【数学】2018-2019年交大附中高二上期末
上海市2018-2019学年交大附中高二上期末数学期末试卷
2018~2019学年交附高二上期末试卷2019.1一、填空题：1、(19交附高二期末1)复数()()22563z m m m m i =-++-，m R ∈，i 为虚数单位，实数m =______； 答案：2m =；2、(19交附高二期末2)复数()()21z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为______； 答案：1-3、(19交附高二期末3)抛物线212x y =的准线方程为______； 答案：3y =-4、(19交附高二期末4)已知向量()1,2a =-，()1,1b =，m a b =-，n a b λ=+，如果m n ⊥，则实数λ=______； 答案：25、(19交附高二期末5)若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数a 的值为______； 答案：3-或26、(19交附高二期末6)设双曲线()222109x y b b-=>的焦点为1F 、2F ，P 为该双能线上的一点，若15PF =，则2PF =______； 答案：117、(19交附高二期末7)设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是______；答案：6-；8、(19交附高二期末8)若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =______；答案：1；9、(19交附高二期末9)在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 位于第二象限，且在AOB ∠的平分线上，2OC =，则OC =______；答案：⎛ ⎝⎭；10. (19交附高二期末10)参数方程231121t x tt y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）化成普通方程为______；答案：()3703x y x +-=≠11、(19交附高二期末11)在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中点在原点，它的一个焦点坐标为)，()12,1e =、()22,1e =-分别是两条渐近线的方向向量，任取双曲线Γ上的点P ，若()12,OP ae be a b R =+∈，则a 、b 满足的一个等式是______；答案：14ab =； 12、(19交附高二期末12)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P满足()()1AP OA R λλ=-∈，且48OA OP ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为______； 答案：10； 二、选择题：13、(19交附高二期末13)对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c R ∈，0a ≠）下列命题不正确的是（ ）A 、两根12,x x 满足12b x x a +=-，12cx x a=；B 、两根12,x x 满足12x x -C 、若判别式240b ac ∆=->时，则方程有两个相异的实数根；D 、若判别式240b ac ∆=-=时，则方程有两个相等的实数根； 答案：B ；14、(19交附高二期末14)已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条答案：C ；15、(19交附高二期末15)如图，在四形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，若AB a =，AD b =，则AC BD ⋅=（ ） A 、22b a -B 、22a b -C.22a b +D.ab答案：A ；16、(19交附高二期末16)已知F 为抛物线2:4C y x =的集点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A 、0个B 、1个C 、3个D 、无数个答案：D ； 三、解答题：17、(19交附高二期末17)设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.答案：（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；18、(19交附高二期末18)（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z+∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21zz +都是实数，求虚数z .（1）1z =-±；（2）12z =-；19、(19交附高二期末19)已知椭圆22142x y +=.（1）M 为直线:142x yl +=上动点，N 为椭圆上动点，求MN 的最小值；（2）过点12P ⎫⎪⎭，作椭圆的弦AB ，使3AP PB =，求弦AB 所在的直线方程.答案：（1；（2）x =或8100y +-=；20、(19交附高二期末20)圆(22219:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆(22221:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，动圆P 与两圆1M 、2M 外切.（1）动圆圆心P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于不同的两点12,N N ，求直线12N N 斜率的取值范围；（3）是否存在直线:l y kx m =+与轨迹C 交于点,A B ，使2OAB π∠=，且2AB OA =，若存在，求,k m 的值；若不存在，说明理由.答案：（1）()2211y x y -=≥；（2）1,k ⎛∈- ⎝⎭；（3）m =；21、(19交附高二期末21)过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-. （1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅的值（其中O 为坐标原点）；（3）已知点()1,2A ，在抛物线上是否存在两点B 、C ，使得AB BC ⊥？若存在，求出C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由. 答案：（1）24y x =；（2）3-；（2）()[),610,-∞-+∞；。
交大附中2018-2019学年高二3月月数学试题 含答案bybao
交大附中高二数学试卷2018.3一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 直线230x y +-=的倾斜角为 .2. 增广矩阵112114k k ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭为的方程中，若解x 与y 相等，则k 的值为 .3.抛物线216y x =的焦点与双曲线22219x y a -=的一个焦点重合，则双曲线的实轴长为 .4.已知复数331i a i z i +-=为虚数单位，且23z =，则实数a 的值为 . 5．已知21log cos ,2z i i α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为虚数单位，且z 为纯虚数，则实数的a 值为 .6.若点(),P x y 在直线240x y +-=上，则24x y --+的最小值为 .7.若1z =，则1z i +-的最大值是 .8.如图，六个相等的小正方形可以拼成一个正方体，则正方体中，直线AB 与CD 所成角的大小为 .9.设函数()ln ,0510,5x e x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若方程()f x k =（k 为常数），有下列三个不同的实数解,,a b c ，且a b c <<，则abc 的取值范围是 . 10.在复数范围内写出方程22z z =的解集 .11.设(),n n n P x y 是直线()()312y n x n N *+=-∈与椭圆22143x y +=在第一象限内的交点，则极限32lim1n n ny x →∞-=- . 12.已知复数集(){}|0Re 2U z z =≤≤，且()Im 1z ≤，集合()()()(){}|0Re Re Im Im ,11M z z z ωωω=≤≤≤-=且，且，则集合U C M 在复平面上表示区域的面积为 .二、选择题：13．两个圆221:2220C x y x y +++-=与222:4210C x y x y +--+=的公切线有且只有（ ）条A. 1B. 2C. 3D. 414．如图，A,B,C,D 是某长方体四条棱的中点，则直线AB 与直线CD 的位置关系是 A. 相交 B.平行 C. 异面 D.垂直 15．设12,z z 均是复数，则下列命题中的真命题是A.“12z z >”是“()()1,11,z ∈-∞-+∞ ”的必要不充分条件B. “211z >”是“120z z ->”的充要条件C. “22120z z +=”是“120z z ==”的充分不必要条件D. “12z z R +∈”是“12z z =”的既不充分也不必要条件16．已知曲线Γ的参数方程为(3cos ln x t t t y t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，其中参数t R ∈，则曲线Γ A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.没有对称性三、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.已知关于t 的方程()2430t zt i z C -++=∈有实数解：（1）设5z ai =+，求实数a 的值； （2）求z 的取值范围.18. 已知数列{}n a 中，112a =，点()1,2n n n a a +-在直线y x =上，.n N *∈ （1）令11n n n b a a +=--，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项.19. 如图，空间四边形ABCD 中，AB=CD=8，E,F,G,H 分别为BC,CA,AD,DB 的中点，FH=6： （1）求证：直线EG 与直线FH 相互垂直； （2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.20. 已知01,z z 均为复数，且01011z z z +=-，记01z +在复平面上对应的点分别为P,Q: (1）若01z z =，求0z 的值；（2）若点P 在y 轴上运动，求点Q 的轨迹方程；（3）点P 在圆()()2221:10C x y r r -+=>上运动点Q 的轨迹记为曲线D,求r 的值；使得圆C 与曲线D 只有一个公共点.21.设椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>过点(),.M N.（1）求椭圆Γ的方程；（2）12,F F 为椭圆的左右焦点，直线l 过1F 与椭圆交于,A B 两点，求1F AB ∆面积的最大值；（3）求动点P的轨迹方程，使得过点P存在两条相互垂直的直线,l l，且都与12椭圆只有一个公共点.。
上海交通大学附属中学高二数学上学期期末考试试题含解析
【答案】C
【解析】
【分析】
先对曲线进行转化，再画出曲线的图像，数形结合解决问题。
【详解】对方程:
等价于当 时， ,或
故画出该曲线对应的图像如下所示：
如图实线所示即为该方程表示的曲线，直线 即为满足题意的直线；
不妨联立方程 与
解得 ,即可得 ,
由图容易知当 或 时，
直线 与曲线有4个交点。
(3）设点 在直线 上运动，直线 是否恒过定点？若恒过定点,求出定点坐标；若不存在，请说明理由;
【答案】（1）证明见详解；（2） （3）是，
【解析】
【分析】
（1)联立直线方程与抛物线方程,由 ，即可证明；
（2）根据点 在抛物线上解得 ，进而写出 点坐标,再根据点 既在直线 上，又在抛物线上,联立方程组即可求得 的坐标;
【答案】
【解析】
【分析】
根据一般的结论，取特殊的点 ,结合点在椭圆上，以及圆心到直线的距离等于半径，联立方程组,即可求得结果。
【详解】因为 为椭圆上任意一点，都满足题意，
故设 点坐标为 ，设 。
则点 满足椭圆方程,即可得 ①
直线 方程为
因为该直线与圆相切,
故由圆心到直线的距离公式可得 ②
联立①②，消去 可得：
【详解】根据题意，抛物线的焦点坐标为 。
若直线的斜率不存在,则 两点关于焦点对称，故满足 ；
若直线的斜率不存在，设直线方程为
联立抛物线方程 ,可得
设 ，故 ，不可能等于2，
故此时不存在满足题意的直线.
综上所述，满足题意的直线只有1条.
故选:A。
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题。
16。曲线 ，要使直线 与曲线 有四个不同 交点，则实数 的取值范围是( ）
2018-2019交大附中高二上期末试卷
2018~2019学年上海宝山区上海交通大学附属中学高二上学期期末化学试卷可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 S-32 Cu-64 Fe-56 Na-23 Al-27 Ca-40一、选择题共20小题1.A.B.C.D.下列关于我国古代化学的应用和记载，说明不合理的是（ ）易经中说：泽中有火，其实是甲烷的燃烧古代烧酒的制造工艺：反复蒸烧，用到的实验方法是蒸馏“柴薪之灰，取碱浣衣”，柴薪之灰和铵态氮肥可以混合使用增强肥效我国古代人民常用明矾水除去铜器上的铜锈2. A. 溶液 B.溶液C.溶液D.稀硫酸将一小粒钠投入以下物质中，能产生气体和沉淀的是（ ）3. A.B.C.D.下列对于过氧化钠的叙述中，正确的是（ ）将 投入紫色石蕊试液中，溶液最终呈蓝色与完全反应，转移电子钠暴露在空气中得到过氧化钠 与反应时，既作氧化剂，又作还原剂4. A.B.C.D.天然存在的金属钫 极微量。
它的 种已知同位素都有放射性。
它是碱金属元素中最重的元素。
根据它在周期表中的位置预言其性质，其中不正确的是（ ）在空气中燃烧时生成氧化物 在已知元素中具有最大的原子半径氧化物对应的水化物碱性极强其单质的熔点比金属钠的熔点低5. A.①③B.①④C.③④D.②③下列各组物质相互混合反应后，最终有白色沉淀生成的是（ ）①金属钠投入到 溶液中 ②过量溶液和硫酸铝溶液混合③少量 投入过量溶液中 ④向饱和溶液中通入过量6. A.B.C.D.双羟基铝碳酸钠是医疗上常用的一种抑酸剂，其化学式是 ，关于该物质的说法正确的是（ ）该物质属于两性氢氧化物该物质是 和的混合物最多可消耗该药剂不适合于胃溃疡患者服用7. A.有铜无铁B.有铁无铜C.有铁有铜D.无铁无铜当向盛有氯化铁溶液的烧杯中同时加入铁粉和铜粉，反应结束后，烧杯底部不可能出现的情况是（ ）8. A.B.C.D.进行下列实验，括号内的实验用品都必须用到的是（ ）硫酸铜晶体里结晶水含量的测定（坩埚、温度计、硫酸铜晶体）气体摩尔体积的测定（玻璃棒、镁带和液体量瓶）钠的焰色反应（铂丝、氯化钠溶液、稀盐酸）粗盐提纯（蒸发皿、玻璃棒、分液漏斗）9. A.石蕊，由蓝变红 B.甲基橙，由黄变橙C.酚酞，红色褪去D.甲基橙，由橙色变黄色已知常温、常压下，饱和 的水溶液的 为 ，则可推断用标准盐酸滴定 水溶液时，适宜选用的指示剂以及滴定至终点时颜色变化的情况是（ ）10.A.B.C.D.盐酸与氢氧化钠溶液相互滴定的滴定曲线如图，下列叙述正确的（ ）酚酞不能用作本实验的指示剂盐酸的物质的量浓度为 点时恰好完全中和，溶液呈中性曲线 是盐酸滴定氢氧化钠溶液的滴定曲线11. A.B.C.D.下列事实不能说明元素的金属性或非金属性相对强弱的是（ ）氧化性：酸性：共用电子对偏移程度： 键键碱性：12.A.B.C.D.长式周期表共有 个纵行，从左到右排为列，即碱金属为第一列，稀有气体元素为第列，按这种规定，下列说法正确的是（ ）第 列中元素中没有非金属元素只有第二列的元素原子最外层电子排布为 第四周期第 列元素是铁元素第 列元素原子的最外层电子排布为13.A.B.C.D.请运用元素周期表的有关理论分析判断，下面几种元素及其化合物性质的推断中正确的是（ ）铊（）的氧化物的水化物可能具有两性砹（）为无色固体，不稳定，具有感光性，且不溶于水硫酸锶（）是难溶于水的白色固体是无色、有毒、比稳定的气体14.A.B.C.D.苯是重要的化工原料，下列说法正确的是（ ）苯的二氯代物和三氯代物的种类一样多凯库勒式的单双键交替的结构说明苯环是一个正六边形苯的化学性质的特点是易加成，难取代苯的溴代反应为一个吸热反应15.A.丁烷 B. 甲基丙烷C.甲基丁烷D.，二甲基丙烷下列有机物的沸点最高的是（ ）16.A.B.C.D.立方烷的键线式为一立方体，下列有关说法不正确的是（ ）其二氯代物只有三种其六氯代物有四种同分异构体它不能发生加成反应它与苯乙烯（）互为同分异构体17. A.B.C.D.在光照的条件下，将与一定量的氯气充分混合，经过一段时间，甲烷和氯气均无剩余，生成、、、 和，若已知生成的二氯甲烷、三氯甲烷、四氯化碳的物质的量分别为 ，，，该反应中生成的物质的量是（ ）18.A.种B.种C.种D.种某烃的相对分子质量为 ，如果分子中含有 个、 个 和 个，则该结构的烃的一氯取代物最多可能有（不考虑立体异构）（ ）19.A.B.C. D.年的诺贝尔化学奖颁给在烯烃复分解反应研究方面做出突出贡献的化学家。
【期末试卷】2018-2019学年高二(上)期末数学试卷(理科)含答案解析
2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线y 2=4x 的准线方程是（ ） A.x=﹣1 B.x=1 C.x=﹣2 D.x=2 2.数列{a n }满足a n =4a n ﹣1+3（n ≥2且n ∈N*），a 1=1，则此数列的第3项是（ ） A.15 B.255 C.20 D.31 3.命题“∃x 0∈R ，f （x 0）＜0”的否定是（ ） A.∃x 0∉R ，f （x 0）≥0 B.∀x ∉R ，f （x ）≥0 C.∀x ∈R ，f （x ）≥0 D.∀x ∈R ，f （x ）＜0 4.在等差数列{a n }中，a 2=5，a 6=17，则a 14=（ ） A.45 B.41 C.39 D.375.实数a ，b 满足a+b=2，则3a +3b的最小值是（ ）A.18B.6C.2D.26.设，是非零向量，“=||||”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.F 1，F 2为椭圆的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（ ）A. B.C.D.8.设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最小值为（ ）A.2B.3C.4D.59.椭圆中，以点M （﹣2，1）为中点的弦所在的直线斜率为（ ）A. B. C. D.10.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（ ）A.2B.2C.2D.411.与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（ ）A.=1 B. =1 C. =1 D. =112.当|m|≤1时，不等式1﹣2x＜m（x2﹣1）恒成立，则x的取值范围是（）A.（﹣1，3）B.C.（﹣3，1）D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.不等式的解集是.14.若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则数列{a n}的前n项和S n= .15.方程表示焦点在x轴上椭圆，则实数k的取值范围是.16.已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{a n}的通项公式为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.命题p：关于x的方程x2+ax+2=0无实数根，命题q：函数f（x）=log a x在（0，+∞）上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围.18.解关于x的不等式 2ax2﹣（2a+1）x+1＞0（a＞0）.19.已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值.20.已知点P为曲线C：x2+y2=4上的任意一点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在曲线C上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程，并说明点M轨迹是什么？21.已知各项都为整数的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=35，且a2，a3+1，a6成等比数列.（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n.22.如图，椭圆的两顶点A（﹣1，0），B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.（1）当|CD|=时，求直线l的方程；（2）当点P异于A，B两点时，求证：点P与点Q横坐标之积为定值.参考答案1.A.2.D.解析：数列{a n}满足a n=4a n﹣1+3（n≥2且n∈N*），a1=1，a2=4a1+3=7，a3=4a2+3=31.3.C.解析：∵命题“∃x0∈R，f（x0）＜0”是特称命题.∴否定命题为：∀x∈R，f（x）≥0.4.B.解析：设等差数列{a n}的公差为d，由a2=5，a6=17得， =3，则a14=a6+（14﹣6）×3=17+24=41，5.B.解析：实数a，b满足a+b=2，则3a+3b≥2=2=2=6，当且仅当a=b=1时，取得等号，即3a+3b的最小值是6.6.A.7.D.8.B.9.D.10.C.11.A.12.B.13.答案为：（0,0.5）；14.答案为：2n+1﹣2.解析：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴a3+a5=40=q（a2+a4）=20q，解得q=2，∴20=a2+a4=a1（2+23），解得a1=2.则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2.15.答案为：（0.5，1）.16答案为：a n=3n﹣2.解析：数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4（n∈N*且n≥2），可得a n+2=3（a n﹣1+2），则数列{a n+2}为首项为3，公比为3的等比数列，可得a n+2=33n﹣1=3n，即有a n=3n﹣2.17.解：18.解：19.解：20.解：21.22.解：。
2019-2020学年上海市上海交通大学附属中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市上海交通大学附属中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．设z 为非零复数，则“1z z+R ∈”是“1z =”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】设出复数z ，对1z z+R ∈”进行等价转化，再从充分性和必要性进行推证即可. 【详解】设,(,z a bi a b =+不能同时为0)，则1z z +=2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b -⎛⎫⎛⎫++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭又1z =1=，即221a b += 若1z z +R ∈，则22bb a b=+，解得0b =或221a b +=，不一定满足221a b +=， 故充分性不成立；若1z =，即221a b +=，则一定有22b b a b =+，即1z z+R ∈， 故必要性成立. 综上1z z+R ∈是1z =的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查命题的充分条件和必要条件，涉及复数的运算，属综合基础题. 2．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合（ ）A ．1|||1,Re ,2z z z z C ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭ B ．1|||1,Re ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭ C ．1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭D ．1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】由图可得复数的模长以及虚部的大小情况，据此进行选择. 【详解】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故1z ≤； 又复数对应点的纵坐标大于等于12，故其虚部大于等于12. 综上所述，阴影部分（含边界）对应的复数集合为1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查复数在复平面内的对应情况，属基础题.3．过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A B 、两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在【答案】A【解析】分别讨论直线斜率存在和不存在的情况，根据是否能够满足横坐标之和为2进行判断. 【详解】根据题意，抛物线的焦点坐标为()1,0.若直线的斜率不存在，则,A B 两点关于焦点对称，故满足122x x +=； 若直线的斜率不存在，设直线方程为()1y k x =-联立抛物线方程24y x =，可得()2222240k x k x k -++=设()()1122,,,A x y B x y ，故212222442k x x k k++==+，不可能等于2， 故此时不存在满足题意的直线. 综上所述，满足题意的直线只有1条. 故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题.4．曲线2222:19045x y x y ⎛⎫Γ--+-=⎪⎝⎭，要使直线()y m m R =∈与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．55,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()3,3-C ．553,,333⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．55553,,,33333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋃-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】先对曲线进行转化，再画出曲线的图像，数形结合解决问题. 【详解】对方程：222219045x y x y ⎛⎫--+-=⎪⎝⎭等价于当2290x y +->时，22145x y -=，或2290x y +-=故画出该曲线对应的图像如下所示：如图实线所示即为该方程表示的曲线，直线12,l l 即为满足题意的直线；不妨联立方程22145x y -=与2290x y +-=解得2259y =，即可得53y =±， 由图容易知当5,33m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或53,3m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时， 直线y m =与曲线有4个交点. 故选：C. 【点睛】本题考查曲线与方程的认知，涉及双曲线方程和圆方程，属基础题.二、填空题5．复数z 满足1i z ⋅=，则Im z =_________. 【答案】1-【解析】求出复数z ，然后找出其虚部即可. 【详解】因为1i z ⋅=，故1z i i==- 故Im z =1-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查复数的化简，以及虚部的辨识，属于基础题. 6．抛物线24y x =的焦点坐标是___________．【答案】10,16⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标. 【详解】由24y x =得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴上，且112,4216p p ==，所以抛物线的焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.7．若12a i z ⎛⎫=⎪⎝⎭（i 为虚数单位，0a >）且3z =a 的值为_________. 【答案】1【解析】由行列式的计算可得复数z ，再根据3z =a . 【详解】 因为12a i z ⎛⎫=⎪⎝⎭，故2z a i =-， 则()()()()332322414286121z a i a aia i aa a i =-=---=---故3z ==整理得3216123310a a a ++-=分解因式可得()()211628310a a a -++=对21628310a a ++=，因0<n ，故无实数根. 故此方程只有一个实数根，解得1a =. 故答案为：1. 【点睛】本题考查复数的计算，涉及行列式的计算，以及三次方方程的求解，属基础题. 8．直线223x ty t=+⎧⎨=+⎩（参数t R ∈）的倾斜角为_________.【答案】12arctan【解析】代入消参，将参数方程化为普通方程，再根据斜率求得倾斜角. 【详解】由3y t =+可得3t y =-，代入22x t =+，可得()223x y =+- 整理得：直线的一般式方程为240x y -+= 则直线的斜率为12k =，设其倾斜角为θ，[)0,θπ∈ 故12arctanθ=. 故答案为：12arctan . 【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题. 9．若方程22(1)(52)1k x k y -+-=表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为_________.【答案】5(,1)(,)2-∞+∞U【解析】根据双曲线方程的特点，列出不等式，求解即可. 【详解】因为方程22(1)(52)1k x k y -+-=表示双曲线 故()()1520k k --<，即()()1250k k -->解得()5,1,2k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()5,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数的范围，属基础题；重点是要把握双曲线方程的特点.10．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，且过点A ，则双曲线的方程是_________.【答案】2291y x -=【解析】根据渐近线方程，结合过点的坐标，分析出双曲线的焦点位置，设出方程，待定系数即可. 【详解】因为双曲线的渐近线为3y x =±，且过点A不难判断，点A 在直线3y x =±的上方，故该双曲线的焦点在y 轴上.设双曲线方程为22221y x a b-=，则221013,1a b a b =-=，解得13b =，1a =，则双曲线的方程为2291y x -=. 故答案为：2291y x -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题，本题的重点是要根据双曲线过的点，判断焦点位置.11．点P 为直线3440x y ++=上的动点，点Q 为圆22:2440C x y x y +--+=上的动点，则PQ 的最小值为_________. 【答案】2【解析】先判断直线与圆的位置关系，再计算圆心到直线的距离，减去半径，即为所求. 【详解】由圆的方程22:2440C x y x y +--+=，可得圆心为()1,2,12r ==.因为圆心到直线的距离31d r ==>=，故直线与圆相离，则312min PQ d r =-=-=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及直线上一点到圆上一点距离的最小值，属基础题.12．已知12F F 、是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥u u u r u u u u r，若12PF F ∆的面积为4，则b =_________. 【答案】2【解析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式，代值计算即可求得. 【详解】因为12PF PF ⊥u u u r u u u u r ，故1290F PF ∠=︒； 由椭圆中焦点三角形的面积公式可得212tan 2F PF S b ∠= 即22445b tan b =⨯︒=，解得2b = 故答案为：2. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的面积公式，属基础题.13．已知a ,b R +∈,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直,则ab 的最大值等于________. 【答案】18【解析】根据题意,由直线垂直的判断方法可得()12a b -+=0,变形可得2a b +=1,进而结合基本不等式的性质分析可得答案. 【详解】根据题意,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直, 则有()12a b -+=0,变形可得2a b +=1,则()211212()2228a b ab a b +=⨯≤⨯=,当且仅当a =122b =时,等号成立; 即ab 的最大值为18,故答案为：18【点睛】本题考查了两直线垂直系数之间的关系、基本不等式求最值，在应用基本不等式时注意等号成立的条件，属于基础题.14．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ u u u r u u u r⋅的最大值是_________.2【解析】先计算出交点Q 的坐标，设出点P 的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于θ的函数，再求函数的最大值即可. 【详解】因为曲线Γ与直线1x =交于点Q ，故令21cos θ=，又因为50,?6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得θ60=︒，故可得60y sin =︒=Q的坐标为⎛ ⎝⎭. 设点()2,P cos sin θθ，则()2,2OP OQ cos sin cos θθθθ⎛⋅=⋅= ⎝⎭u u u r u u u r()θϕ=+，其中0,2tan πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭又因为tan4tan πϕ>，故,42ππϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则4,43ππθϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故()2maxOP OQ⋅=u u u r u u u r .. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题. 15．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫⎪⎝⎭()0x >，则PA === 令1,0,2t x x t x=+>∴≥Q 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时()g t 取得最小值()22g a a =-，=a =（2）当2a <时，()g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，()g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1【考点】1、两点间的距离公式；2、基本不等式；3、一元二次函数的性质.16．如图，已知椭圆22:194x y Γ+=和圆222:()0O x y r r +=>，设点A 为椭圆Γ上的任一点，过A 作圆O 的两条切线，分别交于椭圆Γ于,B C 两点，若直线BC 与圆O相切，则r =_________.【答案】65【解析】根据一般的结论，取特殊的点()0,2A ，结合点在椭圆上，以及圆心到直线的距离等于半径，联立方程组，即可求得结果. 【详解】因为A 为椭圆上任意一点，都满足题意，故设A 点坐标为()0,2，设()(),,,B m r C m r ---. 则点B 满足椭圆方程，即可得224936m r +=① 直线AB 方程为22ry x m+=-+ 因为该直线与圆相切，()2221r r m =++②联立①②，消去m 可得：2536360r r -+=故解得65r =或6r = 因为当6r =时，圆的半径大于椭圆的长轴，不合题意， 故65r =. 故答案为：65.【点睛】本题考查椭圆与圆的关系，本题采用了从一般到特殊的方法，是解决选择和填空题重要的手段.三、解答题17．已知实系数一元二次方程20(,)x ax b a b R ++=∈的一根为2i -（i 为虚数单位），另一根为复数z .（1）求复数z ，以及实数,a b 的值；（2）设复数z 的一个平方根为λ，记22λλλλ-、、在复平面上对应点分别为、、A B C ，求()OA OB OC +⋅u u u r u u u r u u u r的值.【答案】（1）2,0,4z i a b ===（2）2-【解析】（1）将2i -代入方程，根据复数相等，即可得到参数的值，以及复数z ； （2）求出平方根λ，再求出22λλλλ-、、对应的点的坐标，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】（1）因为2i -是方程20(,)x ax b a b R ++=∈的一个根，故()()2220i a i b -+⨯-+= 整理得240ai b +-= 故可得20,40a b =-=， 即0,4a b ==故原方程等价于()2242x i =-=± 故方程的另一个根2z i = 综上所述：2,0,4z i a b ===.（2）设a bi λ=+，则22222a b abi i λ=-+= 即可得22,1a b ab ==解得1,1a b ==或1,1a b =-=-不妨取1i λ=+（另一解也有相同的结果），则222,1i i λλλ=-=- 故()()()1,1,0,2,1,1A B C -则()()()1,31,1132OA OB OC +⋅=⋅-=-=-u u u r u u u r u u u r.故()2OA OB OC +⋅=-u u u r u u u r u u u r.【点睛】本题考查复数的综合知识，涉及复数相等的转换，复数在复平面内对应的点的坐标，属综合基础题.18．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点、、A B C ，且30OA OB OCkm ===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒（注：信号每秒传播0V 千米）.（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心O 的距离；（3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？【答案】（1）221(0)400500x y x -=<（2）(205,205),2010P OP -=3）202【解析】（1）根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可； （2）AC 垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；（3）根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可. 【详解】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为(),P x y因为A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒故00404060PB PA V AB V -=⨯=<= 故点P 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22221(0)x y x a b-=<由题可知240,260a c ==，解得222500b c a =-=，故点P 的轨迹方程为221(0)400500x y x -=<.（2）因为()()30,0,0,30A C -，设AC 的垂直平分线方程为y kx = 则()3001030k -⨯=---，则AC 的垂直平分线方程为y x =-联立221(0)400500x y x -=<可得2x =x y =-=故观察员遇险地点坐标为(- 与检测中心O=.（3）设轨迹上一点为(),P x y ，则PC ==又因为221400500x y -=，可得2244005x y =+代入可得：PC ==≥=当且仅当503y =时，取得最小值故扫描半径r 至少是. 【点睛】本题考查根据双曲线的定义写出双曲线的方程，以及求双曲线上一点到一个定点距离的最小值，属双曲线方程的综合应用题.19．已知椭圆2211x y m mΓ+=+：，过点(1,0)D -的直线:(1)l y k x =+与椭圆Γ交于M N 、两点（M 点在N 点的右侧），与y 轴交于点E ； （1）当1m =且1k =时，求点M N 、的坐标；（2）当2m =时，设,EM DM EN DN λμ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r，求证：λμ+为定值，并求出该值.【答案】（1）41(0,1),(,)33M N --（2）证明见详解；定值为3 【解析】（1）根据条件，联立直线和椭圆方程，解方程组即可求得交点坐标； （2）联立直线与椭圆方程，将λμ+的结果用韦达定理进行处理，即可得到结果. 【详解】（1）当1m =且1k =时，联立直线1y x =+与椭圆方程2212x y +=可得2340x x +=，因为M 点在N 点的右侧， 故解得40,3M N x x ==-代入直线方程可得11,3M N y y ==-故,M N 两点的坐标分别为()410,1,,33M N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭. （2）当2m =时，椭圆方程为22132x y +=联立直线方程()1y k x =+， 可得()2222236360kxk x k +++-=设()()1122,,,M x y N x y则22121222636,2323k k x x x x k k-+=-=++ 对直线方程()1y k x =+，令0x =，解得y k = 故点E 的坐标为()0,k .因为,EM DM EN DN λμ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r即可得()()1111,1,x y k x y λ-=+，()()2222,1,x y k x y μ-=+则1212,11?x xx x λμ==++ 121212121212211?1x x x x x x x x x x x x λμ+++=+=+++++ 2222222222366122232323343661232323k k k k k k k k k k ⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭+===---++++， 故λμ+为定值，定值是3. 【点睛】本题考查直线与椭圆交点坐标的求解，以及椭圆中的定值问题，关键是对韦达定理的熟练应用，属基础题.20．设抛物线22(0)y px p Γ=>：，00(,)D x y 满足2002y px >，过点D 作抛物线Γ的切线，切点分别为1122(,),(,)A x y B x y .（1）求证：直线11()yy p x x =+与抛物线Γ相切；（2）若点A 坐标为(4,4)，点D 在抛物线Γ的准线上，求点B 的坐标；（3）设点D 在直线0x p +=上运动，直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）证明见详解；（2）1,14⎛⎫-⎪⎝⎭（3）是，(),0p 【解析】（1）联立直线方程与抛物线方程，由0=n ，即可证明；（2）根据点A 在抛物线上解得p ，进而写出D 点坐标，再根据点B 既在直线()222yy x x =+上，又在抛物线上，联立方程组即可求得B 的坐标；（3）写出直线AB 的方程，根据过点A 和过点B 的直线交于点D 得到的结论，整理化简直线方程，即可求得AB 恒过的定点. 【详解】（1）联立直线11()yy p x x =+与抛物线方程22y px =，消去x可得211102y y y px -+= 故2112y px =-n ，因为点()11,A x y 在抛物线上，故21120y px =-=n则直线11()yy p x x =+与抛物线22y px =只有一个交点又因为0p >，故该直线不与x 轴平行， 即证直线11()yy p x x =+与抛物线相切.（2）因为点()4,4A 在抛物线22y px =上，故可得1624p =⨯，解得2p =由（1）可知过点A 的切线方程为()11yy p x x =+，即240x y -+= 又抛物线的准线方程为1x =-，故令1x =-，解得32y =， 即点D 的坐标为31,?2⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为过点()22,B x y 的切线方程为()222yy x x =+，其过点31,?2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭故可得()223212y x =-+，又因为点()22,B x y 满足抛物线方程， 故可得2224y x =，联立方程组可得222340y y --=解得221,4y y =-=（舍去，与A 点重合），214x =， 故点B 的坐标为1,14⎛⎫-⎪⎝⎭. （3）由（1）得过A 点的切线方程为()11y y p x x =+令x p =-，可解得211p px y y -+=过B 点的切线方程为()22y y p x x =+令x p =-，可解的222p px y y -+=因为两直线交于点D ，故可得221212p px p px y y -+-+= 整理得()211212x y x y p y y -=- ①当过,A B 两点的直线斜率存在，则设其方程为：()211121y y y y x x x x --=--整理得2121122121y y x y x yy x x x x x --=+--，将①代入可得故直线方程为()()122121212121p y y y y y y y x x p x x x x x x ---=+=----故该直线恒过定点(),0p ;当过,A B 两点的直线斜率不存在时，1212,x x y y ==-，代入①可得12x x p ==过此时直线1:AB x x p ==，也经过点(),0p 综上所述，直线恒过定点(),0p ，即证. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线中直线恒过定点的问题，属综合性中档题；在本题中，要注意利用第一问中的结论去解决第二问和第三问.21．已知椭圆2211612x y Ω+=：.双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长. （1）求双曲线的标准方程；（2）设直线l 经过点(3,0)E 与椭圆Ω交于A B 、两点，求OAB ∆的面积的最大值； （3）设直线:l y kx m =+（其中为,k m 整数）与椭圆Ω交于不同两点A B 、，与双曲线Γ交于不同两点C D 、，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=u u u r u u u r r，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.【答案】（1） 221412x y -= （2） （3）存在，9【解析】（1）根据椭圆方程可以得到双曲线的焦距和顶点坐标，从而直接写出双曲线方程即可；（2）设出直线方程，将三角形面积拆分为2个三角形的面积，从而利用韦达定理进行处理；（3）根据直线与两个曲线相交，通过n 夹逼出,k m 的取值范围，再结合向量相加为零转化出的条件，得到,k m 之间的关系，从而利用,k m 是整数，对结果进行取舍即可. 【详解】（1）对椭圆2211612x y Ω+=：，因为22222116,124a b c a b ===-=，，故其焦点为()2,0±，椭圆的长轴长为28a =.设双曲线方程为22221x y m n-=，由题可知：28m a ===，解得212n =.故双曲线的方程为：221412x y -=.（2）因为直线AB 的斜率显然不为零，故设直线方程为3x my =+，联立椭圆方程2211612x y +=可得()223418210m y my ++-= 设交点()()1122,,,A x y B x y ， 则1212221821,3434m y y y y m m +=-=-++ 则1212y y y y +=-===== 又1212OAB S OE y y =⨯⨯+n故132OABS =⨯⨯n234m =+(,t t =≥，解得2217344m t =-故211199344442OABt S t t t ==≤=++n 当且仅当944t t =时，即3,t m ==. 故OAB ∆的面积的最大值为（3）联立直线y kx m =+与椭圆方程2211612x y +=可得()2223484480kxkmx m +++-=()()2222644344480k m k m =-+->n整理得2216120k m -+> ①设直线与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y 故可得122834kmx x k+=-+ ② 同理：联立直线y kx m =+与双曲线方程221412x y -=可得()22232120kxkmx m ----=()()2222443120k m k m =+-+>n整理得224120k m --< ③设直线与双曲线的交点为()()3344,,,C x y D x y 故可得34223kmx x k+=- ④ 要使得0AC BD +=u u u r u u u r即可得()()31314244,,x x y y x x y x --=-- 故可得1234x x x x +=+ 将②④代入可得2282343km kmk k-=+- 解得0km =.综上所述，要满足题意，只需使得：2222412041200,k m k m km k Z m Z⎧--<⎪--<⎪⎨=⎪⎪∈∈⎩ 故当0k =时，m 可以取得0,1,2,3±±±满足题意； 即直线方程可以为0,1,2,3y y y y ==±=±=± 当0m =时，k 可以取1±满足题意. 即直线方程可以为y x =±故存在这样的直线有9条，能够使得0AC BD +=u u u r u u u r.【点睛】本题考查椭圆方程和双曲线方程，涉及椭圆中三角形面积的最大值，以及圆锥曲线中的直线的存在性问题，属综合性困难题；其中解决第三问的关键是要把握住“整数”这一个关键词，同时也要对向量进行合理的转化.。
上海市交大附中2018-2019学年上学期高二数学期末试卷(解析版)
2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷一、填空题：1．（3分）若复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（m为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m ＝．2．（3分）复数z＝（2+i）（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为．3．（3分）抛物线x2＝12y的准线方程为4．（3分）已知向量＝（1，﹣2），，，，如果，则实数λ＝．5．（3分）若直线l1：ax+2y＝0和l2：3x+（a+1）y+1＝0平行，则实数a的值为．6．（3分）设双曲线﹣＝1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝．7．（3分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣3y的最小值是．8．（3分）若复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），则|z|＝．9．（3分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝．10．（3分）参数方程（t为参数）化成普通方程为；11．（3分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为．二、选择题：13．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c∈R，a≠0）下列命题不正确的是（）A．两根x1，x2满足，B．两根x1，x2满足C．若判别式△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根D．若判别式△＝b2﹣4ac＝0时，则方程有两个相等的实数根14．（3分）已知两点A（1，2），B（4，﹣2）到直线l的距离分别为1，4，则满足条件的直线l共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条15．（3分）如图．在四边形ABCD中．AB⊥BC，AD⊥DC，若||＝a，||＝b．则＝（）A．b2﹣a2B．a2﹣b2C．a2+b2D．ab16．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的集点，A，B，C为抛物线C上三点，当时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A．0个B．1个C．3个D．无数个三、解答题：17．设z+1为关于x的方程x2+mx+n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．（1）当z＝﹣1+i时，求m、n的值；（2）若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2+4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．18．（1）已知非零复数z满足|z+2|＝2，，求复数z．（2）已知虚数z使和都是实数，求虚数z．19．已知椭圆．（1）M为直线上动点，N为椭圆上动点，求|MN|的最小值；（2）过点，作椭圆的弦AB，使，求弦AB所在的直线方程．20．圆，圆，动圆P与两圆M1、M2外切．（1）动圆圆心P的轨迹C的方程；（2）过点N（1，0）的直线与曲线C交于不同的两点N1，N2，求直线N1N2斜率的取值范围；（3）是否存在直线l：y＝kx+m与轨迹C交于点A，B，使，且|AB|＝2|OA|，若存在，求k，m的值；若不存在，说明理由．21．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线的方程；（2）求的值（其中O为坐标原点）；（3）已知点A（1，2），在抛物线上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求出C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．【解答】解：∵复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（i为虚数单位）是纯虚数，∴m2﹣5m+6＝0且m2﹣3m≠0，解得m＝2，故答案为：2．2．【解答】解：z＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣i．则z的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．3．【解答】解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．4．【解答】解：∵＝（0，﹣3），＝（1+λ，﹣2+λ），，∴＝﹣3（﹣2+λ）＝0，解得λ＝2．∴实数λ＝2．故答案为2．5．【解答】解：∵l1：ax+2y＝0与l2：3x+（a+1）y+1＝0平行∴∴a＝﹣3或2故答案为：﹣3或26．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣＝1，其中a＝＝3，则有||PF1|﹣|PF2||＝6，又由|PF1|＝5，解可得|PF2|＝11或﹣1（舍）故|PF2|＝11，故答案为：11．7．【解答】解：由约束条件，得可行域如图，使目标函数z＝2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z＝2x﹣3y的最小值为z＝2×3﹣3×4＝﹣6．故答案为：﹣6．8．【解答】解：设z＝a+bi，∵复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），∴（a+bi）•2i＝a2+b2+1，∴2ai﹣2b＝a2+b2+1，∴，解得a＝0，b＝﹣1，∴|z|＝＝1．故答案为：1．9．【解答】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD＝1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||＝2∴＝（﹣，）故答案为：（﹣，）10．【解答】解：由题意，可知：，对于①式，可化成用x表示t的函数形式，x（1+t）＝2+3t化简，整理得：，其中x≠3同理，对于②式，可化成用y表示t的函数形式，y（1+t）＝1﹣2t化简，整理得：，其中y≠﹣2联立两个t的表达式，得：＝两式交叉相乘，得：（x﹣3）（1﹣y）＝（2﹣x）（y+2）化简，整理，得：3x+y﹣7＝0（x≠3）．故答案为3x+y﹣7＝0（x≠3）．11．【解答】解：因为、是渐近线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又，∴a＝2，b＝1双曲线方程为，＝（2a+2b，a﹣b），∴，化简得4ab＝1．故答案为4ab＝1．12．【解答】解：∵，∴＝，则O，A，P三点共线，∵，设Op与x轴的夹角为θ，B为A（x，y）在x轴上的投影，则线段OP在x轴上的投影长度为||cosθ＝＝＝≤48×＝10，当且仅当即|x|＝时取得最大值10．故答案为：10．二、选择题：13．【解答】解：由根与系数之间的关系得对实系数二次方程，无论判别式△≥0还是△＜0，两根x1，x2满足，，故A正确，若两根x1，x2为虚根，则不成立，故B错误，判别式△＝0时，方程有两个相等的实数根，△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根，故C，D，正确，故选：B．14．【解答】解：由点A（1，2），B（4，﹣2），易得|AB|＝5，以点A为圆心，半径1为的圆，与以点B为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有3条，故选：C．15．【解答】解：∵AD⊥DC，∴•＝0，∴•＝（+）•（﹣）＝﹣•（+）＝﹣•（+），∵AB⊥BC，∴•＝0，∴﹣•（+）＝﹣，∵||＝a，||＝b，∴＝b2﹣a2，故选：A．16．【解答】解：抛物线方程为y2＝4x，A、B、C为抛物线C三点，当满足时时，F为△ABC的重心，连接AF并延长至D，使FD＝AF，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个．故“和谐三角形”有无数个，故选：D．三、解答题：17．【解答】解：（1）∵z＝﹣1+i，∴z+1＝i，则方程x2+mx+n＝0的两根分别为i，﹣i．由根与系数的关系可得，即m＝0，n＝1；（2）设z＝a+bi（a，b∈R），则＝＝a+1﹣bi．由题意可得：（z+1）＝（a+1）2+b2＝1．令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．|PQ|＝＝∈[4，6]．18．【解答】解：（1）设z＝a+bi，则z+＝a+bi+＝a+bi+＝a++（b ﹣）i，∵，∴b﹣＝0，得b（1﹣）＝0，得b＝0或1﹣＝0，得a2+b2＝4，若b＝0，则z＝a，由|z+2|＝2得|a+2|＝2得a＝0，此时z＝0，不满足条件．若a2+b2＝4，由|z+2|＝2得|a+bi+2|＝2，得＝2，即（a+2）2+b2＝4，即a2+4a+4+b2＝4，得4+4a+4＝4，得a＝﹣1，此时b＝±，即z＝﹣1±i．（2）设z＝a+bi，（b≠0），∵和都是实数，∴设＝m和＝n，即z2＝m（z+1），z＝n（z2+1），即a2﹣b2+2abi＝m（a+1+bi）＝m（a+1）+mbi，则，即m＝2a，即a2+b2+2a＝0，①由z＝n（z2+1），得a+bi＝n（a2﹣b2+2abi+1）即，得n＝，a＝（a2﹣b2+1），即a2+b2﹣1＝0，②则2a＝﹣1，得a＝﹣，b＝±，即z＝﹣±i．19．【解答】解：（1）设点N的坐标为，则点N到直线l的距离为＝＝，所以，|MN|的最小值为；（2）设直线AB的参数方程为（t为参数，且β为倾斜角），设点A、B 对应的参数分别为t1、t2，由于，则﹣t1＝3t2，将直线AB的参数方程代入椭圆的方程，并化简得，由韦达定理得＝，，则，所以，，化简得，得cosβ＝0或，因此，弦AB所在的直线方程为或y，即或．20．【解答】解：（1）圆M1的圆心为M1（0，﹣），半径为r1＝，圆M2的圆心为M2（0，），半径为r2＝．设P（x，y），动圆P的半径为R，则|PM1|＝＝R+，|PM2|＝＝R+，∴＝+2，整理得：y2﹣x2＝1．∴动圆圆心P的轨迹C的方程y2﹣x2＝1（y≥1）．（2）设y＝k（x﹣1），则﹣1＜k＜0．联立，化为：（k2﹣1）x2﹣2k2x+k2﹣1＝0，△＝4k4﹣4（k2﹣1）（k2﹣1）＞0，解得：﹣1＜k＜﹣．∴．（3）k＝0时，不成立．k≠0时，直线OA的方程为：y＝﹣x，则＞1或＜﹣1，解得﹣1＜k＜0，或0＜k＜1．联立，解得＝，＝．∴|OA|2＝+＝．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（k2﹣1）x2+2kmx+m2﹣1＝0，△＝4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2﹣1）＞0，化为：k2+m2﹣1＞0．∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|AB|2＝（1+k2）[﹣4x1x2]＝（1+k2）[﹣4×]，∵|AB|＝2|OA|，∴|AB|2＝4|OA|2，∴（1+k2）[﹣4×]＝4×．化为：m2＝2﹣2k2．联立，解得：A．∴＝，化为：m2＝．∴2﹣2k2＝，0＜k2＜1．∴（1﹣k2）＝k2+1，解得．因此存在k，m满足题意．21．【解答】（1）y2＝4x；（2）﹣3；（2）（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）；解：（1）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），抛物线的焦点F的坐标为，设直线MN的方程为，将直线MN的方程与抛物线的方程联立，消去x并整理得y2﹣2mpy﹣p2＝0．由韦达定理得，由于p＞0，解得p＝2．因此，抛物线的方程为y2＝4x；（2）＝；（3）设点、．，．∵AB⊥BC，则．易知，y3≠2，y4≠y3，化简得（y3+2）（y4+y3）+16＝0，所以，．①当y3+2＜0时，由基本不等式可得，当且仅当，即当y3＝﹣6时，等号成立；②当y3+2＞0时，．当且仅当时，即当y3＝2时，等号成立，事实上，y3≠2，此时，有y4＜﹣6．综上所述，C点纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）．。
上海市交大附中2018-2019学年高二上学期期末数学试题
○…………外……○…………内……绝密★启用前 上海市交大附中2018-2019学年高二上学期期末数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c ∈R ，0a ≠）下列命题不正确的是（ ） A.两根12,x x 满足12b x x a +=-，12c x x a =； B.两根12,x x 满足12x x -= C.若判别式240b ac ∆=->时，则方程有两个相异的实数根； D.若判别式240b ac ∆=-=时，则方程有两个相等的实数根； 2．已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 3．如图，在四形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，若A B a =u u r ，AD b =uuu r ，则A C B D ⋅=（ ） A.22 B.22 C.22 D.ab4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点， ,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有( ) A.0个 B.1个 C.3个 D.无数个…………○订…：___________班__考号：…………○订…第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 5．复数()()22563z m m m m i =-++-，m R ∈，为纯虚数，i 为虚数单位，实数m =______； 6．复数(2)(1)z i i =+-，其中i 为虚数单位,则z 的虚部为_______. 7．抛物线212x y =的准线方程为__________. 8．已知向量()1,2a =-，()1,1b =，m a b =-r r r ，n a b λ=+r r r ，如果m n ⊥，则实数λ=______； 9．若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数的值为 ．10．设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该 双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 11．已知实数满足10{103x y x y x -+≥+-≥≤，则23z x y =-的最小值是______． 12．若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =________. 13．（理）在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |＝2，求OC 的坐标为_____________________． 14．参数方程231121t x t t y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）化成普通方程为______； 15．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为， 1(2,1)e =、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量,任取双曲线Γ上的点P ，若 12OP ae be =+（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是 ． 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈uu u r uu r ，且48OA OP ⋅=uu r uu u r ，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为______； 三、解答题 17．设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位. （1）当1z i =-+时，求,m n 的值； （2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.18．（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z +∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21zz +都是实数，求虚数z .19．已知椭圆22142x y +=.（1）M 为直线:142xyl +=上动点，N 为椭圆上动点，求MN 的最小值；（2）过点12P ⎫⎪⎭，作椭圆的弦AB ，使3AP PB =，求弦AB 所在的直线方程.20．圆(22219:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆(22221:4M x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，动圆P 与两圆1M 、2M 外切.（1）动圆圆心P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于不同的两点12,N N ，求直线12N N 斜率的取值范围；（3）是否存在直线:l y kx m =+与轨迹C 交于点,A B ，使2O A B π∠=，且2A B O A =，若存在，求,k m 的值；若不存在，说明理由.21．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-.（1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅的值（其中O 为坐标原点）；出C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由.参考答案1．B【解析】【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系可知,C D 正确；由韦达定理知A 正确；B 中若两根为虚根，则等式不成立，即B 错误.【详解】若一元二次方程240b ac ∆=->，则方程有两个相异实根12,x x 由韦达定理得：12b x x a +=-，12c x x a=，则,A C 正确；当12,x x 为虚根时，12x x -≠B 错误；若一元二次方程240b ac ∆=-=，方程有两个相等实根，D 正确.故选：B【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式之间的关系、韦达定理的应用，属于基础题.2．C 【解析】【分析】将问题转化为圆的公切线条数的求解，根据两点间距离公式求得5AB =，可确定两圆外切，由此得到公切线为3条.【详解】由题意得：5AB == ∴以A 为圆心，半径为1的圆与以B 为圆心，半径为4的圆相外切∴满足条件的直线l 为两个圆的公切线，共有3条故选：C【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用，关键是能够根据两点间距离确定两圆的位置关系，考查了转化化归的数学思想.3．A【解析】【分析】由AC AD DC =+，BD AD AB =-，根据平面向量数量积运算律、线性运算法则，结合垂直关系可将AC BD ⋅uuu r uu u r化为22AD AB -，从而得到结果.【详解】 AC AD DC =+，BD AD AB =-()()()2AC BD AD DC AD AB AD AB AD DC AD DC ∴⋅=+⋅-=-⋅++⋅ AD DC ⊥ 0AD DC ∴⋅= ()()222AC BD AD AB AD DC AD AB AC AD AB AB BC ∴⋅=-⋅+=-⋅=-⋅+22AD AB AB BC =--⋅ AB BC ⊥ 0AB BC ∴⋅= 222222AC BD AD AB AD AB b a ∴⋅=-=-=- 故选：A【点睛】本题考查平面向量数量积的求解，关键是能够灵活应用平面向量的线性运算、向量垂直时数量积等于零的关系，将所求的数量积转化为已知模长的两个向量的形式.4．D【解析】【分析】当0FA FB FC ++=时，F 为ABC ∆的重心，连接AF 并延长至D ，使12FD AF =，当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，利用“点差法”可证明总存在以D 为中点的弦BC ，从而可得结果.【详解】 抛物线方程为24,,,y x A B C =为曲线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，F 为ABC ∆的重心，用如下办法构造ABC ∆，连接AF 并延长至D ，使12FD AF =， 当D 在抛物线内部时， 设()00,D x y ，若存在以D 为中点的弦BC ，设()()1122,,,B m n C m n ， 则12120120122,2,BC n n m m x n n y k m m -+=+==- 则21122244n m n m ⎧=⎨=⎩，两式相减化为()1212124n n n n m m -+=-， 121202BC n n k m m y -==-， 所以总存在以D 为中点的弦BC ，所以这样的三角形有无数个，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.5．2【解析】【分析】根据纯虚数定义可知实部为零，虚部不等于零，由此构造方程组求得结果.【详解】由纯虚数定义可知：2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得：2m = 故答案为：2【点睛】本题考查纯虚数的定义，易错点是忽略虚部不等于零的要求，属于基础题.6．-1【解析】()()21z i i =+-22i i 13i =-++=-，z ∴的虚部为1-，故答案为1-.7．3y =-【解析】2212,32p x py y ==∴=，∴抛物线212x y =的准线方程为32p y =-=-，故答案为3y =-.8．2；【解析】【分析】 根据向量垂直可得数量积等于零，由此构造方程求得结果.【详解】由题意得：()0,3m =-，()1,2n λλ=+-+m n ⊥ 630m n λ∴⋅=-=，解得：2λ=故答案为：2【点睛】本题考查根据平面向量垂直关系求解参数值的问题，关键是明确向量垂直等价于数量积为零，属于基础题.9．3-或2 【解析】试题分析：依题意可得20311a a =≠+,解得3a =-或2a =． 考点：两直线平行．10．11【解析】 由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =， 根据双曲线的定义可知1226PF PF a -==，又因为15PF =，所以2||11PF =.11．6-【解析】试题分析:作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线0:230l x y -=，平移直线0l ，当直线0l 过点(3,4)B 时，23z x y =-取得最小值6-.考点：线性规划. 12．1 【解析】设i,,z a b a b =+∈R ，则由22i 1z z ⋅=+，得2222i 1b a a b -+=++，则222120b a b a ⎧-=++⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩，即i z =-，即||1z =.13．(,55-【解析】 【分析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得OA OB OC t OA OB ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭,再根据|OC |＝2，求t,即得结果. 【详解】由题意可设0OA OB OC t t OA OB ⎛⎫⎪=+> ⎪⎝⎭，，所以39(,)55t tOC =-，因为|OC |＝22t =∴=,即OC 的坐标为⎛ ⎝⎭. 【点睛】与a 共线的向量为a λ，当0λ>时，为同向；当0λ<时，为反向；与a 共线的单位向量为||a a λ；与(,)a x y =垂直的向量为(,)y x λ-.与AOB ∠平分线共线的向量为()||||OA OBOA OB λ+. 14．()3703x y x +-=≠； 【解析】 【分析】通过分离常数法可求得131x t =-+、1213y t +=+且3x ≠，由此构造关于,x y 的等式，整理可得结果. 【详解】()3112313111t t x t t t +-+===-+++ 3x ∴≠且131x t =-+ ()2131232111t t y t t t -++-===-++++ 1213y t +∴=+ ()2333y x x +∴-=≠，即()3703x y x +-=≠ 故答案为：()3703x y x +-=≠ 【点睛】本题考查参数方程化普通方程的问题，易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误. 15．4ab=1 【解析】 【详解】 因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为 ，又双曲线方程为 ，12OP ae be =+ =，，化简得4ab=116．10； 【解析】 【分析】由()1AP OA λ=-可知,,O A P 三点共线，得到48OA OP ⋅=；根据投影的定义可将所求投影长度转化为248925xx +，当0x =时，cos 0OP θ=；当0x ≠时，利用基本不等式可求得最大值；综合可得最终结果. 【详解】()1AP OA λ=- OA AP OA OPλ∴+== ,,O A P ∴三点共线 48OA OP OA OP ∴⋅=⋅=设OP 与x 轴夹角为θ，(),A x y ，B 为点A 在x 轴上的投影OP ∴在x 轴上的投影长度为222484848cos cos OB x OP x y OAOAθθ===+A 在椭圆221259x y +=上 229925y x ∴=- 248c o s 925x OP x θ∴=+ 当0x =时，cos 0OPθ=当0x ≠时，48cos 1016925OP x x θ=≤=+ 当且仅当16925x x =，即154x =±时取等号综上所述：OP 在x 轴上的投影长度的最大值为10 故答案为：10 【点睛】本题考查平面向量投影长度的求解，关键是能够将所求的投影长度转化为关于某一变量的函数，利用函数最值的求解方法求得结果. 17．（1）0m =，1n =；（2）[]4,6； 【解析】 【分析】（1）由z 可确定方程两根为,i i -，由韦达定理可求得结果；（2）可确定1z +，1z +为方程的两根，令z a bi =+，韦达定理可得()111z z +⋅+=；令1cos a θ=-+，sin b θ=，利用两点间距离公式可表示出PQ ，利用三角函数的知识求得范围. 【详解】（1）当1z i =-+时，1z i +=∴方程20x mx n ++=的两根分别为：,i i -()()i i m i i n ⎧+-=-⎪∴⎨⋅-=⎪⎩，即0m =，1n =（2）当1n =时，方程为210x mx ++= 1z ∴+，1z +为方程的两根 设(,)z a bi a b R =+∈，则11z a bi +=++，11z a bi +=+-()()221111z z a b ∴+⋅+=++=设1cos a θ=-+，sin b θ=，[)0,2θ∈πPQ ∴===其中3tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()[]sin 1,1θϕ+∈- []4,6PQ ∴∈即PQ 的取值范围为[]4,6【点睛】本题考查复数的定义、几何意义的应用，涉及到复数对应的复平面当中的点的知识；关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根，利用韦达定理构造等量关系.18．（1）1z =-；（2）12z =-±； 【解析】 【分析】（1）设z a bi =+，根据复数运算表示出4z z+，令虚部为零可求得0b =或224a b +=；当0b =时，可验证不满足题意；当224a b +=时，利用22z +=可得关于,a b 的方程，联立可求得,a b ，从而得到z ；（2）令21z m z =+，21z n z =+，得到()21z m z =+，()21z n z =+，设z a bi =+，代入整理后，根据复数相等条件可分别得到关于,a b 的方程，解方程组求得,a b ，进而得到z . 【详解】（1）设,(,)z a bi a b R =+∈则()()22222244444a b z a bi a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ⎛⎫+=++=++-=++- ⎪++++⎝⎭4z R z +∈ 22224410b b b a b a b ⎛⎫∴-=-= ⎪++⎝⎭0b ∴=或224a b += 当0b =时，z a = 22a ∴+=，解得：0a =，与z 为非零复数矛盾，不合题意 当224a b +=时，由222z a bi +=++=得：()22222444a b a b a ++=+++=844a ∴+=，解得：1a =- b ∴=1z ∴=-±（2）21z z +与21z z +都是实数 ∴可设21z m z =+，21z n z =+ ()21z m z ∴=+，()21z n z =+设()0(,)z a bi b a b R =+≠∈由()21z m z =+得：()()21a bi m a bi +=++，即()2221a b abi m a mbi -+=++()2212a b m a ab mb⎧-=+∴⎨=⎩ 22220m a a b a =⎧∴⎨++=⎩ 由()21z n z =+得：()2212a bi n a b abi +=-++，即()2212a bi n a b abni +=-++()2212a n a b b abn ⎧=-+⎪∴⎨=⎪⎩ 221210n aa b ⎧=⎪∴⎨⎪+-=⎩ 21a ∴=-，解得：12a =-2b ∴==±122z ∴=-±【点睛】本题考查复数的定义及运算，涉及到实数的定义、复数的模长、复数相等的条件、复数运算等知识，关键是能够采用待定系数法，通过实数定义和复数相等构造出方程组求得未知数，进而得到所求复数. 19．（1；（2）x或8100y +-=； 【解析】 【分析】（1）设()2c o s ,N θθ，可知所求最小值为N 到直线l 距离d 的最小值；利用点到直线距离公式表示出d ，利用三角函数知识可求得最小值；（2）设直线AB 参数方程，且,A B 对应参数为12,t t ，根据向量关系可知123t t -=；将参数方程代入椭圆方程，根据韦达定理可求得22t -和223t -，利用22t 构造方程可求得cos 0β=或tan 8β=-，从而得到直线方程. 【详解】（1）设()2cos ,N θθ，∴MN 的最小值即为N 到直线l 距离d 的最小值，又:240l x y +-=d∴==tan 2φ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）∴当()sin 1θϕ+=时，d 取最小值m i n 15d ∴==即MN（2）设直线AB 的参数方程为：cos 1sin 2x t y t ββ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数且β为直线AB 倾斜角） 设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则由3AP PB =得：123t t -=将AB 的参数方程代入椭圆方程化简得：()()2222sin4sin 30t t βββ+++-=12222sin 21sin t t t βββ+∴+=-=-+，212223322sin t t t β=-=-+ 222sin 11sin 22sin ββββ⎛⎫+∴= ⎪⎪++⎝⎭，整理可得：2cos 3cos 0βββ+= 解得：cos 0β=或tan 8β=-∴弦AB 所在的直线方程为x =12y x-=即x =或8100y +-= 【点睛】本题考查直线参数方程、椭圆参数方程的应用问题；涉及到椭圆上的点到直线距离的最值的求解、定点分弦成比例问题的求解；本题求解弦所在直线方程的关键是能够灵活运用直线参数方程中t 的几何意义，利用韦达定理构造等量关系，从而得到直线的倾斜角，属于较难题.20．（1）()2211y x y -=≥；（2）1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）存在)1k =±，m =使得题设成立 【解析】【分析】（1）确定圆1M 和圆2M 的圆心与半径，根据两圆外切时圆心距和半径之间的关系可得1PM ，2PM ，可知P 点轨迹满足双曲线轨迹，为双曲线的上半支；从而根据定义可求得轨迹方程；（2）设()12:1N N y k x =-，结合渐近线斜率可确定10k -<<，联立直线方程与双曲线方程，利用>0∆即可求得k 的范围；（3）当0k =时，显然不成立；当0k ≠时，设1:OA y x k=-；与抛物线方程联立可求得22,A A x y ，从而表示出2OA ；将l 与抛物线联立，利用弦长公式可求得2AB ，由224AB OA =可整理得到2222m k =-；两直线方程联立可求得A 点坐标，利用A x 建立等式，可得()222211km k+=-，从而得到方程组，解方程组可求得,m k 的值.【详解】（1）由圆的方程可知，圆1M 的圆心(10,M ，半径194r =；圆2M 的圆心(2M ，半径214r =设(),P x y ，且动圆P 半径为R则194PM R ==+，214PM R ==+122PM PM ∴-==即P 到1M ，2M 的距离之差为定值2，且122M M >，满足双曲线定义P ∴点轨迹为双曲线的上半支，轨迹方程为：()2211y x y -=≥（2）设直线12N N 方程为：()1y k x =-双曲线渐近线方程为y x =±，且12N N 与双曲线上半支有两个交点 10k ∴-<<联立()2211y k x y x ⎧=-⎨-=⎩得：()22221210k x k x k --+-=()2422441840k k k ∴∆=--=->，解得：2k <-或k >1,2k ⎛⎫∴∈-- ⎪ ⎪⎝⎭，即直线12N N斜率的取值范围为1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭（3）当0k =时，直线为y m =，显然不成立 当0k ≠时，直线OA 的方程为：1=-y x k 11k ∴->或11k-<- 10k ∴-<<或01k <<联立2211y x k y x ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩得：2221k x k =-，即2221A k x k =-，2211A y k =- 2222211AAk OA x y k+∴=+=- 联立221y kx m y x =+⎧⎨-=⎩得：()2221210k x kmx m -++-= 则()()222244110k m k m ∆=--->，即2210k m +->设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221km x x k +=--，212211m x x k -=-()()()()()2222222121222241414111m k m AB kx x x x k k k ⎛⎫- ⎪⎡⎤∴=++-=+-⎣⎦ ⎪--⎝⎭2AB OA = 224AB OA ∴=即()()()222222222414441111m k m k k k k k ⎛⎫-+ ⎪+-= ⎪---⎝⎭，整理可得：2222m k =- 联立1y x k y kx m⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得：22,11km m A k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 222211k km k k ⎛⎫∴=- ⎪-+⎝⎭ 整理可得：()222211k m k+=-()22221221k k k+∴-=-，201k <<，解得：)1k =±m ∴=±当m =-l 与轨迹C 无交点，不合题意∴存在)1k =±，m =【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，涉及到圆与圆的位置关系的应用、利用定义求解轨迹方程、根据直线与曲线交点个数求解参数范围、存在性问题的求解；求解存在性问题的关键是能够通过已知的等量关系构造出关于变量的方程，通过解方程的方式求得结果；本题整体计算难度和计算量较大，对于学生运算求解能力有较高的要求，属于难题.21．（1）24y x =；（2）3-；（2）存在， C 点的纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞U ；【解析】 【分析】（1）设直线:2p MN x my =+，与抛物线联立，利用韦达定理可得2124y y p =-=-，解方程求得p 即可得到抛物线方程；（2）根据221212121216y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+，利用（1）中韦达定理的结论可求得结果； （3）设233,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫⎪⎝⎭，根据垂直关系可得0AB BC ⋅=，从而整理得到()43316222y y y =--+++，分别在320y +<和320y +>两种情况下利用基本不等式求得4y 的范围即可. 【详解】（1）由22y px =得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 方程为：2p x my =+与抛物线方程联立可得：2220y mpy p --=设()11,M x y ，()22,N x y ，则2124y y p =-=-，解得：2p =∴抛物线方程为：24y x =本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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称 VABC 为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）
A. 0 个
B. 1 个
C. 3 个
D. 无数个
三、解答题
17. 设 z +1为关于 x 的方程 x2 + mx + n = 0 （ m, n R ）的虚根， i 为虚数单位．
（1）当 z = −1+ i 时，求 m, n 的值；
（2）若 n =1 ，在复平面上，设复数 z 所对应的点为 P ，复数 2 + 4i 所对应的点为 Q ，试求 PQ 的
42
上海高中生 （2）过点
P
2
,
1 2
，作椭圆的弦
AB
，使
uuur AP
=
uuur 3PB
，求弦
AB
所在的直线方程．
( ) ( ) 20. 圆 M1 : x2 + y +
2
2
=
9 4
2
，圆
M
2
:
x2
+
y−
2
2
=
1 4
2
，动圆
P
与两圆
M1
,
M
2
外切．
（1）动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程；
标的取值范围；若不存在，则说明理由．
上海高中生
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参考答案
1、 m = 2
2、 −1
3、 y = −3
4、 2
6、11
7、−6
8、1
9、 −
10 5
,
3
10 5
11、 ab = 1 4
13-16、BCAD
12、10
17、（1） m = 0 ， n =1 ；（2）4, 6 ；
5、 −3 或 2 10、2x + y − 7 = 0（ x 3）
上海交通大学附属中学 2018-2019 学年度第一学期
高二数学期末考试试卷
一、填空题
( ) ( ) 1. 复数 z = m2 − 5m + 6 + m2 − 3m i, m R ，i 为虚数单位，实数 m = ____________时 z 是纯
虚数．
2. 复数 z = (2 + i)(1− i) ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部为____________．
高 x 3 上海 8. 若复数 z 满足 z 2i = z 2 +1（其中i 为虚数单位），则 z = ____________．
9. 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,1) 和点 B (−3, 4) ，若点 C 位于第二象限，且在 AOB 的
uuur
uuur
平分线上， OC = 2 ，则 OC = ____________．
uuur
uuur
uuur uuur
AP = ( −1)OA( R) ， 且 OAOP = 48 ， 则 线 段 OP 在 x 轴 上 的 投 影 长 度 的 最 大 值 为
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____________．
二、选择题
13. 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 （其中 a,b, c R, a 08、（1） z = −1 3i ；（2） z = − 1 3 i 22
19、（1） 4 5 − 2 15 ；（2） x = 2 或 3 2x + 8y −10 = 0 5
20、（1）
y2
−
x2
= 1（
y
1）；（2） −1, −
2 2
上海高中生 21、（1） y2 = 4x ；（2）−3；（3）(−,−6)U10,+)
10.
参数方程
x
y
= =
2 + 3t 1+ t 1− 2t 1+ t
（
t
为参数）化成普通方程是____________．
( ) 11. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 双 曲 线 的 中 心 在 原 点 ， 它 的 一 个 焦 点 坐 标 为 5, 0 ，
ur
uur
uuur uuur uuur
21. 过抛物线 y2 = 2 px ( p 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 M , N 两点，且 M , N 两点的纵坐标之
积为 −4 ．
（1）求抛物线的方程；
uuuur uuur （2）求 OM ON 的值（其中 O 为坐标原点）；
（3）已知点 A(1, 2) ，在抛物线上是否存在两点 B 、C ，使得 AB ⊥ BC ？若存在，求 C 点的纵坐
（2）过点 N (1, 0) 的直线与曲线 C 交于不同的两点 N1, N2 ，求直线 N1N2 斜率的取值范围；
（3）是否存在直线 l : y = kx + m 与轨迹 C 交于点 A, B ，使 OAB = ，且 AB = 2 OA ，若存在， 2
求 k, m 的值；若不存在，说明理由．
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取值范围．
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18. （1）已知非零复数 z 满足 z + 2 = 2, z + 4 R ，求复数 z ； z
（2）已知虚数
z
使
z2 z+
1
和
z z2 +1
都是实数，求虚数
z
．
19. 已知椭圆 x2 + y2 = 1． 42
（1） M 为直线 l : x + y = 1 上动点， N 为椭圆上动点，求 MN 的最小值；
e1 = (2,1), e2 = (2, −1) 分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线 上的点 P ，若 OP = ae1 + be2
（ a 、 b R ），则 a 、 b 满足的一个等式是____________．
12. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 点 A 在 椭 圆 x2 + y2 = 1 上 ， 点 P 满 足 25 9
3. 抛物线 x2 = 12 y 的准线方程为____________．
r
r
ur r r r r r
ur r
4. 已知向量 a = (1, −2),b = (1,1), m = a − b, n = a + b ，如果 m ⊥ n ，则实数 = ____________．
5. 若直线 l1 : ax + 2 y = 0 和 l2 : 3x + (a +1) y +1 = 0 平行，则实数 a 的值为____________．
A. 1 条
B. 2 条
C. 3 条
D. 4 条
uuur uuur
uuur uuur
15. 如图，在四边形 ABCD 中，AB ⊥ BC, AD ⊥ DC ．若 AB = a, AD = b ，则 AC BD =（ ）
高中生 A. b2 −a2
B. a2 − b2
C. a2 + b2
D. ab
海 uuur uuur uuur r 上 16. 已知 F 为抛物线 C : y2 = 4x 的焦点， A, B,C 为抛物线 C 上三点，当 FA+ FB + FC = 0 时，
A.
两根 x1, x2 满足 x1 + x2
=−b a
； x1 x2
=
c a
B. 两根 x1, x2 满足 x1 − x2 = ( x1 − x2 )2
C. 若判别式 = b2 − 4ac 0 时，则方程有两个相异的实数根
D. 若判别式 = b2 − 4ac = 0 时，方程有两个相等的根
14. 已知两点 A(1, 2), B (4, −2) 到直线 L 距离分别是 1,4，则满足条件的直线 L 共有（ ）
6.
设双曲线
x2 9
− y2 b2
= 1(b 0) 的焦点为 F1 、 F2 ；
P
为该双曲线上的一点，若
PF1
= 5 ，则
生 PF2 = ____________．
中 x − y +1 0
7. 设 x, y 满足约束条件 x + y −1 0 ，则 z = 2x − 3y 的最小值是____________．