江苏省徐州市2018-2019学年高三上学期期中考试数学试卷(解析版)
1 1 12. 已知正实数 a, b 满足 a 2b 1 ，则 (1 )(2 ) 的最小值为__________. a b 【答案】 18
解：方法一
a 2b 1 1 1 2 1 1 (1 )(2 ) 2 a b a b ab a 2b 1 2 ab 2 2 ab
f ( x) x( x a ) a x ax a f ' ( x) 3x 2 a 0 f ( x) 单调递增，不满足 3 个零点（舍去）
2 3 2
存在两个交点
x2 a a (0 x a ) 有两个不等的实根 x
F ( x) x 3 ax a 在 x (0, a ) 上存在两个 零点 F ' ( x) 3 x 2 a ，令 F ' ( x) 0 ，则 x a 3
2
由切割线定理： PA PB PO 2 4
A 为 PB 中点， PB 2 AB 2 AB 2 4 ，即： AB 2 A, B 为圆 C : x ( y b) b 上两点 AB (0, 2 R ] ，即 2 2 R 2 | b | b 2 2 或b 2 2
【答案】
_____________. 【答案】
1 4
10. 如图，已知正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 1 ，点 P 为棱 AA1 上任意一点， 则四棱锥 P BDD1 B1 的体积为_____________. 【答案】
1 3
11. 在平行四边形 ABCD 中，AB 3 ，AD 1 ，BAD 60 ， 若 CE 2 ED ， 则 AE BE 的值为____________. 【答案】
圆 C : x 2 ( y b) 2 b 2 ， C (0, b) ， R 2 b 2
又 P (2,0) ，则 PC 2 4 b 2
9b 2 4 b 2 b 2 b2 2 2 1 ， b 或b 2 2 2 2 2 ,) . ][ 2 2
是___________.
解：方法一 如图所示：
方法二：
过点C 作CD ⊥PB ，则D 为 AB 中点令
CD =d ，BD = AD =a ，则 AB =2a
圆 C : x 2 ( y b) 2 b 2 圆 C 与 x 轴相切于原点 (0,0) P (2,0) ， PO 2
3 5 x2 y2 1 的离心率为 3 ，则实数 a 的值为_________. a 4
7. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ， S11 132 ， a6 a9 30 ，则 a12 的值为__________. 【答案】 24
8. 已知函数 f ( x) 2sin(2 x ) ，若 f ( x1 ) f ( x2 ) 4 ，且 x1 , x2 [, ] ，则 x1 x2 的最大值为________. 3 3 2 9. 已知奇函数 y f ( x) 是 R 上的单调函数，若函数 g ( x) f ( x) f (a x 2 ) 只有一个零点，则实数 a 的值为
2(2 cos 2 B 1) 4 cos B 1 4 cos 2 B 4 cos B 3 0 13 ，0 A 13 2 39 13 3 13 3 39 1 2 39 2 13 2 13 26 b c 由正弦定理，得： sin B sin C b 3 2 3 3 39 26 13
2 2
由①②得： 9 R 2 PC 2 8d 2
A, B 为圆 C : x 2 ( y b) 2 b 2 上两点 0 d R ， 0 8d 2 8 R 2
2 2 即：实数 b 的取值范围是 (, ][ ,) . 2 2
即： 0 9 R 2 PC 2 8 R 2 ， 9 R 2 PC 2 R 2
3 2 AE AD DE AD BE BC CE AD AE BE ( AD 平行四边形 ABCD BC AD ， DC AB CE 2 ED DE 1 1 2 2 DC AB ， CE DC AB 3 3 3 3 AD
正实数 a, b ， 1 a 2b 2 2ab 0 ab 1 2 ， 2 18 8 ab
当且仅当： “ a 2b ” ， 即： “a
1 1 ， b ”时，取“=” 2 4
1 1 即： (1 )(2 ) 的最小值为 18 . a b
方法二：
1 3 ) AD 1 ， DAB 60 ， D ( , 2 2 AB 3 ， B (3,0)
3 3 3 3 AE ( , ) ， BE ( , ) 2 2 2 2 AE BE 3 ( 3 ) 3 3 3 . 2 2 2 2 2
， b 13
sin C sin( A B ) sin( A ) 3 sin A cos sin A 13 3 3 3 . 13 2 2
16.（本小题满分 14 分）
由图可知： 当 x a 时， g ( x) x 2 a 与 h( x) 一个交点 则当 0 x a 时， g ( x) x 2 a 与 h( x)
a x a 有 x
综上所述：实数 a 的取值范围是 (
27 , ) . 4
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明 ．．．．．．．．．． 过程或计算步骤． 15. (本小题满分 14 分) 在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 2 cos 2 B 4 cos( A C ) 1 . （1）求角 B 的值； （2）若 cos A 【解答】 解： （1） A B C 又 2 cos 2 B 4 cos( A C ) 1
A 为PB 中点， ∴PA = AB =2a ∴PD =PA +AD =3a
在 RtBCD ： BC 2 CD 2 BD 2 即： R 2 d 2 a 2 -------------① 在 RtPCD ： PC 2 CD 2 PD 2 即： PC 2 d 2 (3a ) 2 ---------②
a 2b 1 1 1 2 1 1 (1 )(2 ) 2 a b a b ab 2 2 2 2 1 a 2b a b ab 2 1 1 2 a b b a 4 2 a b
4 2 2 ( )(a 2b) a b 10 8b 2a 8b 2a 10 2 18 a b a b 8b 2a ” ，即： “ a 2b ” ， a b
如图，在三棱锥S −ABC 中， D, E 分别为 AB, BC 的中点， 点F 在 AC 上，且SD ⊥底面 ABC . （1）求证：DE // 平面SAC ；（2）若SF ⊥AC ，求证：平面SFD
⊥平面SAC .
② a 0 ，令 f ( x) x | x a | a 0 则 | x 2 a |
a x
2
当0 x
a 时， F ' ( x) 0 ， F ( x) 单调递减 3
当
a x a 时， F ' ( x) 0 ， F ( x) 单调递增 3 a a 3 a )( ) a a 3 3 3 2a 3 a 3
方图如图所示，则该养殖场有__________个网箱产量不低于 50 kg. 【答案】 82
4. 右图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是___________. 【答案】 8 5. 已知双曲线 【答案】 2 6. 已知袋中装有大小相同、质地均匀的 2 个红球和 3 个白球，从中一次摸出 2 个，恰有 1 个是红球的概率 为__________. 【答案】
2
解：方法一：基底法
1 AB 3
2 AB 3
2 1 AB )( AD AB ) 3 3
2 1 2 AB AD AB 3 9
AB 3 ， AD 1 ， BAD 60 AB AD | AB || AD | cos BAD 3 2
1 3 2 3 AE BE 12 32 . 3 2 9 2 7 3 ) 平行四边形 ABCD ， C ( , 2 2
即：实数 b 的取值范围是 (, 14.
已知函数 f ( x) x | x 2 a | a ，若 f ( x) 有三个零点，则实数 a 的取值范围是____________.
27 , ) 4
【答案】 (
解： f ( x) x | x 2 a | a ①当 a 0 时， x a 0
2018-2019 学年徐州市高三上学期期中数学试卷
1. 已知集合 A {1,2,3,4} ， B {0,2,4,6} ，则 A B __________. 【答案】 {2,4} 2. 若复数 z 满足 i z 1 2i （其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模为___________. 【答案】 5 3. 某水产养殖场利用 100 个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg） ，其频率分布直
f ( x) x | x 2 a | a 有三个零点 g ( x) | x 2 a | 与 h( x) a 有三个交点 x F ( x) 极小值 F (
草图如下：
a
F ( x) x 3 ax a 在 x (0, a ) 上存在两个零点 F (0) a 0 a 0 2a a 27 F ( x) 极小值 a 0 a 3 3 4 a 0 3 F ( a ) ( a ) a a a 0 27 a 4
2018-2019学年江苏省徐州市高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年江苏省徐州市高一上学期期中考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A. 2，B. 3，C. 2，3，D. 2，2.若log2（lg x）=0，则x的值为（）A. 0B. 1C. 10D. 1003.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，4.函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A. B. C. D.5.下列所示的图形中，可以作为函数y=f（x）的图象的是（）A. B. C. D.6.下列函数中，是偶函数又在区间（0，+∞）上递增的函数为（）A. B. C. D.7.已知a=21.2，b=（）-0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.8.已知函数f（x）=x2+ax-3a-9的值域为[0，+∞），则f（1）=（）A. 6B.C. 4D. 139.已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（-1）=1，则a=（）A. B. C. 1 D. 210.若函数f（x）=，＞，在x∈（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）是定义在区间[-2，2 上的偶函数，当x∈[0，2 时，f（x）是减函数，如果不等式f（1-m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.12.设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b上的两个函数，若函数y=f（x）-g（x）在x∈[a，b上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b上是“关联函数”，区间[a，b称为“关联区间”．若f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3 上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数g （x ）= 的定义域为______．14. 已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（ ，2），则函数f （x ）的解析式为______． 15. 若f （1-2x ）=，（x ≠0），那么f （）=______．16. 某同学在研究函数f （x ）=（x ∈R ）时，分别给出下面几个结论： ①f （-x ）+f （x ）=0在x ∈R 时恒成立；②函数f （x ）的值域为（-1，1）； ③若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）；④函数g （x ）=f （x ）-x 在R 上有三个零点． 其中正确结论的序号有______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 计算下列各式的值：（1）（2）-（2 -π）0-（2）+0.25．（2）lg5+ln +2 +（lg2）2+lg5•lg2．18. 已知集合A ={ 2-5x -6≤0}，B ={x m +1≤x ≤3m -1}．（1）当m =3时，求A ∩B ．（2）若B ⊆A ，求实数m 的取值集合C ．19. 已知函数f （x ）为奇函数，当x ＞0，f （x ）=-x 2+4x -2．（1）求当x ＜0时，函数f （x ）的解析式．（2）设g （x ）=∈ ∈，作出g （x ）的图象，并由图指出g（x ）的单调区间和值域．20.已知函数f（x）=1-．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性．（2）判断并用定义法证明函数f（x）的单调性，并求不等式f（x2+3x）＜f（2x+2）的解集．21.某企业生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？22.已知函数f（x）=mx2+（1-3m）x-4，m∈R．（1）当m=1时，求f（x）在区间[-2，2 上的最大值和最小值．（2）解关于x的不等式f（x）＞-1．（3）当m＜0时，若存在x0∈（1，+∞），使得f（x）＞0，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选：D．由题意，集合∁U A={0，4}，从而求得（∁U A）∪B={0，2，4}．本题考查了集合的运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由log2（lgx）=0，可得lgx=1，∴x=10．故选：C．利用对数的性质即可得出．本题考查了对数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：对于A，由于f（x）=，g（x）=x，两个函数的对应法则不相同，故不是同一个函数；对于B，f（x）=log a a x（a＞0，a≠1），g（x）=，两个函数对应法则相同，定义域相同，故是同一函数；对于C，f（x）=x，g（x）=，两个函数的定义域不同，故不是同一个函数；对于D，f（x）=lnx2，g（x）=2lnx的定义域不相同，故不是同一个函数．故选：B．当两个函数的定义域相同，且它们的对应法则也相同时，两个函数是同一个函数．由此对各个选项分别加以判断，比较其中两个函数的定义域和对应法则，不难得到正确答案．本题给出几组函数，要我们找到同一函数的一组，着重考查了函数的定义域、对应法则等函数的基本概念等知识，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2x+3x是增函数，f（-1）=＜0，f（0）=1+0=1＞0，可得f（-1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（-1，0）．故选：B．判断函数的单调性，利用f（-1）与f（0）函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．本题考查零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．5.【答案】D【解析】解：作直线x=a与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，∴y是x的函数，那么直线x=a移动中始终与曲线只有一个交点，于是可排除，A，B，C．只有D符合．故选：D．令直线x=a与曲线相交，由函数的概念可知，直线移动中始终与曲线只有一个交点的就是函数，从而可得答案．本题考查函数的图象，理解函数的概念是关键，即定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：函数y=x3为奇函数，不符题意；函数y= log2x 的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不为偶函数；函数y= x 为偶函数，在区间（0，+∞）上递增，符合题意；函数y=-x2为偶函数，在区间（0，+∞）上递减，不符合题意．故选：C．对各个选项一一判断奇偶性和单调性，即可得到所求结论．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用常见函数的奇偶性和单调性，考查分析和判断能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵b=（）-0.2=20.2＜21.2=a，∴a＞b＞1．∵c=2log52=log54＜1，∴a＞b＞c．故选：C．利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：；由题意，得；∴a2+12a+36=0；∴（a+6）2=0；∴a=-6；∴f（x）=x2-6x+9；∴f（1）=12-6×1+9=4；故选：C．配方得到，而由f（x）的值域为[0，+∞）即可得出，这样即可求出a的值，从而得出f（x）的解析式，从而求出f（1）的值．考查配方解决二次函数问题的方法，函数值域的概念及求法，已知函数求值的方法．9.【答案】A【解析】解：∵f[f（-1）=1，∴f[f（-1）=f（2-（-1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．根据条件代入计算即可．本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵函数f（x）=在x∈（-∞，+∞）上单调递增，∴，解得a∈[4，8），故选：D．若函数f（x）=在x∈（-∞，+∞）上单调递增，则，解得实数a的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．11.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在区间[-2，2 上的偶函数，当x∈[0，2 时，f（x）是减函数，则f（1-m）＜f（m）⇔，解可得：-1≤m＜，则m的取值范围为[-1，）；故选：A．根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析，原不等式等价于，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意不能忽略函数的定义域．12.【答案】A【解析】解：∵f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3 上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）-g（x）=x2-5x+4-m在[0，3 上有两个不同的零点，故有，即，解得-＜m≤-2，故选：A．由题意可得h（x）=f（x）-g（x）=x2-5x+4-m在[0，3 上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．13.【答案】（0，1【解析】解：由题意得：，解得：0＜x≤1，故答案为：（0，1 ．根据二次根式的性质，得到不等式组，解出即可．本题考查了二次根式的性质，是一道基础题．14.【答案】f（x）=x3【解析】解：因为幂函数f（x）=x a的图象经过点（，2）所以2=（）a，解得：a=3，所以函数f（x）=x3．故答案为：f（x）=x3．根据幂函数的图象经过点（，2）带入解析式解得即可．本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．15.【答案】60【解析】解：令1-2x=，解得x=，当x=时，=60，所以f（）=60．故答案为：60．利用函数的解析式，转化求解函数值即可．本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．16.【答案】①②③【解析】解：①∴正确②当x＞0时，f（x）=∈（0，1）由①知当x＜0时，f（x）∈（-1，0）x=0时，f（x）=0∴f（x）∈（-1，1）正确；③则当x＞0时，f（x）=反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数再由①知f（x）在（-∞，0）上也是增函数，正确④由③知f（x）的图象与y=x只有（0，0）这一个交点．不正确．故答案为：①②③由奇偶性的定义来判断①，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；由②结合①对称区间上的单调性相同说明③正确；由数形结合来说明④不正确．本题考查函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的．17.【答案】解：（1）原式=（）-1-（）--（）=-1-+8=；（2）原式=lg5++×3+lg2（lg2+lg5）=2+lg2+lg5=3．【解析】（1）根据指数幂的运算性质即可求出，（2）根据对数的运算性质即可求出．本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题．18.【答案】解：（1）集合A={2-5x-6≤0}={x -1≤x≤6}，当m=3时，B={x4≤x≤8}．∴A∩B={x4≤x≤6}．（2）当B=∅时，M+1＞3m-1，解得m＜1，满足题意；当B≠∅时，由题意，解得1．综上知：实数m的取集合C={m m}．【解析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）当B=∅时，M+1＞3m-1，当B≠∅时，由题意，由此能滶出实数m的取集合．本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.【答案】解：（1））当x＜0，则-x＞0，则f（-x）=-x2-4x-2，∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-x2-4x-2=-f（x），即f（x）=x2+4x+2，x＜0．（2）g（x）=，∈，，∈，，则对应的图象如图：由图得g（x）单调增区间为（-2，6），单调减区间（-4，-2），值域为[-2，2 ．【解析】（1）根据函数奇偶性的性质，利用转化法进行求解即可，（2）求出g（x）的解析式，作出函数g（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，利用奇函数的定义求出函数的解析式是解决本题的关键．20.【答案】解：（1）f（x）是奇函数，证明如下：f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（x）=，∴f（-x）===-=-f（x），所以f（x）为奇函数．（2）f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．证明：设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=1--1+=，∵x1＜x2，∴ ＜，+1＞0，+1＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，∵f（x2+3x）＜f（2x+2），∴x2+3x＜2x+2，∴x2+x-2＜0，得-2＜x＜1，即不等式的解集为（-2，1）．【解析】（1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可（2）根据函数单调性的定义，进行证明求解即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．21.【答案】解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g （x）万元，由题意知f（x）=1x，，…（2分）由图可知f（2）=1，，g（4）=4，2=2…（4分）从而，…（6分）（2）设A产品投入x万元，则B产品投入（10-x）万元，设企业利润为y万元．则，…（8分）令，则，…（10分）当t=2时，y max=7，此时x=10-4=6（万元）所以当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，企业获得最大利润为7万元…（12分）【解析】（1）根据函数的模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出两个函数解析式．（2）将企业获利表示成对产品B投资x的函数；令，将函数转化为二次函数，求出对称轴，求出函数的最值．本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用待定系数法求函数的解析式、考查换元法注意新变量的范围、二次函数的最值与对称轴有关．22.【答案】解：（1）当m=1时，函数f（x）=x2-2x-4在（-2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以当x=-2时，f（x）有最大值，且f（x）max=f（-2）=4+4-4=4，当x=1时，f（x）有最小值，且f（x）min=f（1）=-5．（2）不等式f（x）＞-1，即mx2+（1-3m）x-3＞0，当m=0时，解得x＞3，当m≠0时，（x-3）（mx+1）=0的两根为3和-，当m＞0时，-＜，不等式的解集为：{＜-或x＞3}，当m＜0时，3-（-）=，∴当m＜-时，-＜3，不等式的解集为{x -＜x＜3}，当m=-时，不等式的解集为∅，当-＜＜时，3＜-，不等式的解集为{x 3＜x＜-}，综上所述：当m＞0时，-＜，不等式的解集为{＜-或x＞3}；当m=0时，不等式的解集为{＞3}；当-＜＜时，3＜-，不等式的解集为{x 3，x＜-}；当m=-时，不等式的解集为∅；当m＜-时，不等式的解集为{x -＜x＜3}．（3）m＜0时，f（x）=mx2+（1-3m）x-4，m∈R为开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为x=-=＞1，若存在x1∈（1，+∞），使得f（x1）＞0，则（1-3m）2+16m＞0，即9m2+10m+1＞0，解得m＜-1或-＜＜，综上所述：m的取值范围是（-∞，-1）∪（-，0）．【解析】（1）当m=1时，函数f（x）=x2-2x-4在（-2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，由此能求出f（x）在区间[-2，2 上的最大值和最小值．（2）不等式f（x）＞-1，即mx2+（1-3m）x-3＞0，根据m=0，m＞0，m＜-，m=-，-进行分类讨论，能求出关于x的不等式f（x）＞-1的解集．（3）m＜0时，f（x）=mx2+（1-3m）x-4，m∈R为开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为x=＞1，由此能求出m的取值范围．本题考查二次函数在闭区间上的最大值与最小值的和的求法，考查不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论与整合思想，是中档题．。
2018-2019学年江苏省徐州市高一(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年江苏省徐州市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4} 2．（5分）若log2（lgx）＝0，则x的值为（）A．0B．1C．10D．1003．（5分）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）＝，g（x）＝xB．f（x）＝log a a x（a＞0，a≠1），g（x）＝C．f（x）＝x，g（x）＝D．f（x）＝lnx2，g（x）＝2lnx4．（5分）函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）5．（5分）下列所示的图形中，可以作为函数y＝f（x）的图象的是（）A．B．C．D．6．（5分）下列函数中，是偶函数又在区间（0，+∞）上递增的函数为（）A．y＝x3B．y＝|log2x|C．y＝|x|D．y＝﹣x27．（5分）已知a＝21.2，b＝（）﹣0.2，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a8．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣3a﹣9的值域为[0，+∞），则f（1）＝（）A．6B．﹣6C．4D．139．（5分）已知函数f（x）＝（a∈R），若f[f（﹣1）]＝1，则a＝（）A．B．C．1D．210．（5分）若函数f（x）＝在x∈（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[2，3]B．（1，8）C．（1，5]D．[4，8）11．（5分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，）B．[1，2]C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）12．（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f（x）﹣g （x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）＝x2﹣3x+4与g（x）＝2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2]B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）13．（5分）函数g（x）＝的定义域为．14．（5分）已知幂函数f（x）＝x a的图象经过点（，2），则函数f（x）的解析式为．15．（5分）若f（1﹣2x）＝，（x≠0），那么f（）＝．16．（5分）某同学在研究函数f（x）＝（x∈R）时，分别给出下面几个结论：①f（﹣x）+f（x）＝0在x∈R时恒成立；②函数f（x）的值域为（﹣1，1）；③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④函数g（x）＝f（x）﹣x在R上有三个零点．其中正确结论的序号有．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）计算下列各式的值：（1）（2）﹣（2﹣π）0﹣（2）+0.．（2）lg5+ln++（lg2）2+lg5•lg2．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤3m﹣1}．（1）当m＝3时，求A∩B．（2）若B⊆A，求实数m的取值集合C．19．（12分）已知函数f（x）为奇函数，当x＞0，f（x）＝﹣x2+4x﹣2．（1）求当x＜0时，函数f（x）的解析式．（2）设g（x）＝，作出g（x）的图象，并由图指出g （x）的单调区间和值域．20．（12分）已知函数f（x）＝1﹣．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性．（2）判断并用定义法证明函数f（x）的单调性，并求不等式f（x2+3x）＜f（2x+2）的解集．21．（12分）某企业生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？22．（12分）已知函数f（x）＝mx2+（1﹣3m）x﹣4，m∈R．（1）当m＝1时，求f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．（2）解关于x的不等式f（x）＞﹣1．（3）当m＜0时，若存在x0∈（1，+∞），使得f（x）＞0，求实数m的取值范围．2018-2019学年江苏省徐州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【解答】解：∵∁U A＝{0，4}，∴（∁U A）∪B＝{0，2，4}；故选：D．2．【解答】解：由log2（lgx）＝0，可得lgx＝1，∴x＝10．故选：C．3．【解答】解：对于A，由于f（x）＝，g（x）＝x，两个函数的对应法则不相同，故不是同一个函数；对于B，f（x）＝log a a x（a＞0，a≠1），g（x）＝，两个函数对应法则相同，定义域相同，故是同一函数；对于C，f（x）＝x，g（x）＝，两个函数的定义域不同，故不是同一个函数；对于D，f（x）＝lnx2，g（x）＝2lnx的定义域不相同，故不是同一个函数．故选：B．4．【解答】解：函数f（x）＝2x+3x是增函数，f（﹣1）＝＜0，f（0）＝1+0＝1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．故选：B．5．【解答】解：作直线x＝a与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，∴y是x的函数，那么直线x＝a移动中始终与曲线至多有一个交点，于是可排除，A，B，C．只有D符合．故选：D．6．【解答】解：函数y＝x3为奇函数，不符题意；函数y＝|log2x|的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不为偶函数；函数y＝|x|为偶函数，在区间（0，+∞）上递增，符合题意；函数y＝﹣x2为偶函数，在区间（0，+∞）上递减，不符合题意．故选：C．7．【解答】解：∵b＝（）﹣0.2＝20.2＜21.2＝a，∴a＞b＞1．∵c＝2log52＝log54＜1，∴a＞b＞c．故选：C．8．【解答】解：；由题意，得；∴a2+12a+36＝0；∴（a+6）2＝0；∴a＝﹣6；∴f（x）＝x2﹣6x+9；∴f（1）＝12﹣6×1+9＝4；故选：C．9．【解答】解：∵f[f（﹣1）]＝1，∴f[f（﹣1）]＝f（2﹣（﹣1））＝f（2）＝a•22＝4a＝1∴．故选：A．10．【解答】解：∵函数f（x）＝在x∈（﹣∞，+∞）上单调递增，∴，解得a∈[4，8），故选：D．11．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，则f（1﹣m）＜f（m）⇔，解可得：﹣1≤m＜，则m的取值范围为[﹣1，）；故选：A．12．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣3x+4与g（x）＝2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y＝h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）13．【解答】解：由题意得：，解得：0＜x≤1，故答案为：（0，1]．14．【解答】解：因为幂函数f（x）＝x a的图象经过点（，2）所以2＝（）a，解得：a＝3，所以函数f（x）＝x3．故答案为：f（x）＝x3．15．【解答】解：令1﹣2x＝，解得x＝，当x＝时，＝60，所以f（）＝60．故答案为：60．16．【解答】解：①∴正确②当x＞0时，f（x）＝∈（0，1）由①知当x＜0时，f（x）∈（﹣1，0）x＝0时，f（x）＝0∴f（x）∈（﹣1，1）正确；③则当x＞0时，f（x）＝反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数再由①知f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，正确④由③知f（x）的图象与y＝x只有（0，0）这一个交点．不正确．故答案为：①②③三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．【解答】解：（1）原式＝（）﹣1﹣（）﹣﹣（）＝﹣1﹣+8＝；（2）原式＝lg5++×3+lg2（lg2+lg5）＝2+lg2+lg5＝3．18．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}＝{x|﹣1≤x≤6}，当m＝3时，B＝{x|4≤x≤8}．∴A∩B＝{x|4≤x≤6}．（2）当B＝∅时，M+1＞3m﹣1，解得m＜1，满足题意；当B≠∅时，由题意，解得1．综上知：实数m的取集合C＝{m|m}．19．【解答】解：（1））当x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣x2﹣4x﹣2，∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣x2﹣4x﹣2＝﹣f（x），即f（x）＝x2+4x+2，x＜0．（2）g（x）＝，则对应的图象如图：由图得g（x）单调增区间为（﹣2，6），单调减区间（﹣4，﹣2），值域为[﹣2，2]．20．【解答】解：（1）f（x）是奇函数，证明如下：f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（x）＝，∴f（﹣x）＝＝＝﹣＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数．（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数．证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝1﹣﹣1+＝，∵x1＜x2，∴＜，+1＞0，+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，∵f（x2+3x）＜f（2x+2），∴x2+3x＜2x+2，∴x2+x﹣2＜0，得﹣2＜x＜1，即不等式的解集为（﹣2，1）．21．【解答】解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，由题意知f（x）＝k 1x，，…（2分）由图可知f（2）＝1，，g（4）＝4，k2＝2…（4分）从而，…（6分）（2）设A产品投入x万元，则B产品投入（10﹣x）万元，设企业利润为y万元．则，…（8分）令，则，…（10分）当t＝2时，y max＝7，此时x＝10﹣4＝6（万元）所以当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，企业获得最大利润为7万元…（12分）22．【解答】解：（1）当m＝1时，函数f（x）＝x2﹣2x﹣4在（﹣2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以当x＝﹣2时，f（x）有最大值，且f（x）max＝f（﹣2）＝4+4﹣4＝4，当x＝1时，f（x）有最小值，且f（x）min＝f（1）＝﹣5．（2）不等式f（x）＞﹣1，即mx2+（1﹣3m）x﹣3＞0，当m＝0时，解得x＞3，当m≠0时，（x﹣3）（mx+1）＝0的两根为3和﹣，当m＞0时，﹣，不等式的解集为：{x|x＜﹣或x＞3}，当m＜0时，3﹣（﹣）＝，∴当m＜﹣时，﹣＜3，不等式的解集为{x|﹣＜x＜3}，当m＝﹣时，不等式的解集为∅，当﹣时，3＜﹣，不等式的解集为{x|3＜x ＜﹣}，综上所述：当m＞0时，﹣，不等式的解集为{x|x ＜﹣或x＞3}；当m＝0时，不等式的解集为{x|x＞3}；当﹣时，3＜﹣，不等式的解集为{x|3，x ＜﹣}；当m ＝﹣时，不等式的解集为∅；当m ＜﹣时，不等式的解集为{x|﹣＜x＜3}．（3）m＜0时，f（x）＝mx2+（1﹣3m）x﹣4，m∈R为开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为x ＝﹣＝＞1，若存在x1∈（1，+∞），使得f（x1）＞0，则（1﹣3m）2+16m＞0，即9m2+10m+1＞0，解得m＜﹣1或﹣，综上所述：m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（﹣，0）．第11页（共11页）。
2019-2020学年江苏省徐州市2018级高二下学期期中考试数学试卷及答案
2019-2020学年江苏省徐州市2018级高二下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共6页,包含单选题(第1题～第8题)、多选题(第9题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17～第22题)。
本卷满分150分,考试时间为120分钟。
考试结束后,请将答题卡交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整,笔迹清楚。
4.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条符号等须加黑加粗。
5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。
一律不准使用胶带纸修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一个选项是符合题目要求的。
1.复平面内,复数z＝－3＋4i对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.函数f(x)＝x2－sinx在区间[0,π]上的平均变化率为A.1B.2C.π2D.π3.若复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虚数单位),则|z|为D.54.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个5.将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址,则不同的方法种数为A.34B.43C.A 43D.C 436.已知z 1,z 2∈C,|z 1|＝|z 2|＝1,|z 1＋z 2|＝3,则|z 1－z 2|＝A.0B.1C.3D.27.若点P 是曲线y ＝x 2－lnx 上的任意一点,则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 A.2 B.22 C.12D.1 8.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,被世界公认为组合数学的鼻祖,它是中华民族对人类的伟大贡献之一。
2021届江苏省徐州市2018级高三上学期期中考试数学试卷及答案
2021届江苏省徐州市2018级高三上学期期中考试 数学试卷 ★祝考试顺利★（含答案）一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已如集合A ＝{}2x x ≥,B ＝{}220x x x --<,则下列结论正确的是A ．AB ＝R B ．AB ≠∅C ．A ⊆(R B)D ．A ⊇(R B) 2．复数i 12iz =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．有4名学生志愿者到3个小区参加疫情防控常态化宣传活动,每名同学都只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法为A ．6种B ．12种C ．36种D ．72种4．如图,《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画,现收藏于中国台北故宫博物院,有甲、乙两人想根据该图编排一个舞蹈,舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶中的两个动作,每人模仿一个动作,若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作,则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“检”的概率是A ．12B ．13C ．14D ．165．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x 2＋y 2≤1,若将军从点A(4,﹣3)处出发,河岸线所在直线方程为x ＋y ＝4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为A ．8B ．7C ．6D ．56．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB ＝AD ＝1,AA 1＝2,设AC 交BD 于点O,则异面直线A 1O 与BD 1所成角的余弦值为A ．15-B ．15C ．9-D ．97．若偶函数()f x 满足()(1)2020f x f x ⋅+=,(2)1f -=-,则(2021)f ＝A ．﹣2020B ．﹣1010C ．1010D ．20208．十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段,去掉中间的区间段(13,23),记为第一次操作；…,再将剩下的两个区间[0,13],[23,1] 分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作；…,如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的区间集合即是“康托三分集”,若使去掉的各区间长度之和不小于910,则需要操作的次数n 的最小值为（参考数据：lg2＝0.3010,lg3＝0.4771） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、 多项选择题（本大题共4小题,每小题5分, 共计20分．在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知曲线C 的方程为22191x y k k +=--(k ∈R) A ．当k ＝5时,曲线C 是半径为2的圆B ．当k ＝0 时,曲线C 为双曲线,其渐近线方程为13y x =±C ．存在实数k ,使得曲线C 的双曲线D ．“k ＞1”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件10．设a ＞0,b ＞0,则A ．12(2)()9a b a b++≥ B ．222(1)a b a b +≥++。
江苏省徐州市2019届高三上学期期中抽测数学试题(含附加题)(含答案)
2018-2019学年度高三年级第一学期期中抽测数学I 参考答案与评分标准一．填空题1．{}2,42．53．824．85．26．357.248.32π9.14-10．1311．32-12．1813.22(,][,)22-∞-+∞ 14.27(,)4+∞二．解答题15.（1）因为2cos24cos()=1B A C -+，所以22(2cos 1)4cos 1B B -+=，…………2分所以24cos 4cos 30B B +-=，即(2cos 3)(2cos 1)0B B +-=，…………………4分所以3cos 2B =-(舍)，或1cos 2B =.又因为0πB <<，所以π3B =.………………6分（2）由于13cos 13A =，0πA <<，所以2239sin 1cos 13A A =-=，所以sin sin()sin()=313339sin cos =22A C AB A A π=++=+，…………………10分由正弦定理，得sin sin b c BC =，所以32263339b =，于是b =13.…………12分所以11239sin 133332213ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=.………………………………14分16.（1）在△ABC 中，因为,D E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE AC ∥，………2分又因为DE ⊄平面SAC ，AC ⊂平面SAC ，所以DE 平面SAC ．……………6分（2）在三棱锥S ABC -中，因为SD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以SD AC ⊥．…………………………………………………………………………8分又因为SF AC ⊥，SF SD S = ，,SF SD ⊂平面SFD ，所以AC ⊥平面SFD .12分又因为AC ⊂平面SAC ，所以平面SFD ⊥平面SAC .………………………14分17.（1）当点B 是椭圆C 的上顶点时，(0,)B b ，(1,0)F ，由2FB FA =知，2BF FA = ,可得3(,)22b A -，代入椭圆方程得22223()()221b a b-+=，解得23a =，所以2212b a =-=，故椭圆C 的方程为22132x y +=．……………………………4分（2）设(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)OA x y = ，22(,)BP x x y y =-- ，由OA BP = 可知，1212,x x x y y y =-=-，即1212,x x x y y y =+=+．当直线l 的斜率不存在时，:1l x =，点(2,0)P 不在椭圆上，不符合题意；……6分当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，代入椭圆C 的方程22132x y +=，消去y 整理得，2222(23)6360k x k x k +-+-=，解得12x =、，所以2122623k x x k +=+，于是121224[()2]23k y y k x x k -+=+-=+，所以22264(,)2323k k P k k -++．……………10分由点P 在椭圆上得，2222264(()2323+=132k k k k -++，即423440k k --=，解得22k =或223k =-（舍），所以k =，所以直线l的方程为1)y x =-或1)y x =-，0y --0y +=．…………………………………………14分18．（1）因为AE AF =，AD AB =,90ADF ABE ︒∠=∠=，所以ADF ABE △≌△,所以1π()22BAE DAF θ∠=∠=-，………………………2分又因为cos AB AE BAE =⋅∠，所以2111sin sin cos cos 224ABE S AE AB BAE AE BAEBAE θ∆=⋅⋅∠=⋅∠⋅∠=………………………………………………4分要使观赏区的年收入不低于5万元，即205S ⨯区域Ⅱ，即θ的最大值为3π.……………………6分（2）因为221cos(2)1sin =(cos )22BAE S AB AE BAE θ+∠+=⋅∠==正方形，10分记年总收入为y 万元，则102020S S y S =++区域Ⅰ区域Ⅱ区域Ⅲ1020()S S S -+=正方形区域Ⅰ区域Ⅰ2010S S =-正方形区域Ⅰ1sin 12010105(2sin )22θθθθ+=⨯-⨯=+-，所以5(2cos 1)y θ'=-，令0y '=，则时，0y '>，所以函数在时，0y '<，所以函数在时，y 有最大值，即年总收入最大.答：当…………………………………………………16分19．（1）当12a =时，211()ln 22f x x x x =-+，所以11()2f x x x '=-+．从而(2)1f '=-，又(2)ln 21f =-，所以所求切线方程为(ln 21)(2)y x --=--，即ln 210x y +--=．……………2分（2）2121()20)ax ax f x ax a x x x-++'=-+=>，由()0f x '=得，2210ax ax -++=（*）①若0a =，则()ln f x x =，可知函数)(x f 只有单调增区间为(0,)+∞．…………4分②若0a <，由22=4(2)8a a a a ∆--=+得，（i ）当8a <-时，0∆>，（*）式有两不等根为1x =2x =且210x x >>．当10x x <<或2x x >时，()0f x '>，此时函数)(x f 单调递增；当12x x x <<时，()0f x '<，此时函数)(x f 单调递减．所以，函数)(x f 的单调增区间为1(0,)x ，2(,)x +∞，单调减区间为12(,)x x ．（ii ）当80a -<时，0∆，()0f x '恒成立，此时)(x f 只有单调增区间为(0,)+∞．……………………………………………………………………………………………6分③若0a >，则0∆>，此时210,0x x <>．当10x x <<时，()0f x '>，此时函数)(x f 单调递增；当1x x >时，()0f x '<，此时函数)(x f 单调递减．所以，函数)(x f 的单调增区间为1(0,)x ，单调减区间为1(,+)x ∞．综上所述，当8a <-时，)(x f 的单调增区间为28(0,)a a a ++，28(,)-++∞a a a ，单调减区间为2288(,)44++-+a a a a a a a a；当80a -时，)(x f 只有单调增区间为(0,)+∞；当0a >时，)(x f 的单调增区间为28(0,)4a a a a++，单调减区间为28(,+)a a a ++∞．……………………………………………10分（3）易知(1)=0f ，由（2）可知，当01a <<时，11x >，)(x f 在1(1,)x 上单调递增，在1(,)x +∞上单调递减，所以1()(1)0f x f >=，又因为111()ln 1f a a a =-+，令1t a =，则()ln 1g t t t =-+，1t >，由1()10g t t '=-<，函数()g t 在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0g t g <=，所以1()0f a <，从而在11(,)x a 之间()=0f x 必有一根，不合题意．当1a >时，同理可得在11(,)x a之间()=0f x 必有一根．…………………………14分又当1a =时，()=0f x 仅有一根1x =．综上，1a =．…………………………………………………………………………16分20．（1）因为312n n n n a a a a ++++=+，令1n =，得1423a a a a +=+，所以46a =，令2n =，得2534a a a a +=+，所以57a =．………………………………………2分（2）（i ）因为312n n n n a a a a ++++=+①令1n =，得1423a a a a +=+，所以47a =，又1423n n n n a a a a +++++=+②①+②得，3141223n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++++=+++，即422n n n a a a +++=，所以，当21n k =-()k *∈N 时，()2114(1)432211k a a k k k -=+-=-=--，此时21n a n =-；当2n k =()k *∈N 时，()224(1)41221k a a k k k =+-=-=⋅-，此时21n a n =-，所以21,n a n n *=-∈N ，所以{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．………………………………8分（ii ）由题意2m n k a a a =⋅，即[][]22()2()n n n a m n a a k n +-=⋅+-，所以2224()4()2()n n n n a m n a m n a a k n +-+-=+⋅-，……………………………10分所以22()(2)n m n a k n m -=⋅+-，令2()2n m n a m n k n m-=⎧⎨-=+-⎩，即3194m n k n =-⎧⎨=-⎩，故对任意n *∈N ，总存在31,94m n k n =-=-，使,,n m k a a a 成等比数列．………16分2018-2019学年度高三年级第一学期期中抽测数学Ⅱ参考答案及评分标准A ．连结OE ，因为PE 切⊙O 于点E ，所以∠OEP =900，所以∠OEB +∠BEP =900，因为OB =O E ，所以∠OBE =∠OEB ，因为OB ⊥AC 于点O ，所以∠OBE +∠BDO =900．…………………………………5分故∠BEP =∠BDO =∠PDE ，所以PD =PE ，又因为PE 切⊙O 于点E ，所以PE 2=PA ·PC ，故PD 2=PA ·PC ．………………………………………………………………………10分B ．因00211⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，所以2a =，所以20=02⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ，……………………………………2分0000⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，1200⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，2436⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即(00)(20)(46)A B C '''，，，，，．…………6分故11626622S A B ''=⨯⨯=⨯⨯=．……………………………………………………10分C ．由2cos()104π++=ραcos sin 10+=αα，即直线l 10+=．………………………………………………3分由cos ,(0)sin θθ=⎧>⎨=⎩x r r y r ，得曲线C 的普通方程为222x y r +=，故曲线C 是圆心坐标为(0,0)，半径为r 的圆，……………………………………6分所以，圆心到直线l 的距离12d =，由AB =，则1r =．………………10分D ．由21-+=x y (1)2(2)2----x y …………………………………………………4分(1)2(2)2≤---+x y 12225≤-+-+=x y ，…………………8分当且仅当0,3x y =⎧⎨=⎩时，取“=”.可知，12+-y x 的最大值为5.…………………………………………………10分22．在A 点投篮命中记作,不中记作；在B 点投篮命中记作,不中记作，其中，…………………2分（1）ξ的所有可能取值为，则[，，，．的分布列为：，，，．所以，所以，的数学期望为3.05．…………………………………………………………7分（2）选手选择方案甲通过测试的概率为，选手选择方案乙通过测试的概率为14444255555=⨯⨯⨯+⨯1128960.8961251000===，………………………9分因为，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．……………………10分23．（1）因为220022422222(1(12(C 33C 3C +3C )n n n n n n n n ++-=+++ ，所以22(1(1n n ++-为偶数（n ∈N *）．………………………………………4分（2）注意到1)31(02<-<n ，则大于n 231(+的最小正整数必为00224222222(C 33C 3C +3C )n n n n n n +++ ，记为2k ∈N ，又因为22222(1(1[(1][(1]n n n nk =++-=++-2[(2(2] (*)n n n =++-而由（1）同理可得(2+(2n n -必为偶数，记为12k ∈N ，所以，11(*)2n k +=⋅，即2k 能被12n +整除，从而命题得证．……………………………………………10分。
江苏省徐州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(含精品解析)
∴
，
解得 m=-7，
∴直线 l1：-4x+4y=-16，即 x-y=4，
直线 l2：2x-2y=2，即 x-y=1，
∴这两条直线之间的距离为：
d=
．
故答案为： ． 由直线 l1 与 l2 平行，得 m=-7，从而直线 l1：-4x+4y=-16，即 x-y=4，直线 l2：2x2y=2，即 x-y=1，由此能求出这两条直线之间的距离．
本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、
线面、面面间的位置关系的合理运用．
1
11.【答案】3
【解析】
解：由题意可知四棱锥 A1-BB1D1D 的底面是矩形，边 长：1 和 ，
四棱锥的高： A1C1= ．
则四棱锥 A1-BB1D1D 的体积为：
=．
故答案为： ． 求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．
由 m⊄α，n⊂α，m⊥n，不能得到 m⊥α，反之，由 m⊄α，n⊂α，m⊥α，能够推出
m⊥n，结合充分必要条件的判定方法得答案．
本题考查充分必要条件的判定方法，考查空间中直线与直线，直线与平面位
置关系的判断，是基础题．
1
7.【答案】2
【解析】
解：圆 x2+y2-2x=0 化为标准方程是（x-1）2+y2=1，圆心为 C（1，0），半径 r=1，
【解析】
解：由 α，β 为两个不同的平面，m，n 为两条不同的直线，知： 在①中，若 α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得 m∥β，故①正确； 在②中，若 m∥α，n⊂α，则 m∥n 或 m 与 n 异面，故②错误； 在③中，若 α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则 m 与 β 相交、平行或 m⊂β，故③错误； 在④中，若 n⊥α，n⊥β，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得 m⊥β，故④正确． 故答案为：①④． 在①中，由面面平行的性质定理得 m∥β；在②中，m∥n 或 m 与 n 异面；在③中， m 与 β 相交、平行或 m⊂β； 在④中，由线面垂直的判定定理得 m⊥β．
2018-2019学年徐州市高三上学期期中数学试卷——学生版
2018-2019学年徐州市高三上学期期中数学试卷新高考数学研究基地1、集国内顶尖高考数学研究专家，为同学们提供训练的题库、资料、模考试题及解析。
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神秘专家组一：国内顶尖高考数学研究专家（清华、北大数学才子）神秘专家组二：试题研制专家组一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．.1.已知集合}4,3,2,1{=A ，}6,4,2,0{=B ，则=B A __________.2.若复数z 满足i z i 21+=⋅（其中i 为虚数单位），则z 的模为___________.3.某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有__________个网箱产量不低于50kg.4.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是___________.5.已知双曲线1422=-y ax 的离心率为3，则实数a 的值为_________.6.已知袋中装有大小相同、质地均匀的2个红球和3个白球，从中一次摸出2个，恰有1个是红球的概率为__________.7.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，13211=S ，3096=+a a ，则12a 的值为__________.8.已知函数)32sin(2)(π-=x x f ，若4)()(21-=⋅x f x f ，且],[,21ππ-∈x x ，则21x x -的最大值为________.9.已知奇函数)(x f y =是R 上的单调函数，若函数)()()(2x a f x f x g -+=只有一个零点，则实数a 的值为_____________.10.如图，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 为棱1AA 上任意一点，则四棱锥11B BDD P -的体积为_____________.11.在平行四边形ABCD 中，3=AB ，1=AD ，︒=∠60BAD ，若ED CE 2=，则BE AE ⋅的值为____________.12.已知正实数b a ,满足12=+b a ，则)1211(++的最小值为__________.13.过点)0,2(P 的直线l 与圆222)(:b b y x C =-+交于两点B A ,，若A 是PB 的中点，则实数b 的取值范围是___________.14.已知函数a a x x x f --=||)(2，若)(x f 有三个零点，则实数a 的取值范围是____________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15.(本小题满分14分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知1)cos(42cos 2=+-C A B .（1）求角B 的值；（2）若1313cos =A ，3=c ，求ABC ∆的面积.如图，在三棱锥ABC S -中，E D ,分别为BC AB ,的中点，点F 在AC 上，且⊥SD 底面ABC .（1）求证：//DE 平面SAC ；（2）若AC SF ⊥，求证：平面⊥SFD 平面SAC .17.（本小题满分14分）已知椭圆)0( 1:2222>>=+b a by a x C ，过右焦点)0 ,1(F 的直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，且当点B 是椭圆C 的上顶点时，FA FB 2=，线段AB 的中点为M .（1）求椭圆C 的方程；（2）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若=，求此时l 的方程.某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域I ）设计成半径为km 1的扇形EAF ，中心角24( π<θ<πθ=∠EAF .为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域II ）和休闲区（区域III ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD ，其中点F E ,分别在边BC 和CD 上.已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元.（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求θ的最大值；（2）试问：当θ为多少时，年总收入最大？19．（本小题满分16分）设函数ax ax x x f +-=2ln )(，R a ∈.（1）当1=a 时，求函数)(x f 的在点))2(,2(f 处的切线方程；（2）讨论函数)(x f y =的单调性，并写出单调区间；（3）当0>a 时，若函数)(x f y =有唯一零点，求实数a 的值.已知数列}{n a 各项均为正数，11=a ，32=a ，且213++++=+n n n n a a a a 对任意*∈N n 恒成立.（1）若43=a ，求5a 的值；（2）若53=a ，（i ）求证：数列}{n a 是等差数列；（ii ）在数列}{n a 中，对任意*∈N n ，总存在*∈N k m ,，（其中k m n <<），使k m n a a a ,,构成等比数列，求出符合条件的一组),(k m .。
江苏省徐州市2018-2019高一上学期期中考试数学试卷(扫描版)
2018～2019学年度第一学期期中考试高一数学试题参考答案与评分标准二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,计20分）13.(0,1﹞ 14. 3()f x x = 15. 60 16 . ①②③ 三、解答题：本大题共6小题共计70分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）解：（1）原式1132322564119274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132322325411332--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦531834=--+ 9512=（或写成11712）． ………………………………………………5分 （2）原式2log 311lg522lg2(lg2lg5)2-=++⋅++11(lg5lg2)322=+++⨯ 13122=++ 3=． ……………………………………………10分18．（本小题满分12分） 解：（1）{}|16A x x =-≤≤，当3m =时，{}|48B x x =≤≤， …………………………………………2分{}|46A B x x =≤≤． ……………………………………………5分 （2）当B =∅时，131m m +>-，所以1m <满足题意 ；………………………………7分 当B =∅时，由题意13111316m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤≥≤，解得713m ≤≤．………………………………… 10分综上知：实数m 的取集合7|3C m m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤． ………………………………… 12分19．（本小题满分12分）解（1）当0x <时，0x ->，则22()()4()242f x x x x x -=--+--=---， ∵()f x 为奇函数，∴2()()42f x f x x x -=-=---， ∴2()42f x x x =++，∴当0x <时，函数()f x 的解析式为2()42f x x x =++．…………………………………4分 （2）7…………………………………………8分由图得()g x 单调增区间为(2,6)-，单调减区间(4,2)--，……………………………… 10分 值域为[2,2]-． ……………………………… 12分 20．（本小题满分12分）解：（1）()f x 是奇函数， …………………………………… 1分 证明如下：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，21()21x x f x -=+，∴211221()()211221x x x xx x f x f x ------===-=-+++， 所以()f x 为奇函数． …………………………………… 4分 （2）()f x 在(,)-∞+∞上为增函数． …………………………………… 5分 证明：任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 则12211212222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++， ∵1x ，2(,)x ∈-∞+∞，且12x x <， ∴12220x x -<，1210x +>，2210x +>， ∴12()()0f x f x -<即12()()f x f x <，∴()f x 在(,)-∞+∞上为增函数， …………………………………… 8分 ∵()f x 在(,)-∞+∞上为增函数且2(3)(22)f x x f x +<+，∴2322x x x +<+， …………………………………… 10分 ∴21x -<<，即2(3)(22)f x x f x +<+的解集为{}|21x x -<<．…………………………………… 12分21．（本小题满分12分） 解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为f （x ）万元，B 产品的利润为g （x ）万元， 由题意知f （x ）=k 1x ，， …………………………………… 2分由图可知f （2）=1，，g （4）=4，k 2=2从而……………………………………3分…………………………………… 4分（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入（10﹣x ）万元，设企业利润为y 万元．… 5分 则， ………………………… 7分（无定义域扣1分） 令，则，……………………………… 9分 当t=2时，y max =7，此时x=10﹣4=6（万元） ………………………………11分 所以当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，企业获得最大利润为7万元……… 12分22．（本小题满分12分）解：（1）1m =时，函数2()24f x x x =--在(2,1)-上是减函数，在(1,2)上是增函数，…………………………………………… 2分所以当2x =-时，()f x 有最大值，且max ()(2)4f x f =-=， …………………………… 3分 当1x =时，()f x 有最小值，且min ()(1)5f x f ==-． …………………………… 4分 （2）不等式()1f x >-，即2(13)30mx m x +-->，当0m =时，解得3x >， …………………………………… 5分 当0m ≠时，(3)(1)0x mx -+=的两根为3和1m-， 当0m >时，13m-<，不等式的解集为：1{|x x m <-或3}x >，………………………… 6分当0m <时，13133m m +⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以当13m <-时，13m -<，不等式的解集为：1|3x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭， ……………………7分当13m =-时，不等式的解集为：∅， …………………………… 8分当103m -<<时，13m <-，不等式的解集为：1|3x x m ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭，综上所述：当0m >时，13m-<，不等式的解集为：1{|x x m <-或3}x >；当0m =时，不等式的解集为：{}|3x x >；当103m -<<时，13m <-，不等式的解集为：1|3x x m ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭；当13m =-时，不等式的解集为：∅；当13m <-时，不等式的解集为：1|3x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．…………………………………… 9分(五种情况各一分，最后不进行总结不扣分)（3）0m <时2()(13)4f x mx m x =+--，m ∈R 为开口向下的抛物线， 抛物线的对称轴为13311222m x m m-=-=->， ………………………… 10分 若存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0f x >，则2(13)160m m -+>，………………………… 11分 即291010m m ++>，解得1m <-或109m -<<，综上所述：m 的取值范围是1(,1),09⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭． …………………………12分。
江苏省徐州市2019届高三上学期期中考试数学答案
2018-2019学年度高三年级第一学期期中抽测数学I 参考答案与评分标准一．填空题1．{}2,4 23．82 4．8 5．2 6．37. 24 8. 32π 9. 14-10．1311．32- 12．18 13. (,)-∞+∞14.27(,)4+∞ 二．解答题15. （1…………2分4分6分 （210分b =. …………12分 ………………………………14分 16. （1）在△ABC 中，因为,D E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE AC ∥，………2分又因为DE ⊄平面SAC ，AC ⊂平面SAC ，所以DE 平面SAC ． ……………6分 （2）在三棱锥S ABC -中，因为SD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以SD AC ⊥．…………………………………………………………………………8分 又因为SF AC ⊥， SF SD S = ，,SF SD ⊂平面SFD ，所以AC ⊥平面SFD .12分 又因为AC ⊂平面SAC ，所以平面SFD ⊥平面SAC .………………………14分 17. （1）当点B 是椭圆C 的上顶点时，(0,)B b ，(1,0)F ，由2FB FA =知错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，2BF FA =,可得3(,)22bA -，代入椭圆方程得22223()()221ba b -+= ，解得23a =， 所以2212b a =-=，故椭圆C 的方程为22132x y +=．……………………………4分 （2）设(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)OA x y = ，22(,)BP x x y y =--，由OA BP =错误！未找到引用源。
可知，1212,x x x y y y =-=- ，即1212,x x x y y y =+=+．当直线l 的斜率不存在时，:1l x = ，点(2,0)P 不在椭圆上，不符合题意；……6分当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，代入椭圆C 的方程22132x y +=， 消去y 整理得，2222(23)6360k x k x k +-+-=，解得12x 、，所以2122623k x x k +=+， 于是121224[()2]23ky y k x x k-+=+-=+，所以22264(,)2323k k P k k -++ ．……………10分 由点P 在椭圆上得，2222264()()2323+=132k k k k -++ ，即423440k k --=， 解得22k =或223k =-（舍），所以k =， 所以直线l的方程为1)y x =-或1)y x =-，0y -0y +=．…………………………………………14分 18．（1）因为AE AF =，AD AB = ,90ADF ABE ︒∠=∠=，所以ADF ABE △≌△,所以1π()22BAE DAF θ∠=∠=-，………………………2分 又因为cos AB AE BAE =⋅∠，所以2111sin sin cos cos24ABE S AE AB BAE AE BAE BAEθ∆=⋅⋅∠=⋅∠⋅∠= . ………………………………………………4分要使观赏区的年收入不低于5万元，即205S ⨯区域Ⅱ…，即 θ的最大值为3. ……………………6分（2）因为221cos(2)1sin =(cos )22BAE S AB AE BAE θ+∠+=⋅∠==正方形， 10分记年总收入为y 万元，则102020S S y S =++区域Ⅰ区域Ⅱ区域Ⅲ1020()S S S -+=正方形区域Ⅰ区域Ⅰ2010S S =-正方形区域Ⅰ1sin 12010105(2sin )2θθθθ+=⨯-⨯=+-， 所以5(2cos 1)y θ'=-，令0y '=，则。
江苏省徐州市2018届高三(上)期中数学试卷(解析版)
2017-2018学年江苏省徐州市高三（上）期中数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B=．2．已知复数z满足（1+i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的实部为．3．函数f（x）=2sin（）的周期为．4．已知一组数据：87，x，90，89，93的平均数为90，则该组数据的方差为．5．双曲线的离心率是．6．从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．7．执行如图所示的流程图，则输出的x值为．8．棱长均为2的正四棱锥的体积为．9．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=6，若a1，a3，a7成等比数列，则S8的值为．10．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，P为上的一点，若=2，则的值为．11．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为．12．已知实数x，y满足x2+y2=3，|x|≠|y|，则的最小值为．13．已知点P是圆O：x2+y2=4上的动点，点A（4，0），若直线y=kx+1上总存在点Q，使点Q恰是线段AP的中点，则实数k的取值范围为．14．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣2a，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则实数a的取值范围为．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a+2c=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积．16．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA=SC，AB⊥AC，D为BC的中点，E为AC上一点，且DE∥平面SAB．求证：（1）直线AB∥平面SDE；（2）平面ABC⊥平面SDE．17．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形的一边AB在直径上，点C，D，G，H在圆周上，E，F在边CD上，且，设∠BOC=θ．（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为f（θ），求f（θ）的表达式；（2）怎样设计才能符合园林局的要求？18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），离心率为，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y 轴上的一点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣1，n∈N*．数列{b n}满足nb n+1﹣（n+1）b n=n（n+1），n∈N*，且b1=1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若c n=a n，数列{c n}的前n项和为T n，对任意的n∈N*，都有T n＜nS n ﹣a，求实数a的取值范围；（3）是否存在正整数m，n使b1，a m，b n（n＞1）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的m，n，若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=（ax﹣1）e x（a≠0，e是自然对数的底数）．（1）若函数f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）的极值；（3）设函数f（x）图象上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围．【选做题】请从21.22.23.24选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于B点，过B作圆O的切线交CD于点E，DE=．求证：CA=．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，若直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P（2，6），求实数k的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a＞0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数），若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2（x﹣y﹣1）+≥1．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在三棱锥A﹣BOC中，OA，OB，OC两两垂直，点D，E分别为棱BC，AC的中点，F在棱AO上，且满足OF=，已知OA=OC=4，OB=2．（1）求异面直线AD与OC所成角的余弦值；（2）求二面角C﹣EF﹣D的正弦值．26．某同学在上学路上要经过A、B、C三个带有红绿灯的路口．已知他在A、B、C三个路口遇到红灯的概率依次是、、，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，（2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间．2017-2018学年江苏省徐州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B={2} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】直接运用交集概念求得结果．【解答】解：由集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，所以A∩B={1，2，3}∩{2，4，6}={2}．故答案为{2}．2．已知复数z满足（1+i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的实部为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算化为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求【解答】解：∵（1+i）z=i，∴z====+i，∴复数z的实部为，故答案为：3．函数f（x）=2sin（）的周期为6．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】根据y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，得出结论．【解答】解：函数f（x）=2sin（）的周期为=6，故答案为：6．4．已知一组数据：87，x，90，89，93的平均数为90，则该组数据的方差为4．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据平均数求出x的值，再计算方差的大小．【解答】解：数据：87，x，90，89，93的平均数为90，则=×（87+x+90+89+93）=90，解得x=91，∴该组数据的方差为s2=×[（87﹣90）2+（91﹣90）2+（90﹣90）2+（89﹣90）2+（93﹣90）2]=4．故答案为：4．5．双曲线的离心率是2．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程，算出a=1，b=，可得c==2，再由双曲线的离心率公式，可得答案．【解答】解：∵双曲线中，a2=1且b2=3∴a=1，b=，可得c==2因此双曲线的离心率e==2故答案为：26．从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】所有的取法共有种，而取出的两个球颜色不同的取法有2×3种，由此求得取出的两个球颜色不同的概率．【解答】解：从袋中随机取两个球，所有的取法共有=10种，而取出的两个球颜色不同的取法有2×3=6种，∴取出的两个球颜色不同的概率P==，故答案为：7．执行如图所示的流程图，则输出的x值为4．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当x=0时，不满足x≥8，故x=1，k=1，不满足退出循环的条件；当x=1时，不满足x≥8，故x=2，k=2，不满足退出循环的条件；当x=2时，不满足x≥8，故x=4，k=3，不满足退出循环的条件；当x=4时，不满足x≥8，故x=16，k=4，不满足退出循环的条件；当x=16时，满足x≥8，故x=4，k=5，满足退出循环的条件；故输出的x值为4，故答案为：48．棱长均为2的正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据正四棱锥的结构特征计算棱锥的高，代入体积公式计算体积．【解答】解设正四棱锥的底面中心为O，连结OP，则PO⊥底面ABCD．∵底面四边形ABCD是正方形，AB=2，∴AO=．∴OP==．∴正四棱锥的体积V===．故答案为：．9．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=6，若a1，a3，a7成等比数列，则S8的值为88．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d，由a2=6，a1，a3，a7成等比数列，可得a1+d=6，=a1a7，即，d≠0．解出再利用求和公式即可得出．【解答】解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d，∵a2=6，a1，a3，a7成等比数列，∴a1+d=6，=a1a7，即，d≠0．解得a1=4，d=2．则S8==88．故答案为：88．10．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，P为上的一点，若=2，则的值为2﹣2．【考点】G8：扇形面积公式．【分析】连接BP，AP，设OP交AB于点M，由已知利用平面向量数量积的运算可求∠AOP=60°，进而可求∠POB=30°，可得∠BPO=75°，又∠ABO=45°，可得∠PBA=30°，利用三角形内角和定理可求∠PMB=75°，利用勾股定理可求||，进而利用平面向量数量积的运算即可计算得解．【解答】解：如图，连接BP，AP，设OP交AB于点M，∵半径为2，=||•||cos∠AOP=2×2×cos∠AOP=2，解得cos∠AOP=，可得∠AOP=60°，∴由∠AOB=90°，可得：∠POB=30°，可得：∠BPO=∠PBO=75°，又∵∠ABO=∠BAO=45°，可得：∠PBA=∠PBO﹣∠ABO=75°﹣45°=30°，∴∠PMB=180°﹣∠OPB﹣∠PBA=180°﹣75°﹣30°=75°，∴=||•||•co s∠PMB=2××cos75°=4×cos（45°+30°）=4×=2﹣2．故答案为：2﹣2．11．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x，分析可得g（x）为奇函数且为增函数，对f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2变形分析可得g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），结合g（x）的单调性分析可得2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x，有g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=e﹣x﹣e x=﹣g（x），则g（x）为奇函数，对于g（x）=e x﹣e﹣x，其导数g′（x）=e x+e﹣x＞0，则g（x）为增函数，且g（0）=e0﹣e0=0，f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2⇒f（2x﹣1）﹣1＞﹣f（4﹣x2）+1⇒f（2x﹣1）＞﹣[f （4﹣x2）﹣1]⇒g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），又由函数g（x）为增函数，则有2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0解可得：﹣1＜x＜3，即实数x的取值范围为（﹣1，3）；故答案为：（﹣1，3）．12．已知实数x，y满足x2+y2=3，|x|≠|y|，则的最小值为．【考点】7F：基本不等式．【分析】实数x，y满足x2+y2=3，|x|≠|y|，可得=1，=×=，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=3，|x|≠|y|，∴=1，则=×=≥=，当且仅当|x﹣2y|=2|2x+y|，x2+y2=3，|x|≠|y|，时取等号．即或或．故答案为：．13．已知点P是圆O：x2+y2=4上的动点，点A（4，0），若直线y=kx+1上总存在点Q，使点Q恰是线段AP的中点，则实数k的取值范围为[﹣，0] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设P（2cosθ，2sinθ），把AP的中点坐标代入直线方程得出k=，利用k的几何意义得出k的范围．【解答】解：设P（2cosθ，2sinθ），则AP的中点坐标为Q（cosθ+2，sinθ），∴sinθ=k（cosθ+2）+1，即k=，即k表示单位圆上的点（cosθ，sinθ）与点M（﹣2，1）连线的斜率，设过点M的直线y﹣1=k（x+2）与圆x2+y2=1相切，则=1，解得k=0或k=﹣．∴﹣≤≤0．故答案为：[﹣，0]．14．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣2a，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则实数a的取值范围为[﹣1，0]∪[2，+∞）．【考点】2I：特称命题．【分析】求导可得故当x=0时，函数取极大值﹣2a，分类讨论满足存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0的实数a的取值范围，综合可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣x2﹣2a，∴f′（x）=3x2﹣2x，当x＜0，或x＞时，f′（x）＞0，当0＜x＜时，f′（x）＜0，故当x=0时，函数取极大值﹣2a，若a≤0，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则f（a）=a3﹣a2﹣2a≥0，解得：a∈[﹣1，0]，若a＞0，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则f（0）=﹣2a≥0，或f（a）=a3﹣a2﹣2a≥0，解得：a∈[2，+∞），综上可得：a∈[﹣1，0]∪[2，+∞），故答案为：[﹣1，0]∪[2，+∞）．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a+2c=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式即可求出，（2）由余弦定理求出ac，再根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）因为a+2c=2bcosA，由正弦定理，得sinA+2sinC=2sinBcosA，因为C=π﹣（A+B），所以sinA+2sin（A+B）=2sinBcosA．即以sinA+2sinAcosB+2cosAsinB=2sinBcosA，所以sinA（1+2cosB）=0，因为sinA≠0，所以cosB=﹣，又因为0＜B＜π，所以B=，（2）由余弦定理a2+c2﹣2accosB=b2及b=2得，a2+c2+ac=12，即（a+c）2﹣ac=12，又因为a+c=4，所以ac=4，=acsinB=×4×=．所以S△ABC16．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA=SC，AB⊥AC，D为BC的中点，E为AC上一点，且DE∥平面SAB．求证：（1）直线AB∥平面SDE；（2）平面ABC⊥平面SDE．【考点】LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由线面平行可得DE∥AB，故而AB∥平面SDE；（2）由SE⊥AC，DE⊥AC可得AC⊥平面SDE，故而平面ABC⊥平面SDE．【解答】证明：（1）因为DE∥平面SAB，DE⊂平面ABC，平面SAB∩平面ABC=AB，所以DE∥AB，因为DE⊂平面SDE，AB⊄平面SDE，所以AB∥平面SDE，（2）因为D为BC的中点，DE∥AB，所以E为AC的中点．又因为SA=SC，所以SE⊥AC，又AB⊥AC，DE∥AB，所以DE⊥AC，∵DE⊂平面SDE，SE⊂平面SDE，DE∩SE=E，所以AC⊥平面SDE，因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SDE．17．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形的一边AB在直径上，点C，D，G，H在圆周上，E，F在边CD上，且，设∠BOC=θ．（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为f（θ），求f（θ）的表达式；（2）怎样设计才能符合园林局的要求？【考点】HN：在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）由已知分别用θ表示两个矩形的长和宽，可得f（θ）的表达式；（2）要符合园林局的要求，只要f（θ）最小，求导，利用导数法分析函数的最小值点，可得答案．【解答】解：（1）由题意，AB=2Rcosθ，BC=Rsinθ，且△HOG 为等边三角形，所以，HG=R，GF=R﹣Rsinθ，…f（θ）=S ABCD+S EFGH=2Rcosθ•Rsinθ+R（R﹣Rsinθ），θ∈（0，）…（2）要符合园林局的要求，只要f（θ）最小，由（1）知，f′（θ）=R2（2cos2θ﹣2sin2θ﹣cosθ）=R2（4cos2θ﹣cosθ﹣2），令f′（θ）=0，即4cos2θ﹣cosθ﹣2=0，解得cosθ=或（舍去），…令cosθ0=，θ0∈（0，），当θ∈（0，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是单调减函数，当θ∈（θ0，）时，f′（θ）＞0，f（θ）是单调增函数，所以当θ=θ0时，f（θ）取得最小值．答：当θ满足cosθ=时，符合园林局要求…18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），离心率为，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y 轴上的一点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得：，从而有b2=a2﹣c2=3即可，（2）设直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，利用韦达定理，根据△ABC 是以C为直角顶点的等腰直角三角形，可得k AC•k BC=﹣1，AC=BC，得4+y02=（）2+（y0﹣）2，求出k，即可求直线l的方程．【解答】（1）由题意可得：，从而有b2=a2﹣c2=3，所以椭圆E的标准方程为：…（2）设直线l的方程为y=k（x+2），代入为：，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0因为x=﹣2为该方程的一个根，解得B（，），…设C（x0，y0），由k AC•k BC=﹣1，得：，即：（3+4k2）y02﹣12ky0+（16k2﹣12）=0 ①…由AC=BC，即AC2=BC2，得4+y02=（）2+（y0﹣）2，即4=+（）2﹣，即4（3+4k2）2=（6﹣8k2）2+144k2﹣24（3+4k2）y0…①，所以k=0或y0=，当k=0时，直线l的方程为y=0，当y0=时，代入①得16k4+7k2﹣9=0，解得k=，此时直线l的方程为y=±（x+2）综上，直线l的方程为y=0，y=±（x+2）19．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣1，n∈N*．数列{b n}满足nb n+1﹣（n+1）b n=n（n+1），n∈N*，且b1=1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若c n=a n，数列{c n}的前n项和为T n，对任意的n∈N*，都有T n＜nS n﹣a，求实数a的取值范围；（3）是否存在正整数m，n使b1，a m，b n（n＞1）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的m，n，若不存在，请说明理由．【考点】8B：数列的应用．【分析】（1）根据数列的递推公式可得数列{a n}为首项a1=1，公比q=2的等比数列以以及数列{}为首项b1=1，公差d=1的等差数列，问题得以解决，（2）先根据错位相减法求出T n=（n﹣1）2n+1，再根据任意的n∈N*，都有T n ＜nS n﹣a，可得a≤2n﹣n﹣1恒成立，构造c n=2n﹣n﹣1，可得a≤（c n）min，根据数列的增减性即可求出，（3）假设存在正整数m，n（n＞1），使b1，a m，b n成等差数列，则b1+b n=2a m，即1+n2=2m，分类讨论，即可判断．【解答】解：（1）当n=1时，S1=2a1﹣1=a1，所以a1=1．当n≥2时，S n=2a n﹣1，S n﹣1=2a n﹣1﹣1，两式相减得a n=2a n﹣1，从而数列{a n}为首项a1=1，公比q=2的等比数列，从而数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．﹣（n+1）b n=n（n+1），两边同除以n（n+1），由nb n+1得﹣=1，从而数列{}为首项b1=1，公差d=1的等差数列，所以=n，从而数列{b n}的通项公式为b n=n2，（2）由（1）得c n=a n=n•2n﹣1，于是T n=1×1+2×2+3×22+…+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1，所以2T n=1×21+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，两式相减得﹣T n=1+21+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n×2n，所以T n=（n﹣1）2n+1由（1）得S n=2a n﹣1=2n﹣1，因为任意的n∈N*，都有T n＜nS n﹣a，即（n﹣1）•2n+1≤n（2n﹣1）﹣a恒成立，所以a≤2n﹣n﹣1恒成立，记c n=2n﹣n﹣1，所以a≤（c n）min，因为=2n﹣1＞0，从而数列{c n}为递增数列，所以当n=1时c n取最小值c1=0，于是a≤0（3）假设存在正整数m，n（n＞1），使b1，a m，b n成等差数列，则b1+b n=2a m，即1+n2=2m，若n为偶数，则1+n2为奇数，而2m为偶数，上式不成立．若n为奇数，设n=2k﹣1（k∈N*），则1+n2=1+（2k﹣1）2=4k2﹣4k+2=2m，于是2k2﹣2k+1=2m﹣1，即2（k2﹣k）+1=2m﹣1，当m=1时，k=1，此时n=2k﹣1=1与n＞1矛盾；当m≥2时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立．综上所述，满足条件的实数对（m，n）不存在20．已知函数f（x）=（ax﹣1）e x（a≠0，e是自然对数的底数）．（1）若函数f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）的极值；（3）设函数f（x）图象上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）问题转化为ax﹣1+a≤0在区间[1，2]上恒成立，记g（x）=ax﹣1+a，求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（3）设出切点的坐标，表示出切线方程，求出l在x轴上的截距，根据不等式的性质求出其范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）的导函数f'（x）=（ax﹣1+a）e x，则f'（x）≤0在区间[1，2]上恒成立，且等号不恒成立，又e x＞0，所以ax﹣1+a≤0在区间[1，2]上恒成立，…记g（x）=ax﹣1+a，只需，即，解得…（2）由f'（x）=（ax﹣1+a）e x=0，得，①当a＜0时，有；，所以函数f（x）在单调递增，单调递减，所以函数f（x）在取得极大值，没有极小值．②当a＞0时，有；，所以函数f（x）在单调递减，单调递增，所以函数f（x）在取得极小值，没有极大值．综上可知：当a＜0时，函数f（x）在取得极大值，没有极小值；当a＞0时，函数f（x）在取得极小值，没有极大值．…（3）设切点为T（t，（at﹣1）e t），则曲线在点T处的切线l方程为y﹣（at﹣1）e t=（at﹣1+a）（x﹣t）e t，当时，切线l的方程为，其在x轴上的截距不存在．当时，令y=0，得切线l在x轴上的截距为：====，…当时，，当且仅当，即或时取等号；…当时，，当且仅当，即或时取等号．所以切线l在x轴上的截距范围是…【选做题】请从21.22.23.24选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于B点，过B作圆O的切线交CD于点E，DE=．求证：CA=．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】利用圆的切线与切割线定理可得BE=EC，利用直角三角形的边角关系可得OD=OC，CA=3CB，将CA=3CB代入CD2=CA•CB即可得出．【解答】证明：∵CD是圆O的切线，∴CD2=CA•CB，连接OD，则OD⊥CD，∵BE是圆O的切线，∴BE=ED，又DE=．∴BE=EC，∴∠C=30°，∠CDO=90°．则OD=OC，而OB=OD，∴CB=BO=OD=OA，∴CA=3CB，将CA=3CB代入CD2=CA•CB得CD2=CA•CA．∴CA=．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，若直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P（2，6），求实数k的值．【考点】OF：复合变换与二阶矩阵的乘法．【分析】由矩阵A求出A﹣1，结合直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P（2，6），可得直线y=kx+1过（2，2）点，进而得到答案．【解答】解：∵矩阵A=，得A﹣1=，…∵直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P（2，6），所以A﹣1==，将点（2，2）代入直线y=kx+1得k=…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a＞0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数），若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的直角坐标方程，把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得出关于t的一元二次方程，令方程有解即可得出a的范围．【解答】解：由ρ=2acosθ得ρ2=2aρcosθ，∴圆C的标准方程为x2+y2=2ax，把（t为参数）代入圆的方程可得169t2﹣（14+10a）t+2﹣2a=0，∴△=（14+10a）2﹣4×169×（2﹣2a）≥0，解得：﹣17≤a≤，又a＞0，∴0＜a≤．∴实数a的取值范围为（0，]．[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2（x﹣y﹣1）+≥1．【考点】7F：基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可证明．【解答】证明：因为x＞y＞0，x﹣y＞0，∵2（x﹣y﹣1）+=（x﹣y）+（x﹣y）+﹣2≥3﹣2=3﹣2=1．当且仅当x﹣y=1．∴2（x﹣y﹣1）+≥1．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在三棱锥A﹣BOC中，OA，OB，OC两两垂直，点D，E分别为棱BC，AC的中点，F在棱AO上，且满足OF=，已知OA=OC=4，OB=2．（1）求异面直线AD与OC所成角的余弦值；（2）求二面角C﹣EF﹣D的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，由已知求出所用点的坐标，得到的坐标，由两向量所成角的余弦值可得异面直线AD与OC所成角的余弦值；（2）分别求出平面AOC与平面DEF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C﹣EF﹣D的正弦值．【解答】解：（1）如图，以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x轴、y 轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得：O（0，0，0），A（0，0，4），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），E（0，2，2），F（0，0，1），∴，，于是，，，∴cos＜＞=；（2）平面AOC的一个法向量为．设为平面DEF的一个法向量，又，，则，取z=2，则x=4，y=﹣1，∴为平面DEF的一个法向量，从而cos＜＞=，设二面角C﹣EF﹣D的大小为θ，则|cosθ|=．∵θ∈[0，π]，∴sinθ=．因此二面角C﹣EF﹣D的正弦值为．26．某同学在上学路上要经过A、B、C三个带有红绿灯的路口．已知他在A、B、C三个路口遇到红灯的概率依次是、、，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，（2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CF：几何概型．【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算公式求出对应事件的概率值；（2）由题意得ξ的可能取值，计算ξ的分布列与数学期望即可．【解答】解：（1）设这名同学在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名同学在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P（A）=（1﹣）（1﹣）×=；…（2）记“这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间”为ξ，由题意，可得ξ可能取值为0，40，20，80，60，100，120，140（单位：秒）；…∴即ξ的分布列是：P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=；P（ξ=40）=×（1﹣）×（1﹣）=；P（ξ=20）=（1﹣）××（1﹣）=；P（ξ=80）=（1﹣）×（1﹣）×=；P（ξ=60）=××（1﹣）=；P（ξ=100）=（1﹣）××=；P（ξ=120）=×（1﹣）×=；P（ξ=140）=××=；所以Eξ=40×+20×+80×+60×+100×+120×+140×=．答：这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为．。