2016年数学分析第四次作业
数学分析4测试题答案
dxdy = ∫∫ e − ( x
Sa a
2
2
+ y2 )
dxdy ≤ ∫∫ e − ( x
D2
2
+ y2 )
dxdy
而 H (a ) = ∫∫ e
D1
− ( x2 + y2 )
dxdy = ∫ dθ ∫ e− r rdr =
0
π 2 0
2 2 π π (1 − e − a ) , G (a ) = (1 − e −2 a ) , 且 4 4
0 3 3 3 3 y 9 3
4. 8; 7. 8
1 3 1 x + x 2 y − xy 2 − y 3 + C 3 3 二、计算题(每小题 9 分,共 54 分) 6.
f x ( x, y ) = cos x + cos( x + y ) = 0 1. 由 ,求得稳定点 (2mπ + π , 2nπ + π ) , f y ( x, y ) = cos y + cos( x + y ) = 0 (2mπ + π π π π , 2nπ + ) , (2mπ − , 2nπ − ) . 3 3 3 3 在 点 (2mπ + π , 2nπ + π ) 处 ,
Ò ∫∫ Ò ∫∫
同理得:
S
xyzdxdy = ∫∫ xydxdy = ∫ 2 dθ ∫ r 3 sin θ cos θ dr =
D1 0 0 1 1
π
1
1 8 1 6
S
xyzdydz = ∫∫ xy 1 − y 2 dydz = ∫ dy ∫ yz 1 − y 2 =
D2 0 0
2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷(理科)(解析版).
2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．15．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．49．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2D．310．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．11．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=且bsin（+C）﹣csin（+B）=a，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．16．在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 3=7，且a 2，a 4，a 9成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）数列{b n }满足b n =（），设其前n 项和为S n ，求证：≤S n ＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅱ） 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望附： =， =﹣， =6， =146，x i y i =4420，x i 2=182．19．梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD ，EF ∥BD ，EF=DE=BD ，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE ⊥BC ．（Ⅰ） 求证：DE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ） 求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值．20．在平面直角坐标系中，已知A 1（﹣2，0），A 2（2，0），B 1（x ，2），B 2（x ，﹣2），P（x ，y ），若实数λ使得λ2•=•（O 为坐标原点）．（Ⅰ） 求点P 的轨迹C 的方程，并讨论点P 的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=x2﹣bx+alnx．（Ⅰ）若b=2，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x2）＞﹣；（Ⅲ）若对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），∴∁R A=（﹣∞，2]∪[3，+∞），由B中不等式解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，则∁R A∩B=[﹣2，2]=B，故选：C．2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z等于﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），从而得出结论．【解答】解：∵复数===﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），故复数对应的点位于在第三象限，故选C．3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=﹣2x2的方程化为：．即可得出．【解答】解：抛物线y=﹣2x2的方程化为：．∴焦点坐标为．故选：C．4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=2且y=0时，z达到最大值2．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（1，1），C（3，1）．设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，观察直线在x轴上的截距变化，可得当l经点A时，目标函数z达到最大值，=F（2，0）=3．∴z最大值故选：C5．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于121得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于121的概率．【解答】解：经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，经过第三次循环得到x=3[3（3x+1）+1]+1，n=3此时输出x，输出的值为27x+13，令27x+13≥121，得x≥4，由几何概型得到输出的x不小于121的概率为：．故选：B．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据独立性检验的进行判断，②根据相关关系相关指数为R22，的意义进行判断，③根据几何概型的概率公式进行求解．④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：①根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k2越大，判断“X 与Y有关系”的把握程度越大，故①错误，②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；正确③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，由3a﹣1＞0得a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率P==；故③正确，④当“a＞0，b＞0”时“+≥2成立，当a＜0，b＜0时， +≥2也成立，则“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件，故④错误，故正确的是②③，故选：B．9．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2D．3【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+），整理后利用辅助角公式化积，再由x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2列关于m的等式求得m的值．【解答】解：A（x1，y1）是单位圆上任一点，设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），即y1=sinα，y2=sin（α+），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+）=msinα﹣2（）=（m﹣1）sinα﹣cosα=sin（α+β），∵m＞0，my1﹣2y2的最大值为2，∴，解得m=2．故选：B．10．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线线方程可得P的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得Q和R的横坐标，进而根据且，求得b的值，进而根据c=求得c，最后根据离心率公式答案可得．【解答】解：由题可知P（﹣1，0）所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx联立y=x+1和y=﹣bx得Q的横坐标为x Q=﹣同理得R的横坐标为x R=，∵，∴（﹣1，0）+（，y R）=2（﹣，y Q），∴﹣1+=﹣⇒b=3，c==，∴e==，故选B ．11．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，a=且bsin （+C ）﹣csin （+B ）=a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】由已知化简整理求得sin （B ﹣C ）=1，结合角的范围得到B ，C 的值，再利用正弦定理求得b ，代入三角形面积公式求得答案．【解答】解：由bsin （+C ）﹣csin （+B ）=a ，A=，得：sinBsin （）﹣sinCsin （）=sinA ．sinB （+）﹣sinC （sinB +cosB ）=， 整理得sinBcosC ﹣cosBsinC=1， 即sin （B ﹣C ）=1，∵A=，∴B +C=，①即0＜B ＜，0＜C ＜，∴﹣＜﹣C ＜0，则﹣＜B ﹣C ＜，从而B ﹣C=．②联立①②解得B=，C=．sin =，sin =．由，得=．∴．故选：C．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【考点】导数的运算．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得2﹣a≥a，由此解得a的范围．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=200．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：由题意可得=，故N=200．故答案为：200．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为3．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，【解答】解：二项式（x2+）6展开式的通项公式为T r+1=•（x2）6﹣r•x﹣r=（）6﹣r••x12﹣3r，令12﹣3r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为（）2•=3，故答案为：3．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，•=0，•=0，可得AB⊥BC，AD⊥DC．因此四边形ABCD内接于圆O．可得||的最大值为直径AC．【解答】解：如图所示，∵•=0，•=0，∴AB⊥BC，AD⊥DC．∴四边形ABCD内接于圆O．可得⊙O的直径AC==．则||的最大值为直径．故答案为：．16．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值即可．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=（），设其前n项和为S n，求证：≤S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．可得a1+2d=7，=（a1+d）（a1+8d），联立解得即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．再利用等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可得出．【解答】（I）解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．∴a1+2d=7，=a2•a9，即=（a1+d）（a1+8d），联立解得d=3，a1=1．∴数列{a n}的通项公式a n=3n﹣2．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．∴S n==∈．∴≤S n＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅰ）若某天售出箱水，求预计收益是多少元？（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望附：=，=﹣，=6，=146，x i y i=4420，x i2=182．【考点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）求出、，从而求出回归方程，将x=8代入求出即可；（Ⅱ）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，求出概率即可；（Ⅲ）计算对应的P（X）的值，求出其分布列和期望值即可．【解答】解：（Ⅰ）===20…=﹣x=146﹣20×6=26…∴=20x=26，当x=8时，=20×8+26=186（元）即某天售出8箱水的预计收益是186元…（Ⅱ）（1）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，则P===，即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为…（2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000P（X=0）=×=，P（X=300）=××=，P（X=500）=××=，P（X=600）==，P（X=800）=××=，P（X=1000）==，XX的数学期望E（X）=0×+300×+500×+600×+800×+1000×=600（元）…19．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE⊥BC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，交BD于O，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而DE ⊥AC，再由DE⊥BC，能证明DE⊥平面ABCD．（Ⅱ）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于O，∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，交线为BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，∵DE⊂平面BDEF，∴DE⊥AC，又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD．…解：（Ⅱ）∵EF∥BD，EF=BD，且O是BD中点，∴ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，…分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（﹣，0，0），E（0，﹣1，1），F（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），=（），设平面AEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），…设平面CEF的法向量，则，取a=1，得=（1，0，﹣），…∴cos＜＞===．即平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为．…20．在平面直角坐标系中，已知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（x，2），B2（x，﹣2），P（x，y），若实数λ使得λ2•=•（O为坐标原点）．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并讨论点P的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由题设条件，知（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2），由此进行分类讨论能得到P点的轨迹类型．（Ⅱ）当λ=时，点P的轨迹C的方程为=1．S△OBE：S△OBF=|x1|：|x2|，由＜＜1，即＜＜1．设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得，：（1+2k2）x2+8kx+4=0，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由λ2•=•得：λ2（x2﹣4）=x2﹣4+y2，即（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2）为点P的轨迹C的方程…①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线，…②λ=0时方程为x2+y2=4轨迹为圆，…③λ∈（﹣1，0）∪（0，1）时方程为+=1轨迹为椭圆，…④λ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时方程为﹣=1轨迹为双曲线 …（Ⅱ）当λ=时，点P 的轨迹C 的方程为=1 …设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），∴S △OBE ：S △OBF =|x 1|：|x 2|由＜＜1，即＜＜1，由题意可得x 1，x 2同号，∴＜＜1… 由题意得直线EF 的斜率存在，设其方程为y=kx +2代入椭圆方程得：（1+2k 2）x 2+8kx +4=0∵△=64k 2﹣16（1+2k 2）＞0，∴k 2＞，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=…设，则，∴，∴，，∵，∴即，∴，∴k ∈（，）∪（，）为所求…21．设函数f （x ）=x 2﹣bx +alnx ．（Ⅰ） 若b=2，函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求实数a 的取值范围；（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，证明：f （x 2）＞﹣；（Ⅲ） 若对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，结合二次函数的性质求出a 的范围即可；（Ⅱ）求出f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t +（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），得到F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，根据函数的单调性求出F （t ）＞F （），从而证出结论； （Ⅲ）令g （b ）=﹣xb +x 2+alnx ，b ∈[1，2]，得到在x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （1）=﹣x +x 2+alnx ＜0有解，令h （x ）=﹣x +x 2+alnx ，通过讨论a 的范围，求出函数的单调性，从而确定a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，b=2时，f （x ）=x 2﹣2x +alnx ，f （x ）的定义域为（0，+∞），求导数得：f ′（x ）=，∵f （x ）有两个极值点x 1，x 2，f ′（x ）=0有两个不同的正根x 1，x 2，故2x 2﹣2x +a=0的判别式△=4﹣8a ＞0，即a ＜，且x 1+x 2=1，x 1•x 2=＞0，所以a 的取值范围为（0，）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＜x 2＜1且f ′（x 2）=0，得a=2x 2﹣2，∴f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t +（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），则F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，当t ∈（，1）时，F ′（t ）＞0，∴F （t ）在（，1）上是增函数∴F （t ）＞F （）=，∴f （x 2）＞﹣； （Ⅲ）令g （b ）=﹣xb +x 2+alnx ，b ∈[1，2]，由于x ∈（1，e ），所以g （b ）为关于b 的递减的一次函数，根据题意，对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，则x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （1）=﹣x +x 2+alnx ＜0有解，令h （x ）=﹣x +x 2+alnx ，则只需存在x 0∈（1，e ）使得h （x 0）＜0即可，由于h ′（x ）=，令ω（x ）=2x 2﹣x +a ，x ∈（1，e ），ω′（x ）=4x ﹣1＞0， ∴ω（x ）在（1，e ）上单调递增，∴ω（x ）＞ω（1）=1+a ，①当1+a ≥0，即a ≥﹣1时，ω（x ）＞0，∴h ′（x ）＞0，∴h （x ）在（1，e ）上是增函数，∴h （x ）＞h （1）=0，不符合题意，②当1+a ＜0，即a ＜﹣1时，ω（1）=1+a ＜0，ω（e ）=2e 2﹣e +a ，（ⅰ）若ω（e ）＜0，即a ≤2e 2﹣e ＜﹣1时，在x ∈（1，e ）上ω（x ）＞0恒成立 即h ′（x ）＜0恒成立，∴h （x ）在（1，e ）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，（ⅱ）若ω（e）＞0，即2e2﹣e＜a＜﹣1时，在（1，e）上存在实数m，使得ω（m）=0，∴在（1，m）上，ω（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，综上所述，当a＜﹣1时，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（，1e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）欲证AF=DF，可以证明△AEF≌△DEF得出；（Ⅱ）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC．∵∠B=∠CAE，∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE．∵∠ADE=∠BAD+∠B，∴∠ADE=∠DAE．∴EA=ED．∵DE是半圆C的直径，∴∠DFE=90°．∴AF=DF．…解：（Ⅱ）连结DM，∵DE是半圆C的直径，∴∠DME=90°．∵FE：FD=4：3，∴可设FE=4x，则FD=3x．由勾股定理，得DE=5x．∴AE=DE=5x，AF=FD=3x∵AF•AD=AM•AE∴3x（3x+3x）=AM•5x∴AM=3.6x∴ME=AE﹣AM=5x﹣3.6x=1.4x在Rt△DME中，cos∠AED==．…[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3…直线l的普通方程为x﹣y=0 …（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立得：t2+2t+1=0，由韦达定理得：t1t2=1，|AP||AQ|=1 …将直线的极坐标方程θ=（ρ∈R）与圆的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ+1=0联立得：，由韦达定理得：ρ1ρ2=1，即|OP||OQ|=1 …所以，|AP||AQ||OP||OQ|=t1t2|ρ1ρ2|=1．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．2016年8月23日。
[推荐学习]高三数学第四次调研考试试题 文
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2015-2016闽粤部分名校联考第四次模拟考试高三数学（文）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x ＞0}，则A ∩B=（ ） A ．{x|x ＜﹣1} B ．{x|＞0} C ．{x|x ＞1} D ．{x|x ＜﹣1或x ＞1} 2．设复数ei θ=cos θ+isin θ，则复数e 的虚部为（ ） A ． B ． C ． i D ． i3．已知等边△ABC ，边长为1，则|3+4|等于（ ） A ． B ．5C ．D ．74、等比数列{}n a 中, 38a =，前三项和为324S =，则公比q 的值是( ) A.1 B 12-C －1或12- D. 1或12- 5、如果执行如图1的程序框图，那么输出的值是（ ） A ．2015 B ．1- C ．21D ．2 6、已知向量(,3)a k =，(1,4)b =，(2,1)c =，且(23)a b c -⊥，则实数k ＝（ ）A ．3B ．152 C ．0 D ． 92- 7、已知2()sin ()4f x x π=+若)5(lg f a =，1(lg )5b f =则 （ ）A.0=+b aB.0=-b aC.1=+b a D .1=-b a8、已知一个几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积为（ ） A ．3272π-B ．3182π- C ．273π- D ．183π-9、给出命题p ：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β；命题q ：向量(2,1),(,1)a b λ=--=的夹角为钝角的充要条件为1(,)2λ∈-+∞. 关于以上两个命题，下列结论中正确的是（ ） A. 命题“p q ∨”为假B. 命题“p q ∧”为真C. 命题“p q ⌝∨”为假D. 命题“p q ⌝∧”为真10、若[0,]4πθ∈，sin 23θ=，则cos θ=（ ） A ．23B ．13C ．3D ．311、 已知一个直三棱柱，其底面是正三角形，一个体积为43π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（ ）（A） （B） （C） （D）12、已知函数()f x 的定义域为R ，且()[]()222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，()()11f x f x +=-，则方程()21x f x x+=在区间[]3,3-上的所有实根之和为（ ） （A ）8-（B ）2-（C ）0 （D ）8二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)13、已知函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠，若()92f =，则a = ．14、已知实数y x ,满足：210210x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，|122|--=y x z ，则z 的取值范围是15、若函数()bx ax x x f --=233，其中b a ,为实数. ()x f 在区间[]2,1-上为减函数，且a b 9=，则a 的取值范围.16、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积大小为 ____________三、解答题（本大题共6个小题, 共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分12分） 如图，在ABC ∆中，,23B BC π==，点D 在边AB 上，AD DC =，DE AC ⊥，E 为垂足．(Ⅰ)若BCD ∆CD 的长；(Ⅱ)若2DE =，求角A 的大小． 18、（本小题满分12分）在数列{}n a 中，已知112,431,.n n a a a n n N +==-+∈ (Ⅰ)设n a b n n -=，求证：数列{}n b 是等比数列； (Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和.n S19、（本小题满分12分）如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，090=∠PAD ， 且G F E 2,AD PA 、、==分别是线段CD PD PA 、、的中点． (Ⅰ)求证：PB //平面EFG ；(Ⅱ)求异面直线EG 与BD 所成角的余弦值．20、（本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆22:143x y E +=内一点P (1,1)的一条直线与椭圆交于点,A C ，且AP PC u u u ru u u rλ=，其中λ为常数.(Ⅰ)当点C 恰为椭圆的右顶点时，试确定对应λ的值； (Ⅱ)当1λ=时，求直线AC 的斜率.21、（本小题满分12分）已知函数3211()32f x x x cx d =-++有极值.（Ⅰ）求c 的取值范围；（Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极值，且当0x <，21()26f x d d <+恒成立，求d 的取值范围. 选做题（本小题满分10分。
吉林省吉林市普通中学高三数学毕业班第四次调研测试试
吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第四次调研测试数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABCCCBDDBACA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．13 ;14．7- ;15. 14π;16. 112221n n ++--（或11121n +--）三、解答题 17解答（Ⅰ）因为3,26,a b ==2B A =，所以在ABC∆中，由正弦定理得326sin sin 2A A=，-----------------------------------------------------2分所以2s i nc os 26sin3A AA=，故6cos 3A =.------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知6c o s3A =。
所以23s i n 1c os3A A =-= --------------------------------------------5分又因为2B A=，所以21c os 2c3B A =-=--------------------------------------------------------7分所以222sin 1cos 3B B =-=。
-----------------------------------------------------------------------8分在ABC∆中，s i n s i n ()s C A B A c o c BA B=+=+ 539=。
------------------------10分所以s i n5s i na C c A ==。
（也可用余弦定理求解此问，从略。
）-------------------------------------12分 18解答.(Ⅰ) 因为a 有3种取法，b 有4种取法，则对应的函数有3×4＝12个 ------------------------------2分因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2ba对称，若事件A 发生，则a ＞0且2ba≤1------------------------3分数对(a ，b )的取值为(1，－1)，(2，－1)，(2，1)，共3种． -------------------------------------5分所以P (A )=31124= -------------------------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)集合(){},40,0,0a b a b a b +-≤>>对应的平面区域为Rt△AOB ，如图．其中点A (4，0)，B (0,4)，则△AOB 的面积为12×4⨯4=8----------------------------------8分 若事件B 发生，则f (1)<0，即a －4b ＋2<0.--------------------------------------------------------9分所以事件B 对应的平面区域为△BCD .由40420a b a b +-=⎧⎨-+=⎩，得交点坐标为146(,)55D ．又1(0,)2C ，则△BCD 的面积为12×1(4)2-×145＝4910. -----11分所以P (B )＝S △BCD S △AOB ＝4980-------------------------12分19解答 (Ⅰ)证明：PA ⊥面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，PA CD ∴⊥ ----------------------------------------2分又,AD CD ⊥PA AD A =。
2016年5月2016届高三第四次全国大联考(新课标Ⅱ卷)文科数学(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}0,1,2,3,4U =，{}0,1,4A =，{}1,3,4B =，则()U A B ð（ ）A ．{}0,2B ．{}4,8C ．{}0,2,3D ．{}1,8【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力． 【答案】C【解析】由已知得{}1,4AB =，则{}()0,2,3U A B =ð，故选C ．2．如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z =（ ）A ．iB ．1i +C ．1i -D ．12i +【命题意图】本题考查复数的几何意义和复数的运算等基础知识，意在考查基本运算能力． 【答案】C【解析】由图形可得：1i z =，21i z =+，则211i 1i iz z +==-，故选C ． 3．以下茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名学生的成绩（单位：分）． 已知甲组数据的中位数为103，乙组数据的平均数为103.6，则x ，y 的值分别为（ ） A ．5，7B ．3， 7C ．6，9D ．8， 8411579y 6102x 282乙组甲组【命题意图】本题考查茎叶图、中位数、平均数等基础知识，意在考查识图能力和对概念的掌握程度． 【答案】B【解析】由茎叶图和中位数概念知3x =，又82106+109+100114103.65y +++=，解得7y =，故选B ．4．等差数列{}n a 中，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，且945666S a a a =+++，则28a a +=（ ） A ．22 B ．23 C ．25 D ．26【命题意图】本题考查等差数列前n 项和公式和性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 【答案】A5．阅读程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为（ ）A. 2333log 3+B. 2323log 3+C. 2324log 3+D. 2334log 3+【命题意图】本题考查程序框图、对数运算等基础知识，意在考查运算求解能力． 【答案】D【解析】程序在执行过程中，,a S 的值依次为2,1a S ==；4,5a S ==；8,13a S ==；12,25a S ==；224log 12,4log 1225a S ==+ 2334log 336=+>，故输出的S 值为2334log 3+，故选D ．6．“0,x $<使a x b +?”是“b a <成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查特称量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力． 【答案】C7.要得到函数cos(2)4y x p =+的图象，只需将函数sin(2)2y x 5p=+的图象（ ） A ．向左平移8p 个单位 B ．向右平移8p个单位 C ．向左平移4p 个单位 D ．向右平移4p个单位【命题意图】本题考查三角函数的图象变换、诱导公式等基础知识，意在考查运算求解能力．【答案】A【解析】因为sin(2)sin(2)cos 222y x x x 5p p =+=+=，而cos(2)cos 2()48y x x p p=+=+，故只需将函数sin(2)2y x 5p =+的图象向左平移8p 个单位即可得到cos(2)4y x p=+，故选A.8．如图所示，网格纸中每个小网格代表边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体三视图，其中俯视图中有一内切圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．12+2pB ．16+2pC ．12+3pD ．12+4p【命题意图】本题考查三视图、几何体表面积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一个由长方体和圆柱组成的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为2,2,1，圆柱的底面半径为1，高为1，所以该几何体的其表面积为=222+421+2S 创创p??=16+2p ，故选B ．9.设点,)M x y （是不等式组0102x y ì＃ïí＃ïî所表示平面区域W 内的任意一点，O 为坐标原点，则OM £2的概率为（ ）A B. C. D. 【命题意图】本题考查几何概型、不等式组表示的平面区域、扇形面积公式等基础知识，意在考查运算求解能力． 【答案】C10．已知(1,2)=a ，(1,2)x y =--b ，且^a b ，则|+|a b 的最小值为（ ）A B ．2 C D ．3【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示、向量模、点到直线距离公式等基础知识，意在考查基本运算能力和数形结合思想的运用． 【答案】A【解析】由已知得0?a b，则250x y +-=，因为+(,)x y =a b ，故|+a b ，表示直线250x y +-=上的点到原点(0,0)的距离，故其最小值为d ==A ． 11．点S 、A 、B 、C 在球O 表面上，且2AB BC AC ===，1SA =，SB ，平面SAB ^平面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．143p B ．163p C ．103pD ．5p 【命题意图】本题考查几何体外接球、面面垂直的性质等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 【答案】B12．已知函数()()()222ln ,0e e 2,e x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨+->⎪⎩，存在123x x x <<，()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） ABC ．1eD ．21e【命题意图】本题考查分段函数的图象、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力． 【答案】C第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在ABC △中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，且60,2,3===A b a ，则=B tan ．【命题意图】本题考查正弦定理、同角三角函数基本关系式等基础知识，意在考查运算求解能力．【解析】在ABC △中，应用正弦定理可得：sin sin a bA B=，所以sin 2sin 60sin 3b A B a ===，因为a b >，所以A B >，所以角B 为锐角，所以cos B ===，=B tan sin cos B B =． 14. 已知函数()x f 为奇函数，且当0>x 时，1()21x f x +=+，则12(log 3)f =_____________．【命题意图】本题考查函数奇偶性、对数恒等式等基础知识，意在考查运算求解能力．【答案】7-【解析】1222(log 3)(log 3)(log 3)f f f =-=-，因为2log 312(log 3)2f +=1+=2log 32217?=，故12(log 3)7.f =-15．设0,a b >>1，若1131a b a b ，则+=+-的最小值为 ． 【命题意图】本题考查基本不等式等基础知识，意在考查运算求解能力． 【答案】216．已知点P 为双曲线22:1(0)4x y C n n-=>右支上的一点，其右焦点为2F ，M 为线段2PF 的中点，若2MO MF +的最小值为3(O 为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为___________．【命题意图】本题考查双曲线方程和简单几何性质、双曲线定义等基础知识，意在考查转化与化归思想和基本运算能力． 【答案】32【解析】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接1PF ，OM ．因为M 为线段2PF 的中点，O 是线段12F F 的中点，故112OM PF =，2212MF PF =，由已知得2a =，由于点P 在双曲线右支上，根据双曲线定义得122PF PF a -=，所以212MO MF +=22211()(22)22()2PF PF a PF PF c a c +=+=+?-=，即2MO MF +的最小值为c ，所以3c =，故双曲线C 的离心率为32c e a ==．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （本小题满分12分）已知函数27()2cos sin(π2)1()6f x x x x =+--∈R ． （I ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（II ）在ABC △中，三个内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知函数()f x 的图象经过点1(,)2A ，若7=a 且13=+c b ,求ABC △的面积．【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角函数的图象和性质、余弦定理和面积公式等基础知识，意在考查运算求解能力．18. （本小题满分12分）为迎接文明城市检查，进一步加强文明创建力度，上级领导对所管辖20个小区的卫生情况进行了检查，并给予赋分评比（满分100分），且对低于60分的小区进行整顿，并将打分结果制成如图所示的频率分布直方图．（I ）求频率分布直方图中a 的值；（II ）分别求出成绩落在[)50,60与[)60,70中的小区个数；（III ）从成绩在[)50,70的小区中任选2个小区，求此2个小区都不需要整顿的概率．【命题意图】本题考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，意在考查运算求解能力和统计思想的运用．19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ^平面ABC ，5==BC AC ，61==AB AA ，E D ,分别为AB 和1BB 上的点，且λ==1EB BEDB AD . E DC 1B 1A 1CBA（Ⅰ）求证：当1=λ时，1A B ^平面DEC ；（Ⅱ）当λ为何值时，三棱锥1A CDE -的体积最小，并求出最小体积.【命题意图】本题考查直线和平面垂直的判定和性质、三棱锥体积等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．【解析】（Ⅰ）证明：∵1=λ，∴E D ,分别为AB 和1BB 的中点，又1AA AB =，且1AA ^平面ABC ， ∴平行四边形11ABB A 为正方形，∴1DE A B ^， ∵BC AC =，D 为AB 的中点，∴AB CD ⊥，∵1AA ^平面ABC ，CD Ì平面ABC ，∴1AA CD ^，且1AA AB A =，CD \^平面11ABB A ，1CD A B \^，又D DE CD = ，∴1A B ^平面DEC ．……6分20.（本小题满分12分）已知抛物线24y x =，焦点为F ，过点(2,0)M 且倾斜角为锐角的直线交抛物线于,A B 两点，且16MA MB ⋅=-．( I ) 求直线AB 的方程；（II ）设点C 是抛物线上的一动点（不含A 、B 两点），且在直线AB 的左侧，求ABC △面积的最大值．【命题意图】本题考查抛物线的标准方程、直线方程、直线和抛物线的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查数形结合思想、转化与化归思想以及运算求解能力．【解析】( I )设直线AB 为2(0)x my m =+>，221212(,), (,)44y y A y B y ，224x my y x =+⎧⎨=⎩ ，消去x ，得2480y my --=，则212121632048m y y m y y ∆⎧=+>⎪+=⎨⎪⋅=-⎩， 又(2,0)M ，所以221212(2,),(2,)44y y MA y MB y =-=-.则222212121212(2,)(2,)(2)(2)4444y y y y MA MB y y y y ⋅=-⋅-=--+22221212162y y y y +=- 124y y ++221616448=88.2m m +=-+---又 16MA MB ⋅=-，所以28816m --=-，解得21m =，又因为0m >，故1m =，即直线AB 的方程2x y =+，即20x y --=……6分21. （本小题满分12分）已知函数()221x b f x x +=+在点()()1,1f --的切线斜率为1-． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）已知0a b <<，求证：22ln ln 2b a a b a a b->-+． 【命题意图】本题考查导数的几何意义、导数的应用等基础知识，意在考查综合分析问题、解决问题的能力．【解析（I ）由已知得222)1(2)2()1(2)(x x b x x x f +⋅+-+='，且(1)1f '-=-，所以 12424)224)1(-===-+=-'b b b f （， 解得2-=b ．∴122)(2+-=x x x f ． ……5分 （II ）因为0b a ->，所以不等式等价变形为222ln ()1b b a b a a⋅->+（1b a>）， 故只需证明222ln 1x x x ->+（1x >）即可，不等式变形为22ln )1(2->+x x x （1x >） 设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='x x x x x h ，∵1>x ∴21,0ln 2>+>xx x x ，即0)(>'x h ， ∴)(x h 在),1(+∞上单调递增，0)1()(=>h x h ，∴22ln )1(2->+x x x 在),1(+∞∈x 上恒成立 ，即22ln ln 2b a a b a a b->-+．……12分 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.（本题满分10分） 选修41-：几何证明选讲如图，在ABC △中，AD BE 2=，ADC △的外接圆交BC 于点E ，AC AB 2=.（1）求证：CD 是ACB ∠的角平分线；（2）当6,3==EC AC ，求AD 的长.【命题意图】本题考查圆的内接四边形性质、割线定理、三角形相似等基础知识，意在考查逻辑推理能力．23. （本题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是22(sin cos )1ρρθθ-+=-，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是2cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[0,]3απ∈），点P 的直角坐标为22（，），直线l 交曲线C 于A B ，两点，． （I ）求曲线C 的参数方程；（II ）求+PA PBPA PB ⋅的最小值．【命题意图】本题考查圆的极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化以及直线参数方程等基础知识，意在考查运算求解能力．24. （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|||2|f x x a x a =++-+．（I ）当4a =-时，求函数()f x 的最小值；（II ）若()|3|f x x a ≤-+的解集包含[]0,1，求实数a 的取值范围．【命题意图】本题考查绝对值三角不等式，绝对值不等式等基础知识，意在考查运算求解能力．【解析】（I ）当4a =-故函数()f x 的最小值为2-．……5分（II ）原命题等价于()|3|f x x a ≤-+在[]0,1上恒成立，即||23x a x a x a ++-+≤-+在[]0,1上恒成立，即11x a x --≤≤-在[]0,1上恒成立，即10a -≤≤．……10分：。
辽宁省抚顺一中2016届高三数学四模试卷(理科) 含解析
2016年辽宁省抚顺一中高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合P=｛x｜1≤2x＜8}，Q={1，2,3},则P∩Q=(）A．{1,2｝B．｛1｝ C．{2，3}D．{1，2，3｝2．已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=(）A．2﹣i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i3．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知向量满足•(+）=2，且｜｜=1,｜｜=2,则与的夹角为() A．B．C．D．5．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（)A．30 B．600 C．720 D．8406．对任意的非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，且min{a，b,c}表示a，b,c中的最小值，则2⊗min｛1，log0。
30。
1，30.1｝的值为(）A．0 B．1C．D．2﹣30.17．关于函数，下列命题正确的是（）A．由f（x1）=f（x2）=1可得x1﹣x2是π的整数倍B．y=f（x）的表达式可改写成C．y=f(x）的图象关于点对称D．y=f（x）的图象关于直线对称=,∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，8．已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC且平面PAC⊥平面PBC,那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A． B．C． D．9．已知函数f（x）满足f（x）=f（）且当x∈[，1]时，f(x）=lnx，若当x∈［]时，函数g(x）=f（x）﹣ax与x轴有交点,则实数a的取值范围是（）A．［﹣，0］B．[﹣πlnπ，0]C．［﹣,］D．［﹣,﹣］10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．7+B．7+2C．4+2D．4+11．设F1，F2分别为椭圆C1: +=1(a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M,∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e∈［，]，则双曲线C2的离心率e1的取值范围为（)A．［,]B．［,） C．[，］D．［，+∞)12．已知函数f（x）满足：f（x）+2f′(x）＞0，那么下列不等式成立的是（）A．B． C．D．f(0）＞e2f(4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分，13．若（x2﹣）n展开式的二项式系数之和为128，则展开式中x2的系数为．14．已知实数x，y满足，则的最小值为．15．当x∈(﹣∞,1］,不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围为．16．在△ABC中，bcosC+ccosB=acosC+ccosA=2，且acosC+asinC=b+c，则△ABC的面积为．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．公差不为0的等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a1=1,S1，S2,S4成等比．（1）求数列｛a n}的通项公式；（2）设，证明对任意的n∈N＊，b1+b2+b3+…+b n＜2恒成立．18．某网站点击量等级规定如表：点击次数（x万次）0≤x＜50 50≤x＜100 100≤x＜150 x≥150 等级差中良优统计该网站4月份每天的点击数如下表：点击次数(x万次) 0≤x＜50 50≤x＜100 100≤x＜150 x≥150 天数 5 11 10 4(1）若从中任选两天,则点击数落在同一等级的概率；(2）从4月份点击量低于100万次的天数中随机抽取3天，记这3天点击等级为差的天数为随机变量X,求随机变量X的分布列与数学期望．19．如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形,∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（I)求证:AB⊥PC;（Ⅱ）求二面角B一PC﹣D的余弦值．20．已知F1，F2分别是椭圆E:的左右焦点，P是椭圆E上的点，且PF2⊥x轴，．直线l经过F1，与椭圆E交于A，B两点，F2与A,B两点构成△ABF2．（1）求椭圆E的离心率；（2)设△F1PF2的周长为，求△ABF2的面积的最大值．21．设函数f（x）=（1﹣ax)ln(1+x）﹣bx，其中a，b是实数．已知曲线y=f（x）与x轴相切于坐标原点．（1)求常数b的值；（2）当0≤x≤1时,关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围;（3）求证:．四。
2016届高三上学期第四次月考数学试卷(理)
2016 届高三上学期第四次月考数学（理）试题一、选择题（共 60 分）1．若会合 A=｛ y | y 2x ｝， B=｛ x ｜ x 2 2x 3 0 ， x R ｝，那么 A（B ）＝A 、［一 1， 3］B 、（ 0，3］C 、（3，十 ）D 、（ 0，一 1） U （ 3，＋ ）2．若复数 z 知足 3 一 i ＝（ z ＋ 1） i ，则复数 z 的共扼复数 z 的虚部为 A 、 3B 、 3iC 、一 3D 、一 3i3．已知随机变量 X 听从正态散布 N （ 3， l ），且 p （ 2≤ X ≤ 4）＝ 0.6826 ，则 P （X ＞4）＝A 、 0.158 8B 、 0.1587C 、 0.1586D 、 0.15854．以下说法中，不正确的选项是A 、已知 a ， b ， mR ，命题：“若 am 2bm 2 ，则 a ＜ b ”为真命题B 、命题：“ x 0R, x 0 2x 0 ＞ 0”的否认是： “ x R, x 2x 0 ”C 、命题“ p 或 q ”为真命题，则命题P 和命题 q 均为真命题D 、“ x ＞ 3”是“ x ＞ 2”的充足不用要条件5．若履行右侧的程序框图，输出 S 的值为 4，则判断框中应填入的条件是A 、 k ＜ 14？B 、 k ＜ 15？C 、 k ＜ 16？D 、 k ＜ 17？6．若 ( x 2ax 1)6 （a ＞ 0）的睁开式中 x 2 的系数是 66，则实数a 的值为A 、 4B 、3C 、 2D 、 l7．如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为A ，点 C 、B 在圆 O上，且点 C 位于第一象限，点B 的坐标为（12,5 ），1313“∠ AOC ＝ α ”，若｜ BC ｜＝ 1，则 3 cos 2sincos 32222的值为A 、－5B 、5C 、－12D 、1213 1313138．若 f （ x ）＝ ln （ e 3 x ＋ 1）＋ a x 是偶函数，则a 的值等于A 、5B 、－5C 、3D 、－32 2 2 29、如图是函数 f （ x ）＝ Asin （ 2x ＋）（｜｜）图像的一部分，对不一样的12x ， x2[a,b] ，若 f （x ）＝ f （ x ），有 f （ x ＋ x ）＝3 ，则l2l2A 、 f （ x ）在（一 5,）上是减函数1212B 、 f （ x ）在（,5）上是减函数36C 、 f （ x ）在（一 512 D 、 f （ x ）在（, 53 6, ）上是增函数 12）上是增函数10．一个几何体的三视图以下图，此中正视图是正三角形， 则几何体的外接球的表面积为x 2 2x 2 y 21(a 0,b0) ，若以 C 的长轴为直11．已知椭圆 C ：y ＝ 1，双曲线 C ：1112b 21a 2径的圆与 C 2 的一条渐近线交于 A 、 B 两点，且 C 1 与该渐近线的两交点将线段 AB 三均分，则C 的离心率为2A 、 5B 、 5C 、 17、2 14712．已知定义在 R 上的函数 f （x ），当 x ［ 0,2 ］时， f （x ）＝ 8（l 一｜ x 一 1｜），且对随意的实数， 都 有 f （ x ） ＝，若 g （ x ）＝有且仅有三个零点，则 a 的取值范围为A 、［ 2， 10］B 、［ 2, 10］C 、（ 2，10）D 、（2, 10 ）二、填空题（本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分．）13·已知直线 y ＝－ x ＋ 1是曲线 f （ x ）＝－ 1e x的切线，则实数 a ＝．ax y14．设实数 x， y 知足y 6 2x ，向量a＝（2x一y，m），b＝（一1， 1）若a／／ b，x1则实数 m的最小值为15 ．过抛物线 C：y22px( p ＞0）的焦点且斜率为 2 的直线与 C交于 A、B 两点，以 AB 为直径的圆与 C 的准线有公共点 M，若点 M的纵坐标为2，则p 的值为16．如图，在△ ABC中，三内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc,a3 ，S 为△ ABC 的面积，圆O 是△ ABC 的外接圆， P 是圆 O 上一动点，当S＋3 cosB cosC 获得最大值时，PA PB的最大值为三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12 分）某家电产品受在保修期内维修费等要素的影响，公司生产每件的收益与该产品初次出现故障的时间相关某厂家生产甲、乙两种品牌，保修期均为2 年现从该厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取50 件，统计数据以下：将频次视为概率，解答以下问题：（I ）从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件，求其起码有一件初次出现故障发生在保修期内的概率；（ II ）若该厂生产的家电均能售出，记生产一件甲品牌的收益为X l，生产一件乙品牌家电的收益为X2，假如该厂估计此后这两种品牌家电销量相当，因为资本限制，只好生产此中一种品牌的家电．若从经济效益的角度考虑，你以为应生产哪一种品牌的家电？说明原因18．（本小题满分 12 分）设等差数列a n的前 n 项和为S n，a5a624, S11＝143．数列b n的前n项和为 T n，知足2a n1T n (a1 1)(n N*) ．（ I ）求数列a n的通项公式及数列1的前 n 项和；a n a n1（ II ）能否存在非零实数，使得数列b n为等比数列？并说明原因．19．（本小题满分12 分）以下图，在四棱柱 ABCD一 A1B1C1D1中，底面 ABCD是梯形， AD／／ BC，侧面 ABB1A1为菱形，∠ DAB＝∠ DAA1。
吉林省吉林市普通中学2016届高三数学第四次调研测试试题 理
某某市普通中学2015—2016学年度高中毕业班第四次调研测试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。
注意事项： 1．答题前，考生先将自己的某某、某某填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合2{|560},{|2}A x x x B x x =-+<=≤，则()RA B =A ．AB ．RA C ．B D ．RB2.在复平面内，复数121iz i-=+所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 抛物线22y x =-的焦点坐标为 A. 1(,0)2B. 1(,0)2-C. 1(0,)8D. 1(0,)8- 4. 若变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．4B ．3C ．2D ．15. 已知lg lg 0a b +=，函数()xf x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是A. B. C.D.6.“牟合方盖”是我国古代数学家X 徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几 何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似 两个扣合（牟合）在一起方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．．．, 其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是A ．,a bB ．,a cC ．,c bD ．,b d7.已知实数{}1,2,3,4,5,6,7,8x ∈程序框图，则输出的x 不小于．．．121的概率为 A ．34B ．58C ．78D ．128.下列命题正确．．的个数是： ①对于两个分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大； ②在相关关系中，若用211c xy c e=拟合时的相关指数为21R ，用2y bx a =+拟合时的相关指数为22R ，且21R >22R ,则1y 的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“310a ->”发生的概率为23; ④“0,0a b >>”是“2a bb a+≥”的充分不必要条件. A.1B.2C.3D.4abcd9.已知()11,A x y 是单位圆O 上任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π，与单位圆O 交于点()22,B x y ，若()1220x my y m =->的最大值为2，则m 的值为A ．1B ．2C ．22D ．310.过双曲线222:1(1)y C x b b-=>的左顶点P 作斜率为1的直线l ，若直线l 与双曲线的两条渐近线分别相交于点,Q R ，且2OP OR OQ +=（其中O 为坐标原点），则双 曲线的离心率为 A.5B.1051011.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知,24A a π==且sin()csin()44b C B a ππ+-+=，则ABC ∆的面积为A ．18B ．28C ．12D ．2212. 设函数()f x 的图像是一条连续不断的曲线，且在实数集R 上存在导数()f x '，对任 意的x R ∈有2()()f x f x x -+=，且()0,x ∈+∞时，()f x x '>，若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值X 围是A. [1,)+∞B. (,1]-∞C. (,2]-∞D.[2,)+∞第Ⅱ卷13题～第2122题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分。
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《数学分析选讲》 第四次作业
一、判断下列命题的正误
1.若函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上有界. (正确)
2．若)(x f 在[,]a b 上可积，则2
()f x 在[,]a b 上也可积. (正确)
3．若)(x f 在区间I 上有定义，则)(x f 在区间I 上一定存在原函数. (错误) 4．若)(x f 为],[b a 上的增函数，则)(x f 在],[b a 上可积. (正确)
5．若)(x f 在],[b a 上连续，则存在[,]a b ξ∈，使()()()b a
f x dx f b a ξ=-⎰
.(正确)
二、选择题
1．对于不定积分⎰dx x f )( ,下列等式中（ A ） 是正确的.
A
)()(x f dx x f dx
d
=⎰； B ⎰=')()(x f dx x f ； C )()(x f x df =⎰
； D ⎰
=)()(x f dx x f d 2．若
⎰+=c e
x dx x f x
22)(，则=)(x f （ D ）
A x
xe 22 ； B x
e x 222 ； C x
xe 2 ； D )1(22x xe x
+
3．设5sin x 是)(x f 的一个原函数，则
⎰='dx x f )(（ B ）
A c x +-sin 5 ；
B c x +cos 5 ；
C 5sin x ；
D x sin 5-
4．若)(x f '为连续函数，则(41)'+=⎰f x dx （ A ）
A
1
(41)4
++f x c ；
B ()f x c +；
C (41)++f x c ；
D 4(41)++f x c 5．若
⎰+=c x
dx x f 2
)(，则⎰=-dx x xf )1(2（ D ）
A c x +-2
2)1(2 ； B c x +--2
2)1(2；
C c x +--
22)1(21 ； D c x +-22)1(21
6． =+⎰
x
dx
cos 1 （ C ）
A tan sec x x c -+ ；
B csc cotx x -+；
C tan
2x c + ； D tan()24
x π- 7．=-⎰
)d(e x x （
D ）
A c x x
+-e
； B c x x x +---e e ； C c x x +--e ； D c x x x ++--e e
8． 已知x e f x
+='1)( ，则=)(x f （ D ）
A 1ln x c ++ ；
B 212x x c +
+ ；
C 2
1ln ln 2
x x c ++ ； D ln x x c + 三、计算题
1．求不定积分(2)x x e e dx -⎰
.
解：(2)x x e e dx -⎰
=∫(e
2x
-2e x )dx=e 2x +2e x +C
2．求不定积分sin x xdx ⎰
． 解：解：C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰
⎰22
1arcsin 1arcsin arcsin
3．求不定积分2
1
+⎰x dx x ． 解：2
1
x dx x -⎰= ∫ (x² - 1)/(x - 1) +1/(x-1)dx = ∫ {[(x - 1)(x + 1)]/(x - 1)+1/(x-1)} dx = ∫[ (x + 1)+ 1/(x-1)] dx = x²/2 + x +㏑|x-1|+ C
4．求不定积分⎰
dx .
解：令
u =，则22()21)u u u dx e u du e u e C C ==-+=+⎰⎰
四、证明题
设f 为连续函数.证明: 0
(sin )(sin )2x f x dx f x dx πππ
=
⎰
⎰
.
证 因f 在],[b a 上不恒等于零，故存在],[0b a x ∈，使得0)(0≠x f ，于是0)(02
>x f .
又因为f 在],[b a 上连续，由连续函数的局部保号性，存在0x 的某邻域),(00δδ+-x x （当
a x =0或
b x =0时，则为右邻域或左邻域），使得在其中02
)()(022
>>
x f x f . 从而 ⎰
⎰
⎰
⎰
++--++=b x x x x a
b a
dx x f dx x f dx x f dx x f δ
δδ
δ0000)()()()(22
2
2
0)(2
)
()(02022
0000>=>≥⎰
⎰
+-+-δδδ
δδ
x f dx x f dx x f x x x x .。