高二理科期末考试数学试题
高二数学(理科)期末试卷
高二数学(理科)期末试卷
本文档为高二数学(理科)期末试卷的题目和答案。
试卷题目包
括选择题、填空题、计算题和证明题。
试卷内容涵盖了高二数学课
程的各个知识点。
选择题部分包括了多项选择题和单项选择题，考察了学生对数
学概念和定理的理解和应用能力。
填空题部分要求学生填写正确的数值或表达式，考察了学生对
问题的分析和解决能力。
计算题部分要求学生进行具体的计算操作，涉及到数值运算、
代数运算、几何运算等，考察了学生对运算方法和计算规则的掌握。
证明题部分要求学生运用已学的数学理论和方法进行推导和证明，考察了学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
试卷内容难度适中，旨在检测学生对高二数学知识的掌握程度
和应用能力。
根据试卷得分，可以评估学生的数学水平，并作出针
对性的教学调整。
希望本次期末试卷能够促进学生对数学学科的兴趣和研究动力，帮助他们提升数学能力和解决问题的能力。
对于学生来说，认真复课堂内容和做好试卷的备考是取得好成
绩的关键。
希望学生们抓住这次机会，全力以赴，取得优秀的成绩。
祝愿每位学生都能在高二数学(理科)期末试卷中取得好成绩！。
2022-2023学年四川省泸县第五中学高二上学期期末考数学(理)试卷带讲解
12.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线 ： 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
【详解】∵直线方程 可整理为
∴定点为
∵点A在直线 上
∴
∴ ，当且仅当 时取等号
故答案为：
16.过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 和 ，又直线 经过拋物线 的焦点 ，那么 的最小值为_________．
16
【分析】设 ，写出以 为切点的切线方程，由判别式求出切线斜率，得到以 为切点的切线方程，同理求出以 为切点的切线方程，结合 在两条切线上得直线 的方程，联立直线 与抛物线方程，根据根与系数的关系，结合抛物线定义得出结果．
【考点】圆的方程，点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离.已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
9.已知 ， ，若不等式 恒成立，则正数 的最小值是（）
A. 2B. 4
C. 6D. 8
第八组［190，195］．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数
相同，第六组的人数为4人．
（Ⅰ）求第七组的频率；
（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；
下学期高二期末考试理科数学试卷-(全解全析)
下学期高二期末考试 理科数学·全解全析1．B 【解析】由题意知{|2216}{0,1,2,3}A x x =∈-<-<=Z ，(2,2)B =-，故A B =I {0,1}.故选B. 2．D 【解析】根据否命题的定义可知,“若1a >,则2,2aa 至少有一个为正”的否命题为“若1a ≤,则2,2aa 都不为正”,即“若1a ≤,则20a ≤且20a≤”.故选D.3．C 【解析】由2ln 2()xf x x=可得24322ln 212ln 22()x x xx x f x x x ⋅--'==，则3110()812()2f -'==.故选C. 4．B 【解析】由20x x -+>可得01x <<，由题意可得(0,1)是(,2)a a +的真子集，故021a a ≤⎧⎨+≥⎩（等号不同时成立），解得10a -≤≤.故选B.5．B 【解析】由条件可得{1,2,3,4,5,6,8}A B =---U ，{1,2,5,6}A B =--I ，故A B e {3,4,8}=-，则所求子集的个数为328=.故选B. 6．A 【解析】因为log 2log log 2242(25a =====，ee113d (3ln )|3b x x x===⎰，2384c ==，所以b c a <<.故选A.7．D 【解析】因为2222(1)10x x x +-=-+>，所以222x x +>，故命题p 为真命题；当1x >时，ln 0x >，故命题q 为假命题,则p q ∧为假命题，p q ⌝∨为假命题，p q ⌝∧为假命题，p q ∧⌝为真命题.故选D. 8．C 【解析】由3()f x x mx =+可得2()3f x x m '=+，由条件可得(1)39f m '=+=-，故12m =-，则2()3(4)f x x '=-，为偶函数，即①正确；由()0f x '=可得2x =-或2，所以(,2)x ∈-∞-时，()f x 单调递增，(2,2)x ∈-时，()f x 单调递减，(2,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，故②错误，③正确；由22x x -+2≥，且()f x 在[2,)+∞上单调递增，得(22)(2)x x f f -+≥，即④正确.综上可知，正确的命题有①③④，共3个.故选C.9．B 【解析】因为22sin 2)(x x x f =，所以2)()2sin(2)(x x x f --=-)(2sin 22x f xx -=-=，所以)(x f 为奇函数，所以其图象关于原点对称，故排除选项A 、C ；当1x =时，(1)2sin 20f =>，故排除选项D ．故选B ．10．A 【解析】由条件可得，当0x <时，22()()(2)2f x f x x x x x =--=-+=--.当0x <时，10x -<，由(1)()0x f x ->可得()0f x <，即220x x --<，故2x <-；当01x ≤<时，由(1)()0x f x ->可得()0f x <，即220x x -<，故01x <<；当1x >时, 由(1)()0x f x ->可得()0f x >，即220x x ->，故2x >.综上可知，所求不等式的解集为(,2)(0,1)(2,)-∞-+∞U U .故选A.11．D 【解析】设网站A 利用这篇小说每月获得的利润为()z x （单位：万元），则()(2)42(z x y x x =-=+-2322)(4)2206460x x x x -=-+-，则2()64064z x x x '=-+，由()0z x '=可得128,43x x ==，所以当823x <<时，()0z x '>；当843x <<时，()0z x '<；当45x <≤时，()0z x '>，故83x =时，()z x 取得极大值，4x =时，()z x 取得极小值，且8()(5)3z z <，故网站A 要利用这篇小说获得最大利润，则每次阅读的定价应为5元.故选D. 12．C 【解析】由1()ex f x x +=可得1()(1)e x f x x +'=+，由()0f x '=可得1x =-，由()0f x '>可得1x >-，由()0f x '<可得1x <-，则当1x =-时，()f x 取得最小值(1)1f -=-.当x →-∞时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞.因为211()[()]()42g x f x mf x m =+++，所以令()f x t =，可得21142y t mt m =+++.22m m ∆=--，若0∆=，可得1m =-或2.当1m =-时，不满足0m >，舍去；当2m =时，由2210y t t =++=，可得1t =-，不满足(1,0)t ∈-，舍去.若0∆>，由220m m -->解得1m <-（舍去）或2m >，有两种情况：①方程211042t mt m +++=在(1,0)-上有1个实数根，设211()42h t t mt m =+++，则只需1111(0)(1)()(1)04242h h m m m -=+-++<，由2m >解得2m >；②方程211042t mt m +++=在(0,)+∞上有两个不同的实数根，但0211042mm ⎧-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，因此舍去.综上可知，实数m 的取值范围是(2,)+∞.故选C.13．4 【解析】由题意知33π()sin122f ==-，则23(())(1)2log 442f f f =-==. 14．(,2)-∞ 【解析】由条件可得(1)()f x f x +=-()f x =，故1T =是()f x 的一个周期，故(2019)(1)22f f m ==-，由(2019)2f <可得222m -<，解得2m <.15．【解析】222000()d πd 2πd a a af x x x x x x x x =+=+⎰⎰⎰，根据定积分的几何意义可知x 等于圆2224a x y +=的面积的14，即x 221ππ4416a a =⨯=，而222200πππd |28aa x a x x ==⎰，故22220πππ()d 22π1684a a a a f x x =⨯+==⎰，结合0a >，得a =16．11(,)(,)e e -∞-+∞U【解析】由322()()f x f x x x '=-可得22()2()x f x xf x x '+=，即22[()]x f x x'=，结合0x >，故2()2ln x f x x C =+（C 为常数），即22ln ()x C f x x +=（C 为常数），由(1)1f =-可得1C =-，故22ln 1()x f x x -=，则34(1ln )()x f x x-'=，由()0f x '=可得e x =，且(0,e)x ∈时，()0f x '>；(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，故当e x =时，()f x 取得极大值，即最大值21(e)ef =，由条件只需221e m >，则1e m >或1e m <-，即11(,)(,)e em ∈-∞-+∞U .17．（本小题满分10分）【解析】（1）曲线C 的极坐标方程可化为22ρ=，则直角坐标方程为222x y +=，则曲线C 的圆，（2分） 直线l 的参数方程化为普通方程可得10x y +-=，（3分）则圆心O 到直线l 的距离为2d =，则曲线C 上的点到直线l 22=.（5分）（2）把12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入222x y +=，整理得210t -=，（7分）设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-， ∴12||||||1PA PB t t ⋅==.（10分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）由222[log ]3[log ]0x x -<可得20[log ]3x <<，再由所给定义可得2[log ]1x =或2，（3分） ∴21log 3x ≤<，则28x ≤<， 即[2,8)M =.（6分）（2）当12m m +≥，即1m ≤时，N =∅，满足N M ⊆；（8分）当N ≠∅时，由N M ⊆可得122812m m m m +≥⎧⎪≤⎨⎪+<⎩，解得14m <≤．（11分）综上可知，实数m 的取值范围是(,4]-∞．（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】（1）由2()e ln(1)xf x x =-+可得22()e 1x xf x x '=-+， 则(1)e 1,(1)e ln 2f f '=-=-，故曲线()f x 在1x =处的切线为(e ln 2)(e 1)(1)y x --=--，（3分） 令0x =可得1ln 2y =-，令0y =可得ln 21e 1x -=-， 故曲线()f x 在1x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为21ln 21(1ln 2)|1ln 2|||2e 12(e 1)--⋅-⋅=--.（6分）（2）当0x >时，2120x x +≥>，故220<11xx ≤+，而e 1x>，故当0x >时，()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增.（9分）再由()f x 是定义在R 上的偶函数及(ln )(2)f x f <-可得|ln |2x <，故2ln 2x -<<，即221e e x <<， 即x 的取值范围是221(,e )e.（12分）20．（本小题满分12分）【解析】（1）由πsin()4ρθ+=可得sin cos 8ρθρθ+=， 化为直角坐标方程可得80x y +-=， 则直线l 的斜率为1-， 故倾斜角为135°.（3分）由cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)，可得2213y x +=， 则曲线C 的普通方程为2213y x +=.（6分） （2）设11(cos )P ϕϕ，则点P 到直线l的距离为1π|2sin()8|d ϕ+-==当1πsin()16ϕ+=-时，d取得最大值1πsin()16ϕ+=时，d取得最小值（9分）由直线PQ 与l 的夹角为60°可得||sin 603d PQ ==︒，故||PQ（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】由()2()xf x f x a +-= ①，可得()2()xf x f x a --+= ②， 由①②可得1()(2)3x x f x a a -=-.（2分）（1）若p 为真命题，由1()3f x >-恒成立可得11(2)33x x a a -->-，即220xx a a --<，即(1)(2)0xxa a +-<恒成立，故02xa <<恒成立.（4分）当1a >时，可得22a ≤，即1a <≤；当01a <<时，可得2a <，显然成立，则01a <<.综上可知，实数a 的取值范围是(0,1)U .（6分） （2）若q 为真命题，则根据指数函数的性质可得01a <<. 由p q ∨为真，p q ∧为假可知，p ，q 一真一假.若p 为真命题，q 为假命题，可得0111或a a a ⎧<<<≤⎪⎨>⎪⎩1a <≤（9分）若p 为假命题，q 为真命题，可得01a a ⎧>⎪⎨<<⎪⎩，无解.综上可知，实数a 的取值范围是.（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）由2()e4xf x ax =-可得2()2e 4x f x a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，没有极值；（2分）当0a >时，由2()2e04xf x a '=-=可得1ln 22x a =.当1(,ln 2)2x a ∈-∞时，()0f x '<；当1(ln 2,)2x a ∈+∞时，()0f x '>，∴()f x 在1ln 22x a =处取得极小值，即1()(ln 2)22ln 22f x f a a a a ==-极小值.由22ln 20a a a -=可得ln21a =，故e2a =.综上可知，e2a =.（5分）（2）由()4ln 24f x x x x >-可得2e 44ln 24xax x x x ->-，则2e44ln 240xax x x x --+>.由0x >可得2e ln 214xa x x<-+恒成立.令2e ()ln 214x g x x x =-+1()2x >，则()最小值a g x <，（7分） 2222(21)e 1(21)e 4()44x x x x xg x x x x ---'=-=，令2()(21)e 4xh x x x =--，则2()4e 4x h x x '=-.令2()4e4xp x x =-，则22()4e 8e x x p x x '=+，当12x >时，()0p x '>， 则2()4e 4xh x x '=-在1(,)2+∞上单调递增，且1()()2e 402h x h ''>=->，∴()h x 在1(,)2+∞上单调递增，又32231()e 30,(1)e 4042h h =-<=->，∴存在唯一的03(,1)4x ∈，使得0()0h x =， 即0200(21)e40x x x --=，故02004e 21x x x =-，（9分）且当01(,)2x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，∴()g x 的极小值（即最小值）为0200000e 1()ln 21ln 21421x g x x x x x =-+=-+-，显然，0()g x 在03(,1)4x ∈上关于0x 单调递减.由03(,1)4x ∈可得001ln 2121x x -+-133<ln 13ln 322214-+=-⨯-， ∴33ln2a <-.（12分）。
高二数学期末试卷(理科)及答案
高二数学期末考试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ⌝”、“q ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a +”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 （ ）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或85、已知空间四边形OABC 中，c OC b OB a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ） A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．212121-+D ．213232-+6、抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（ ）A.5或54 或 C. D.5或538、若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ≤1 B ．a ≤3 C ．a ≥1 D ．a ≥39、已知),,2(),,1,1(t t t t t =--=，则||-的最小值为 （ ）A ．55 B ．555 C ．553 D ．51110、已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定11、已知P 是椭圆192522=+y x 上的一点，O 是坐标原点，F 是椭圆的左焦点且),(21+=4||=，则点P 到该椭圆左准线的距离为（ ） A.6 B.4 C.3 D.25高二数学期末考试卷（理科）答题卷一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）12、命题：01,2=+-∈∃x x R x 的否定是13、若双曲线 4422=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交左支于A 、B 两点，若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是 .14、若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ． 15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=，则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=． 其中真命题的序号为 _________．三、解答题（本大题共6小题，共55分）16、（本题满分8分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．17、（本题满分8分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，试用向量法求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的锐二面角的余弦值。
(完整版)高二数学理科期末试卷
高二数学（上）期末考一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 不等式0322<--x x 的解集是（ ）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．()3,-∞-Y ()+∞,1D ．()1,-∞-Y ()+∞,32. 已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若//αβ，则λ的值是（ ） A ．103-B ．6-C ．6D ．1033．已知, , a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是( ) A. ab ac > B. ()0c b a -< C. 22cb ab < D. ()0ac a c ->4. 已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是( ) A ．511 B ．1023 C ．1533 D ．30695. 下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题6. 设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ） A.1 B.25C.2D.57. 已知向量)0,1,1(=→a ，)2,0,1(-=→b ，且→→+b a k 与→→-b a 2互相垂直，则k 的值是（ ） A. 1 B.51 C. 53 D. 57 8. 若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则a b +的最小值为( )A ．3 B ． 3C ．43D ．8-9．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为︒60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．[]2,1B ．()2,1C ．()+∞,2D ． [)+∞,210.若抛物线24y x =的焦点是F ,准线是l ,则经过点F 、M （4，4）且与l 相切的圆共有（ ）． A.4个 B.2个 C.1个 D.0个二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.11．等差数列{}n a 中，若34512,a a a ++=则71a a += .12. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则z x y =+的最小值是 .13. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 . 14. 点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是 . 15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项积为n T ，并满足条件011,01,110099100991<-->->a a a a a ，给出下列结论：（1）10<<q ； （2）1198<T ；（3）110199<a a ；（4）使1<n T 成立的最小自然数n 等于199，其中正确的编号为 （写出所有正确的编号） 三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，⑴求12,a a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式。
高二数学下学期期末考试理科试题含答案
第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足()134i z i -=+，则z =（ ）A.52B.2C. D.52.设集合{}419A x x =-≥，03x B xx ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂等于（ ）A.(3,2]--B.5(3,2]0,2⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C.5(,2],2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.5(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.二项式(52x +的展开式中，3x 的系数为（ ）A.80B.40C.20D.104.由直线2y x =及曲线24y x x =-围成的封闭图形的面积为（ ） A.1B.43C.83D.45.已知命题:p 若0x >，则sin x x <，命题 :q 函数2()2xf x x =-有两个零点，则下列说法正确的是（ ）①p q ∧为真命题；②p q ⌝∨⌝为真命题；③p q ∨为真命题；④p q ⌝∨为真命题 A.①②B.①④C.②③D.①③④6.函数3()1f x ax x =++有极值的一个充分不必要条件是（ ） A.1a <- B.1a <C.0a <D.0a >7.为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：但是统计员不小心丢失了一个数据（用m 代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为0.760.4y x =+，则m 的值等于（ ）A.8.60B.8.80C.9.25D.9.528.2020年全国高中生健美操大赛，某市高中生代表队运动员由2名男生和3名女生共5名同学组成，这5名同学站成一排合影留念，则3名女生中有且只有两位女生相邻的排列种数共有（ ） A.36B.54种C.72种D.144种9.《易经》是中国传统文化中的精髓.下图是易经先天八卦图（记忆口诀：乾三连、坤六断、巽下断、震仰盂、坎中满、离中虚、艮覆碗、兑上缺），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，已知每卦都含有阳线和阴线，则这两卦的六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（ ）A.13B.514C.314D.1510.观察下列算式：311=3235=+ 337911=++ 3413151719=+++若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n =（ ） A.42B.43C.44D.4511.如图是一个质地均匀的转盘，一向上的指针固定在圆盘中心，盘面分为A ，B ，C 三个区域，每次转动转盘时，指针最终都会随机停留在A ，B ，C 中的某一个区域，且指针停留在区域A ，B 的概率分别是p 和1206p p ⎛⎫<<⎪⎝⎭.每次转动转盘时，指针停留在区域A ，B ，C 分别获得积分10，5，0.设某人转动转盘3次获得总积分为5的概率为()f p ，则()f p 的最大值点0p 的值为（ ）A.17B.18C.19D.11012.定义在(2,2)-上的函数()f x 的导函数为()f x '，已知2(1)f e =，且()2()f x f x '>，则不等式24(2)xe f x e -<的解集为（ ）A.(1,4)B.(2,1)-C.(1,)+∞D.(0,1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“0x ∃<，220x x -->”的否定是“______”. 14.曲线1ln y x x=-在1x =处的切线在y 轴上的截距为______. 15.我国在2020年11月1日零时开始展开第七次全国人口普查，甲、乙等5名志愿者参加4个不同社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只去一个社区，则不同的安排方法共有______种.16.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲、乙在每局中获胜的概率均为12，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共打了ξ局，则ξ的方差()D ξ=______.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++. （1）当9m =时，解关于x 的不等式()()f x g x >；（2）若()()f x g x >对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 18.（本小题满分12分）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A ，B ，C 三种样式，且每个盲盒只装一个.（1）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占23；而在未购买者当中，男生女生各占50%.请根据以上信息填写下表，并判断是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关?附：)22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：（2）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如下表：由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1，3周数据进行检验.①请用4，5，6周的数据求出）关于x 的线性回归方程y bx a =+；（注：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠? 19.（本小题满分12分）在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩（单位：环），并把所得数据制成了如下所示的频数分布表； （1）求抽取的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z 服从正态分布()2,N μσ（其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2 1.61s =），且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人?（3）已知样本中成绩在[9,10]的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E ξ. [附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=， 1.27≈，结果取整数部分]20.（本小题满分12分） 已知()23x x f e x e =--. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的值域；（3）若函数1()g x f kx x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在定义域上是增函数，求实数k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）随着5G 通讯技术的发展成熟，移动互联网短视频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台，为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核，短视频审核通过的概率为35，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为12，若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐.（1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.22.（本小题满分12分）已知2()sin sin xxf x x e xe x ax a x =--+. （1）当()f x 有两个零点时，求a 的取值范围； （2）当1a =，0x >时，设()()sin f x g x x x=-，求证：()ln g x x x ≥+.六安一中2020~2021学年第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：二、填空题：13.0x ∀<，220x x --≤ 14.-315.240 16.114三、解答题：17.解：（1）当9m =时，由()()f x g x >，得341x x -++>，4349x x x <-⎧⎨--->⎩或43349x x x -≤≤⎧⎨-++>⎩或3349x x x >⎧⎨-++>⎩ 解得，5x <-或x 无解或4x >， 故不等式的解集为(,5)(4,)x ∈-∞-⋃+∞.（2）因为()()f x g x >恒成立，即|3||4|x x m ->-++恒成立， 所以|3||4|m x x <-++恒成立，所以min (|3||4|)m x x <-++， 因为|3||4||(3)(4)|7x x x x -++≥--+=（当43x -≤≤时取等号）所以min (|3||4|)7x x -++=，所以实数m 的取值范围是(,7)-∞. 18.解：（1）则2 4.714 3.8411109060140K =≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为“购买该款盲盒与性别有关”. （2）①由数据，求得5x =，27y =，由公式求得222(45)(2527)(55)(2627)(65)(3027)5ˆ(45)(55)(65)2b--+--+--==-+-+-， 5ˆˆ27514.52ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.514.5yx =+. ②当1x =时，ˆ 2.5114.517y=⨯+=，|1716|2-<； 同样，当3x =时，ˆ 2.5314.522y=⨯+=，|2223|2-<. 所以，所得到的线性回归方程是可靠的.19.解：（1）由所得数据列成的频数分布表，得样本平均数4.50.055.50.186.50.287.50.268.50.179.50.067x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知~(7,1.61)Z N ，10.6827(8.27)0.158652P Z -∴≥==∴在这2000名学员中，合格的有：20000.15865317⨯≈人（3）由已知得ξ的可能取值为1，2，31242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===， ξ∴的分布列为：1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=（人）20.解：（1）令x e t =，(0)t >，则ln x t =，由()23x x f e x e =--，得()ln 23f t t t =--， 所以函数()f x 的解析式为()ln 23f x x x =--.（2）依题意知函数的定义域是(0,)+∞，且1()2f x x'=-， 令()0f x '>，得102x <<，令()0f x '<，得12x >，故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 所以max 1()ln 242f x f ⎛⎫==--⎪⎝⎭；又因为0x →，()f x →-∞， 所以函数()f x 的值域为(,ln 24]-∞--.（3）因为12()ln 3g x f kx x kx x x ⎛⎫=-=---- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上是增函数， 所以212()0g x k x x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立， 则只需2min 12k x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，而221211112488x x x ⎛⎫-+=--≥- ⎪⎝⎭（当4x =时取等号），所以实数k 的取值范围为1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.21.解：（1）设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A ，则21302333311113()C 115222210P A C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （2）设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X ，X 可取0，1，2，3.则3~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 030333343(0)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；121333441(1)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 212333189(2)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；30333327(3)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以随机变量X 的分布列如下：343441189279()0123100010001000100010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或39()31010E X =⨯=） 22.解：（1）由题知，()()(sin )x f x xe a x x =--有两个零点，sin 0x x -=时，0x =故当0x xe a -=有一个非零实根设()x h x xe =，得()(1)xh x x e '=+，()h x ∴在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.又1(1)h e-=-，(0)0h =，0x >时，(0)0h >；0x <时，(0)0h <. 所以，a 的取值范围是1a e=-或0a >. （2）由题，()()1sin x f x g x xe x x==--法一：()1ln ln x x xe x x xe -≥+=，令0x t xe =>，令()ln 1(0)H t t t t =-->11()1t H t t t -'=-=()H x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ()(1)0H x H ∴≥=.1ln x xe x x ∴-≥+法二：要证1ln x xe x x -≥+成立故设()ln 1xM x xe x x =---，1()(1)xM x x e x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，(0)x >， 令1()x N x e x =-，则21()0x N x e x'=+>，()N x ∴在(0,)+∞上单调递增又1202N ⎛⎫=<⎪⎝⎭，(1)10N e =->， 01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00N x =.001x e x ∴=，00ln x x =-，()M x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.()0min 0000[()]ln 10x M x M x x e x x ∴==---=.1ln x xe x x ∴-≥+。
高二理科数学下学期期末考试
1 1
(k 1) 0 成立
k1
由①②可知，对 n 3, f (n) (1 1 ) n n 0 成立 n
……………… 10 分
x 19．解：（ 1） l 的参数方程 y
高二数学理期末测试（二）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共 钟.
150 分，考试时间 120 分
第Ⅰ 卷 （选择题 共 60 分）
一． 选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每个小题的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 .）
(1 3i )2
1．复数
（ 4）当 变化时，求弦 BC 的中点的轨迹方程．
20．（本小题满分 9 分）设在一个盒子中，放有标号分别为 1， 2，3 的三张卡片，现从这个
盒 子 中 ， 有 放 回 地 先 后 抽 得 两 张 卡 片 ， 标 号 分 别 记 为 x, y ， 设 随 机 变 量 x 2 y x．
（ 1）写出 x, y 的可能取值，并求随机变量
∵ lg(| x 3| | x 7 |) a 解集为 R ．∴ a 1………………………… 8 分
1
17
18．解：（ 1） f (1) 1, f (2) , f (3)
2
27
（ 2）猜想： n 3, f ( n) (1 1 ) n n 0 n
证明：①当 n 3 时， f (3)
17 0 成立 27
②假设当 n k (n 3, n N * ) 时猜想正确，即 f k
装箱分配给这 3 台卡车运送，则不同的分配方案的种数为
（）
A ． 168
B ．84
C． 56
D． 42
第Ⅱ 卷（非选择题满分 90）
高二下学期期末考试数学理科Word版含答案
遂宁市高中级第四学期期末教学水平监测数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
总分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
） 1．已知是虚数单位，则11z i=-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知命题52,:>∈∀xR x P ，则P ⌝为A ．52,>∉∀xR x B ．52,≤∈∀xR xC ．52,00≤∈∃x R x D ．52,00>∈∃x R x3．设抛物线22y px =的焦点与椭圆221204x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 A ．1x =- B ．2x =- C ．3x =- D ．4x =-4．某家具厂的原材料费支出x 与销售量y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的ˆˆA ．5B ．10C ．12D ．205．“m ≥”是“函数221y x mx =-+在(),-∞+∞内存在零点”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a 的值为A ．23B ．75C ．77D ．139 7．运行下列程序，若输入的,p q 的值分 别为65,36，则输出的p q -的值为 A ．47 B ．57 C ．61 D ．678．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市 某农业经济部门决定派出五位相关专家对三 个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一 位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同 一地区，则不同的派遣方案种数为A ．18B ．24C ．28D ．369．已知函数()f x 在0x >上可导且满足()()0xf x f x '->，则下列一定成立的为 A ．()()f f e eππ>B ．()()f f e π<C ．()()f f e eππ<D ．()()f f e π> 10．若函数32()21f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<-D ．5334a -≤≤-11．已知抛物线22(0)y px p =>上一动点到其准线与到点M （0，4）的距离之和的最小值为32，F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，则MOF ∆的内切圆半径为 A ．2 B ．3 C ．21+ D ．22-12．已知函数32()312()f x x mx nx m N *=-++∈在1x =-处取得极值，对任意,()270x R f x '∈+>恒成立，则1240344035()()...()()2018201820182018f f f f ++++= A ．4032 B ．4034 C ．4035 D ．4036第Ⅰ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
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于点 E ，交 B1C 于点 F .
（Ⅰ）求证： A1C 平面 EBD ；
（Ⅱ）求点 A 到平面 A1B1C 的距离；
（Ⅲ）求 ED 与平面 A1B1C 所成角的正弦值 .
A1
D1
B1
C1
E
F
A
D
B
C
解：（Ⅰ）以点 A 为原点，分别以直线 AB 、 AD 和 AA1 为 x 轴、 y 轴和 z 轴，建立如图所示坐标系
3，3，0
A1 C·BE 0，A1C·BD 0
A1 C BE ，A1C BD 即 A1 C BE， A1C BD
又 BE BD B ,
A1 C
平面 EBD .
………………………４ 分
7
（Ⅱ）设面 A1 B1C 法向量为 n (x， y， 1)
A1 B1 (3，0，0)，B1C (0，3， 4)，A1 B1 n ，B1 C n
2
(A)
2
(B) 2 1 2
(C) 2 2
(D) 2 1
6．已知等比数列 { an } 的前 n 项和 Sn 2 n 1，则 a12 a22 … an2 等于
(A) (2n 1) 2 7．不等式 ax2 bx
(B) 1 (2n 1) 3
2 0 的解集是 (
(C) 4n 11
, ) ，则 a 23
1 b 等于
3x 0，3y 4 0 得 n
0，4 ，1 3
单位法向量 n0
0，4 ，3 55
∴点 A 到平面 A 1B1C 距离为
d
|
AA1·n
|
| (0，0，4)· 0，4 ，3 55
|
12 . ………………………８ 5
分
（Ⅲ） DE
3，0，9 4
， 面 A1 B1C 法向量为
n0
0，4 ，3 55
DE 与 n0 夹角余弦 cos DE ，n0
则 A1(0，0，4) ， B1 (3，0，4)， B (3，0，0)， C (3，3，0)， D (0，3，0) 并设 E (3，3， x)
BE (0，3， x)，B1C (0，3， 4)
BE B1C , E 3，3，9
4
BE·B1C 0，得： x 9 4
A1C (3，3， 4)，BE
0，3，9 ，BD 4
(D) 2π 3
3， A
π ，则 B =
3
4．若公差为 2 的等差数列 an 的前 9 项和为 81，则 a9 =
(A) 1
(B) 9
(C) 17
(D)19
1
5．设椭圆的两个焦点分别为 F1 、 F2 ，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ，若 F1PF2 为等腰直角三角
形，则椭圆的离心率是
MA
MB 为定值 .
3
22． (本小题满分 12 分 )
在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点 F ,T , M , P 满足 OF (1,0) ， OT ( 1, t ) ，
FM MT ， PM FT ， PT // OF ． （Ⅰ）当 t 变化时，求点 P 的轨迹 C 的方程； （Ⅱ）若过点 F 的直线交曲线 C 于 A, B 两点，求证：直线 TA,TF , TB 的斜率依次成等差数列．
16 ．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用
A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要
用 A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该
企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨， B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是
a1
数列 a n 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列
an 3 3n 1 3n
（ 6 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 bn (2n 1)an (2n 1) 3n
（ 1 分）
an 1 3 an
（ 3 分）
（ 5 分）
6
Tn 1 3 3 32 5 33 ... (2n 1) 3n
3Tn 1 32 3 33 5 34 ... (2n 1) 3n 1
27
20
9
2
9
32
25
4
9
∴ED 与平面 A1B1C 所成角正弦值为
.
25
20． (本小题满分 12 分 )
……………………… 12分
在四棱锥 V ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形 ,平面 VAD ⊥底面 ABCD ．
（Ⅰ）证明 AB ⊥平面 VAD ； （Ⅱ）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值．
(D) 1 (4n 1) 3
(A) 10
(B) 10
(C) 14
23
8．已知 a 0, b 0 ，且 2a 3b 1，则
的最小值为
ab
(D) 14
(A) 24
(B) 25
(C) 26
(D)27
9．若中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线离心率为 3 ，则此双曲线的渐近线方程为
(A) y x
(B) y
2x
（Ⅰ）若 c 1 ，求 ABC 面积的最大值；
（Ⅱ）若 a 2b ，求 tan A . 解 :设（Ⅰ）由余弦定理得 a2 b2 2abcos120 1,
2
a
2
b
ab
1a
1 b 时取等号；解得 ab ≤ ，
3
故 S△ ABC 1 absin C 2
3 ab ≤ 3 ，即 △ ABC 面积的最大值为 3 ； ………………………５ 分
1．下列说法正确的是
(A) 命题 “若 x2 1 ，则 x 1 ”的否命题为： “若 x2 1 ，则 x 1 ” (B) 若命题 p : x R , x2 2x 1 0 ，则命题 p : x R , x2 2x 1 0
(C) 命题 “若 x y ，则 sin x sin y ”的逆否命题为真命题
(D) “x 1 ”是 “x2 5 x 6 0 ”的必要不充分条件
3
），
2
2
2
2
2
13 ∴ AB (0,1,0), AD (1,0,0), AV ( ,0, ) ………………………………３ 分
22
8
由 AB AD (0,1,0) (1,0,0) 0 AB AD ……………………………………４ 分
13 AB AV (0,1,0) ( ,0, ) 0
AB AV ……………………………………５
错位相减得
2Tn 1 3 2 32 2 33 ... 2 3n (2 n 1) 3n 1= 6 (2 n 2) 3n 1
Tn (n 1) 3n 1 3
（ 12 分）
19． (本小题满分 12 分 )
已知：如图所示， 长方体 AC1 中，棱 AB BC 3 ，棱 BB1 4 ，连结 B1C ，过点 B 作 B1C 的垂线交 CC1
2．已知向量 a (1,1,0) ， b ( 1,0,2) ，且 ka b(k R) 与 2a b 互相垂直，则 k 等于
(A) 1
1
(B)
5
3
(C)
5
7
(D)
5
3．设 ABC 的内角 A ， B ， C 所对边分别为 a ， b ， c ，若 a 3 ， b
π (A)
6
(B) 5π 6
(C) π或 5π 66
__________ 万元．
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分 ．
17.（本题满分 10分）
已知 ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a ,b ,c ， C 120 ． （Ⅰ）若 c 1 ，求 ABC 面积的最大值；
（Ⅱ）若 a 2b ，求 tan A .
18．（本小题满分 12 分）
5
参考答案
一、选择题：本大题每小题 5 分，满分 60 分．
1
2
3
4
5
6
7
89
C
D
A
C
D
D
A
BB
二、填空题：本大题每小题 5 分；满分 20 分．
10
11
12
A
C
C
13． 4 .
16
14． .
3
15． 8 ． 16． 27 ．
三、解答题：
17． ( 本小题满分 10 分)
已知 ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a ,b ,c ， C 120 ．
绝密 ★启用前
第一学期期末考试
注意事项：
高二年级 (理科数学 )试题卷
本试卷共 22 小题，满分 150 分 .考试用时 120 分钟 .
1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓 名、学号和座位号。
2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它 答案， 答案不能答在试卷上 。不按要求填涂的，答案无效。
4
12
12
（Ⅱ）因为 a 2b ，由正弦定理得 sin A 2 sin B ，又 C 120 ，故 A B 60 ，
sin A 2sin(60 A) 3 cos A sin A ，
3 cos A 2sin A ，
3
tan A
.
2
18． (本小题满分 12 分 )
设 Sn 是数列的前 n 项和，已知 a1 3 ， an 1 2Sn 3 (n N* ) .
2
2
14．过抛物线 y 1 x2 的焦点 F 作一条倾斜角为 30 的直线交抛物线于 A 、B 两点， 则 AB __________ ． 4