对共轭复数.、、且知识点睛一元二次方程的两个共轭虚数根同样满足一元二次方程中根与系数的关系，即引入复数后，在复数集中，实系数的二次三项式总可以分解成两个一次因式的乘积，即经典例题A. B.C. D.32.若关于的实系数一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程可以是（ ）．巩固练习33.若是实系数一元二次方程的一个根，则．6.复数三角形式知识精讲（1）复数的三角形式复数可表示为，称为复数的三角形式．是复数的模．是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，称作复数的辐角.显然，任何一个非零复数的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差的整数倍，并且在范围内的辐角的值称为复数的辐角主值，记作．经典例题A.B.C.D.34.已知，则复数的三角形式为（）．巩固练习（1）（2）（3）35.将下列复数表示为三角形式：知识精讲（2）复数乘法运算的三角表示及其几何意义①乘法运算的三角表示设，，．即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．②几何意义两个复数相乘时，如下图，先分别画出对应的向量，然后把向量绕点按逆时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义.知识点睛（1）复数乘法的几何意义可归纳为：模相乘，辐角相加（2）根据上述两个复数三角形式的乘法几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘，特别的，如果，则知识精讲（3）复数除法运算的三角表示及其几何意义①除法运算的三角表示设，，．即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．②几何意义与乘法类似，还能得到两个复数相除的几何意义，例如，任意一个复数除以，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转.经典例题36.设，，则．巩固练习37.计算．11三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、出门测A.B. C. D.38.在复平面内，若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）．A.的虚部为B.的共轭复数为C.D.在复平面内对应的点在第三象限内39.已知复数，则下列说法正确的是（ ）．40.已知复满足（其中为虚数单位），则 ．。
小学六年级复数知识点总结
小学六年级复数知识点总结复数是英语语法中的一个重要概念，指的是表示多个人、事物或概念的形式。
在小学六年级的英语学习中，掌握复数的用法对于学生来说非常重要。
本文将总结小学六年级学生需要掌握的复数知识点，并提供相应的例子和练习，帮助学生巩固所学内容。
一、名词的复数形式1. 一般情况下，在英语中，我们需要在名词的末尾加上-s来表示复数形式。
例子：- One cat. → Two cats.- A book. → Some books.2. 以-s, -ss, -sh, -ch, -x结尾的名词，复数形式需要在末尾加-es。
例子：- One class. → Two classes.- A brush. → Some brushes.3. 以-o结尾的名词，复数形式通常需要在末尾加-es。
例子：- One tomato. → Two tomatoes.- A hero. → Some heroes.4. 以音标为[f]和[s]结尾的名词，复数形式需要在末尾加-es。
例子：- One leaf. → Two leaves.- A bu s. → Some buses.5. 以辅音字母+y结尾的名词，复数形式需要将-y改为-ies。
例子：- One baby. → Two babies.- A strawberry. → Some strawberries.6. 一些名词的复数形式是特殊的，不能根据上述规则来变化，需要特殊记忆，例如：- One man. → Two men.- A woman. → Some women.- A child. → Some children.二、不可数名词除了可数名词外，英语中还存在一类不可数名词，即不能用来计数的名词。
这些名词没有复数形式，通常用来表示一种物质、抽象概念或集合。
例子：- Water- Milk- Sugar- Happiness三、数量词+复数名词当我们用数量词来修饰名词时，需要特别注意名词的复数形式。
高二数学复数的四则运算(学生版)
学科教师辅导讲义R - D {}0取什么值时，复平面内表示复数815)z m -+）位于第一、二象限？2007i +那么10050z z +例12、证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i-+--+=+（i 为虚数单位）无解．【课堂总结】1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.2．记住一些常用的结果，如ω,i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.【课后练习】一、选择题1．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 （ ） A 、-6 B 、13 C.32 D.13 2．定义运算bc ad d c ba -=,,，则符合条件01121=+-+i i iz ，，的复数_z 对应的点在（ ） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限；3．若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（ ）A.－4；B.4；C.－1；D.1；4．复数i i ⋅--2123=（ ）A ．－IB ．IC ． 22－iD ．－22+i6．若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或z为纯虚数，则实数2D．0的实部和虚部相等，则实数（3(0,]3）∪（0，。
01牛津版英语-三年级-M1 名词复数-学生版
辅导教案学员姓名：学科教师：年级：三年级辅导科目：英语授课日期××年××月××日时间 A / B / C / D / E / F段主题M1+名词复数教学内容1.巩固M1课文重点知识点;2.掌握名词复数变换方法。
Warming up——填词游戏What’s my f avourite fruit?M1U1Vocabulary after afternoon and boy cake color cut dad draw eveningfine girl have morning Miss Mr. Mrs. New night stick table thistoday too wellExpression Hello! Good evening! I’m fine!Good morning! Good night! Fine, thanks.Good afternoon! How are you?Grammar1. 人称代词单数复数我你他她它我们你们他们I you he she it we you theyI am you are he is she is it is we are you are they areI’m You’re He’s She’s It’s we’re you’re they’re2. have/ has1. 表示：某人或某物“拥有”什么东西，强调“所属关系”，而且某人某物作为句子的主语。
2. have用在人称I，we，you，they和复数的人或物后面。
has用在人称he, she, it和单数和人或物后面。
例句：I have a son.He has a lucky dog.Vocabularybird birthday blow eight five four guess here nine no only one party seven six ten three two yummyExpression How old are you? Happy Birthday! Here you are!Grammar—基数词1 2 3 4 5 6 7 8 9 10One two three four five six seven eight nine ten11 12 13 14 15 16 17 18 19eleven twelve thirteen fourteen fifteen sixteen seventeen eighteen nineteen11-19 除了eleven, twelve, thirteen, fifteen, eighteen为特殊形式外，fourteen, sixteen, seventeen, nineteen都是由其个位数形式后添加后缀-teen构成。
专题02 复数(学生卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)
专题02复数考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1求复数的实部与虚部（10年4考）2020·全国卷、2020·江苏卷、2018·江苏卷、2016·天津卷、2016·江苏卷、2016·全国卷、2015·重庆卷、2015·北京卷1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。
考点2复数相等（10年7考）2023·全国甲卷、2022·浙江卷、2022·全国乙卷、2022·全国乙卷、2021·全国乙卷、2017·浙江卷、2016·天津卷、2015·全国卷、2015·全国卷、2015·上海卷考点3复数的分类（10年2考）2017·全国卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2015·天津卷考点4共轭复数（10年10考）2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2023·北京卷、2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷、2021·新Ⅰ卷全国考点5复数的模（10年9考）2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2022·全国甲卷、2022·北京卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2019·天津卷、2019·浙江卷考点6复数的几何意义（10年8考）2023·全国新Ⅱ卷、2023·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷、2019·全国卷、2019·全国卷、2018·北京卷、2017·全国卷、2017·北京卷、2016·全国卷考点01求复数的实部与虚部1．（2020·全国·高考真题）复数113i-的虚部是（）A ．310-B ．110-C ．110D ．3102．（2020·江苏·高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是.3．（2018·江苏·高考真题）若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为．4．（2016·天津·高考真题）i 是虚数单位，复数z 满足(1)2i z +=，则z 的实部为.5．（2016·江苏·高考真题）复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是.6．（2016·全国·高考真题）设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =A ．−3B ．−2C ．2D ．37．（2015·重庆·高考真题）复数()12i i +的实部为.8．（2015·北京·高考真题）复数()1i i +的实部为．考点02复数相等1．（2023·全国甲卷·高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （）A ．-1B ．0·C ．1D ．22．（2022·浙江·高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（）A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==3．（2022·全国乙卷·高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-5．（2021·全国乙卷·高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（）A ．12i-B ．12i+C ．1i+D ．1i-6．（2017·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b +=，ab =．7．（2016·天津·高考真题）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若（1+i ）（1-bi ）=a ，则ab的值为.8．（2015·全国·高考真题）若a 为实数,且2i3i 1ia +=++,则=a A ．4-B ．3-C ．3D ．49．（2015·全国·高考真题）若a 为实数且()()2i 2i 4i a a +-=-，则=a A ．1-B ．0C ．1D ．210．（2015·上海·高考真题）若复数满足，其中是虚数单位，则.考点03复数的分类1．（2017·全国·高考真题）下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i)2．（2017·全国·高考真题）设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则R z ∈；2p ：若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈；3p ：若复数12,z z 满足12R z z ∈，则12z z =；4p ：若复数z R ∈，则R z ∈.其中的真命题为A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 3．（2017·天津·高考真题）已知a R ∈，i 为虚数单位，若2a ii-+为实数，则a 的值为．4．（2015·天津·高考真题）i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为.考点04共轭复数1．（2024·全国甲卷·高考真题）设z，则z z ⋅=（）A ．2-B C ．D ．22．（2024·全国甲卷·高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．23．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1-D ．1-4．（2023·全国乙卷·高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（）A ．12i-B ．12i+C ．2i-D ．2i +5．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（）A ．i-B ．iC ．0D ．16．（2022·全国甲卷·高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．7．（2022·全国甲卷·高考真题）若1z =-，则1zzz =-（）A ．1-B ．1-C ．1i33-+D ．1i33--8．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（2021·全国乙卷·高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（）A ．12i-B ．12i+C ．1i+D ．1i -10．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i-B ．42i-C ．62i+D ．42i+考点05复数的模1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C D ．22．（2023·全国乙卷·高考真题）232i 2i ++=（）A ．1B ．2CD ．53．（2022·全国甲卷·高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．4．（2022·北京·高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．255．（2020·全国·高考真题）若312i i z =++，则||=z （）A ．0B ．1CD ．26．（2020·全国·高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1C D ．27．（2020·全国·高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +，则12||z z -=.8．（2019·全国·高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2BC D ．19．（2019·天津·高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为.10．（2019·浙江·高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =.考点06复数的几何意义1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1-D ．1-3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）．A ．12i+B ．2i-+C ．12i-D ．2i--5．（2019·全国·高考真题）设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2019·全国·高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=7．（2018·北京·高考真题）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．（2017·全国·高考真题）复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．（2017·北京·高考真题）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ．（–∞，1）B ．（–∞，–1）C ．（1，+∞）D ．（–1，+∞）10．（2016·全国·高考真题）已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．(31)-，B ．(13)-，C ．(1,)+∞D ．(3)-∞-，。
复数的几何意义学生版
1 / 13.1.3 复数的几何意义一、基础过关1．复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四2．当0<m<1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i4．已知复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( ) A ．实轴 B ．虚轴 C ．原点 D ．原点和虚轴5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________________．二、能力提升7．若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8．复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( ) A ．虚轴 B ．虚轴除去原点C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D ．C 中线段PQ ，但应除去原点9．复数z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第______象限． 10．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________．11．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z|＝______.12．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．13．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z.三、探究与拓展14．(1)满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆 (2)已知复数(x －2)＋yi(x ，y ∈R )的模为3，求y x的最大值．。
复数学生
复数1.复数的引入：2.数的演变过程：3.虚数单位:4.复数与复数的实部与虚部：5.复数的分类：6.复数的相等：7.复数之间的关系：8.复数的几何意义：9.复平面、实轴、虚轴10.复数的模：11.共轭复数例题：例1.1(1)m m m i ++-实数取什么值时复数z=是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式1：若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a = .变式2：使复数为实数的充分而不必要条件是 ( )A ．z z -=B ．z z = C ．2z 为实数 D ．z z -+为实数 变式3：若有,,R R X +-分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合}{2m m X ∈=( ).A ．R +B ．R -C ．R R +-D ．{}0R +例2. 实数m 取什么值时，复平面内表示复数22(815)(514)z m m m m i =-++--的点 （1）位于第四象限？ （2）位于第一、二象限？（3）位于直线上变式1：复数ｚ＝（ａ2－2ａ）＋（ａ2－ａ－2）ｉ对应的点在虚轴上，则（C ）A.ａ≠2或ａ≠1B.ａ≠2且ａ≠1C.ａ＝2或ａ＝0D.ａ＝0变式2：已知复数12z i =+，21z i =-，则在12z z z =⋅复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 变式3：如果35a <<,复数22(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的对应点z 在第三象限.例3.求下列复数的模及其共轭复数()1134z i =+ ()1222- 变式1：设z C ∈，满足下列条件的点z 的集合是什么图形？ ()12z= ()223z ≤≤ ()3z 的实部和虚部相等 变式2：已知()2,x yi x y R +=∈，求()1x y +的取值范围；()()()22222x y -+-的取值范围变式3：已知z 1=x 2+12+x i ，z 2=(x 2+a )i 对于任意x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围例4.求适合下列方程的x 和(),y x y R ∈的值（1）()()26x y i x x y i +-=+-（2）()()+120x y x y i +--+=变式1：解方程210400x x -+=变式2：(4)(3)2x y i ++-≥(),x y R ∈，求,x y 的值复数的运算1.复数的加法2.复数的相反数4.复数加法与减法的几何意义5.12z z -与12z z +的模的几何意义例题例1．计算：（1）(14)(72)i i +-+； （2）(72)(14)i i -++； （3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[；（5）(14)(72)i i +--；（6）(52)(14)(23)i i i --+--+； （7）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[变式1： 若(310)(2)19i y i x i -++=-，求实数,x y 的取值变式2：求证：1212z z z z +=+；1212z z z z -=-例2. 三个复数123,,Z Z Z ，其中1Z i ，2Z 是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定23,Z Z 的值。
10、复数的运算法则 学生版
个性化教学辅导教案——进门测 评分_____（老师根据学生情况放题，可放学生上次错题）1、在复平面内，向量OZ 1→对应的复数为－1－i ，向量OZ 2→对应的复数为1－i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为________．2、已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 1－z 2对应的点位于第________象限．3、已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.4、若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________.5、i 是虚数单位，复数7－i3＋i＝________.复数代数形式的加减运算及其几何意义复数的加减法1．复数的加减法法则设z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)， 则z1＋z2＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ， z1－z2＝(a －c)＋(b －d)i. 2．复数加法的运算律 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [化解疑难]对复数加减法的理解1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．2．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．3．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.复数加减法的几何意义复数加减法的几何意义如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为1OZ ，2OZ ，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ ，与z1－z2对应的向量是21Z Z .[化解疑难]对复数加减运算几何意义的认识(1)若复平面内任意两点Z1，Z2所对应的复数分别是z1，z2，则Z1，Z2两点之间的距离|Z1Z2|＝|z2－z1|.(2)复数加减法的几何意义包含两方面：一是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数的运算，使复数作为工具运用于几何之中；另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释．2复数运算的综合应用[例3] 已知z1是虚数，z2＝z1＋1z1是实数，且－1≤z2≤1.(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z11＋z1，求证：ω为纯虚数．[变式训练]已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，求ω.易错题：误用判别式求解复数方程[典例] 已知关于x 的方程x2＋(k ＋2i)x ＋2＋ki ＝0有实数根，则实数k 的值为________．[成功破障]在复数范围内方程x2－5|x|＋6＝0的解的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．81．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA ，OB ，则|z1＋z2|＝( )A ．1 B. 5 C ．2 D ．3AC BD DA1．利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i ，⎝⎛⎭⎫－12±32i 3＝1，1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，i 的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．2．关于共轭复数的常用结论(1)z ·z ＝|z |2＝|z |2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．3．要熟记i n 的取值的周期性，即i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N )，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与i n 联系起来以便计算求值．——出门测 评分_____1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )A ．－1＋IB ．1－IC ．ID ．－i2．已知z 1＝3＋i ，z 2＝1＋5i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点Z ( ) A ．在实轴上 B ．在虚轴上 C ．在第一象限D ．在第二象限4．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋IB ．－1－IC ．1＋ID ．1－i5．复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限1．(全国乙卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．32．已知复数z ＝1－i ，则z2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－23．若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H4．(山东高考)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i5．已知复数z ＝3＋i(1－3i)2，是z 的共轭复数，则z·等于( )A.14B.12C ．1D ．2 6．设z1＝x ＋2i ，z2＝3－yi(x ，y ∈R)，且z1＋z2＝5－6i ，则z1－z2＝________. 7．已知|z|＝5，且z －2＋4i 为纯虚数，则复数z ＝________.8．已知复数z1＝1＋3i ，z2＝3＋i(i 为虚数单位)．则在复平面内z1－z2对应的点在第________象限．9.如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求： (1)向量AO 对应的复数； (2)向量CA 对应的复数； (3)向量OB 对应的复数．10．已知复平面内的A ，B 对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i ，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设AB 对应的复数是z.(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．。
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七、复数（课堂讲评）
广东历年高考
1、(07年)若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b =（ ）
A ．-2
B ．12- C. 2
1 D ．
2 2、(08年)已知20<<a ，复数i a z +=（i 是虚数单位），则z 的取值范围是（ ）
A ．(1,3) B. (1,5) C. ( 1,3) D.(1,5)
3、(09年)下列n 的取值中，使1=n i (i 是虚数单位)的是( )
A ．n =2 B. n =3 C. n =4 D. n =5
2009年广州质检、一模、二模
GZ-T 1．已知i 为虚数单位，则（+1i ）（-1 i ）=
A ．0
B ．1
C ．2
D ．2i
GZ-1 3．已知z =i （1+i ）（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 GZ-2 2、如果复数22(3)(56)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为（ ）
A 、0
B 、2
C 、0或3
D 、2或3
2009年广东省各市模拟题
1.(2009江门一模文)若复数()2
1i a ⋅+（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a ( ) A.1± B.1- C.0 D.1
2.(2009江门一模理)i 为虚数单位，复平面内表示复数i
i z ++=21的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. (2009韶关一模文、理)复数i
215+的共轭复数为 ( ) A.－31035-i B.－i 3
1035+ C.1－2i D.1+2i 4．(2009深圳一模文、理)如果复数)()2(R a i ai ∈+的实部与虚部互为相反数，则a 的值等于（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
5．(2009东莞二模理)已知复数122,34,z m i z i =+=-若
12
z z 为实数，则实数m 的值为( ) A ．
83 B ．32 C ．83- D ． 32
- 6、（2009揭阳）在复平面内，复数 21i + 对应的点与原点的距离是（ ）
A. 1
B. C.2
D. 7、（2009番禺）若x y ,∈R ，i 为虚数单位,且()3x y x y i i ++-=-,则复数i x y +在复平面内所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8、（2009吴川）已知复数12z i =+，则2
z = （ ） A.225i - B. 245i - C. 225i + D. 245i
+
9、（2009广东四校）已知复数z=1－2i ，则 z +1
z －1 =（ ）
(A) 1+i (B) 1－i (C) －1+i (D) －1－i
10、（2009珠海）已知复数122,(3)z a i z a a i =+=++，且120z z >，则实数a 的值为（
） A. 0 B. 0或-5 C. -5 D. 以上均不对
11、（2009惠州）已知复数12z i =+，21z i =-，则12z z z =⋅在复平面上对应的点位于（
） A ．第一象限 B ．第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限
12、（2009饶平）在复平面内，复数 1i - 对应的点与原点的距离是：（ ）
A. 1
B. 2
C.
D.
13、（2009汕头）复数i i i 21)1)(2(2
--+等于 （ ）
A ．2
B ．－2
C ．2i
D ．－2i
10、（2009韶关一中）复数z ＝111i
i -+-+，在复平面内，z 所对应的点在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
11、（2009中山）复数i i
z 21-=的虚部是 （ ）
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i
12、（2009中山一中）2(1)i i += （ C ）
A ．1i +
B ．1i -+
C ．2-
D ．2
13、（2009封开）若复数21(1)z a a i =-++是纯虚数，则z = ___ ___
14、（2009中山二中）复数i i 2123
--＝______ _______.
15、（2009朝阳实验中学）在复平面内，复数121i
i +-对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限。