上海交大附中高二上学期期末试卷(数学)
上海交通大学附属中学高二数学上学期期末考试试题含解析
【答案】C
【解析】
【分析】
先对曲线进行转化，再画出曲线的图像，数形结合解决问题。
【详解】对方程:
等价于当 时， ,或
故画出该曲线对应的图像如下所示：
如图实线所示即为该方程表示的曲线，直线 即为满足题意的直线；
不妨联立方程 与
解得 ,即可得 ,
由图容易知当 或 时，
直线 与曲线有4个交点。
(3）设点 在直线 上运动，直线 是否恒过定点？若恒过定点,求出定点坐标；若不存在，请说明理由;
【答案】（1）证明见详解；（2） （3）是，
【解析】
【分析】
（1)联立直线方程与抛物线方程,由 ，即可证明；
（2）根据点 在抛物线上解得 ，进而写出 点坐标,再根据点 既在直线 上，又在抛物线上,联立方程组即可求得 的坐标;
【答案】
【解析】
【分析】
根据一般的结论，取特殊的点 ,结合点在椭圆上，以及圆心到直线的距离等于半径，联立方程组,即可求得结果。
【详解】因为 为椭圆上任意一点，都满足题意，
故设 点坐标为 ，设 。
则点 满足椭圆方程,即可得 ①
直线 方程为
因为该直线与圆相切,
故由圆心到直线的距离公式可得 ②
联立①②，消去 可得：
【详解】根据题意，抛物线的焦点坐标为 。
若直线的斜率不存在,则 两点关于焦点对称，故满足 ；
若直线的斜率不存在，设直线方程为
联立抛物线方程 ,可得
设 ，故 ，不可能等于2，
故此时不存在满足题意的直线.
综上所述，满足题意的直线只有1条.
故选:A。
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题。
16。曲线 ，要使直线 与曲线 有四个不同 交点，则实数 的取值范围是( ）
【精准解析】上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题
1.复数 z 满足 i z 1，则 Im z _________. 【答案】 1
【解析】 【分析】 求出复数 z ，然后找出其虚部即可.
【详解】因为 i z 1，故 z 1 i i
故 Im z 1. 故答案为： 1.
【点睛】本题考查复数的化简，以及虚部的辨识，属于基础题.
【详解】根据题意,若直线 x 2 y 3 = 0 与直线 a 1 x by = 2 互相垂直,
则有 a 1 2b = 0 ,变形可得 a 2b =1,
则 ab 1 a 2b 1 ( a 2b )2 1 ,当且仅当 a = 2b 1 时,等号成立;
2
22
8
2
即 ab 的最大值为 1 , 8
PQ 的最小值为_________.
-3-
【答案】 2
【解析】 【分析】 先判断直线与圆的位置关系，再计算圆心到直线的距离，减去半径，即为所求.
【详解】由圆的方程 C : x2 y2 2x 4y 4 0 ，可得圆心为 1, 2 , r 4 16 16 1.
2 因为圆心到直线的距离 d 3 8 4 3 r 1，故直线与圆相离，
2 故答案为： arctan 1 .
2
【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题.
5.若方程 (k 1)x2 (5 2k) y 2 1 表示的曲线为双曲线，则实数 k 的取值范围为_________.
【答案】 (,1) ( 5 , ) 2
-2-
【解析】 【分析】 根据双曲线方程的特点，列出不等式，求解即可.
2.抛物线 y 4x2 的焦点坐标是___________．
上海市交大附中19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
上海市交大附中19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 设x ，y ∈R ，则“x 2+y 2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知复平面内的平行四边形ABCD 中，定点A 对应的复数为i ，向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2+i ，则点D 对应的复数为( )A. 2B. 2+2iC. −2D. −2−2i3. 过抛物线y 2=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A. 有且只有一条B. 有且只有两条C. 有且只有三条D. 有且只有四条4. 方程(x −y)2+(xy −1)2=0表示的曲线是( )A. 一条直线和一条双曲线B. 两条双曲线C. 两个点D. 以上答案都不对二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 若复数z =i(2−z)，则z = ______ ．6. 设抛物线y =4x 2的焦点为F ，则点F 的坐标为______ ．7. 已知z =1−3i 1+i(i 是虚数单位)，则|z|=________．8. 直线{x =−tcos20∘y =3+tsin20∘ (t 为参数)的倾斜角是______． 9. 方程x 2m+2+y 2m−2=1表示双曲线，则m 的取值范围是______．10. 已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y =0，且点P(−3,2√2)在双曲线上，则双曲线的方程为______ ．11. 点P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x −4y −10=0的距离的最小值为_________． 12. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若△PF 1F 2的面积为9，则b =______．13. 已知经过点(m,3)和(2,m)的直线l 与斜率为−4的直线互相垂直，则m 的值是________． 14. 已知向量a ⃗ =(sinθ,−2)与b ⃗ =(1,cosθ)互相垂直，其中θ∈(0,π2).则cosθ=______．15.设定点A(a,a)，P是函数y=1x(x>0)图象上一动点.若点P，A之间的最短距离为√7，则满足条件的实数a的所有值为 ________16.设椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)右顶点和上顶点分别为A，B，直线AB与直线y=−x相交于点P，若P在抛物线y2=−ax上，则椭圆M的离心率等于__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知复数z满足|z|2+(z+z)i=3−i2+i(i为虚数单位)，求z．18.如图，在△ABC中，已知AB=4√2，且角A，B，C满足2sinA+sinC=2sinB，求顶点C的轨迹．19. 已知椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过A(−1,32)、B(√3,−√32)两点，过点P(0,1)的动直线l 与椭圆交于C 、D 两点(1)求椭圆E 的标准方程；(2)当CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，求直线l 的方程．20. 如图所示，抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 且斜率存在的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，已知当直线l 的斜率为1时，|AB|=8． (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点A 作抛物线C 的切线交直线x =p2于点D ，试问：是否存在定点M 在以AD 为直径的圆上？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由21. 椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，|OF⃗⃗⃗⃗⃗ |=1． (1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为 ΔPQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由。
上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．已知双曲线G：224-=，直线l过()x y0,2．“直线l平行于双曲线G的渐近线”是“直线l与双曲线G恰有一个公共点”的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件14．空间中，设P 是直线l外一点，a 是一个平面，则以下列命题中，错误的是（ ）．A ．过点P 有且仅有一条直线平行于l B ．过点P 有且仅有一条直线垂直于lC ．过点P 有且仅有一条直线垂直于aD ．过点P 有且仅有一个平面垂直于l15．已知00(,)P x y 是圆222:(0)C x y r r +=>内异于圆心的一点，则直线200x x y y r +=与圆C 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定16．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA AD =，():,0AB AD l l =>，E 是棱11A B 的中点，点P 是线段1D E 上的动点，给出以下两个命题：①无论l 取何值，都存在点P ，使得PC BD ^；②无论l 取何值，都不存在点P ，使得直线1AC ^平面PBC ．则（ ）．A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立三、解答题17．在空间直角坐标系中，设()0,2,3A 、()2,1,6B -、()1,1,5C -、()3,3,4D ．(1)设()2,0,8a =--r，b AB AD =+r uuu r uuu r ，求b r 的坐标，并判断a r 、b r 是否平行；(2)求AB uuu r 、AC uuu r 的夹角q ，以及AB uuu r 、AC uuu r 为相邻两边的三角形面积S ．18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为BC 的中点，N 为AB 的中点，P 为1BB 中点．(1)求证：1BD ^平面MNP ；(2)求异面直线1B D 与1C M 所成角的余弦值．19．在如图所示的圆锥中，P 是顶点，O 是底面的圆心，A 、B 是圆周上两点，且【点睛】关键点睛：本题第三问，x 0MQ NQ k +=，联立直线l ¢与双曲线G 21．(1)xOy 平面截曲面C 所得交线是平面见解析。
上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷(解析版)
上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷一、填空题1．复数z 满足i •z ＝1．则Imz ＝ ． 2．已知抛物线y ＝4x 2，则焦点的坐标为 ．3．若z =|a a 12|（i 为虚数单位，a ＞0），|z 3|＝5√5，则a 的值为 ．4．直线{a =2+2aa =3+a（参数t ∈R ）的倾斜角为 ．5．若方程（k ﹣1）x 2+（5﹣2k ）y 2＝1表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为 ． 6．若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，且过点A （1，√10），则双曲线的方程是 ．7．点P 为直线3x +4y +4＝0上的动点，点Q 为圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +4＝0上的动点，则|PQ |的最小值为 ． 8．已知F 1、F 2是椭圆C ：a 2a 2+a 2a 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且aa 1→⊥aa 2→，若△PF 1F 2的面积为4，则b ＝ ．9．已知a ，b ∈R +，若直线x +2y +3＝0与直线（a ﹣1）x +by ＝2互相垂直，则ab 的最大值等于 ． 10．已知曲线Γ：{a =2aaaa a =aaaa，（θ∈[0，5a 6]）上一动点P ，曲线Γ与直线x ＝1交于点Q ．则aa→•aa →的最大值是 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A （a ，a ），P 是函数y =1a （x ＞0）图象上一动点，若点P ，A 之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a 的所有值为 ． 12．已知椭圆Γ：a 29+a 24=1和圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0），设点A 为椭圆Γ上的任一点，过A 作圆O 的两条切线，分别交椭圆Γ于B ，C 两点，若直线BC 与圆O 相切，则r ＝ ．二、选择题13．设z 为非零复数，则“z +1a∈R “是|z |＝1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）A ．{a |，|a |=1，aaa ≥12，a ∈a }B ．{a |，|a |≤1，aaa ≥12，a ∈a } C ．{a |，|a |=1，aaa ≥12，a ∈a }D ．{a |，|a |≤1，aaa ≥12，a ∈a }15．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在16．曲线Γ：（a 24−a 25−1）√a 2+a 2−9=0，要使直线y ＝m （m ∈R ）与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（−53，53） B ．（﹣3，3）C ．（﹣3，−53）∪（53，3）D ．（﹣3，−53）∪（−53，53）∪（53，3） 三、解答题17．已知实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0（a ，b ∈R ）的一根为﹣2i （i 为虚数单位），另一根为复数z ． （1）求复数z ，以及实数a ，b 的值；（2）设复数z 的一个平方根为λ，记λ、λ2、λ﹣λ2在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求（aa→+aa →）•aa→的值． 18．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A 、B 、C ，且|OA |＝|OB |＝|OC |＝30km ，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40a 0秒（注：信号每秒传播V 0千米）．（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O 的距离： （3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？19．已知椭圆Γ：a 2a +1+a 2a=1，过点D （﹣1，0）的直线l ：y ＝k （x +1）与椭圆Γ交于M 、N 两点（M 点在N 点的右侧），与y 轴交于点E ．（1）当m ＝1且k ＝1时，求点M 、N 的坐标；（2）当m ＝2时，设aa→=aaa →，aa →=aaa →，求证：λ+μ为定值，并求出该值； 20．设抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），D （x 0，y 0）满足y 02＞2px 0，过点D 作抛物线Γ的切线，切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2．y 2）．（1）求证：直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切：（2）若点A 坐标为（4，4），点D 在抛物线Γ的准线上，求点B 的坐标：（3）设点D 在直线x +p ＝0上运动，直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标：若不存在，请说明理由． 21．已知椭圆Ω：a 216+a 212=1．双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长．（1）求双曲线Γ的标准方程；（2）设直线1经过点E （3，0）与椭圆Ω交于A 、B 两点，求△OAB 的面积的最大值；（3）设直线1：y ＝kx +m （其中k ，m 为整数）与椭圆Ω交于不同两点A 、B ，与双曲线Γ交于不同两点C 、D ，问是否存在直线l ，使得向量aa →+aa →=0→，若存在，指出这样的直线有多少条？若存在，请说明理由．一、填空题1．【详解详析】由i •z ＝1，得z =1a =−a−a 2=−a ， ∴Imz ＝﹣1． 故答案为：﹣1．2．【详解详析】抛物线y ＝4x 2的标准方程为x 2=14y ，焦点在y 轴的正半轴上，p =18，a 2=116， 故焦点坐标为（0，116）， 故答案为：（0，116）．3．【详解详析】z =|a a12|=2a ﹣i ，由|z 3|＝5√5，得|a |3=(√4a 2+1)3=5√5，即4a 2+1＝5，得a ＝1（a ＞0）． 故答案为：1． 4．【详解详析】直线{a =2+2aa =3+a（参数t ∈R ）转换为直角坐标方程为：x ﹣2y ＝2﹣6，即x ﹣2y +4＝0，故直线的斜率为k =12，所以直线的倾斜角为aaaaaa 12． 故答案为：aaaaaa 125．【详解详析】方程（k ﹣1）x 2+（5﹣2k ）y 2＝1表示的曲线为双曲线， 可得（k ﹣1）•（5﹣2k ）＜0，解得k ＜1或k ＞52． 故答案为：（﹣∞，1）∪（52，+∞）．6．【详解详析】由题意可知，可设双曲线的方程是x 2−a 29=k ，把点（1，√10）代入方程解得 k =−19，故所求的双曲线的方程是y 2﹣9x 2＝1， 故答案为：y 2﹣9x 2＝1．7．【详解详析】由圆的标准方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1得圆心坐标为C （1，2），半径R ＝1， 圆心到直线的距离d =31424√22=155=3，在|PQ |的最小值为d ﹣R ＝2； 故答案为：28．【详解详析】∵F 1、F 2是椭圆C ：a 2a 2+a 2a 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|•|PF 2|＝4， ∴（|PF 1|+|PF 2|）2＝4c 2+2|PF 1||PF 2|＝4a 2，∴16＝4（a 2﹣c 2）＝4b 2， ∴b ＝2． 故答案为：2．9．【详解详析】根据题意，若直线x +2y +3＝0与直线（a ﹣1）x +by ＝2互相垂直， 则有（a ﹣1）+2b ＝0，变形可得a +2b ＝1， 则ab =12（a ×2b ）≤12×（a +2a 2）2=18，当且仅当a ＝2b =12时，等号成立；即ab 的最大值为18， 故答案为：18． 10．【详解详析】曲线Γ：{a =2aaaa a =aaaa，（θ∈[0，5a 6]）上一动点P ，曲线Γ与直线x ＝1交于点Q ．2cos θ＝1⇒cos θ=12⇒θ=a3； ∴sin a =√32；即Q （1，√32）；∴aa →•aa →=（2cos θ，sin θ）•（1，√32）＝2cos θ+√32sin θ=√192sin （θ+φ）；tan φ=4√34；φ∈（0，a2）； ∴θ+φ∈（φ，φ+5a 6）； ∴θ+φ=a 2时，aa→•aa →取最大值且最大值为√192；故答案为：√19211．【详解详析】设点P (a，1a )(a＞0)，则|PA |=√(a −a )2+(1a −a )2=√a 2+1a 2−2a (a +1a )+2a 2=√(a +1a )2−2a (a +1a )+2a 2−2，令a =a +1a ，∵x ＞0，∴t ≥2，令g （t ）＝t 2﹣2at +2a 2﹣2＝（t ﹣a ）2+a 2﹣2，①当a ≤2时，t ＝2时g （t ）取得最小值g （2）＝2﹣4a +2a 2=(2√2)2，解得a ＝﹣1；②当a ＞2时，g （t ）在区间[2，a ）上单调递减，在（a ，+∞）单调递增，∴t ＝a ，g （t ）取得最小值g （a ）＝a 2﹣2，∴a 2﹣2=(2√2)2，解得a =√10．综上可知：a ＝﹣1或√10．故答案为﹣1或√10．12．【详解详析】不妨取A为椭圆左顶点，则A（﹣3，0），BC方程为x＝r，代入椭圆Γ：a29+a24=1，得y=±23√9−a2．设B（r，23√9−a2），则AB的方程为：23√2=a+3a+3，整理得：2√9−a2a−3(a+3)a+6√9−a2=0．由√2√4(9−a2)+9(a+3)2=a，得（5r﹣6）（r3+12r2+45r+54）＝0，则r=65．故答案为：65．二、选择题13．【详解详析】设z＝x+yi（x，y∈R，不同时为0），则z+1a =x+yi+1a+aa=x+1a2+a2+y（1−1a2+a2）i∈R，∴y（1−1a2+a2）＝0，∴y＝0，x≠0；或x2+y2＝1即|z|＝1．∴“z+1a∈R“是|z|＝1”的必要不充分条件．故选：B．14．【详解详析】由图形可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），且复数对应点的纵坐标大于或等于12，故有|z|≤1，Imz≥12，故选：D．15．【详解详析】过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，适合．故设直线AB的斜率为k，则直线AB方程为y＝k（x﹣1）代入抛物线y2＝4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0∵A、B两点的横坐标之和等于2，∴2(a 2+2)a2=2，∴方程无解，∴这样的直线不存在．故选：A．16．【详解详析】曲线Γ：（a 24−a25−1）√a2+a2−9=0，可知x，y∈[﹣3，3]，图形如图：是一个圆与双曲线的一部分，由{a 2+a 2=95a 2−4a 2=20，解得y ＝±53， 曲线Γ：（a 24−a 25−1）√a 2+a 2−9=0，要使直线y ＝m （m ∈R ）与曲线Γ有四个不同的交点，可得m ∈（﹣3，−53）∪（53，3）． 故选：C ．三、解答题17．【详解详析】（1）由实系数的一元二次方程两根互为共轭复数，得z ＝2i ； 利用根与系数的关系，得a ＝﹣2i +2i ＝0，b ＝﹣2i •2i ＝4； （2）复数z ＝2i ，则λ2＝2i ； 设λ＝x +yi ，x 、y ∈R ； 所以x 2﹣y 2+2xyi ＝2i ，即{a 2−a 2=02aa =2，解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝﹣1； 所以λ＝1+i ，或λ＝﹣1﹣i ；当λ＝1+i 时，λ2＝2i ，λ﹣λ2＝1﹣i ； 所以A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），所以（aa →+aa →）•aa →=（1，3）•（1，﹣1）＝1﹣3＝﹣2； 当λ＝﹣1﹣i 时，λ2＝2i ，λ﹣λ2＝﹣1﹣3i ， 所以A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），所以（aa →+aa →）•aa →=（﹣1，1）•（﹣1，﹣3）＝1﹣3＝﹣2； 综上知，（aa →+aa →）•aa→的值为﹣2． 18．【详解详析】（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40a 0秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号的位置，在以AB 为焦点的双曲线的左支，所以c ＝30，2a ＝40，所以a ＝20，则b ＝10√5， 所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：a 2400−a 2500=1，x ≤0．（2）已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y ＝﹣x （x ＜0）上，所以{a =−aa 2400−a 2500=1，可得x ＝﹣10√20，y ＝10√20，观察员遇险地点坐标（﹣10√20，10√20），观察员遇险地点与监测中心O 的距离：√2000+2000=20√10．（3）由题意可得以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x 2+（y ﹣30）2＝r 2，与a 2400−a 2500=1，x≤0．联立，消去x 可得：9y 2﹣300y +6500﹣5r 2≥0，△＝90000﹣36（6500﹣5r 2）≥0，解得r ≥20√2． 为保证有救援希望，扫描半径r 至少是20√2公里． 19．【详解详析】（1）当m ＝1且k ＝1时，椭圆Γ方程为：a 22+a 2=1，直线l 方程为：y ＝x +1，联立方程{a 22+a 2=1a =a +1，消去y 得：3x 2+4x ＝0，解得：x ＝0或−43， ∵M 点在N 点的右侧， ∴M （0，1），N （−43，−13）； （2）当m ＝2时，椭圆Γ方程为：a 23+a 22=1，联立方程{a 23+a 22=1a =a (a +1)，消去y 得：（2+3k 2）x 2+6k 2x +3k 2﹣6＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴a 1+a 2=−6a 22+3a 2，a 1a 2=3a 2−62+3a 2， ∵E （0，k ），D （﹣1，0），∴aa →=(a 1，a 1−a )，aa →=(a 1+1，a 1)，aa →=(a 2，a 2−a )，aa →=(a 2+1，a 2)， 又∵aa→=aaa →，aa →=aaa →， ∴x 1＝λ（x 1+1），x 2＝μ（x 2+1）， ∴a =a 1a1+1，a =a 2a2+1，∴λ+μ=a 1a 1+1+a 2a 2+1=a 1(a 2+1)+a 2(a 1+1)(a 1+1)(a 2+1)=2a 1a 2+(a 1+a 2)a1a 2+(a 1+a 2)+1=−122+3a 2×2+3a 2−4=3，故λ+μ为定值3．20．【详解详析】（1）由方法一：抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），求导，2yy ′＝2p ，即a 1=aa， 所以在A （x 1，y 1）点的切线的斜率a =a′|a =a 1=aa 1， 所以切线方程为a −a 1=aa 1(a −a 1)，由y 12＝2px 1，整理得yy 1＝p （x +x 1），所以直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切； 方法二：由题意可知，{aa 1=a (a +a 1)a 2=2aa，消去x ，整理得y 2﹣2y 1y +2px 1＝0， 则△=(2a 1)2−4×2aa 1=4a 12−8aa 1=0， 所以直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切；（2）方法一：由A （4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y 2＝4x ， 由D 在抛物线的准线上，所以直线AB 过抛物线的焦点F （1，0）， 所以x 1x 2=a 24=1，y 1y 2＝﹣1，所以x 2=14，y 2＝﹣1，所以B （14，﹣1）；方法二：由A （4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y 2＝4x ，由（1）可知，直线AD 的方程4y ＝2（x +4），即y =12（x +4），则D （﹣1，32）， 直线BD 的方程yy 2＝p （x +x 2），所以{32a 2=2(−1+a 2)a 22=4a 2，解得{a 2=14a 2=−1，所以B （14，﹣1）；（3）AB 恒过定点（p ，0），理由如下：方法一：设D （﹣p ，y 0），由（1）可知直线AD 的方程为a −a 1=aa 1(a −a 1)，即a =a 1a a −a 122a直线BD 的方程a =a 2aa −a 222a ， 将D （﹣p ，y 0）代入切线方程a 122a −a 1aa 0−a =0，a 222a −a 2aa 0−a =0，所以y 1，y 2是方程a 22a −a0a a −a=0的两根，所以y 1+y 2＝2y 0，y 1y 2＝﹣2p 2．直线AB 的斜率a =a 1−a2a 1−a 2=2aa1+a 2，直线AB 的方程x ﹣x 1=a 1+a 22a（y ﹣y 1）， 即a =a 1+a 22a a −a 1a 22a=a 0aa +a ，所以直线AB 恒过定点（p ，0）．方法二：设D （﹣p ，y 0），由抛物线的极点极线的性质，可知直线AB 的方程为yy 0＝p （x ﹣p ），所以直线AB 恒过定点（p ，0）．21．【详解详析】（1）椭圆的焦点坐标为（±2，0），长轴长为8，设双曲线的方程a 2a 2−a 2a 2=1(a＞0，a＞0)，则a ＝2，c ＝4，则b 2＝12，双曲线的方程a 24−a 212=1；（2）由题意可知过点M 的直线斜率存在且不等于0，设直线l 方程为x ＝my +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组{a =aa +3a 216+a 212=1，消去x ，得（3m 2+4）y 2+18my ﹣21＝0，y 1+y 2=−18a 3a 2+4，y 1y 2=−213a 2+4，所以S △OAB =12×|OE |×|y 1﹣y 2|=12×3×√(a 1+a 2)2−4a 1a 2=12×3×4√3√12a 2+7(3a 2+4)2=6√3√12a 2+7(3a 2+4)2，令12m 2+7＝t ≥7，则a 2=a −712， 所以12a 2+7(3a 2+4)2=16a a 2+18a +81=16a +81a +18≤2√a ×a +18=49，当且仅当t ＝9，即a 2=16时，取等号， 则S △OAB ＝6√3√12a 2+7(3a 2+4)2≤6√3×23=4√3， 所以△OAB 面积的最大值为4√3． （3）存在这样的直线y ＝kx +m ，使得向量aa→+aa→=0→成立，且这样的直线有9条．由{a =aa +a a 216+a 212=1，消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣48＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8aa3+4a 2，△1＝（8km ）2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣48）＞0，①由{a =aa +a a 24−a 212=1，消去y ，整理得（3﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣m 2﹣12＝0，设C （x 3，y 4），D （x 4，y 4）， 则x 3+x 4=2aa 3−a 2，△2＝（﹣2km ）2+4（3﹣k 2）（m 2+12）＞0，② 因为aa →+aa→=0→，所以（y 4﹣y 2）+（y 3﹣y 1）＝0． 由x 1+x 2＝x 3+x 4得−8aa3+4a 2=2aa3−a 2． 所以2km ＝0或−43+4a 2=13−a 2． 由上式解得k ＝0或m ＝0．当k ＝0时， 由①和②得﹣2√3＜m ＜2√3．因为m 是整数，所以m 的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．当m＝0，由①和②得−√3＜k＜√3．因为k是整数，所以k＝﹣1，0，1．于是满足条件的直线共有9条．。
上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
………装……___________姓名：___………装……绝密★启用前 上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设z 为非零复数，则“1z z +R ∈”是“1z =”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 2．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合（ ） A ．1|||1,Re ,2z z z z C ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭ B ．1|||1,Re ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭ C ．1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭ D ．1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭ 3．过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A B 、两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在 4．曲线22:1045x y ⎛Γ--= ⎝，要使直线()y m m R =∈与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．55,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()3,3- C ．553,,333⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．55553,,,33333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋃-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．复数z 满足1i z ⋅=，则Im z =_________.6．抛物线24y x =的焦点坐标是___________．7．若12a i z ⎛⎫= ⎪⎝⎭（i 为虚数单位，0a >）且3z =，则a 的值为_________. 8．直线223x t y t =+⎧⎨=+⎩（参数t R ∈）的倾斜角为_________.9．若方程22(1)(52)1k x k y -+-=表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为_________.10．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，且过点A ，则双曲线的方程是_________.11．点P 为直线3440x y ++=上的动点，点Q 为圆22:2440C x y x y +--+=上的动点，则PQ 的最小值为_________.12．已知12F F 、是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥u u u r u u u u r，若12PF F ∆的面积为4，则b =_________.13．已知a ,b R +∈,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直,则ab 的最大值等于________.14．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨ ⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点…○…………订…………○……_____班级：___________考号：___________…○…………订…………○……15．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为________． 16．如图，已知椭圆22:194x y Γ+=和圆222:()0O x y r r +=>，设点A 为椭圆Γ上的任一点，过A 作圆O 的两条切线，分别交于椭圆Γ于,B C 两点，若直线BC 与圆O 相切，则r =_________.三、解答题 17．已知实系数一元二次方程20(,)x ax b a b R ++=∈的一根为2i -（i 为虚数单位），另一根为复数z . （1）求复数z ，以及实数,a b 的值； （2）设复数z 的一个平方根为λ，记22λλλλ-、、在复平面上对应点分别为、、A B C ，求()OA OB OC +⋅u u u r u u u r u u u r 的值. 18．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点、、A B C ，且30OA OB OC km ===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒（注：信号每秒传播0V 千米）.…………○………………○…… （1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； （2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心O 的距离；（3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？19．已知椭圆2211x y m m Γ+=+：，过点(1,0)D -的直线:(1)l y k x =+与椭圆Γ交于M N 、两点（M 点在N 点的右侧），与y 轴交于点E ；（1）当1m =且1k =时，求点M N 、的坐标；（2）当2m =时，设,EM DM EN DN λμ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r ，求证：λμ+为定值，并求出该值. 20．设抛物线22(0)y px p Γ=>：，00(,)D x y 满足2002y px >，过点D 作抛物线Γ的切线，切点分别为1122(,),(,)A x y B x y .（1）求证：直线11()yy p x x =+与抛物线Γ相切；（2）若点A 坐标为(4,4)，点D 在抛物线Γ的准线上，求点B 的坐标；（3）设点D 在直线0x p +=上运动，直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由；21．已知椭圆2211612x y Ω+=：.双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长.（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线l 经过点(3,0)E 与椭圆Ω交于A B 、两点，求OAB ∆的面积的最大值； （3）设直线:l y kx m =+（其中为,k m 整数）与椭圆Ω交于不同两点A B 、，与双曲线Γ交于不同两点C D 、，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=u u u r u u u r r ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.参考答案1．B【解析】【分析】设出复数z ，对1z z+R ∈”进行等价转化，再从充分性和必要性进行推证即可. 【详解】设,(,z a bi a b =+不能同时为0)， 则1z z+=2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b -⎛⎫⎛⎫++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭又1z =1=，即221a b += 若1z z +R ∈，则22b b a b=+，解得0b =或221a b +=，不一定满足221a b +=， 故充分性不成立； 若1z =，即221a b +=，则一定有22b b a b =+，即1z z +R ∈， 故必要性成立. 综上1z z+R ∈是1z =的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查命题的充分条件和必要条件，涉及复数的运算，属综合基础题.2．D【解析】【分析】由图可得复数的模长以及虚部的大小情况，据此进行选择.【详解】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故1z ≤； 又复数对应点的纵坐标大于等于12，故其虚部大于等于12. 综上所述，阴影部分（含边界）对应的复数集合为1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭.故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内的对应情况，属基础题.3．A【解析】【分析】分别讨论直线斜率存在和不存在的情况，根据是否能够满足横坐标之和为2进行判断.【详解】根据题意，抛物线的焦点坐标为()1,0.若直线的斜率不存在，则,A B 两点关于焦点对称，故满足122x x +=；若直线的斜率不存在，设直线方程为()1y k x =-联立抛物线方程24y x =，可得()2222240k x k x k -++= 设()()1122,,,A x y B x y ，故212222442k x x k k ++==+，不可能等于2， 故此时不存在满足题意的直线.综上所述，满足题意的直线只有1条.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题.4．C【解析】【分析】先对曲线进行转化，再画出曲线的图像，数形结合解决问题.【详解】对方程：221045x y ⎛--= ⎝ 等价于当2290x y +->时，22145x y -=，或2290x y +-=故画出该曲线对应的图像如下所示：如图实线所示即为该方程表示的曲线，直线12,l l 即为满足题意的直线； 不妨联立方程22145x y -=与2290x y +-= 解得2259y =，即可得53y =±， 由图容易知当5,33m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或53,3m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，直线y m =与曲线有4个交点.故选：C.【点睛】本题考查曲线与方程的认知，涉及双曲线方程和圆方程，属基础题. 5．1-【解析】【分析】求出复数z ，然后找出其虚部即可.【详解】因为1i z ⋅=，故1z i i==- 故Im z =1-.故答案为：1-.【点睛】本题考查复数的化简，以及虚部的辨识，属于基础题.6．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.【详解】由24y x =得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴上，且112,4216p p ==，所以抛物线的焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题. 7．1【解析】【分析】由行列式的计算可得复数z ，再根据3z =a .【详解】 因为12a i z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2z a i =-， 则()()()()332322414286121z a i a ai a i aa a i =-=---=---故3z ==整理得3216123310a a a ++-= 分解因式可得()()211628310a a a -++= 对21628310a a ++=，因0<n ，故无实数根.故此方程只有一个实数根，解得1a =.故答案为：1.【点睛】本题考查复数的计算，涉及行列式的计算，以及三次方方程的求解，属基础题.8．12arctan【解析】【分析】代入消参，将参数方程化为普通方程，再根据斜率求得倾斜角.【详解】由3y t =+可得3t y =-，代入22x t =+，可得()223x y =+-整理得：直线的一般式方程为240x y -+= 则直线的斜率为12k =，设其倾斜角为θ，[)0,θπ∈ 故12arctan θ=. 故答案为：12arctan. 【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题. 9．5(,1)(,)2-∞+∞U【解析】【分析】根据双曲线方程的特点，列出不等式，求解即可.【详解】因为方程22(1)(52)1k x k y -+-=表示双曲线故()()1520k k --<，即()()1250k k -->解得()5,1,2k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：()5,1,2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数的范围，属基础题；重点是要把握双曲线方程的特点.10．2291y x -=【解析】【分析】根据渐近线方程，结合过点的坐标，分析出双曲线的焦点位置，设出方程，待定系数即可.【详解】因为双曲线的渐近线为3y x =±，且过点A不难判断，点A 在直线3y x =±的上方，故该双曲线的焦点在y 轴上. 设双曲线方程为22221y x a b-=，则221013,1a b a b =-=， 解得13b =，1a =，则双曲线的方程为2291y x -=. 故答案为：2291y x -=.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题，本题的重点是要根据双曲线过的点，判断焦点位置. 11．2【解析】【分析】先判断直线与圆的位置关系，再计算圆心到直线的距离，减去半径，即为所求.【详解】由圆的方程22:2440C x y x y +--+=，可得圆心为()1,2,12r ==.因为圆心到直线的距离31d r ==>=，故直线与圆相离， 则312min PQ d r =-=-=.故答案为：2.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及直线上一点到圆上一点距离的最小值，属基础题. 12．2【解析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式，代值计算即可求得.【详解】因为12PF PF ⊥u u u r u u u u r ，故1290F PF ∠=︒； 由椭圆中焦点三角形的面积公式可得212tan2F PF S b ∠= 即22445b tan b =⨯︒=，解得2b =故答案为：2.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的面积公式，属基础题.13．18【解析】【分析】根据题意,由直线垂直的判断方法可得()12a b -+=0,变形可得2a b +=1,进而结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直,则有()12a b -+=0,变形可得2a b +=1, 则()211212()2228a b ab a b +=⨯≤⨯=,当且仅当a =122b =时,等号成立; 即ab 的最大值为18, 故答案为：18 【点睛】本题考查了两直线垂直系数之间的关系、基本不等式求最值，在应用基本不等式时注意等号成立的条件，属于基础题.14．2【解析】先计算出交点Q 的坐标，设出点P 的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于θ的函数，再求函数的最大值即可.【详解】因为曲线Γ与直线1x =交于点Q ，故令21cos θ=，又因为50,?6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得θ60=︒，故可得602y sin =︒=Q的坐标为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 设点()2,P cos sin θθ，则()2,1,222OP OQ cos sin cos sin θθθθ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r()θϕ=+，其中0,32tan πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭又因为tan 4tan πϕ>，故,42ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4,43ππθϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 故()max OP OQ ⋅=u u u r u u u r. 【点睛】 本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题.15．－1【解析】 试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥Q 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时()g t 取得最小值()22g a a =-，=a =（2）当2a <时，()g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，()g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1考点：1、两点间的距离公式；2、基本不等式；3、一元二次函数的性质.16．65【解析】【分析】根据一般的结论，取特殊的点()0,2A ，结合点在椭圆上，以及圆心到直线的距离等于半径，联立方程组，即可求得结果.【详解】因为A 为椭圆上任意一点，都满足题意，故设A 点坐标为()0,2，设()(),,,B m r C m r ---.则点B 满足椭圆方程，即可得224936m r +=①直线AB 方程为22r y x m+=-+ 因为该直线与圆相切，r =②联立①②，消去m 可得：2536360r r -+= 故解得65r =或6r = 因为当6r =时，圆的半径大于椭圆的长轴，不合题意， 故65r =. 故答案为：65. 【点睛】本题考查椭圆与圆的关系，本题采用了从一般到特殊的方法，是解决选择和填空题重要的手段.17．（1）2,0,4z i a b ===（2）2-【解析】【分析】（1）将2i -代入方程，根据复数相等，即可得到参数的值，以及复数z ；（2）求出平方根λ，再求出22λλλλ-、、对应的点的坐标，利用向量的坐标运算即可求解.【详解】（1）因为2i -是方程20(,)x ax b a b R ++=∈的一个根，故()()2220i a i b -+⨯-+=整理得240ai b +-=故可得20,40a b =-=，即0,4a b ==故原方程等价于()2242x i =-=±故方程的另一个根2z i =综上所述：2,0,4z i a b ===.（2）设a bi λ=+，则22222a b abi i λ=-+=即可得22,1a b ab ==解得1,1a b ==或1,1a b =-=-不妨取1i λ=+（另一解也有相同的结果），则222,1i i λλλ=-=-故()()()1,1,0,2,1,1A B C - 则()()()1,31,1132OA OB OC +⋅=⋅-=-=-u u u r u u u r u u u r . 故()2OA OB OC +⋅=-u u u r u u u r u u u r .【点睛】本题考查复数的综合知识，涉及复数相等的转换，复数在复平面内对应的点的坐标，属综合基础题.18．（1）221(0)400500x y x -=<（2）(P OP -=（3）【解析】【分析】（1）根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可；（2）AC 垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；（3）根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可.【详解】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为(),P x y因为A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒 故00404060PB PA V AB V -=⨯=<= 故点P 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22221(0)x y x a b-=< 由题可知240,260a c ==，解得222500b c a =-=，故点P 的轨迹方程为221(0)400500x y x -=<. （2）因为()()30,0,0,30A C -，设AC 的垂直平分线方程为y kx =则()3001030k -⨯=---，则AC 的垂直平分线方程为y x =-联立221(0)400500x y x -=<可得2x =x y =-=故观察员遇险地点坐标为(-与检测中心O =. （3）设轨迹上一点为(),P x y ，则PC ==又因为221400500x y -=，可得2244005x y =+ 代入可得：PC ==≥=当且仅当503y =时，取得最小值故扫描半径r 至少是.【点睛】本题考查根据双曲线的定义写出双曲线的方程，以及求双曲线上一点到一个定点距离的最小值，属双曲线方程的综合应用题.19．（1）41(0,1),(,)33M N --（2）证明见详解；定值为3 【解析】【分析】（1）根据条件，联立直线和椭圆方程，解方程组即可求得交点坐标；（2）联立直线与椭圆方程，将λμ+的结果用韦达定理进行处理，即可得到结果.【详解】（1）当1m =且1k =时，联立直线1y x =+与椭圆方程2212x y += 可得2340x x +=，因为M 点在N 点的右侧， 故解得40,3M N x x ==- 代入直线方程可得11,3M N y y ==- 故,M N 两点的坐标分别为()410,1,,33M N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭. （2）当2m =时，椭圆方程为22132x y += 联立直线方程()1y k x =+，可得()2222236360k x k x k +++-=设()()1122,,,M x y N x y 则22121222636,2323k k x x x x k k -+=-=++ 对直线方程()1y k x =+，令0x =，解得y k =故点E 的坐标为()0,k .因为,EM DM EN DN λμ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r即可得()()1111,1,x y k x y λ-=+，()()2222,1,x y k x y μ-=+ 则1212,11?x x x x λμ==++ 121212*********?1x x x x x x x x x x x x λμ+++=+=+++++ 2222222222366122232323343661232323k k k k k k k k k k⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭+===---++++， 故λμ+为定值，定值是3.【点睛】本题考查直线与椭圆交点坐标的求解，以及椭圆中的定值问题，关键是对韦达定理的熟练应用，属基础题.20．（1）证明见详解；（2）1,14⎛⎫-⎪⎝⎭（3）是，(),0p 【解析】【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，由0=n ，即可证明；（2）根据点A 在抛物线上解得p ，进而写出D 点坐标，再根据点B 既在直线()222yy x x =+上，又在抛物线上，联立方程组即可求得B 的坐标；（3）写出直线AB 的方程，根据过点A 和过点B 的直线交于点D 得到的结论，整理化简直线方程，即可求得AB 恒过的定点.【详解】（1）联立直线11()yy p x x =+与抛物线方程22y px =，消去x 可得211102y y y px -+= 故2112y px =-n ，因为点()11,A x y 在抛物线上，故21120y px =-=n则直线11()yy p x x =+与抛物线22y px =只有一个交点又因为0p >，故该直线不与x 轴平行，即证直线11()yy p x x =+与抛物线相切.（2）因为点()4,4A 在抛物线22y px =上，故可得1624p =⨯，解得2p =由（1）可知过点A 的切线方程为()11yy p x x =+，即240x y -+=又抛物线的准线方程为1x =-，故令1x =-，解得32y =， 即点D 的坐标为31,?2⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为过点()22,B x y 的切线方程为()222yy x x =+，其过点31,?2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故可得()223212y x =-+，又因为点()22,B x y 满足抛物线方程， 故可得2224y x =，联立方程组可得222340y y --=解得221,4y y =-=（舍去，与A 点重合），214x =， 故点B 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）由（1）得过A 点的切线方程为()11y y p x x =+令x p =-，可解得211p px y y -+= 过B 点的切线方程为()22y y p x x =+令x p =-，可解的222p px y y -+= 因为两直线交于点D ，故可得221212p px p px y y -+-+= 整理得()211212x y x y p y y -=- ①当过,A B 两点的直线斜率存在，则设其方程为：()211121y y y y x x x x --=-- 整理得2121122121y y x y x y y x x x x x --=+--，将①代入可得 故直线方程为()()122121212121p y y y y y y y x x p x x x x x x ---=+=---- 故该直线恒过定点(),0p ;当过,A B 两点的直线斜率不存在时，1212,x x y y ==-，代入①可得12x x p ==过此时直线1:AB x x p ==，也经过点(),0p综上所述，直线恒过定点(),0p ，即证.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线中直线恒过定点的问题，属综合性中档题；在本题中，要注意利用第一问中的结论去解决第二问和第三问.21．（1） 221412x y -= （2） （3）存在，9 【解析】【分析】（1）根据椭圆方程可以得到双曲线的焦距和顶点坐标，从而直接写出双曲线方程即可； （2）设出直线方程，将三角形面积拆分为2个三角形的面积，从而利用韦达定理进行处理； （3）根据直线与两个曲线相交，通过n 夹逼出,k m 的取值范围，再结合向量相加为零转化出的条件，得到,k m 之间的关系，从而利用,k m 是整数，对结果进行取舍即可.【详解】（1）对椭圆2211612x y Ω+=：，因为22222116,124a b c a b ===-=，， 故其焦点为()2,0±，椭圆的长轴长为28a =. 设双曲线方程为22221x y m n-=，由题可知：28m a ===，解得212n =. 故双曲线的方程为：221412x y -=. （2）因为直线AB 的斜率显然不为零，故设直线方程为3x my =+，联立椭圆方程2211612x y += 可得()223418210m y my ++-=设交点()()1122,,,A x y B x y ， 则1212221821,3434m y y y y m m +=-=-++则1212y y y y +=-===== 又1212OAB S OE y y =⨯⨯+n故132OAB S =⨯⨯n=(,t t =≥，解得2217344m t =-故211199344442OAB t S t t t ==≤=++n 当且仅当944t t =时，即3,6t m ==±. 故OAB ∆的面积的最大值为（3）联立直线y kx m =+与椭圆方程2211612x y += 可得()2223484480k x kmx m +++-=()()2222644344480k m k m =-+->n整理得2216120k m -+> ①设直线与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y故可得122834km x x k +=-+ ② 同理：联立直线y kx m =+与双曲线方程221412x y -= 可得()22232120k x kmx m ----=()()2222443120k m k m =+-+>n整理得224120k m --< ③设直线与双曲线的交点为()()3344,,,C x y D x y 故可得34223km x x k +=- ④ 要使得0AC BD +=u u u r u u u r 即可得()()31314244,,x x y y x x y x --=--故可得1234x x x x +=+ 将②④代入可得2282343km km k k -=+- 解得0km =.综上所述，要满足题意，只需使得： 2222412041200,k m k m km k Z m Z⎧--<⎪--<⎪⎨=⎪⎪∈∈⎩ 故当0k =时，m 可以取得0,1,2,3±±±满足题意；即直线方程可以为0,1,2,3y y y y ==±=±=±当0m =时，k 可以取1±满足题意.即直线方程可以为y x =±故存在这样的直线有9条，能够使得0AC BD +=u u u r u u u r.【点睛】本题考查椭圆方程和双曲线方程，涉及椭圆中三角形面积的最大值，以及圆锥曲线中的直线的存在性问题，属综合性困难题；其中解决第三问的关键是要把握住“整数”这一个关键词，同时也要对向量进行合理的转化.。
上海市交大附中2025届高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析
0
c
8 5
，∴
e
c a
0,
4 5
.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查椭圆离心率的求解，解题的关键是由椭圆定义得出 a 2 ，再根据已知条件得出 6 b 2 . 5
b
0) 的右焦点为
F，短轴的一个端点为 P，直线 l :
3x y 0 与椭圆相交于 A、B
两点.若 A F BF | 4，点 P 到直线 l 的距离不小于 3 ，则椭圆 C 离心率的取值范围为（） 5
A.
0,
1 3
B.
0,
3 5
C.
1 3
,
4 5
D.
0,
4 5
12．若函数 f (x) kx ln x 在区间 (1, ) 单调递增，则 k 的取值范围是（ ）
2
2
故选：C.
8、A
【解析】直接代入点斜式方程求解即可
详解】因为直线经过点 A(0, 3) 且斜率为 2，
所以直线的方程为 y 3 2(x 0) ，
【即 2x y 3 0， 故选： A 9、A 【解析】如图建立空间直角坐标系，先由 AP BD1，且点 P 到底面 ABCD 的距离为 3，确定点 P 的位置，然后利用空 间向量求解即可 【详解】如图，以 D 为坐标原点，以 DA, DC, DD1 所在的直线分别为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(4, 0, 0), B(4, 4, 0),C(0, 4, 0), B1(4, 4, 4), D1(0, 0, 4) ， 所以 AB1 (0, 4, 4),CB1 (4,0, 4), BD1 (4, 4, 4) ， 所以 AB1 BD1 16 16 0,CB1 BD1 16 16 0 ， 所以 AB1 BD1,CB1 BD1 ， 因为 AB1 CB1 B1 ,所以 BD1 平面 AB1C ，
2018-2019学年上海市交大附中高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷一、填空题：1.（3分）若复数（m2- 5m+6）+ （m2- 3m）i （m为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m 2. _________________________________________________________________ （3分）复数z=（2+i）（1 - i）,其中i为虚数单位，则z的虚部为________________________ .23. （3分）抛物线x = 12y的准线方程为_______4. （3分）已知向量（1，- 2）, ,, , ，如果，则实数X= ______ .5. （3分）若直线I仁ax+2y= 0和12: 3x+ （a+1）y+1 = 0平行，则实数a的值为_______.6. （3分）设双曲线一一1 （b>0）的焦点为F i、F2, P为该双曲线上的一点，若|PF i|=5，贝V |PF2|= ______ .7. （3分）设x, y满足约束条件 _______________，则目标函数z= 2x- 3y的最小值是.2& （ 3分）若复数z满足z?2i = |z| +1 （其中i为虚数单位），则|z|= _________ .9. （3分）在直角坐标系xOy中，已知点A （0, 1）和点B （- 3, 4）,若点C在/ AOB的平分线上且| | = 2,则 ___________ .10. （3分）参数方程__________________ （t为参数）化成普通方程为;11. （3分）在平面直角坐标系中，双曲线r的中心在原点，它的一个焦点坐标为一，，,、, 分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线r上的点P,若（a、b €R）,贝U a、b满足的一个等式是 ______ .12. （3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A 在椭圆一一上，点P满足€ ，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________ .二、选择题：213. （3分）对于一元二次方程ax+bx+c= 0 （其中a, b, c€R, a工0）下列命题不正确的是（）A .两根X 1, X 2满足B .两根X 1, X 2满足C .若判别式△= b 2 - 4ac > 0 时,则方程有两个相异的实数根D .若判别式△=b 2- 4ac = 0 时,则方程有两个相等的实数根 14. ( 3分)已知两点 A (1, 2), B (4, - 2)到直线I 的距离分别为1 , 4,则满足条件的 直线I 共有(C . 3条15. (3分)如图.在四边形 ABCD 中.AB 丄BC , AD 丄DC ,若||= a , ||= b .则a 2-b 2C . a 2+b 2D . ab16.( 3分)已y 2= 4x 的集点，A,B,C 为抛物线C 上三点，当 时，称△ ABC 为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有(C . 3个D .无数个三、解答题:17.设 z+1 为关于x 的方程2x +mx+ n = 0, m , n €R 的虚根, i 为虚数单位. (1 )当z =- 1 + i 时，求m 、n 的值;(2 )若 n =1，在复平面上，设复数z 所对应的点为 P ,复数2+4i 所对应的点为 Q , A . b - a( )20.圆： ——，圆： 一 —，动圆P 与两圆M i 、M 2外切.(1 )动圆圆心P 的轨迹C 的方程；(2) 过点N (1 , 0)的直线与曲线 C 交于不同的两点 N i , N 2,求直线N i N 2斜率的取值 范围； (3) 是否存在直线I : y = kx+m 与轨迹C 交于点A , B ，使/ —,且|AB|= 2|OA|,若存在，求k , m 的值；若不存在，说明理由.221. 过抛物线y = 2px (p > 0)的焦点F 的直线交抛物线于 M , N 两点，且M , N 两点的纵 坐标之积为-4.(1) 求抛物线的方程； (2) 求 的值(其中O 为坐标原点)；(3) 已知点A (1 , 2),在抛物线上是否存在两点B 、C ,使得AB 丄BC ?若存在，求出 C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由.试求|PQ|的取值范围.18. (1)已知非零复数z 满足|z+2| = 2,- € ，求复数 乙(2)已知虚数z 使一和 --------- 都是实数，求虚数 乙19. 已知椭圆—— (1) M 为直线上动点，N 为椭圆上动点，求|MN|的最小值;(2)过点一，-，作椭圆的弦AB ,使，求弦AB 所在的直线方程.。
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上海交通大学附属中学2010-2011学年度第一学期高二数学期终试卷（满分100分，90分钟完成，答案一律写在答题纸上）命题：曹建华 陈海兵 审核：杨逸峰一、填空题（每题3分）1. 方程组260320x y x y +-=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为____________. 2. 在行列式31214053--a 中，元素a 的代数余子式的值是____________.3. 根据下边的框图，通过所打印数列的递推关系，可写出这个数列的第3项是 .4. 无穷数列{}n a 中，nn a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，则所有偶数项的和：=++++ n a a a 242_____. 5. 过点A(4,0)和点B(0,3)的直线的倾斜角是____________________.6. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是_______________.7. 已知点()0,4A ,点B 在直线0x y +=上运动，则当线段AB 最短时，点B 的坐标为 .8. 310x y ++=与直线03=+-y kx 的夹角为为600，则实数k =_____________.9. 已知RtΔABC 的斜边两端点分别是B(4,0), C(2-,0)，则顶点A 的轨迹方程是___________________________.10. 已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m = . 11. 与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条.12. 若关于x 的方程212+=-kx x 恰有两个实根，则k 的取值范围是_________________.13. 在等差数列{a n }中，1a 为首项，n S 是其前n 项的和，将2)(1n a a S n n +=整理为12121a a n S n n +=后可知：点 ),,(,),2,(),1,(222111nS a P S a P S a P n n n （n 为正整数）都在直线12121a x y +=上，类似地，若{n b }是首项为1b ，公比为)1(≠q q 的等比数列，n T 是其前n 项的和，则点 ),,(,),,(),,(222111n n n T b P T b P T b P （n 为正整数）在直线__________________________________上.14. 在ABC ∆中，设a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边长，且满足条件a b c 2,2==，则ABC ∆面积的最大值为________________.二、选择题（每题3分）15. 设{(,)|(2)()0}A x y x y x y =+--=，2{(,)|}0x y B x y x y +=⎧=⎨-=⎩则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）A 、充分不必要条B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不是充分条件，也不是必要条件16. 点()M x y 00，是圆()0222>=+a a y x 内不为圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系是 ( )A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交17. 已知直线2x =及4x =与函数2log y x =图像的交点分别为,A B ，与函数lg y x =图像的交点分别为,C D ，则直线AB 与CD ( )A 、相交，且交点在第I 象限B 、相交，且交点在第II 象限C 、相交，且交点在第IV 象限D 、相交，且交点在坐标原点18. 在ABC ∆中，O 是平面ABC 上的一点，点P 满足()AC AB OA OP ++=λ，),0(+∞∈λ，则直线AP 过ABC ∆的（ ）A 、垂心B 、重心C 、内心D 、外心三、解答题（10分+12分+12分+12分）19. 求圆心在直线0=+y x 上，且过圆02410222=-+-+y x y x 与圆082222=-+++y x y x 的交点的圆的方程。
20. 已知：2212:2240,:2240l ax y a l x a y a --+=+--=，其中102,a l <<、2l 与两坐标轴围成一个四边形。
（1）求两直线的交点；（2）a 为何值时，四边形面积最小？并求最小值。
21. 定义“矩阵”的一种运算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dy cx by ax y x ，该运算的意义为点（x ，y ）在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a 的变换下成点()dy cx by ax ++，.设矩阵A= ⎝⎛31 ⎪⎪⎭⎫-13 (1) 已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q 的坐标为)2,3(，试求点P 的坐标；(2)是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由。
22. 已知直线1l y mx =+：与曲线()222C ax y m a R +=∈：，交于A 、B 两点。
（1）当0m =时，有3AOB π∠=，求曲线C 的方程；（2）当实数a 为何值时，对任意m R ∈，都有OA OB ⋅为定值T ？指出T 的值；（3）是否存在常数M ，使得对于任意的()0,1a ∈，m R ∈，都有OA OB M ⋅<恒成立？ 如果存在，求出的M 得最小值；如果不存在，说明理由。
如果存在，求出的M 得最小值；如果不存在，说明理由。
上海交通大学附属中学2010-2011学年度第一学期高二数学期终试卷（满分100分，90分钟完成，答案一律写在答题纸上）命题：曹建华 陈海兵 审核：杨逸峰一、填空题（每题3分）1. 方程组260320x y x y +-=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为____________。
2. 在行列式31214053--a 中，元素a 的代数余子式的值是____________.2-3. 根据下边的框图，通过所打印数列的递推关系，可写出这个数列的第3项是 .304. 无穷数列{}n a 中，nn a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，则=++++ n a a a 242_________。
31 5. 过点A(4,0)和点B(0,3)的直线的倾斜角是____________________.由斜率公式得 ，∴θ为钝角，。
6. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是_______________.3或57. 已知点()0,4A ,而点B 在直线0x y +=上运动，则当线段AB 最短时，点B 的坐标为 。
()2,2-8. 310x y ++=与直线kx-y+3=0的夹角为为600，则实数k= _03_____.9. 已知RtΔABC 的斜边两端点分别是B(4,0), C(-2,0)，则顶点A 的轨迹方程是___________________________。
A 为直角顶点，∴，另外需除去y=0的两点。
得：(x-1)2+y 2=9(y≠0).10. 已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 .8 11. 与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条. 412. 若关于x 212x kx -=+恰有两个实根，则k 的取值范围是_____．数形结合[)3,2--∪(]2,3 13. 在等差数列{a n }中，1a 为首项，n S 是其前n 项的和，将2)(1n a a S n n +=整理为12121a a n S n n +=后可知：点 ),,(,),2,(),1,(222111nS a P S a P S a P n n n （n 为正整数）都在直线12121a x y +=上，类似地，若{n b }是首项为1b ，公比为)1(≠q q 的等比数列，n T 是其前n 项的和，则点 ),,(,),,(),,(222111n n n T b P T b P T b P （n 为正整数）在直线__________________________________上. q b x q q y -+-=111 14. 在ABC ∆中，设a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边长，且满足条件a b c 2,2==，则ABC ∆面积的最大值为________________.34221max ⨯⨯=S =34 二、选择题（每题3分）15. 设{(,)|(2)()0}A x y x y x y =+--=，2{(,)|}0x y B x y x y +=⎧=⎨-=⎩ 则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）BA 充分不必要条B 必要不充分条件C 充要条件D 既不是充分条件，也不是必要条件16. 点()M x y 00，是圆()0222>=+a a y x 内不为圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系是 ( )CA 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交 17. 已知直线2x =及4x =与函数2log y x =图像的交点分别为,A B ，与函数lg y x =图像的交点分别为,C D ，则直线AB 与CD ( )DA.相交，且交点在第I 象限B.相交，且交点在第II 象限C.相交，且交点在第IV 象限D.相交，且交点在坐标原点18. 在ABC ∆中，O 是平面ABC 上的一点，点P 满足()AC AB OA OP ++=λ，),0(+∞∈λ，则直线AP 过ABC ∆的（ ）BA 、垂心B 、重心C 、内心D 、外心三、解答题（10分+12分+12分+12分）19. 求圆心在直线0=+y x 上，且过圆02410222=-+-+y x y x 与圆082222=-+++y x y x 的交点的圆的一般方程。
设圆的方程为222221024+(++2+2-8)=0x y x y x y x y λ+-+- 即12(5+)8(+3)=0(-1)1+1+12()x y x y λλλλλλλ-+++-≠+ 圆心1115(,)λλλλ-+-++ 11150λλλλ-+∴-=++解得2λ=-故所求圆的方程为222221024(++2+2-8)=0x y x y 2x y x y +-+--即22+6-68=0x y x y ++ 20. 已知：2212:2240,:2240l ax y a l x a y a --+=+--=，其中102,a l <<、2l 与两坐标轴围成一个四边形。