：平面镶嵌

请你欣赏
观察以下图案，说明它们都是 由哪些几何图形组成？
3.正十二边形与正方形、正六边形三 种图形可能平面镶嵌吗？
四边形能否单独作镶嵌?
3.用任意三角形镶嵌平面时,同一顶
点处应摆放 个三角形;用任意四
边形镶嵌平面时,同一顶点处应摆
放
个四边形.
4.下面四种正多边形中,用同一种图 形不能平面镶嵌的是( ).
A
B
C
D
5.如图用两种颜色的正六边形的砖按图所 示的规律,镶嵌成若干个图案：
(1).第4个图案中有白色地砖( 18 )块. (2).第n个图案中有白色地砖( 4n+2 )块.
观察以下图形并思考在镶嵌时 如何做到既无缝隙又不重叠?
每个顶点处几个内角的和为360°
若用一种正多边形进行镶嵌 ， 下列哪些正多边形可以镶嵌？ 为什么呢？ ①正三角形； ②正方形 ； ③正五边形； ④正六边形； ⑤正八边形； ⑥正十二边形。
还有其他的正多边形可以进行 镶嵌吗？
1、 正三角形的平面镶嵌
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
6
4
3
只用一种正多边形 进行平面镶嵌,有三种 方法: 3个六边形;4个 四边形;6个三角形.
1.三角形可以作平面镶 嵌吗?如果能,三角形如 何镶嵌呢?
2.四边形呢?
如图,四边形ABCD中,因为 ∠A+∠B+∠C+∠D =360°, 所以用四边形也可以作平面镶嵌.
注意：同一个组合会有 不同的镶嵌效果
①
②
（2）正三角形与正六边形的平面镶嵌 图案（Ⅰ）
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形的角。
60m

120n

360

m 4 n 1
,
m 2 n 2
（2）正三角形与正六边形的平面镶嵌 图案（Ⅱ）
60° 60°
每个顶点处正三角形4个，正六边形1个。
60°
60°
60°
60° 60° 60°
2、 正方形的平面镶嵌
90°
3、 正六边形的平面镶嵌
F
E
A
D
B
C
你能只用一种正五边形拼成一个 地面吗？为什么？
仅用正多边形进行镶嵌,要嵌成一个 平面,必须要求在公共顶点上所有内角和 为360∘
正三角形
能否 平面 镶嵌
能
正方形能
课题导入
多边形内角和定理是什么？
(n-2)×180°（n为不小于3的整数）
多边形外角和定理是什么？
任意多边形的外角和都为3600
正多边形的每个内角的度数怎么求？
正n边形的每一个内角都等于(n 2) 1800 或 180o 360o
n
n
目标引领：
1、了解平面镶嵌的含义，掌握哪些平面图形 可以平面镶嵌及镶嵌的理由 2、通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个 三角形、四边形或者正六边形可以镶嵌，并进行 简单的镶嵌设计
A.①② B.②③ C.①③ D.①④
3.如果用边长相等的正三角形和正六边形 铺地砖,铺设方案有( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
目标升华
1、镶嵌的要求：
无缝隙，不重叠
2、多边形能否镶嵌的条件：
每个顶点处几个内角的和为360°
当堂诊学 .如图，用8块相同的长方形地砖拼
成地板的面积是( )
独立自学
认真阅读课本99-100页的内容，思考：
• 1.什么叫平面镶嵌？ • 2.平面镶嵌的条件是什么？ • 3.常见的正多边形怎样用来作平面
镶嵌？
引导探究：
用形状相同或不同的平面封闭图 形,覆盖平面, 使图形间既无缝隙又 不重叠地全部覆盖,在几何里面叫做 平面镶嵌. 例如:
平面镶嵌的条件： 无空隙、不重叠铺成一片.
下列多边形组合，能够铺满地面的是： （1）正三角形与正六边形； （2）正三角形与正方形； （3）正方形与正八边形； （4）正六边形与正八边形；
（5）正三角形、正方形与正六边形。
（1） 正三角形与正方形的平面镶嵌
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形的角。
60m

90n

360

m 3 n 2
40cm
强化补清
作业56页内容
资料：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17
组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫波 尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿 尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图
样，真是令人叹为观止。
思考题
下图是一个小正方形构成的十字形, 有人说用两刀剪开后可以拼成一个 正方形,请画出下刀的虚线并拼成正 方形.
2m+3n=8
∵m、n为正整数
m=1
∴解为
n=2
形 的 平 面 镶 嵌
正 八 边 形 与 正 方
正十二边形与正三角形 的平面镶嵌
正十边形与正五边 形的平面镶嵌
1.用两种正多边形镶嵌,不能与正
三角形匹配的正多边形是( ).
A.正方形
B.正六边形
C.正十二边形 D.正十八边形
2.边长为a的正方形与下列边长为a的 正多边形组合起来.不能镶嵌成平面 的是( ) ①正三角形;②正五边形;③正六边形; ④正八边形
D C
A
B
发现: 用一种形状、大小完全相同
的三角形,四边形也能进行平面 镶嵌.
引导探究
1.商店出售下列形状的地砖:①正方形;② 长方形;③正五边形;④正六边形.若只选 择其中某一种地砖镶嵌地面,可供选择的 地砖共有( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
2.形状、大小完全相同的任意三角形、
（3）正三角形和正十二边形平面镶嵌图案
设在一个顶点周围有m个正三角形的角、 n个正十二边形。的角，则。有 。
m·60 +n·150 =360
2m+5n=12
∵m、n为正整数
m=1 ∴解为 n=2
设在一个顶点周围有个m正四边形的角、n个正八边形 的角，则有
。
。。
m·90 +n·135 =360