高中数学奥赛的技巧(上篇)
高中奥林匹克数学竞赛解题方法
高中奥林匹克数学竞赛解题方法一、代数技巧代数是数学的基础，掌握代数技巧对于解决数学问题至关重要。
以下是一些常用的代数技巧：1、合并同类项：将同类项合并为一个项，可以简化计算过程。
2、提取公因式：将公因式提取出来，可以简化计算过程。
3、完全平方公式和平方差公式：这两个公式在代数中非常常用，可以用来进行化简和展开。
4、分式的约分：将分式约分为最简形式，可以简化计算过程。
5、根式与分数指数幂的互化：将根式转化为分数指数幂，或将分数指数幂转化为根式，可以用来解决一些复杂的问题。
二、几何技巧几何是数学中重要的分支之一，掌握几何技巧对于解决数学问题非常重要。
以下是一些常用的几何技巧：1、三角形的内心、外心和垂心：掌握这些特殊点的性质和作法，可以用来解决一些与三角形相关的问题。
2、圆的标准方程和一般方程：掌握圆的标准方程和一般方程，可以用来解决一些与圆相关的问题。
3、立体几何中的空间向量：通过空间向量的运算，可以用来解决一些立体几何问题。
4、解析几何中的直线、圆和椭圆：掌握直线、圆和椭圆的性质和作法，可以用来解决一些解析几何问题。
三、数据分析数据分析是数学中重要的应用之一，掌握数据分析技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数据分析技巧：1、数据的集中趋势和离散程度：掌握数据的集中趋势和离散程度，可以用来评估数据的分布情况。
2、数据的可视化：通过图表等可视化工具，可以更加直观地展示数据和分析结果。
3、回归分析：通过回归分析，可以找出变量之间的关系，从而对数据进行更加深入的分析。
4、方差分析：通过方差分析，可以检验多个样本之间是否存在显著性差异。
5、时间序列分析：通过时间序列分析，可以预测未来一段时间内的数据变化趋势。
四、数学建模数学建模是数学中重要的应用之一，掌握数学建模技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数学建模技巧：1、建立数学模型：根据实际问题建立相应的数学模型，可以是方程、不等式、图形等。
数学奥数竞赛技巧(专业水平)
数学奥数竞赛技巧（专业水平）数学奥数竞赛是一个精彩且具有挑战性的比赛，要在这个竞争激烈的领域中取得成功，需要一些专业水平的技巧。
本文将向读者介绍一些在数学奥数竞赛中常用的技巧和方法，以帮助读者在比赛中取得理想的成绩。
一、掌握基础知识在参加数学奥数竞赛之前，一个人首先要确保自己已经掌握了必要的基础知识。
这包括数学的各个分支，如代数、几何、概率与统计等。
熟练掌握基础知识可以为解题提供良好的基础，使得解题的过程更加得心应手。
二、扩展数学思维在解决奥数竞赛问题的过程中，创造性思维是非常重要的。
除了基础知识，还要培养自己的数学思维能力，灵活运用数学原理，探索问题背后的本质。
这种扩展数学思维的能力可以通过做更多的练习题和参加奥数竞赛的模拟考试来逐渐培养和提升。
三、高效解题技巧在奥数竞赛中，时间是一项宝贵的资源，所以高效解题技巧是至关重要的。
以下是一些解题技巧的示例：1. 读题仔细：在开始解题之前，要仔细读题并理解题意。
理解题目的关键条件和要求，有助于找到解题的思路和方法。
2. 寻找规律：问题的解决往往隐藏在数字和符号背后的规律中。
通过观察、列举和整理数据，可以发现问题中的规律，从而更快地找到解决方法。
3. 划分步骤：对于复杂的问题，可以将整个问题划分为几个步骤来解决。
逐步分解问题，从简单到复杂地解决每个步骤，最终得出整个问题的解答。
4. 利用已知条件：题目通常会提供一些已知条件，利用这些已知条件是解题的关键。
将已知条件与问题要求进行对比，寻找它们之间的联系和关联，这可以为解题提供有价值的线索。
四、合理备战参加数学奥数竞赛需要充分备战。
以下是一些备战的建议：1. 练习题目：通过做大量的数学题目来提升自己的解题能力。
可以选择一些经典的奥数竞赛题目进行练习，熟悉解题思路和方法。
2. 参加竞赛模拟考试：参加竞赛模拟考试能够帮助评估自己的解题能力和时间管理能力。
通过模拟考试，可以找出自己的短板，并加以改进。
3. 学习他人经验：可以向已经取得优异成绩的选手请教，学习他们的解题思路和备考经验。
浅谈高中数学竞赛解题技巧
浅谈高中数学竞赛解题技巧高中数学竞赛解题技巧数学竞赛是一项对学生数学能力的全面考察，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要途径。
在高中数学竞赛中，解题技巧是非常重要的，下面将浅谈一些高中数学竞赛解题技巧。
一、建立数学思维模型在解题过程中，建立数学思维模型是非常重要的一步。
通过抽象、归纳和推理等思维方式，将实际问题转化为数学问题，从而更好地理解和解决问题。
建立数学思维模型需要学生具备扎实的数学基础和良好的逻辑思维能力。
二、掌握基本概念和定理高中数学竞赛中，往往会涉及到一些基本概念和定理。
掌握这些基本概念和定理，能够帮助学生更好地理解和解决问题。
在备战竞赛时，学生应该加强对基本概念和定理的学习和理解，掌握它们的证明过程，灵活运用于解题过程中。
三、灵活应用解题方法在高中数学竞赛中，解题方法的灵活应用非常重要。
学生应该熟悉各种解题方法，如逆向思维、分类讨论、猜测与检验等，根据题目的特点和要求，选择合适的解题方法。
同时，学生还应该注重解题过程中的思路和方法的合理性，避免盲目猜测和试错。
四、注意问题的拓展和推广高中数学竞赛中，有些问题可能需要学生进行问题的拓展和推广。
学生在解题过程中，应该善于发现问题的内在联系和规律，通过拓展和推广，进一步深入理解和解决问题。
拓展和推广问题不仅能够提高学生的思维能力，还能够培养学生的创新意识和解决实际问题的能力。
五、注重解题过程的严谨性在高中数学竞赛中，解题过程的严谨性是非常重要的。
学生在解题过程中，应该注意证明过程的完整性和逻辑性，避免出现推理错误和疏漏。
同时，学生还应该注重解题结果的合理性和可行性，对结果进行检验和讨论，确保解题过程的正确性。
六、培养解题的速度和准确性高中数学竞赛中，解题的速度和准确性是考察学生数学能力的重要指标。
学生在备战竞赛时，应该注重解题速度的训练，提高解题的效率和准确性。
通过大量的练习和模拟考试，培养学生的解题能力，提高应对竞赛的能力。
总之，高中数学竞赛解题技巧是学生备战竞赛的关键。
数学奥赛训练与解题技巧
数学奥赛训练与解题技巧数学奥赛是许多学生争相参加的一项重要活动。
通过数学奥赛的训练，可以提高学生的数学水平和解题能力。
本文将介绍数学奥赛的训练方法和一些解题技巧，帮助读者更好地准备数学奥赛。
第一部分：数学奥赛训练方法1. 增加解题速度数学奥赛通常有时间限制，因此提高解题速度是十分重要的。
为了增加解题速度，学生可以多做一些习题，例如刷题或者参加数学竞赛。
刷题可以帮助学生熟悉各类题型，并掌握解题思路。
参加数学竞赛则可以提供一种模拟考试的环境，让学生适应有限的时间来解决问题。
2. 提高数学基础数学奥赛的题目往往涉及到高深的数学知识。
为了提高数学基础，学生需要加强对基础概念的掌握。
可以通过学习数学教材、参加数学班级或找到优秀的数学老师进行辅导来加强数学基础的学习。
3. 学会分析问题解决数学问题的第一步是正确地分析问题。
学生在训练中要注重思考问题的关键点和难点，以便能够合理地制定解题思路。
通过分析问题，学生可以更加清楚地理解题目的要求，从而更好地解决问题。
第二部分：数学奥赛解题技巧1. 学会做简化数学奥赛的题目有时会提供大量冗余信息，需要学生学会简化问题，找到问题的本质。
通过去掉无关信息，学生能够更快速地找到问题的解决方法。
2. 掌握解题模式数学奥赛的题目往往有一定的解题模式。
学生在训练中要积累和总结不同类型问题的解决方法，形成自己的解题模式库。
通过掌握解题模式，学生能更好地应对各类题目。
3. 多角度思考解题时，学生可以从不同的角度思考问题，寻找不同的解决路径。
有时，多角度的思考能够帮助学生发现题目中的规律或者突破口。
4. 注重细节和符号运算数学奥赛的题目通常有许多细节问题需要注意，比如符号运算和计算过程。
学生在解题过程中要注意书写规范，并且细心处理每一步的计算，以防出现低级错误。
第三部分：总结和展望数学奥赛的训练和解题是一个循序渐进的过程。
学生需通过不断的练习和总结，提高自己的数学水平和解题能力。
同时，数学奥赛也需要学生培养良好的心态，保持自信和冷静，以应对竞赛中的各种挑战。
高中数学竞赛技巧与策略
高中数学竞赛技巧与策略引言高中数学竞赛是对学生数学能力的一种全面考核，并锻炼了学生的思维能力和解决问题的能力。
然而，竞赛题目的复杂性和时间限制常常让学生感到压力。
因此，掌握一些数学竞赛的技巧和策略不仅能够提高竞赛成绩，还可以增强解题的信心和效率。
本文将分享一些高中数学竞赛的技巧和策略，帮助学生在考试中取得更好的成绩。
1. 熟悉考试规则和题型在参加数学竞赛之前，了解考试规则和题型是非常重要的。
不同的竞赛可能有不同的考试规则和题型，例如常见的填空题、选择题和解答题等。
了解这些规则和题型可以帮助学生更好地准备考试，避免在考试中因为不熟悉规则而浪费时间。
2. 学会快速解题在数学竞赛中，时间是非常宝贵的。
学会快速解题是提高竞赛成绩的关键之一。
为了做到这一点，学生应该经常练习做题，并尝试使用一些运算技巧和简化方法来加快解题速度。
例如，学生可以尝试使用逆向思维、近似计算、特殊取值等方法来简化问题，以达到更快解题的目的。
3. 制定合理的解题计划在竞赛中制定一个合理的解题计划是非常重要的。
学生应该在开始做题之前花一些时间仔细阅读题目，并分析每道题目的难度和解题方法。
根据自己的实际情况，选择从易到难或者从难到易的顺序进行解答，并合理安排时间。
这样可以确保在限时内完成更多的题目，并提高解题效率。
4. 学会转化题目有时候，数学竞赛的题目可能有些拗口或者难以理解。
在这种情况下，学生应该学会转化题目，从不同的角度去看待问题，寻找解决问题的思路。
例如，可以尝试将几何题目转化成代数题目，或者将复杂的计数问题转化为简单的排列组合问题等等。
这种转化思维可以帮助学生更好地理解题目并找到解决问题的方法。
5. 多做一些经典题目经典题目是数学竞赛中常见的一种题目类型。
多做一些经典题目可以帮助学生熟悉题目的出题思路和解题方法，并锻炼自己的解题能力和思维方式。
学生可以通过习题集、网上资料或者请教老师等途径，选择一些经典题目进行练习。
同时，学生还可以参加一些模拟竞赛或者训练营等活动，获得更多的解题经验和技巧。
高三数学竞赛经验分享
高三数学竞赛经验分享在高三数学竞赛中取得好成绩并非易事，需要付出大量的努力和准备。
在我参加数学竞赛的过程中，我积累了一些经验，希望和大家分享。
以下是我在高三数学竞赛中的经验总结。
一、备战策略1.了解竞赛规则：在备战之前，首先要了解竞赛的具体规则。
了解比赛形式、考试的内容和时间安排，有助于我们在备战过程中有针对性地进行复习和练习。
2.合理规划时间：合理规划时间是备战的关键。
我们要将时间分配给各个知识点，合理安排每天的学习任务。
同时，要避免拖延症，及时开始准备，不断提高效率。
3.选择适合的学习资料：在备战过程中，选择适合自己的学习资料非常重要。
可以借鉴以往的题目、优秀的参考书和题解，还可以参加相关的培训或辅导班，提高自己的水平。
4.创设竞赛考场氛围：在备战过程中，创设一个竞赛考场的氛围非常有助于我们提高临场发挥。
可以尝试模拟考试环境，适应比赛紧张的情况。
5.合理安排休息时间：备战过程中，合理安排休息时间非常重要。
适当运动，放松身心，不要让学习压力过大，保持良好的心态，对备战和竞赛更有助益。
二、题目分解解析在进行数学竞赛时，拆解题目是非常必要的。
一道较难的数学题目往往可以通过拆分、归纳和分析来解决。
1.理清题意：在做题之前，先要仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
分析题目中的关键信息，确定所给条件和需要求解的是什么。
2.拆解问题：将一个复杂的问题拆解成几个简单的子问题，逐步解决。
这样可以降低解题难度，并增加解题的可行性。
3.归纳总结：在解决子问题的过程中，总结规律，归纳出一般性的结论。
这有助于我们在类似题目中迅速找到解题思路。
4.细致分析：在进行题目分析时，要考虑各种可能性和特殊情况。
多角度思考问题，寻找不同的解决方法，提高解决问题的灵活性。
5.举一反三：在解决一个问题后，要尝试将问题推广到更一般的情况下，举一反三。
这样可以拓宽思维，培养问题解决的能力。
三、临场发挥1.保持冷静：在竞赛过程中，保持冷静是非常重要的。
高二数学学科竞赛题型解析与解题技巧
高二数学学科竞赛题型解析与解题技巧在高中数学学科竞赛中，掌握题型解析与解题技巧对于取得好成绩至关重要。
本文从竞赛的角度出发，对高二数学学科竞赛常见的题型进行了解析，并分享了一些解题技巧。
一、选择题选择题在数学竞赛中占据重要地位，因为它考察的是对知识点的掌握和应用能力。
解答选择题时，应注意以下几点。
1. 仔细审题。
选择题通常会给出多个选项，正确答案可能隐藏在错综复杂的选项中。
应仔细阅读题目，理解题意，避免因为粗心而选择错误。
2. 多做练习。
通过多做选择题，可以熟悉不同类型的题目和常见的陷阱选项，提高自己的解题能力。
同时，做完题目后要仔细分析解答过程，找出解题的规律和技巧。
3. 排除法。
当不确定一个选项是否正确时，可以使用排除法。
将明显错误的选项排除，可以提高正确答案的概率。
二、解答题解答题是数学竞赛中较难的题型，常常需要一定的推理和证明能力。
解答题的解题技巧如下。
1. 切忌死记硬背。
解答题不是简单的机械运算，而是应用知识解决问题。
要注重对知识点的理解和掌握，灵活运用。
2. 系统性思考。
在解答题时，要采用系统性思维，构建解题思路和证明过程。
可以使用逻辑推理、归纳法等方法，清晰地展示解题过程。
3. 注意图形和文字的结合。
某些解答题可能会给出图形和文字描述，要善于将二者结合起来进行分析，理解题目的要求和限制条件。
三、证明题证明题是数学竞赛中最具挑战性的题型之一，需要运用严谨的数学推理和逻辑思维。
解答证明题时，可以采用以下方法。
1. 根据已知条件展开证明。
在解答证明题时，可以先根据已知条件进行一定的推导和分析，寻找证明的思路和方向。
2. 使用归纳法或反证法。
归纳法和反证法是数学证明中常用的方法。
根据题目的特点，灵活选择合适的证明方法，推导出结论。
3. 注意严谨性。
在证明过程中，要注意每一步的逻辑严谨性，层层递进，避免出现漏洞或错误。
四、解决难题在数学竞赛中，难题常常是考察学生的思维能力和解题技巧的重要环节。
高中数学联赛常用的解题方法与技巧
引言
构造法
反证法
数学归纳法
课外思考一 课外思考二课外思考三
1
高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
有固定求解模式的问题不属于竞赛中的数学，通 常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数 学基础知识去进行探索与尝试、 选择与组合。 这当中， 经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证 法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原 理……） ，同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味 的奥林匹克技巧。有人说： “竞赛的技巧不是低层次 的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学 技巧的技巧， 又是创造数学技巧的技巧， 更确切点说， 这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平 的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。 ”
17
构造一个隔板模型,取 18 个相同的小球排成一列,用 9 块隔板将 18 个小球分隔成 10 个空间,第 i (1 ≤ i ≤ 10) 个空 间的小球对应第 i 个班级的学生的名额,因此,名额分配方 案的种数与隔板的插入数相等.
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课外思考二: 构造 f ( x) ax 2 bx c 1.设 abc 是十进制中的素数,求证: b2 4ac 不是完全平方数 2.( 第 19 届 IMO 试题(1977 年))在一个有限的实数列中,任意 7 个连续项之和都是负数,而任意 11 个连续项之和都是正数 试问:这样的数列最多有多少项?
构造一次函数 f ( x ) (b c ) x bc 1
还有没有其他方法
5
思考 4: 1 1 1 4 2 已知 2 3 0, n n 3 且 n2 , m m m 4 2 mn n 3 构造一元二次方程 . 求 的值. 2 m 思考 5: 已 知 x , y , z 为正数 且 xyz( x y z ) 1 , 求表达 式 ( x y )( y z ) 的最小值. 构造三角形的面积.
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奥林匹克数学的技巧（上篇）有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。
这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。
在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。
”奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。
2-7-1 构造它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。
常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。
例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。
证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤⨯=…考虑154个数：12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,?,又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。
这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。
例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。
解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，则其面积为1∆= 另方面2()()2sin x y y z ab C∆++==≥ 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+()y x y z xz ++=时，()()x y y z ++取最小值2，如1,1x z y ===时，()()2x y y z ++=。
2-7-2 映射它的基本形式是RMI 原理。
令R 表示一组原像的关系结构（或原像系统），其中包含着待确定的原像x ，令M 表示一种映射，通过它的作用把原像结构R 被映成映象关系结构R*，其中自然包含着未知原像x 的映象*x 。
如果有办法把*x 确定下来，则通过反演即逆映射1I M -=也就相应地把x 确定下来。
取对数计算、换元、引进坐标系、设计数学模型，构造发生函数等都体现了这种原理。
建立对应来解题，也属于这一技巧。
例2-129 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为 。
解 设甲、乙两队的队员按出场顺序分别为A 1，A 2，…，A 7和B 1，B 2，…B 7。
如果甲方获胜，设i A 获胜的场数是i x ，则07,17i x i ≤≤≤≤而且 1277x x x +++=… （*）容易证明以下两点：在甲方获生时，（i ）不同的比赛过程对应着方程（*）的不同非负整数解；（ii ）方程（*）的不同非负整数解对应着不同的比赛过程，例如，解（2，0，0，1，3，1，0）对应的比赛过程为：A 1胜B 1和B 2，B 3胜A 1，A 2和A 3，A 4胜B 3后负于B 4，A 5胜B 4，B 5和B 6但负于B 7，最后A 6胜B 7结束比赛。
故甲方获胜的不同的比赛过程总数是方程（*）的非负整数解的个数713C 。
解二 建立下面的对应；集合{}127,,A A A …,的任一个7-可重组合对应着一个比赛过程，且这种对应也是一个一一对应。
例如前述的比赛过程对应的7-可重组合是{}123456,,,,,A A A A A A 所以甲方获胜的不同的比赛过程的总数就是集合{}127,,A A A …,的7-可重组合的个数7777113C C +-=。
例2-130 设()n p k 表示n 个元素中有k 个不动点的所有排列的种数。
求证0()!nnk kp k n ==∑ 证明 设{}12,,,n S a a a =…。
对S 的每个排列，将它对应向量12(,,)n e e e …,，其中每个{}0,1i e ∈，当排列中第i 个元素不动时，1i e =，否则为0。
于是()n p k 中所计数的任一排列所对应的向量都恰有k 个分量为1，所以!n 个排列所对应的那些向量中取值为1的分量的总数为1()nnk kp k =∑。
另一方面，对于每个i ，1i n ≤≤，使得第i 个元素不动的排列共有(1)!n -个，从而相应的n 维向量中，有(1)!n -个向量的第i 个分量为1。
所以，所有向量的取值为1的分量总数(1)!!n n n -=，从而得到1()!nn k kp k n ==∑例2-131 在圆周上给定21(3)n n -≥个点，从中任选n 个点染成黑色。
试证一定存在两个黑点，使得以它们为端点的两条弧之一的内部，恰好含有n 个给定的点。
证明 若不然，从圆周上任何一个黑点出发，沿任何方向的第1n -个点都是白点，因而，对于每一个黑点，都可得到两个相应的白点。
这就定义了一个由所有黑点到白点的对应，因为每个黑点对应于两个白点，故共有2n 个白点（包括重复计数）。
又因每个白点至多是两个黑点的对应点，故至少有n 个不同的白点，这与共有21n -个点矛盾，故知命题成立。
2-7-3 递推如果前一件事与后一件事存在确定的关系，那么，就可以从某一（几）个初始条件出发逐步递推，得到任一时刻的结果，用递推的方法解题，与数学归纳法（但不用预知结论），无穷递降法相联系，关键是找出前号命题与后号命题之间的递推关系。
用递推的方法计数时要抓好三个环节：（1）设某一过程为数列()f n ，求出初始值(1),(2)f f 等，取值的个数由第二步递推的需要决定。
（2）找出()f n 与(1)f n -，(2)f n -等之间的递推关系，即建立函数方程。
（3）解函数方程例2-132 整数1，2，…，n 的排列满足：每个数大于它之前的所有的数或者小于它之前的所有的数。
试问有多少个这样的排列？解 通过建立递推关系来计算。
设所求的个数为n a ，则11a =（1）对1n >，如果n 排在第i 位，则它之后的n i -个数完全确定，只能是,1,n i n i --- (2)1。
而它之前的1i -个数，1,2,n i n i -+-+…,1n -，有1i a -种排法，令1,2,i =…,n 得递推关系。
1211211111(1)2n n n n n n n n a a a a a a a a a a -------=++++=++++=+= (2)由（1），（2）得 12n n a -=例2-133 设n 是正整数，n A 表示用2×1矩形覆盖2n ⨯的方法数；n B 表示由1和2组成的各项和为n 的数列的个数；且02421221352112321, 2, 21m m m m m n m m m m m C C C C n m C C C C C n m +++++++⎧++++=⎪=⎨++++=+⎪⎩……，证明n n n A B C == 证明 由,n n A B 的定义，容易得到 1112,1,2n n n A A A A A +-=+== 1112,1,2n n n B B B B B +-=+==又因为121,2C C ==，且当2n m =时，0242221352113112212122112m m m n n m m m m m m m m m m m C C C C C C C C C C C C C ---++-++-+++=++++++++++=+……5212132211m m m m m n C C C C -++++++++=…类似地可证在21n m =+时也有11n n n C C C -++=，从而{}{},n n A B 和{}n C 有相同的递推关系和相同的初始条件，所以n n n A B C ==。
223296,IMO IMO --用无穷递降法求解也用到了这一技巧。
2-7-4 区分当“数学黑箱”过于复杂时，可以分割为若干个小黑箱逐一破译，即把具有共同性质的部分分为一类，形成数学上很有特色的方法——区分情况或分类，不会正确地分类就谈不上掌握数学。
有时候，也可以把一个问题分阶段排成一些小目标系列，使得一旦证明了前面的情况，便可用来证明后面的情况，称为爬坡式程序。
比如，解柯西函数方程就是将整数的情况归结为自然数的情况来解决，再将有理数的情况归结为整数的情况来解决，最后是实数的情况归结为有理数的情况来解决。
142IMO -的处理也体现了爬坡式的推理（例2-47）。
区分情况不仅分化了问题的难度，而且分类标准本身又附加了一个已知条件，所以，每一类子问题的解决都大大降低了难度。
例2-134 设凸四边形ABCD 的面积为1，求证在它的边上（包括顶点）或内部可以找出4个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的4个三角形的面积均大于1/4。
证明 作二级分类1．当四边形ABCD 为平行四边形时，1124ABC ABD ACD BCD S S S S ∆∆∆∆====> A ，B ，C ，D 即为所求，命题成立。
2．当四边形ABCD 不是平行四边形时，则至少有一组对边不平行，设AD 与BC 不平行，且直线AD 与直线BC 相交于E ，又设D 到AB 的距离不超过C 到AB 的距离，过D 作AB 的平行线交BC 于F ，然后分两种情况讨论。
（1）如图2-52，12DF AB ≤，此时可作△EAB 的中位线PQ 、QG ，则 111222AGQP EAB ABCD S S S =>=Y V 即A 、G 、Q 、P 为所求。
（2）如图2-53，12DF AB >，此时可在CD 与CF 上分别取P 、Q ，使12PQ AB =。