平面图形的镶嵌--课件
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《平面镶嵌》课件
结论
1
能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点： 1.各角之和等于360º , 2.相等的边互相重合。
探究活动（三）
1.正五边形能密铺吗？说说理由。 2.正六边形能密铺吗？说说理由。 3.还能找到能密铺的其他图形吗？
做一做
正五边形可以密铺吗？
1 3 2
正六边形可以密铺吗？
正六边形的平面镶嵌
能否 平面 镶嵌
探究活动（二）
用同一种四边形可以镶嵌吗？
正方形的平面镶嵌
90°
结论： 形状、大小相同的任意四边形 能镶嵌成平面图形
★通过探究我发现：
可以 镶嵌. 1.任意全等的四边形_____
四 四 个角，而这___ 2.在每个拼接点处有___ 个角的和恰好是这个四边形的四个内 和 也就是它们的和为____. 360º 角之___,
请观察,这些图形在拼接时有什么特点?
感受并理解平面镶嵌的概念
问题1 结合刚才欣赏的美丽图案，你能说说对镶 嵌的理解吗？
（1）用于拼接的图案都是平面图形； （2）拼接处没有空隙，没有重叠的现象； （3）铺成的图案把一个平面完全覆盖.
感受并理解平面镶嵌的概念
平面镶嵌的概念： 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全 覆盖，通常把这类问题叫做多边形覆盖平面（或平面 镶嵌）.
探究多边形能平面镶嵌的条件
问题4 在边长相等的正三角形、正方形、正五边 形、正六边形中取两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形 可以进行平面镶嵌？
设 n 表示正多边形的边数. （2）用两种正多边形进行镶嵌的条件是： ax + by =360，其中a，b表示正多边形的个数， ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正三角形
数学人教版八年级上册平面图形的镶嵌课件
60° 60° 60 ° 60° 60 ° 60°
n=3 n=4 n=5 n=6
的 平 面 镶 嵌
正 方 形
90° 90° 90° 90°
n=3 n=4 n=5 n=6
正 六 边 形 的 平 面 镶 嵌
n=3 n=4 n=5 n=6
正五边形可以镶嵌吗？
1 2
原来拼不了！ 为什么?
3
∠1+∠2+∠3=?
形镶嵌问题的资料
让我们放飞理想， 翱翔于种形状、大小相同的平 面图形进行拼接,彼此之间不留缝隙, 也不重叠地铺成一片,叫做平面图形 的镶嵌.也叫平面图形的密铺。
上一页
判断：下列图形是平面图形的镶嵌吗？
图1
图2
图3
图4
小试牛刀1
试着用一种正多边形拼平面镶嵌图。
n=3 n=4 n=5 n=6
正 三 角 形 的 平 面 镶 嵌
正五边形不能镶嵌!
n=3 n=4 n=5 n=6
小试牛刀2
试着用两种或两种以上正多边形拼 平面镶嵌图。
自己动手制作一幅美丽的平面镶嵌
图，并说出其寓意。
小结
• • • • 平面图形镶嵌的概念及其特点 数学在生活中的应用 数学的美 学生创造力的培养
、
选择你喜欢的题目
1.身体力行:完成学习探究里的习题二 2.挑战自我:设计镶嵌图案,为本班设 计班徽，并说明设计理想 3.开拓视野:到网站上查询有关平面图
镶嵌(1)课件1
结 n=6
1200
3
能拼好 1200 ×3=3600
果
n =8
1350
不能拼好
2
0有缺口 0
135 ×2＜360
不能拼好
3
0有重叠 0
135 ×3＞360
规律：当这种正多边形的每个内角的度数恰好是360 0的
约数时，这种正多边形就能镶嵌.
练一练
1. 仅用正十边形能进行镶嵌吗? 为什么?
2. 只用一种正多边形能进行镶嵌的有 _正__三_角__形_、__正_方__形__、_正__六__边_形_.
当围绕一点拼在一起的几种正多边形的内角加在 一起恰好组成一个周角时，这几种正多边形就能镶嵌.
请你创造美
这是某公园的呈正六 边形的花坛，现要在其周 围用正多边形铺地，请你 设计出一种铺法，并画出 草图？
收获与体会 ● 你学到了什么知识？ ● 你是怎样获得这些数学知识的？
欢 迎 指 正
拼拼看
拼拼看
想一想
如果选择其中的两 种平面图形进行镶嵌， 你又会选择哪两种呢 ？
正三角形
正方形
正六边形
正八边形
拼拼看
用两种正多边 形进行镶嵌应满足 什么条件 ？
规律：当围绕一点拼在一起的两种正多边形的内角加在
一起恰好组成一个周角时，这两种正多边形就能镶嵌.
用三种或多种 正多边形进行镶嵌 应满足什么条件 ？
拼拼看
拼拼看
拼拼看Biblioteka 正三角形正方形正六边形
正八边形
拼拼看
拼拼看
拼拼看
拼拼看
拼拼看
议一议
为什么有的正多 边形可以镶嵌，而 有的却不能镶嵌？
理一理
正n边形 拼图
北师大版八年级数学下册综合实践：平面图形的镶嵌(共31张PPT)
自学概念
平面图形的镶嵌（平面图形的密铺）: 用形状和大小完全相同的一种或几种平面 图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重 叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺， 又称平面图形的镶嵌.
要点：
1、全等的一种或几种平面图形； 2、无空隙、不重叠铺成一片。
教室地面需要铺瓷砖，现有正多边形 的瓷砖若干块，仅用一种瓷砖，将教室地 面铺平，你选择哪一种？试试看！
三、多边形能进行平面镶嵌的条件： 1、拼接在同一点的各个角的度数和是360°； 2、相邻的多边形有公共边。
课后作业
试以“瓷砖中的数学”为题， 写一篇小论文。
图案（Ⅱ）
60° 60°
每个拼接点处有正六边形1个， 正三角形4个.
每个拼接点有2个正八边形和1个正方形
每个拼接点有2个正十二边形 和1个正三角形
总结收获
一、 一种正多边形能进行镶嵌的只有三种： 正三角形、 正方形、正六边形
二、一种全等的三角形或四边形 也能镶嵌。
镶嵌时，如何做到既 无缝隙又不重叠?
60° 60° 60°
90°
60°60°60°
用一种正多边形能镶嵌的只有正三角形、正方形 和正六边形。
平面镶嵌的条件
每个公共顶点处几个内角的 和为360°。
观察能镶嵌的三种图形，你发现它们与平移、旋转、 对称有什么关系？
整个图案可以由一个基本图形通过平移、旋 转或对称得到。
——平面图形镶嵌的本质
现有任意三角形和任意四边形形状的瓷砖， 你能只用一种瓷砖，就把地面铺好吗？
结论 （二）
能镶嵌的图形在一个拼接 点处的特点：
1.各角之和等于360º。 2.相等的边互相重合。
你能将两种或三种正多边形 瓷砖搭配着铺地面吗？
平面图形的镶嵌（平面图形的密铺）: 用形状和大小完全相同的一种或几种平面 图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重 叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺， 又称平面图形的镶嵌.
要点：
1、全等的一种或几种平面图形； 2、无空隙、不重叠铺成一片。
教室地面需要铺瓷砖，现有正多边形 的瓷砖若干块，仅用一种瓷砖，将教室地 面铺平，你选择哪一种？试试看！
三、多边形能进行平面镶嵌的条件： 1、拼接在同一点的各个角的度数和是360°； 2、相邻的多边形有公共边。
课后作业
试以“瓷砖中的数学”为题， 写一篇小论文。
图案（Ⅱ）
60° 60°
每个拼接点处有正六边形1个， 正三角形4个.
每个拼接点有2个正八边形和1个正方形
每个拼接点有2个正十二边形 和1个正三角形
总结收获
一、 一种正多边形能进行镶嵌的只有三种： 正三角形、 正方形、正六边形
二、一种全等的三角形或四边形 也能镶嵌。
镶嵌时，如何做到既 无缝隙又不重叠?
60° 60° 60°
90°
60°60°60°
用一种正多边形能镶嵌的只有正三角形、正方形 和正六边形。
平面镶嵌的条件
每个公共顶点处几个内角的 和为360°。
观察能镶嵌的三种图形，你发现它们与平移、旋转、 对称有什么关系？
整个图案可以由一个基本图形通过平移、旋 转或对称得到。
——平面图形镶嵌的本质
现有任意三角形和任意四边形形状的瓷砖， 你能只用一种瓷砖，就把地面铺好吗？
结论 （二）
能镶嵌的图形在一个拼接 点处的特点：
1.各角之和等于360º。 2.相等的边互相重合。
你能将两种或三种正多边形 瓷砖搭配着铺地面吗？
人教版数学八年级上册 11.4 数学活动 -平面图形的镶嵌 课件(共45张PPT)
作镶嵌 （ 能 ）
6 4. 用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放 ( )个 4 三角形;用任意四边形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放( )
个四边形. 5、下面四种正多边形中,用同一种图形不能平面镶嵌的是
( C ).
A
B
C
D
六、升华知识 深化认识
说说你的 收获
通过这节课的学习你有哪些收获？ 你还有什么体会吗？
我们都来做个有心人，多 思考、多研究，把学过的数学 知识应用于生活，解决生活中 的实际问题，使我们的生活更 加美好！
❖
本 课 到 此 结 束
教学后记
90°
4. 正六边形
用边长相同的正五边形不能镶嵌
你正五能边说形的说内角道不理能 吗?
组成360°的角。
13 2
∠1+∠2+∠3=?
活动一实验结论：
1.能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点： 各角之和等于360º
2.要用正多边形镶嵌成一个平面的关键
是看：这种正多边形的一个内角的倍数 是否是360°，在正多边形里，正三角 形的每个内角都是60°，正四边形的每 个内角都是90°，正六边形的每个内角 都是120°，这三种多边形的一个内角 的倍数都是360°，而其他的正多边的 每个内角的倍数都不是360°
某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）C
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
边长为a的正方形与下列边长为a的正多边形组合起来，
不能镶嵌成平面的是（ ）B
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形
A. ① ②
B. ② ③
C. ① ③
D. ① ④
课堂练习
3、形状、大小完全相同的任意三角形、四边形 能否单独
6 4. 用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放 ( )个 4 三角形;用任意四边形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放( )
个四边形. 5、下面四种正多边形中,用同一种图形不能平面镶嵌的是
( C ).
A
B
C
D
六、升华知识 深化认识
说说你的 收获
通过这节课的学习你有哪些收获？ 你还有什么体会吗？
我们都来做个有心人，多 思考、多研究，把学过的数学 知识应用于生活，解决生活中 的实际问题，使我们的生活更 加美好！
❖
本 课 到 此 结 束
教学后记
90°
4. 正六边形
用边长相同的正五边形不能镶嵌
你正五能边说形的说内角道不理能 吗?
组成360°的角。
13 2
∠1+∠2+∠3=?
活动一实验结论：
1.能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点： 各角之和等于360º
2.要用正多边形镶嵌成一个平面的关键
是看：这种正多边形的一个内角的倍数 是否是360°，在正多边形里，正三角 形的每个内角都是60°，正四边形的每 个内角都是90°，正六边形的每个内角 都是120°，这三种多边形的一个内角 的倍数都是360°，而其他的正多边的 每个内角的倍数都不是360°
某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）C
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
边长为a的正方形与下列边长为a的正多边形组合起来，
不能镶嵌成平面的是（ ）B
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形
A. ① ②
B. ② ③
C. ① ③
D. ① ④
课堂练习
3、形状、大小完全相同的任意三角形、四边形 能否单独
第六章综合与实践平面图形的镶嵌课件
知2－练
2 阿男的父亲想购买同一种大小一样、形状相同
的地板砖铺设地面．阿男根据所学的知识告知
父亲，为了能够做到无缝隙、不重叠地铺设，
购买的地板砖形状不能是( )
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
知2－练
3 用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的 规律拼成若干个图案： (1)第4个图案中有白色地砖________块； (2)第n个图案中有白色地砖________块．
知2－讲
导引：A、正三角形的一个内角度数为180°÷3＝60°， 是360°的约数，能进行平面镶嵌；B、正六边形 的一个内角度数为180°－360°÷6＝120°，是 360°的约数，能进行平面镶嵌；C、正方形的一 个内角度数为180°－360°÷4＝90°，是360°的 约数，能进行平面镶嵌；D、正五边形的一个内角 度数为180°－360°÷5＝108°，不是360°的约 数，不能进行平面镶嵌．
嵌而成，其中三个分别为正三角形、正方形、正
六边形，则另一个为( )
A．正六边形
B．正五边形
C．正方形
D．正三角形
知3－练
3 用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围
有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的
关系式是( )
A．2m＋3n＝12
B．m＋n＝8
C．2m＋n＝6
D．m＋2n＝6
1. 用相同的正多边形镶嵌的条件： (1)边长要相等； (2)有公共顶点； (3)在公共顶点处各内角的和为360°.
知2－讲
1. 平面镶嵌的原则：环绕一点拼在一起的多边形的 内角加在一起恰好组成一个周角．
2. 平面镶嵌的常用方法： (1)只用一种正多边形； (2)同时用两种正多边形； (3)用非正多边形．
《平面图形的镶嵌》)
曲线形镶嵌
使用曲线形状进行镶嵌，如波浪线、 弧线等，可以营造出柔和、流动的视 觉效果。
组合图形镶嵌
1 2
几何图形组合镶嵌
将不同种类的几何图形（如三角形、正方形、圆 形等）组合在一起进行镶嵌，可以形成富有创意 的视觉效果。
图案与几何图形组合镶嵌
在几何图形的基础上，加入特定的图案或纹理进 行镶嵌，可以丰富视觉效果，增加层次感。
提升自身技能，拓展应用领域
学习掌握新技术
设计师需要不断学习和掌握新技术，如参数化设计、3D打印等，以提升平面图形镶嵌的 设计水平和制造能力。
拓展应用领域
平面图形镶嵌具有广泛的应用前景，设计师可以积极拓展应用领域，如建筑、艺术、工业 设计等，为不同领域提供更多的创新解决方案。
加强实践与交流
通过参与实际项目、参加专业研讨会等方式，加强实践与交流，不断提升自身的专业素养 和实践能力。
检查镶嵌作品是否完整， 对不满意的地方进行修
饰和完善。
注意事项及常见问题解答
注意事项
使用剪刀和刻刀时要注意安全，避免 划伤；粘贴时要确保图形平整，避免 起皱或翘起。
常见问题解答
如遇到图形大小不合适、颜色搭配不 协调等问题，可重新设计图案或调整 裁剪方式；如粘贴不牢固，可更换胶 水或增加粘贴面积。
06 总结与展望
平面图形镶嵌广泛应用于建筑、装饰、纺织、计算机图形学等领域。
意义
镶嵌不仅是一种美学上的表现形式，更是数学、物理学等学科研究的重要对象， 对于理解平面图形的性质、空间结构以及自然界中的晶体结构等具有重要意义。
02 常见平面图形镶嵌方法
规则图形镶嵌
三角形镶嵌
使用等边三角形或等腰三 角形进行镶嵌，可以形成 美观且稳定的图案。
平面镶嵌优课件
（1）正三角形与正六边形；
（2）正三角形与正方形；
（3）正方形与正八边形； （4）正六边形与正八边形；
（5）正三角形、正方形与正六边形。
m 3 60m 90n 360 n 2
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正 方形的角，
注意：同一个组合会有 不同的镶嵌效果
则记作（3，3，3，4，4）
3,4,6
2+4/n-
用正五边形和什么多边形能密铺？
1、镶嵌的要求：
无缝隙，不重叠
2、多边形能否镶嵌的条件：
每个顶点处几个角的和为
360°
再见！
。
。
。
m=1
n=2
形正 的八 平边 面形 镶与 嵌正 方
正十二边形与正三角形 的平面镶嵌
正十边形与正五边 形的平面镶嵌
（05山东）9．用两种正多边形镶嵌，不能与正三 角形匹配的正多边形是 （A）正方形 （B）正六边形 （C）正十二边形 （D）正十八边形
练习一：
(2003年中考题）商店出售下列形状的地砖：①正方形； ②长方形； ③正五边形；④正六边形。若只选择其中 某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ） A.1种
6
4
C
A
B
C
D
练习三
如图用两种颜色的正六边形的砖按图所示的 规律,镶嵌成若干个图案：
18 )块. (2).第n个图案中有白色地砖( 4n+2 )块.
(1).第4个图案中有白色地砖(
练习四:
边数
3
4 5 6
当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角 和加在一起恰好组成一个周角时,就能镶嵌成 一个平面图形；那么那些正多边形可以进行 镶呢？ 每个内角
（2）正三角形与正方形；
（3）正方形与正八边形； （4）正六边形与正八边形；
（5）正三角形、正方形与正六边形。
m 3 60m 90n 360 n 2
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正 方形的角，
注意：同一个组合会有 不同的镶嵌效果
则记作（3，3，3，4，4）
3,4,6
2+4/n-
用正五边形和什么多边形能密铺？
1、镶嵌的要求：
无缝隙，不重叠
2、多边形能否镶嵌的条件：
每个顶点处几个角的和为
360°
再见！
。
。
。
m=1
n=2
形正 的八 平边 面形 镶与 嵌正 方
正十二边形与正三角形 的平面镶嵌
正十边形与正五边 形的平面镶嵌
（05山东）9．用两种正多边形镶嵌，不能与正三 角形匹配的正多边形是 （A）正方形 （B）正六边形 （C）正十二边形 （D）正十八边形
练习一：
(2003年中考题）商店出售下列形状的地砖：①正方形； ②长方形； ③正五边形；④正六边形。若只选择其中 某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ） A.1种
6
4
C
A
B
C
D
练习三
如图用两种颜色的正六边形的砖按图所示的 规律,镶嵌成若干个图案：
18 )块. (2).第n个图案中有白色地砖( 4n+2 )块.
(1).第4个图案中有白色地砖(
练习四:
边数
3
4 5 6
当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角 和加在一起恰好组成一个周角时,就能镶嵌成 一个平面图形；那么那些正多边形可以进行 镶呢？ 每个内角
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观察能镶嵌的三种图形，你发现 它们与平移、旋转、对称有什么关系？ 整个图案可以由一个基本图形通过 平移、旋转或对称得到。
——平面图形镶嵌的本质
小组活动：哪两种正多边形组合在一起 能进行镶嵌？看谁拼得最多？
它们有什么共同的特征？
（1） 正三角形与正方形的平面镶嵌 （2） 正三角形与正六边形的平面镶嵌
你能提出哪些有价值的数学问题 供本节课研究呢？
猜一猜：哪些正多边形通过拼接能 进行平面的镶嵌？
小组活动：请通过画图或利用课前准备
好的正三角形、正四边形、正五边形、 正六边形、正七边形纸片，动手操作， 验证自已的猜想。看哪个小组拼得又快 又好！
镶嵌时，如何做到既 无缝隙又不重叠?
60° 60° 60° 60° 60° 60°
1：平面图形镶嵌的条件是边长相等且每个公共顶点处 几个内角的和为360°。本质就是数学知识中的平移、 旋转、对称在实际生活中的综合应用。
2：现实生活中的问题 确立研究课题 搜集相关材料
提出研究子问题
应用研究成果
归纳猜想、实验探究
形成研究报告。
3：利用平面图形镶嵌的定义和对称、旋转、平移的 数学方法可以设计一些简单的漂亮的平面镶嵌的图案。
（3） 正四边形与正八边形的平面镶嵌
只要满足边长相等和每 个公共顶点处几个内角 的和为360°，两个正 多边形就能进行镶嵌。
看老师变魔术啦！
看老师变魔术啦！
看老师变魔术啦！
胜利之星
漂亮的窗户
通向成功的小路
问1：平面图形的镶嵌的本质及条件是什么？ 问2：你知道课题学习的基本模式吗？图形的三种正多边形与不能拼成镶嵌图 形的正五边形究竟有何异同？你发现了什么？
平面镶嵌的条件
1、边长相等。
2、每个公共顶点处几个内 角的和为360°。
用同一种正多边形 进行平面镶嵌，只有正 三角形、正四边形、正 六边形三种图形才行。
60° 60° 60°
60° 60° 60°
90°
平面图形的镶嵌
生活中的正多边形图案
在铺地板砖时应注意 什么？砖与砖之间是否 有空隙，是否重叠？
没有空隙，不重叠
观察以下图案，说明它们都是由哪些 几何图形组成？
它们都有哪些共同的特征？
没有空隙，不重叠
现实生活中的问题
平面图形的镶嵌
上面这个图形是镶嵌吗？
像这样，用形状、大小完全相同的 平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙， 也没有重叠地铺成一片，叫做平面图形的 镶嵌。
请
欣 赏
1、非正多边形能否进行平面镶嵌？
2、根据自己的爱好，设计一个美丽的平 面镶嵌图案。