第四讲判别分析
判别分析
具体方法为待定系数法： ①将A、B两个总体的全部个案观测值代入方程，并求其平均值和离差 平方和。 ②求F值，当F取极大值的时候，将表示有组间差异最大，组内差异最小。 因此可以通过令F的一阶偏导数等于零。 ③得到k个关于Ci 的线性方程组，方程组的解就是判别函数的各个系数。 对于任意个案代入函数中，当D的数值大于0，则该个案隶属于A总体。 当D的数值小于0，则该个案隶属于B总体。如果D等于0，则待判。 ⒉判别方法 SPSS系统提供的判别方法有马氏距离判别法、贝叶斯概率判别法以及费 氏多类判别模型法。 ⑴马氏(Mahalamobis)距离判别法 马氏距离判别法的思想就是建立马氏距离，当被判断个案距离哪个总体中 的马氏距离最小，该个案就隶属于这个总体。假定有A、B两个总体，则： X∈A 若d(x,A)<d(x,B) X∈B 若d(x,A)>d(x,B) 待判 若d(x,A)=d(x,B)
... ... ... ...
x1k ( a ) x2 k (a ) ... x mk ( a )
{xnk(b)}=
x11 (b ) x 21 ( b ) ... x (b ) n1
x12 ( b ) x 22 (b ) ... x n 2 (b )
⑵贝叶斯(Bayes)概率判别法 贝叶斯概率判别法是根据被判断个案应当归属于出现概率最大的总体 或者归属于错判概率最小的总体的原则进行判别的。 出现概率最大的总体指在全部N个个案中，属于各个不同总体的个案 数分别为：n1、n2、n3…，则各自的概率可以简单计算为：
n1 n2 n3 P ( G 1) = 、 P (G 2 ) = 、 P (G 3) = ... N N N
P（Gi）为先验概率。被判断的个案属于先验概率最大总体的概率应 当高一些。先验概率反映了样本分布的总体趋向特性。当不能确定一个个 案属于若干个总体中的哪一个时，归属大概率总体的概率显然会比归属小 概率总体的概率高。 另外，考虑到某些个案的特殊性，还应当具体分析各个个案的趋向特 性。因为个案趋向于各个总体的概率可能不同。 例如：对儿童某行为应隶属于心理发展问题的概率远远超过隶属于生 理发育问题的概率，即使样本数量很大时也基本如此，则将该行为判断为 心理问题的正确性就大。
判别分析
1 2
2
)T 1 ( 1 2 )
令
1 2
2
， u ( x) ( x )T 1 ( 1 2 ) ，则上述判别法则等价于：
若 u ( x) 0 ，则判 x 1 ，若 u ( x) 0 ，则判 x 2 。 令 a 1 ( 1 2 ) 则 u ( x) ( x )T a aT ( x ) 是 x 的一个线性函数， ˆ ( a1 , a2 , , a p )T ， 称 u ( x) 为线性判别函数，而 a 为判别系数。上述判别规则相当于把 p 维空间划分 成二部分：
i i i i
由此得：
ˆ1
1 1 n1 1 ˆ2 xj ˆ x 1 ， n2 n1 j 1
x x
j 1
2 j 2
n2
ˆ 1
n1
1 ˆ 1 W W1 ， 2 2 n1 1 n2 1
n2
Hale Waihona Puke 其中 W1 ( xj1 x 1 )( xj1 x 1 )T ， W2 ( xj2 x 2 )( xj2 x 2 )T 。
2 P (2 1) P (1 2) 1 2
从上式可知： 1 , 2 相差越大，误判概率越小。
在实际问题中 1 , 2 及 一般是未知的，设从 i 得到样本容量为 ni 的样本：
T i i i i i i T x1 ( x11 , x21 , , xpi1 )T , x2 ( x12 , x22 , , xpi2 ) , , xn ( x1 ni , x2 ni , , x pni ) (i 1, 2) i
判别分析_精品文档
判别分析导言判别分析是统计学中一种常用的数据分析方法，用于区分不同群体或类别之间的差异。
它通过寻找最佳的分类边界，帮助我们预测或判定未知样本的分类。
判别分析常用于模式识别、数据挖掘、生物学、医学等领域。
本文将介绍判别分析的基本概念、应用领域和算法。
一、判别分析的基本概念判别分析旨在通过构造合适的判别函数，将不同群体或类别的样本区分开来。
判别函数的建立是判别分析的核心任务，而判别函数的类型通常根据问题的特点来选择。
常见的判别函数有线性判别函数、二次判别函数、贝叶斯判别函数等。
判别分析的目标是使得样本在不同类别的判别函数值有较大差异。
二、判别分析的应用领域1. 模式识别判别分析在模式识别中的应用非常广泛。
通过判别分析，我们可以建立能够识别不同模式的模型。
例如，在人脸识别任务中，我们可以使用判别分析来建立一个分类器，能够将不同人脸的图像正确分类。
2. 数据挖掘在数据挖掘领域，判别分析可以帮助我们发现变量之间的关系，并进行预测。
通过对已有数据进行判别分析，我们可以预测未知样本的分类。
例如，在市场营销中，通过对消费者进行判别分析，我们可以预测消费者的购买行为，从而制定更精准的营销策略。
3. 生物学和医学判别分析在生物学和医学领域中也有广泛的应用。
例如，在癌症诊断中，通过对患者的临床数据进行判别分析，我们可以建立一个分类器，能够判断该患者是否患有癌症。
三、判别分析的算法判别分析的算法根据问题的特点和要求选择。
下面介绍两种常见的判别分析算法：1. 线性判别分析（LDA）线性判别分析是一种常见且简单的判别分析算法。
它的核心思想是通过将高维数据映射到低维空间中，使得不同类别的样本在投影空间中有较大的差异。
在LDA算法中，我们需要计算类内散度矩阵和类间散度矩阵，并求解其特征值和特征向量，从而确定投影向量。
2. 二次判别分析（QDA）二次判别分析是一种更为复杂的判别分析算法。
它假设不同类别的样本的协方差矩阵不相等，即每个类别内部的变化程度不同。
判别分析讲解
判别分析1.判别分析的适用条件(1)自变量和因变量间的关系符合线性假设。
(2)因变量的取值是独立的，且必须是事先就己经确定。
(3)自变量服从多元正态分布。
(4)所有自变量在各组间方差齐，协方差矩阵也相等。
(5)自变量间不存在多重共线性。
2.违背条件时的处理方法(1)当样本的多元正态分布假设不能满足的时候采取的措施和方法如下:<>如果数据的超平面是若干分段结构的话，采用分段判别分析。
<>如果数据满足方差和协方差的齐次性可以采用距离判别分析、经典判别分析、贝叶斯判别分析中的任何一种，因为此时三者是等价的，建议使用经典判别分析。
<>如果数据不满足方差和协方差的齐次性，则采用经典判别分析、非参数判别分析、距离判别分析，这些方法无此适用条件。
<>进行变量变换。
(2)方差和协方差的齐次性不能满足的时候可以采取的措施如下:<>增加样本，这有时可以使其影响减小。
<>慎重的进行变量变换。
<>采用经典判别分析、非参数判别分析、距离判别分析，这些方法无此适用条件。
<>在合乎总体实际情况的前提下，保证各个分组的样本量一样，判别分析中分组之间样本量一样可以带来以下几个好处:使得结果与方差齐次性假设不会偏离得太大;F检验时第二类错误(实际上为虚假的条件下正确的拒绝了原假设的概率)得到减小;使得均值更加容易比较和检验。
<>要是样本服从多元正态分布，采用二次判别，但是应该注意到二次判别分析没有计算判错率和统计检验的公式。
(3)存在多重共线性时可以采取的措施如下:<>增加样本量。
<>使用逐步判别分析。
<>采用岭判别分析。
<>对自变量进行主成分分析，用因子代替自变量进行判别分析。
<>通过相关矩阵结合实际的理论知识删去某些产生共线性的自变量。
显然，上述措施和线性回归中对共线性的处理方式是非常类似的。
判别分析
（4）输出的结果文件中第四部分如下表 所示。
（5）输出的结果文件中第五个部分为组 间的协方差矩阵，如下表所示。
（6）输出的结果文件中第六个部分如下两 个表格所示。
（7）输出的结果文件中第七个部分如下表 所示。
（8）输出的结果文件中第八个部分如下表 所示。
（9）输出的结果文件中第九个部分如下表 所示。
小 结
SPSS中“Analyze”/“Classify”菜单专门 用于聚类分析和判别分析。其中，“K-Means Cluster”适用于快速聚类分析方法， “Hierarchical Cluster”适用于层次聚类分 析方法，“Discriminant”主要用于判别分析。
图7 “Discriminant Analysis：Classification”对话框
图8 “Discriminant Analysis：Save”对话框
3 结果和讨论
（1）SPSS输出结果文件中的第一部分如下 表所示。
（2）输出的结果文件中第二部分如下表所 示。
（3）输出的结果文件中第三部分如下表所 示。
有学者在研究中提出，可以利用判别分析 来对聚类分析结果的准确性进行检验。聚类分 析分成几类后，即可以作为判别分析的类别输 入，定义：判别分析先根据已知类别的事物的 性质（自变量），建立函数式（自变量的线性 组合，即判别函数），然后对未知类别的新事 物进行判断以将之归入已知的类别中。
（10）输出的结果文件中第十个部分如下 表所示。
（11）输出的结果文件中第十一个部分如 下表所示。
（12）输出的结果文件中第十二个部分包 括3个分类统计信息表格
（13）输出的结果文件中第十三个部分为 每一个个案的实际分组摘要表。如下表所示。
（14）输出的结果文件中第十四个部分如 图9所示。
判别分析完整课件
2 i 1 m
m为判别指标数，根据自由度查F(m,n1+n2-m-1)。
（三）确定判别临界值
确定两类的判别临界值（即两类的分界点）yc， 据此对未知样本作出判断。
yc
n1 y(1) n2 y( 2 ) n1 n2
在医学科研资料中经常遇到指标变量不呈正态分 布或难以满足参数判别分析的要求，特别是有些 变量是分类变量，不可能服从正态分布，可以用 Logistic回归分析的方法。
实际资料中一般含有较多的指标，有些指标可能 对鉴别不同的类别毫无用处，或指标间彼此相关的情 况时不应该用所有的指标都参与建判别函数。所以， 在建函数之前，先进行变量筛选是很有必要的，即逐 步判别分析,此法建立的函数更简洁，效果也更好。 此外,对于某些指标间存在彼此相关的情况时, 先对众多的指标进行聚类，从聚成的几大类中各挑选 一个最有代表性的指标，用这些典型指标建立判别函 数。 逐步回归、判别分析、聚类分析等方法可以联合 应用。
y ci xi
i 1 n
2
n1
(y
i 1
n2
i ( 2)
y( 2 ) )
2
y(1) ck xk (1)
k 1
n1
y( 2) ck xk ( 2)
k 1
n2
根据求极值的原理，求I对判别系数Ci的偏导数，使其等 于零，得到下列方程组：
f11C1+f12C2+……f1mCm=d1 f21C1+f22C2+……f2mCm=d2 ……… …… …… ……… ….. fm1C1+fm2C2+……fmmCm=dm 其中， di
《应用多元统计分析》第04章-判别分析
04
判别分析的实例与演示
数据来源与预处理
数据来源
判别分析所使用的数据通常来源于实际研究或调查，这些数据可能涉及到多个 变量和观测样本。
数据预处理
在应用判别分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、 异常值检测与处理、数据标准化等步骤，以确保数据的质量和可靠性。
2. 建立判别模型
选择合适的变量，并进行数据清理和预处 理，包括缺失值处理、异常值检测与处理 等。
选择合适的判别分析方法，如线性判别分析 （LDA）或二次判别分析（QDA），并利用 已知分类的数据来估计判别函数。
3. 模型评估
4. 应用模型
使用诸如混淆矩阵、准确率、召回率等指 标来评估模型的性能，并可能进行交叉验 证。
目的
通过建立判别函数，使得不同类别之 间的差异尽可能大，而同一类别内的 差异尽可能小。
判别分析与聚类分析的区别
01
判别分析基于已知分类数据， 目标是建立预测分类的规则； 而聚类分析则是将未知分类的 数据进行归类。
02
判别分析要求对各变量之间的 相关性进行建模，而聚类分析 则更注重数据之间的距离或相 似性。
总结词
两总体判别分析是一种基本的判别分析方法，用于根据已知分类的数据集构建判别函数，从而对新数据进行分类。
详细描述
两总体判别分析通常用于解决二分类问题，其基本思想是通过选择一组特征变量，使得不同类别的样本在这组变 量上的均值差异最大，同时使同类样本之间的离散度最小。判别函数通常采用线性或非线性形式，通过最小化分 类错误率来构建。
对特征选择敏感
判别分析的特征选择可能对结果 影响较大，如果选择不合适的特 征，可能会导致分类效果不佳。
判别分析
判别分析判别分析是一种统计学方法，用于区分并分析不同组别之间的差异性。
它被广泛应用于各个领域，如医学、社会科学、运营管理等，以提供有关数据背后潜在关系的洞察。
判别分析的主要目标是通过输入变量对观测结果进行分类。
输入变量也被称为预测变量或自变量，而观测结果则被称为响应变量或因变量。
判别分析试图确定一组输入变量，这些变量在不同组别之间具有最大的差异性，并能够最好地将观测结果分类。
判别分析的基本原理是将观测结果（例如两个或多个不同的组别）映射到一个或多个输入变量的函数空间。
这个函数空间可以是线性的，也可以是非线性的。
通过对函数空间进行合理的选择和优化，判别分析能够实现对不同组别之间差异性的最大化。
判别分析的常见方法包括线性判别分析（LDA）、二元判别分析（BDA）和多元判别分析（MDA）。
线性判别分析试图找到一个线性函数，将不同组别之间的距离最大化，并将观测结果正确地分类。
而二元判别分析和多元判别分析则扩展了线性判别分析的范围，使其适用于更复杂的多类别问题。
判别分析在实践中有许多应用。
例如，在医学领域，判别分析可以用于将患者分为不同的疾病组别，以便更好地进行诊断和治疗。
在社会科学领域，判别分析可以帮助研究人员了解不同人群之间的差异，并对这些差异进行解释。
在运营管理领域，判别分析可以用于预测客户行为、市场细分等。
判别分析有其局限性和假设前提。
例如，判别分析假设输入变量是独立分布的，并且对方差具有相同的协方差矩阵。
此外，判别分析对异常值敏感，对于噪声和离群值的处理需要额外的注意。
总之，判别分析是一种强大的统计学方法，可用于识别和解释不同组别之间的差异性。
它在科学研究、医学诊断、市场调研等领域具有广泛的应用前景。
虽然判别分析有其限制和假设前提，但通过合理的数据处理和解释，可以充分利用判别分析的优势，提供有关数据背后潜在关系的深刻洞察。
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x = ( −0.16, −0.10,1.45, 0.51)′
判别其应属于何类企业。
判别分析操作步骤 在数据窗口建立或打开一个待进行判别分析的数据文件， 判别分析的步骤如下：点Analyze→Classify→Discriminant
第四讲：判别分析
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第四讲：判别分析
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∑的联合估计
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表3：非标准化判别函数的系数
Classification Function Coefficients
组别
x1 x2 x3 x4 (Constant) 1 4.035 -18.387 1.616 12.194 -5.075 2 5.295 -10.020 3.306 9.949 -7.447
x = ( −0.16, −0.10,1.45, 0.51)′
判别其应属于何类企业。 实验步骤： 根据上述步骤得以下结果：
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表1：独立变量的全部和各组的均值和标准离差。
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表2：协方差矩阵
Covariance Matrices
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2、在“Display”对话框中的设置： 选“Casewise results”可得样品的判别结果； 选“Summary table”可得验证结果的总表； 选“Leave-one-out classification”可得交叉验证结果。 ３、在“Display”对话框中的设置： 选“Within-groups”则用合并组内协差阵计算，通常 使用该选项； 选“Separate-groups”则用各类独立的协差阵计算后验 概率，这将产生与分类函数不一致的分类结果。 选定“Plots”栏中的各项，可得各种有关图形。
组别 1
2
3
Total
x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4
Mean 50.06 34.28 14.62 2.46 59.36 27.70 42.60 13.26 65.88 29.74 55.52 20.26 58.43 30.57 37.58 11.99
第四讲：判别分析
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点“Define Range”按钮，给出分类变量取值范围的上下 限，在“Minimum”和“Maximum”窗口分别输入下限和上限。 “Independents”对话框，从左侧的变量列表中选入要分 析的变量，单击向右的三角形按钮使之进入该框。 “Enter independent together”按钮表示选择所有变量参 与判别分析。 “Use Stepwise method”按钮表示使用逐步判别方法。激 活 “Select Variable”按钮，在该按钮下选择进入变量。
Fisher's linear discriminant functions
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据此得判别方程:
y2 = 5.295x1 −10.020 x2 + 3.306 x3 + 9.949 x4 − 7.447
经修正后的判别方程:
y1 = 4.035x1 −18.387x2 +1.616x3 +12.194x4 − 5.075
x3 .034 .026 .164 .033 .075 .009 1.047 .033 .150 .059 1.013 .029
x4 .004 .003 .033 .045 -.007 .000 .033 .026 -.003 .001 .029 .034
2
Total
a. The total covariance matrix has 45 degrees of freedom.
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表7：判别式的组均值
Functions at Group Centroids Function
组别
1 2 3
1 -7.608 1.825 5.783
2 .215 -.728 .513
Unstandardized canonical discriminant functions evaluated at group means
Std. Deviation 3.525 3.791 1.737 1.054 5.162 3.138 4.699 1.978 6.359 3.225 5.519 2.747 8.281 4.359 17.653 7.622
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表6：相应的特征值、方差百分比、方差累计百分比及正则相关系数
a
组别
1 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4
x1 .044 .028 .034 .004 .047 .009 .075 -.007 .068 .028 .150 -.003
x2 .028 .021 .026 .003 .009 .002 .009 .000 .028 .015 .059 .001
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在主对话框中单击“Statistics”按钮可以打开选择输出 统计量的对话框。
1、在“Descriptives”对话框中的设置： 选“Means”得到各类的均数、标准差等统计量； 选“Univariate ANOVAs”得到各单变量的方差分析； 选“Box’s M”可得到各类协差阵相等性的Box检验。
第四讲
判别分析
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例５.２.３ 对破产的企业收集它们在破产前两年的年度 财务数据，同时对财务良好的企业也收集同一时期的数据。 数据涉及四个变量： x1=现金流量/总债务， x2=净收入/总资 产，x3=流动资产/流动债务，以及x4＝流动资产/净销售额。 数据见表５.２.１，１组为破产企业，２组为非破产企业。 试建立判别函数，估计误判概率，并对某个待判企业数据：
Cross-validated
a
Count %
组别 1 2 1 2 1 2 1 2
Predicted Group Membership 1 2 18 1 85.7 4.0 18 2 85.7 8.0
Total 3 24 14.3 96.0 3 23 14.3 92.0 21 25 100.0 100.0 21 25 100.0 100.0
y1 = 4.035x1 −18.387x2 +1.616x3 +12.194x4 − 4.382
y2 = 5.295x1 −10.020 x2 + 3.306 x3 + 9.949 x4 − 6.754 待判企业数据是： x = ( −0.16, −0.10,1.45, 0.51)′
把待判企业数据代入得： y1 = 4.035 x1 − 18.387 x 2 + 1.616 x3 + 12.194 x 4 − 4.382 = 5.373
a. Cross validation is done only for those cases in the analysis. In cross validation, each case is classified by the functions derived from all cases other than that case. b. 91.3% of original grouped cases correctly classified. c. 89.1% of cross-validated grouped cases correctly classified.
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例５.２.３ 对破产的企业收集它们在破产前两年的年度 财务数据，同时对财务良好的企业也收集同一时期的数据。 数据涉及四个变量： x1=现金流量/总债务， x2=净收入/总资 产，x3=流动资产/流动债务，以及x4＝流动资产/净销售额。 数据见表５.２.１，１组为破产企业，２组为非破产企业。 试建立判别函数，估计误判概率，并对某个待判企业数据：
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打开Discriminant Analysis 对话框如下图所示：
该对话框中各选项意义如下： 在“Grouping Variable”对话框，从左侧选入分组变量， 例如选择分组变量为“type”, 单击向右的三角形按钮使之进 入“Grouping Variable”框内,这时“Define Range”被激活;
y2 = 5.295 x1 − 10.020 x 2 + 3.306 x3 + 9.949 x 4 − 6.754 = 3.268 由判别准则知该企业属于破产企业。
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表4：分类结果表
Classification Results
b,c
Original
Count %
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在主对话框中单击“Save...”可得以下对话框：
选“Predicted group membership”可保存各样品的判 别分类； 选“Discriminant scores”可保存各样品的典型判别函 数值； 选“Probabilities of group membership”可保存各样品 的后验概率。
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