直线与圆基础知识
直线与圆基础知识点+思维导图练习
6、直线方程的几种形式
直线形式
方程形式
已知条件
名称
点斜式
过点 P(x0 , y0 ) ，斜率为 k
适用范围 斜率存在
斜截式
斜率为 k ，在 y 轴上的截距为 b
斜率存在
一般式
A, B 不同时为 0
适用任何直线
两点式 截距式
过点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )
x1 x2 , y1 y2
在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 a 、 b 不垂直与坐标轴，
不过原点
30
7、特殊位置的直线方程
（1）若直线垂直于 x 轴，且过点 P(x0 , y0 ) ，则直线方程是
；
（2）若直线垂直于 y 轴，且过点 P(x0 , y0 ) ，则直线方程是
.
8、两条直线的位置关系 两直线方程
l1 : y k1x b1
时，
两圆相离；当
时，两圆外切；当
当
时，两圆内切；当
时，两圆内含.
时，两圆相交；
*17、过圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 外一点 P(x0 , y0 ) 作圆的两条切线，切点分别为 A, B ，则
A, B 所在直线方程为 (x0 a)(x a) ( y0 b)( y b) r2 .
外切：d=R+r
外离：d>R+r
例 1、点 A(3, 0) 与点 B(7, 2) 的中点坐标为
.
例 2、已知点 A(2, 1) ，点 B(1, 3) ，则| AB |
.
例 3、求直线 l 经过以下两点的斜率及倾斜角.
（1） A(1, 3), B(1,3 3)
（2） A(2, 2), B(2, 2)
高二数学直线与圆知识点
高二数学直线与圆知识点直线与圆是高中数学中的基础知识，也是解析几何的重要内容之一。
掌握直线与圆的性质和关系，对于理解几何图形的性质、解题以及拓展数学思维都有重要意义。
本文将介绍高二数学中与直线与圆相关的知识点。
一、直线的基本性质1. 直线的定义：直线是由无限多个点构成，且任意两点都在这条直线上。
2. 直线的表示方式：直线可以用两个点表示，也可以用方程表示。
3. 直线的斜率：斜率是直线的重要性质之一，可以用来描述直线的倾斜程度。
直线的斜率可以通过两点的坐标计算得到。
二、圆的基本性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点距离固定的点的轨迹。
定点称为圆心，距离称为半径。
2. 圆的表示方式：圆可以用圆心和半径表示。
3. 弧长和扇形面积：圆上的弧长是圆心角所对的弧段的长度，扇形面积是圆心角所对的扇形的面积。
三、直线与圆的关系1. 直线和圆的位置关系：直线可以与圆相切、相离、相交。
相切时，直线只与圆相切于一点；相离时，直线与圆没有公共点；相交时，直线与圆相交于两个点。
2. 切线的性质：切线是与圆相切于一点的直线，切线与半径垂直。
3. 弦的性质：弦是圆上任意两点之间的线段，圆心角等于弦所对的弧的一半。
4. 弦切角的性质：弦切角是弦和切线的夹角，弦切角等于所对弧的圆心角。
四、直线与圆的方程1. 直线的方程：直线可以用点斜式、一般式、截距式等多种形式表示。
2. 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程是以圆心为原点，半径为r的圆的方程。
五、直线与圆的相关定理1. 切线定理：切线与半径垂直，且切点在切线上。
2. 弦切定理：切线与弦所夹角等于所对的弧的圆心角。
3. 弧切定理：切线与弦所夹的圆心角等于所对的弧的一半。
六、直线与圆的相关应用1. 直线与圆的位置关系的应用：可以根据直线与圆的位置关系求出点的坐标、判断线段的长度等。
2. 直线与圆的方程的应用：可以通过直线和圆的方程求解交点的坐标、判断直线与圆是否相交等。
知识讲解_直线、圆的位置关系_(基础)
直线、圆的位置关系【学习目标】1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想. 【要点梳理】要点一：直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l 与圆C 有公共点. 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. （2）几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断： 当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点二：圆的切线方程的求法 1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-． 法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点三：求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：2121||l k x x =+-=()()22121214k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦．要点四：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. （2）几何法： 设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d .当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【典型例题】类型一：直线与圆的位置关系例1.已知直线y=2x+1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.【思路点拨】解决本题的方法主要有两个，其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系；其二是引入一元二次方程，利用方程根来解决. 【答案】相交 【解析】解法一：∵x 2+y 2=4， ∴圆心为（0，0），半径r=2.又∵y=2x+1，∴圆心到直线的距离为25d r ==<=.∴直线与圆相交. 解法二：∵⎩⎨⎧=++=,4,1222y x x y ∴（2x+1）2+x 2=4，即5x 2+4x-3=0. 判别式Δ=42-4×5×（-3）=76＞0. ∴直线与圆相交.【总结升华】判断直线与圆的位置关系可以从代数方法和几何意义两个方面加以考虑.例2．已知直线方程mx―y―m―1=0，圆的方程x 2+y 2―4x―2y+1=0．当m 为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点；（2）只有一个公共点； （3）没有公共点．【答案】（1）m ＞0或43m <-（2）m=0或43m =-（3）403m -<< 【解析】解法一：将直线mx―y―m―1=0代入圆的方程化简整理得，（1+m 2）x 2―2（m 2+2m+2）x+m 2+4m+4=0． ∵Δ=4m （3m+4），∴当Δ＞0时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ=0时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二：已知圆的方程可化为（x―2）2+（y―1）2=4， 即圆心为C （2，1），半径r=2．圆心C （2，1）到直线mx―y―m―1=0的距离d ==．当d ＜2时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d=2时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d ＞2时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 【总结升华】解决此类问题是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程．举一反三：【变式1】求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足： （1）相交；（2）相切；（3）相离．【答案】（1）m <-m >（2）m =±3）m -<<【解析】圆的方程化为标准为22(3)4x y -+=，故圆心（3，0）到直线30x my -+=的距离d =2r =．（1）若相交，则d r <2<，所以m <-m >．（2）若相切，则d r =2=，所以m =±（3）若相离，则d r >2>，所以m -<<【总结升华】一般来讲，选择此方法要比选择计算判别式的方法在运算上简单． 类型二：切线问题【高清课堂：与圆有关的位置关系370892 典型例题1】 例3．过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.【思路点拨】先判断点在圆上或圆外，如果点在圆上则有一条切线．如果点在圆外，则有两条切线．本例中很明显点在圆外．【答案】43250x y --=或34250x y +-= 【解析】因为22715025+=>，所以点在圆外．法一：设过点(7,1)P 与圆相切的直线为:1(7)l y k x -=-,即710kx y k --+=. 因为圆心(0,0)到l 的距离d =,则5d r ==,5=.解得43k =或34-. 从而,切线方程为43250x y --=或34250x y +-=.解法二:设过点(7,1)P 与圆相切的直线为:1(7)l y k x -=-.由221(7),25y k x x y -=-⎧⎨+=⎩可得222(1)2(71)(71)250k x k k x k +--+--=.从而 22224(71)4(1)[(71)25]0k k k k ∆=--+--=.解得43k =或34-. 从而,切线方程为43250x y --=或34250x y +-=.【总结升华】求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 举一反三：【变式1】（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）、(1,B ，且圆心C 在直线y =x 上． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,3的直线l 截圆所得弦长为l 的方程．【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1或y x =+【解析】（1）AB 的中点坐标3(,2，AB AB 垂直平分线为60y +=，与x ―y =0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过(1,3，∴直线l的方程为(1)y k x-=-，即y kx k=，则圆心（0，0）到直线的距离||kd-=，又圆的半径r=2，截得的弦长为则有22||4k-+=，解得：k=，则直线l的方程为33y x=-+．当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或y x=．【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．类型三：弦长问题例4．直线l经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为l的方程．【答案】x―2y+5=0或2x―y―5=0【解析】法一：根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y―5=k（x―5）圆心（0，0）到直线的距离d=，在由弦长的一半、半径和距离d构成的直角三角形中，=，解得12k=或k=2故直线l的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0．法二：根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y―5=k（x―5）与圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）,联立方程225(5)25y k xx y-=-⎧⎨+=⎩，消去y，得（k2+1）x2+10k（1―k）x+25k（k―2）=0，∴Δ=[10k（1―k）]2―4（k2+1）·25k（k―2）＞0，解得k＞0．又12210(1)1k k x x k -+=-+，12225(2)1k k x x k -=+． 由斜率公式，得y 1―y 2=k （x 1―x 2），∴221212||()()AB x x y y =-+-212(1)()k x x =+- 221212(1)[()4k x x x x =++-222222100(1)25(2)(1)445(1)1k k k k k k k ⎡⎤--=+-⋅=⎢⎥++⎣⎦． 两边平方，整理得2k 2―5k+2=0， 解得12k =或k=2，符合题意． 故直线l 的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0．【总结升华】 设直线l 的方程为ax+by+c=0，圆O 的方程为（x―x 0）2+（y―y 0）2=r 2，求弦长的方法有以下两种：（1）几何法：由圆的性质知，过圆心O 作l 的垂线，垂足C 为线段AB 的中点．如图所示，在Rt △OCB 中，|BC|2=r 2―d 2．则弦长|AB|=2|BC|，即22||2AB r d =-．（2）代数法：解方程组222000()()ax by c x x y y r ++=⎧⎨-+-=⎩， 消元后可得关于x 1+x 2，x 1·x 2或y 1+y 2，y 1·y 2的关系式，则221212||(1)[()4AB k x x x x =++- 21212211[()4](0)y y y y k k ⎛⎫=++-≠ ⎪⎝⎭举一反三：【变式1】求经过点P （6，―4），且被定圆x 2+y 2=20截得弦长为62的直线的方程． 【答案】x+y―2=0或7x+17y+26=0【解析】如图所示，||62AB =，||25OA =，作OC ⊥AB 于C ．在Rt △OAC 中，2||20(32)2OC =-=．设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y+4=k （x―6），即kx―y―6k―4=0．又圆到直线的距离为2，∴221k =+，即17k 2+24k+7=0，∴k 1=―1，2717k =-． ∴所求直线方程为x+y―2=0或7x+17y+26=0． 类型四：圆与圆的位置关系例5．已知圆C 1：x 2+y 2―2mx+4y+m 2―5=0，圆C 2：x 2+y 2+2x―2my+m 2―3=0，问：m 为何值时，（1）圆C 1和圆C 2相外切？（2）圆C 1与圆C 2内含？【思路点拨】利用几何法或代数法都可以判断． 【答案】（1）m=―5或m=2；（2）―2＜m ＜―1． 【解析】对于圆C 1，圆C 2的方程，配方得 C 1：（x―m ）2+（y+2）2=9，C 2：（x+1）2+（y―m ）2=4．（1）如果圆C 1与圆C 232=+，即 （m+1）2+（m+2）2=25，m 2+3m―10=0， 解得m=―5或m=2．（2）如果圆C 1与圆C 232<-，即（m+1）2+（m+2）2＜1，m 2+3m+2＜0，解得―2＜m ＜―1． 故（1）当m=―5或m=2时，圆C 1与圆C 2相外切；（2）当―2＜m ＜―1时，圆C 1与圆C 2内含． 【总结升华】利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d 和两圆的半径R 和r ，再根据d 与R+r 、d 与R―r 的大小关系来判定即可．举一反三：【变式1】当a 为何值时，圆C 1：x 2+y 2―2ax+4y+（a 2―5）=0和圆C 2：x 2+y 2+2x―2ay+（a 2―3）=0相交．【答案】当―5＜a ＜―2或―1＜a ＜2时，圆C 1与圆C 2相交【变式2】已知圆1C ：22(1)(3)9x y ++-=，圆2C ：2242110x y x y +-+-=，求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长．【思路点拨】对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，再由点到直线的距离公式求出一个圆的圆心到该弦的距离，用弦心距、弦的一半，半径建立的直角三角形求出弦的一半，即得其长．【答案】公共弦所在直线方程为3x ―4y +6=0，弦长为245【解析】两圆的方程作差得6x ―8y +12=0，即3x ―4y +6=0， ∵圆1C ：22(1)(3)9x y ++-=，故其圆心为（―1，3），r =3 圆到弦所在直线的距离为|3126|955d --+==125= 故弦长为245综上，公共弦所在直线方程为3x ―4y +6=0，弦长为245． 类型五：最值问题例6．已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2―4x+1=0，求：（1）yx的最大值；（2）y―x 的最小值． 【思路点拨】将x 2+y 2―4x+1=0、yx、y―x 赋予几何意义，利用数形结合来解决．【答案】（1（2）2【解析】将实数x 、y 看作点P （x ，y ）的坐标，满足x 2+y 2―4x+1=0的点P （x ，y ）组成的图形是以M （2，0）为圆心，半径为3的圆，如图所示．（1）设00y y k x x -==-，即yx是圆上的点P 与原点O 连线的斜率．由图知，直线y=kx 和圆M 在第一象限相切时，k 取最大值． 此时有OP ⊥PM ，||3PM =，|OM|=2，∴∠POM=60° 此时tan 603k =︒=，∴yx的最大值为3． （2）设y―x=b ，则y=x+b ，b 是直线y=x+b 在y 轴上截距．由图知，当直线y=x+b 和圆M 在第四象限相切时，b （b ＜0）取最小值，此时有32=，解得62b =--， ∴y―x 的最小值是62--．【总结升华】利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，根据图形的几何性质，观察出最值出现的时机和位置，从而解决求代数表达式的最值问题．这是用几何方法解决代数问题的常用方法，即数形结合．常见的数形结合点是直线方程、圆的方程、过两点的斜率公式、平面内两点间距离公式、直线在y 轴上的截距等．举一反三：【变式1】已知点P （x ，y ）在圆22(2)3x y ++=上，求yx的最小值． 【答案】3- 【解析】设yk x=，则k 的几何意义为圆上的点与原点的斜率， 则由图象可知当直线y =kx 与圆在第二象限相切时，直线斜率最小，此时k ＜0， 则圆心（－2，0）到直线的距离231d k==+，即23k =，解得3k =-， 故yx的最小值为3-． 【高清课堂：与圆有关的位置关系370892 例4】【变式2】已知实数x ，y 满足222-230x y x y ++=，求（1）x 2+y 2的最大值；（2）x+y 的最小值．【答案】（1）16 （2）3221--【解析】22222-230(1)(-3)4x y x y x y ++=++=可以化为于是（x ，y ）可以看作是以(-1,3)为圆心，2为半径的圆上的点． 如图（1）x2+y2可看作是圆上的点到原点的距离的平方，22x y2r=4，所以x2+y2的最大值为16．（2）解法同例6（2）．。
直线与圆的位置关系教案
直线与圆的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与圆的位置关系，掌握相关概念。
2. 学会利用直线与圆的位置关系解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
教学重点：1. 直线与圆的位置关系的判定。
2. 直线与圆的位置关系的应用。
教学难点：1. 理解并掌握直线与圆的位置关系的判定条件。
2. 解决实际问题时，如何正确运用直线与圆的位置关系。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 直线与圆的位置关系的相关例题和练习题。
教学过程：第一章：直线与圆的基本概念1.1 直线的定义及性质1.2 圆的定义及性质1.3 直线与圆的位置关系的基本概念第二章：直线与圆的位置关系的判定2.1 直线与圆相交的判定条件2.2 直线与圆相切的判定条件2.3 直线与圆相离的判定条件第三章：直线与圆的位置关系的应用3.1 求圆的方程3.2 求直线的方程3.3 求直线与圆的位置关系第四章：实际问题中的应用4.1 求点到直线的距离4.2 求点到圆心的距离4.3 求直线与圆的交点坐标第五章：综合练习5.1 判断直线与圆的位置关系5.2 求直线与圆的位置关系5.3 解决实际问题教学反思：通过本章的学习，学生应能掌握直线与圆的位置关系的基本概念，判定条件以及应用。
在教学过程中，应注意引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
通过练习题的训练，使学生巩固所学知识，提高解题能力。
第六章：直线与圆的位置关系的性质6.1 直线与圆相交的性质6.2 直线与圆相切的性质6.3 直线与圆相离的性质本章主要学习直线与圆的位置关系的性质。
学生将学习到在直线与圆相交、相切、相离的情况下，直线和圆的特定性质。
这些性质包括交点的数量、切点的位置、距离的关系等。
教学活动：通过图形和实例，让学生观察和总结直线与圆相交、相切、相离时的性质。
引导学生通过几何推理证明这些性质。
提供练习题，让学生应用这些性质解决具体问题。
教学评估：通过课堂讨论和练习题，评估学生对直线与圆位置关系性质的理解程度。
第2章 直线和圆的方程基础知识点汇总
Ax0 By0 C A2 B2
.
（3）两平行线间的距离公式：
l1 ： Ax By C1 0 与 l2 ： Ax By C2 0 间的距离 d 为：Βιβλιοθήκη d C1 C2 . A2 B2
2.4 圆与方程
1.圆的方程：
⑴标准方程： x a2 y b2 r 2 (其中圆心为 (a, b) ，半径为 r .)
（一）对于直线 l1 : y k1x b1, l2 : y k2 x b2 有：
⑴ l1
// l2
bk11
k2 b2
；
⑵ l1 和 l2 相交 k1 k2 ；
⑶ l1
和 l2
重合
bk11
k2 b2
；
⑷ l1 l2 k1k2 1.
（二）对于直线 l : Ax By C 0 ：
2.直线和圆相交弦长公式： l 2 r 2 d 2 （ d 表示圆心到直线的距离）
3.两圆位置关系： d O1O2
（1）外离： d R r ； （2）外切： d R r ； （3）相交： R r d R r ； （4）内切： d R r （ R r ）； （5）内含： d R r （ R r .
斜率分别为 k1，k2 的两条不重合的直线l1, l2 ，有l1 / /l2 k1 k2 .
斜率分别为 k1，k2 的两条直线 l1, l2 ，有 l1 l2 k1k2 1 .
2.2 直线的方程
1.直线方程：
⑴点斜式： y y0 kx x0 （不能表示斜率不存在的直线）
⑵斜截式： y kx b（不能表示斜率不存在的直线，b 是直线与 y 轴的交点纵坐标（即 y
l1 l2 A1 A2 B1B2 0 .
2.3直线的交点坐标与距离公式
§421 直线与圆的位置关系基础知识过关检测.doc
§4. 2.1直线与圆的位置关系基础知识过关检测姓名_______________ 评价________________________________1.直线与圆有三种位置关系：（1） ____________ 肓线与圆，有两个公共点；（2） ____________ 直线与圆，只有一个公共点；（3） ____________ 直线与圆，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法：（1）代数法：直线与圆的方程联立消去y （或x）得到关于兀（或y）的一元二次方程，此方程的判别式为△，则直线与圆相交O __ ;直线与圆相切O _________ ;直线与圆相离o _________ .（2）几何法:设圆的半径为广，圆心到肓线的距离为〃，则育线与圆相交O _______ ;直线与圆相切<=> _____ ;直线与圆相离O _______ •3.直线3兀+ 4）一5二0与圆x2 + r = 1的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法判断4.育线y/3x-y^m = 0与圆x2-by2-2x-2 = 0相切，则实数加等于（）A. 或一B. - V3 或3丿^C.—或D.—3或 35.圆心坐标为（2,-1）的圆在直线x-y-\ = O上截得的弦长为2血，那么这个圆的方稈为（）A.（兀一2）'+（），+ 1）'=4B.（兀_2）'+（y + l）2=2C. （x-2）2+（y + l）2 =8D.（兀一2）2+（）' +1），= 166.在下列直线屮，是圆x2 + y2+2V3x-2y + 3 = 0的切线的是（）A. x = 0B. y = 0C. x = yD. x = -yrr7.2x2 + 2y2 = 1直线兀sin&+y-l = O（如专+ SKZ）的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.不能确定&已知直线/:兀―》+ 4 = 0与EUC:（x-l）2+（y-l）2=2,则C上备点到/的距离的最大值与最小值Z差为______ .9.设直线2兀+ 3y + l=0和圆F+ 2一2兀一3 = 0相交于点A、B,则弦AB的垂直平分线的方程是 ______能力提升1.设〃2〉0,则直线V2（x+y） + l + /n= 0与圆x2 + y2=m的位置关系为（）A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切2.已知M（Xo，yo）是圆疋+才=r2（r >0））内异于圆心的一点，则直线= r2与此圆（）A.相切B.相交C.相离D申交或相切3.已知向量历=（2cosa y2sina）y n =（3cos0,3sin0丿，若加与刃的夹角为60°,则直线xcosG — y sin a + * = 0 与圆（x - cos0尸 + （y + sin ^）2 =-的位置关系是（）/ 2A.相交但不过圆心B.相交过圆心C.相切D.相离4.已知圆（X —3尸+ （y + 5）2 =36和点A（2,2）,B（-1,-2）,若点C在圆上且SABC的面积为丄，则满足条件的点C的个数是（）A. 1B.2C.3D.4x = 2 —t5.氏线：a为参数）被圆x2 + X=4截得的弦长为 ________________ .y = 一1 +—/I* 26.已知圆M:（x + cos&）「+（y — sin&）「= l,直线l\y = kx,下面四个命题：%1对任意实数R与&,育线/和圜M相切；%1对任意实数R与&,肓线/和圆M有公共点；%1对任意实数&,必存在实数使得直线2与和圆M相切；%1对任意实数必存在实数&,使得直线/与和圆M相切；其屮真命题的代号是（写出所有真命题的代号）7.已知圆C :（X —3）2+0 + 5）2 =兀和直线/：4x-3y-2 = 0,（1）若圆C上有且只有4个点到直线/的的距离等于1,求半径厂的取值范伟h（2）若圆C上有且只有：3个点到直线/的的距离等于1,求半径厂的収值范围；（3）若圆C上有且只有2个点到直线/的的距离等于1,求半径厂的取值范I札&自点A（-3,3）发出的光线Z射到兀轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆兀2 +才_心_令+7 = 0相切,求光线I所在直线的方程.§4. 2.1直线与圆的位置关系基础知识过关检测姓名_______________ 评价________________________________1.直线与圆有三种位置关系：（1）____________ 肓线与圆，有两个公共点；（2）____________ 直线与圆，只有一个公共点；（3）____________ 直线与圆，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法：（1）代数法：直线与圆的方程联立消去y （或x）得到关于兀（或y）的一元二次方程，此方程的判别式为△，则直线与圆相交O __ ;直线与圆相切<=> _______ ;直线与圆相离O _________ •（2）几何法:设圆的半径为广，圆心到肓线的距离为d,则育线与圆相交O ________ ;直线与圆相切u> ______ ;直线与圆相离O ________ •3.肓线3x + 4y-5 = 0与圆x2 + y2 = 1的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法判断4.肓线73x-y + m = 0与圆x2 + y2-2x-2 = 0相切，则实数加等于（）A. 或一B. — V3 或3丿^C. — 3-\/3 或D. — 3-\/3 或：3丁^【解析】圆心为（1,0）,半径为VL '卞十应、= g或-3的25.圆心坐标为（2,-1）的圆在直线x-y-l=0上截得的弦长为2“，那么这个圆的方程为（）A. （x-2）2+（y + l）2 =4B.（兀_2『+（y + l『=2C.（兀一2）'+（歹 + 1）2 =8D. （x-2）2+（y + l）2 = 166.在下列直线屮，是圆x2 + y2+2V3x-2y + 3 = 0的切线的是（）A. x = 0B. y = 0C・x = y D・x - -y解析B.圆心为（-73,1），半径为1,切线为y二07.2x2 + 2y2 = 1与直线xsin 0 + y - 1 = 0（& H兰+ 展Z）的位置关系是（）2A.相离B.相切C.相交D.不能确定1 V2解析A.圆心到直线的距离为〃 =/> —= r,言线与鬪相离Jsii?&+1 28.已知肓线/:兀一>，+ 4二0与®C:（x-l）2+（y-l）2=2,则C上各点到Z的距离的最大值与最小值之差为______解析：2^2 ,距离的最大值与授小值Z碧为2厂9.设宜线2x + 3y + l = 0和圖疋+）討一2兀一3 = 0相交于点A、B,则弦AB的垂直平分线的方程是_______能力提升1. 设m>0,则育线血(兀+ y) + l +加二0与圆F +于二加的位置关系为()A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切 解析:圆心到肓线的距离为(仁旦，圆半径为J 万. 2*/ d — r= — — 4m - — (/77—2 V AH +1) =— ( Vm —1) 二0, 2 2 2・・・育线与圆的位置关系是相切或相离.所以选C【名师指引】判断岚线与圆的位置关系的两种方法(代数法、儿何法)屮，儿何法更简便 2. 已知附(兀0，)5)是圆F + y2 = r 1 2(r >0))内异于圆心的一点，则直线x o x + y Q y = r 2与此圆() A.相切 B.相交 C.相离 D.相交或相切解析：圆心0 (0, 0)到玄线x^y^r 的距离为4=・g+朮 •: P( XQ ,为)在圆内，・；Jx ： + y ： 5则有力〃，故胃线和圆相离.3. 已知向量m=(2cosa f 2sina)f n =(3cos/3,3sin/3)f 若加与力的夹角为00 ,则肓线xcos6K — y sin ex, H — = 0与圆(x — cos /3)2 + (y + sin (3)~ =—的位置关系是( ) 2A.相交但不过圆心B.相交过圆心C.和切D.相离 ■ ■ » —♦解析 D. "一 = cos 60° => cos(a -/?) = — ,I zn I • I zz I 2〃2 = 4,所以圆(X - 3)2 + ()，+ 5)2 = 36与直线/1相切与肓线12相交，满足条件的点C 的个数是3 1 i py圆心(cos0,-sin 0)至ij 直线 xcosa- ysina + — = 0 的距离为 d =1 cos(a_0) + _ 1= I > ——=r ,故 直线与圆相离4. 已知圆(x —3尸+ (y + 5)2 =36和点A (2,2),B(-l,-2),若点C 在圆上且\ABC 的面积为扌，则满 足条件的点C 的个数是()A. 1B.2C. 3D. 4解析：3 由A4BC 的面积为|知，点C 到直线初的距离为I, 直线的方程为4x-3y-2 = 0,与肓线AB 平行且距离为1的盲线为厶：4x —3y + 3 = 0和l 2： 4x- 3y-7 = 0,圆心C 到直线厶的的距离为^=6,圆心C 到直线心的的距离为5.直线_________________________________________________ ；(f为参数)被圆x2 + /=4截得的弦长为y = 一1 + —/ t 2【解析】V14.直线为x + y —1=0,圆心到直线的距离d = 了亍=,弦长的一半为(2? — (-^-)2—,得弦长为価6.已知圆M:(_r + cos0)'+(y — sin&)'=l,直线l\y = kx,下面四个命题:%1对任意实数£与&,直线/和圆M相切；%1对任意实数£与&，直线2和圆M有公共点；%1对任意实数&,必存在实数使得直线？与和圆M相切；%1对任意实数R，必存在实数0,使得肓线/与和圆M相切；其屮真命题的代号是 _____________ (写出所有真命题的代号)解析：②④ 圆心坐标为(—cosO, sinO)| —kcos^-sin^l_ Vl+k^lsin( &+(p)\d= 41+^Vl+F =sin( 0+0)1517.已知圆C:(x-3)2 + (y + 5)2=r2和直线Z:4x-3y-2 = 0,(1)若圆C上有且只有4个点到直线Z的的距离等于1,求半径r的取值范围;(2)若圆C上有且只有：3个点到直线/的的距离等于1,求半径广的取值范I韦h(3)若圆C上有且只有2个点到直线/的的距离等于1,求半径厂的取值范围.【解题思路】解法1采用转化为育线与圆的交点个数来解决；解法2从劣弧的点到直线1的最大距离作为观察点入手解法1:与直线/: 4兀一3)，- 2 = 0平行且距离为1的直线为厶：4兀一3y + 3 = 0和/2:4兀一3y _ 7 = 0 ,圆心C到直线A的的距离为£ = 6,圆心C到直线％的的距离为心=4,(1)圆C上有且只有4个点到直线/的的距离等于l<=>r> 4且厂>6/. r>6(2)圆C上有且只有3个点到直线1的的距离等于1 o厂〉4且r = 6.\ r = 6(3)圆C上有且只有2个点到直线1的的距离等于Id 4且r<6/.4<r<6解法2：设圆心C到直线/的距离为〃，则d=5(1)圆C上有且只有4个点到肓线1的的距离等于1 o厂一〃〉1・•・厂> 6,(2)圆C上有且只有3个点到直线1的的距离等于1 o厂一〃 =1 ••・厂=6 ,(3)圆C上有且只有2个点到直线1的的距离等于1 o -1 v r - 〃v 1 ••・4。
2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块14-直线与圆
(一) 直线与直线的方程 1、直线的倾斜角与斜率锐角直角钝角零角▪直线的倾斜角图形○ 温馨提示1. 直线都存在唯一的倾斜角, 但不一定存在斜率, 倾斜角为90∘的直线没有斜率.2. 直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量, 斜率侧重于代数角度, 倾斜角侧重于几何角度.3. 由直线的斜率k的范围求倾斜角α的范围时,要注意α的取值范围,即0∘≤α< 90∘或90∘<α<180∘ ,此时k=tanα的图象是不连续的.模块十四：直线与圆的方程1 直线的倾斜角 强调“两个方向”: x 轴的正向，直线向上的 1. 直线的倾斜角的定义 方向; 直线相对于 x 轴正向的倾斜程度.当直线 l 与 x 轴相交时,我们以 x 轴为基准, x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 和 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0∘ . 直线的倾斜角 α 的取值 范围为 0∘≤α<180∘ . 2. 直线的倾斜角的意义1) 直线的倾斜角体现了直线相对于 x 轴正向的倾斜程度.2) 在平面直角坐标系中, 每一条直线都有一 个确定的倾斜角. 3) 如图所示, 倾斜角相同, 未必表示同一条直线. 2 直线的斜率 一条直线有唯一的倾斜角, 但一个倾斜 1.直线的斜率 角可以对应无数条直线.倾斜角不是 90∘ 的直线,它的倾斜角 α 的正切值叫做这条直 线的斜率. 斜率通常用 k 表示,即 k =tanα,0∘≤α<180∘ ,且 α 900. 当倾斜角 α=90∘ 时，直线的斜率不存在2. 直线的斜率公式 P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)k =(y 2−y 1x 2−x 1) 或 k =(y 1−y 2x 1−x 2) (x 1≠x 2) 的直线的斜率公式: 3 斜率与倾斜角的关系注: “/”表示“逐渐增大”. ○ 直线的方向向量图示P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是直线的方 向向量.若直线 l 1,l 2 重合，仍然有 k 1 =‰，这是利用斜率证明三 点共线的方法当 l 1,l 2 的斜率都不存在时, 两直线也平行。
直线与圆的位置关系知识点总结
直线与圆的位置关系知识点总结在平面几何中，直线与圆的位置关系是一个重要且基础的知识点。
理解和掌握它们之间的关系，对于解决许多几何问题具有关键作用。
接下来，咱们就详细聊聊直线与圆的位置关系。
一、直线与圆的位置关系的定义直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。
当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交。
想象一下，就好像直线穿过了圆，与圆有两个交点。
当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。
这时候，直线就像是轻轻触碰了一下圆，只有那一个瞬间的接触点。
当直线与圆没有公共点时，就是直线与圆相离。
直线和圆仿佛处在两个完全不同的世界，没有任何交集。
二、判断直线与圆位置关系的方法1、几何法通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。
若 d ＜ r，则直线与圆相交。
比如，圆的半径是 5，圆心到某条直线的距离是 3，因为 3 ＜ 5，所以直线与圆相交。
若 d ＝ r，则直线与圆相切。
比如半径为 6 的圆，圆心到某直线距离恰好为 6，那这条直线就与圆相切。
若 d ＞ r，则直线与圆相离。
比如圆半径 4，圆心到某直线距离 7，因为 7 ＞ 4，所以直线与圆相离。
2、代数法将直线方程与圆的方程联立，消去其中一个变量（比如 y），得到一个关于另一个变量（比如 x）的一元二次方程。
通过判断这个一元二次方程的根的判别式Δ 的值来确定位置关系。
若Δ ＞ 0，则直线与圆相交，意味着有两个不同的交点。
若Δ ＝ 0，则直线与圆相切，只有一个交点。
若Δ ＜ 0，则直线与圆相离，没有交点。
三、直线与圆相交1、弦长公式当直线与圆相交时，所形成的线段称为弦。
弦长的计算可以通过勾股定理来推导。
设直线方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0，圆的方程为（x a)²＋（y b)²＝ r²，直线与圆的交点为 P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)。
首先求出圆心（a, b) 到直线的距离 d ＝｜Aa ＋ Bb ＋ C| ／√（A²＋ B²) 。
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（一)直线
1、 直线的斜率与倾斜角
（1)斜率：两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则212121()PQ y y k x x x x -=
≠- (２)直线的倾斜角范围:)0,180⎡⎣
（3)斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠
注:(1)每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率;
（2)特别地,倾斜角为0的直线斜率为0;倾斜角为90的直线斜率不存在。
2、直线方程
(１）点斜式:00()y y k x x -=-;适用于斜率存在的直线
（2）斜截式:y kx b =+;适用于斜率存在的直线
注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离,截距可正,可负，可为零
（3)两点式：1112122121
(,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线 (４)截距式：1x y a b
+=;适用于斜率存在,且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=(,A B 不同时为0）
（６）特殊直线方程
①斜率不存在的直线（与y 轴垂直):0x x =；特别地,y 轴:0x =
②斜率为0的直线(与x 轴垂直）：0y y =;特别地，x 轴:0y =
③在两轴上截距相等的直线：(Ⅰ）y x b =-+；(Ⅱ）y kx =
在两轴上截距相反的直线:(Ⅰ）y x b =+;（Ⅱ)y kx =
在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ)y x b =-+;(Ⅱ）y x b =+;(Ⅲ)y kx =
3、平面上两直线的位置关系及判断方法
（１）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+
①平行:12k k =且12b b ≠（注意验证12b b ≠）
②重合:12k k =且12b b =
③相交：12k k ≠ 特别地，垂直:121k k =-
（２）11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++=
①平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠（验证)
②重合:1221A B A B =且1221A C A C =
③相交：1221A B A B ≠ 特别地，垂直：12120A A B B +=
（３)与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为:0Ax By m ++=
与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为：0Bx Ay n -+=
4、其他公式
（1)平面上两点间的距离公式：1122(,),(,)A x y B x y ,
则AB =（２)线段中点坐标公式：1122(,),(,)A x y B x y ,则,A B 中点的坐标为1212(,)22
x x y y ++ （3）三角形重心坐标公式：112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形ABC 的重心坐标公式为：123123(,)33
x x x y y y ++++ (4）点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式
:d =
（５）两平行线112212:0;:0()l Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠间的距离
:d =（用此公式前要将两直线中,x y 的系数统一）
（6)点A 关于点P 的对称点B 的求法:点P 为,A B 中点
(7）点A 关于直线l 的对称点B 的求法:利用直线AB 与直线l 垂直以及AB 的中点在直线l 上，列出方程组，求出点B 的坐标。
(二）、圆
1、圆的方程
(1)圆的标准方程:222
()()x a y b r -+-=，其中(,)a b 为圆心，r 为半径
（2）圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->,其中圆心为(,)22D E --
(只有当22,x y 的系数化为1时才能用上述公式） 注意：已知圆上两点求圆方程时,运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。
2、直线与圆的位置关系
（1)直线:0l Ax By C ++=，圆222:()()C x a y b r -+-=，记圆心(,)C a b 到直线l 的距
离d =
①直线与圆相交,则0d r ≤<或方程组的0∆>
②直线与圆相切,则d r =或方程组的0∆=
③直线与圆相离,则d r >或方程组的0∆<
(２)直线与圆相交时，半径r ,圆心到弦的距离d ，弦长l ,
满足：l =（3）直线与圆相切时，
①切线的求法:
（Ⅰ)已知切点（圆上的点）求切线，有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直； （Ⅱ)已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线,设切线方程为y kx b =+,利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b 的值;
(Ⅲ）已知过圆外的点00(,)P x y 求圆222:()()C x a y b r -+-=的切线，有两条切线，若切线的斜率存在,设切线方程为：00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k 的值;若切线的斜率不存在,则切线方程为0x x =,验证圆心到切线距离是否等于半径。
②由圆外点00(,)P x y 向圆222
:()()C x a y b r -+-=引切线,记,P C 两点的距离为d ,则切
线长l =(4)直线与圆相离时,圆心到直线距离记为d ，则圆上点到直线的最近距离为d r -，最远距离为d r +
3、两圆的位置关系
圆2221111:()()C x a y b r -+-=，圆2222222:()()C x a y b r -+-=,两圆圆心距
离d =（1）两圆相离，则12d r r >+(2）两圆相外切,则12d r r =+(３)两圆相交，则1212r r d r r -<<+
注:圆221111:0C x y D x E y F ++++=，圆222222:0C x y D x E y F ++++=相交,则两圆相交弦方程为：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=
（4)两圆相内切,则12d r r =-(５)两圆内含,则120d r r ≤<-
d 时，两圆为同心圆特别地，当0。