高中数学经典的解题技巧和方法等差数列、等比数列
等差数列与等比数列的应用技巧
等差数列与等比数列的应用技巧数列作为数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
其中，等差数列和等比数列是最为常见和常用的两种数列。
本文将介绍等差数列和等比数列的应用技巧，以帮助读者更好地理解和运用这两种数列。
一、等差数列的应用技巧等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的一种数列。
以下是等差数列的几个应用技巧。
1. 求等差数列的和求等差数列的和是等差数列应用中的一个重要问题。
对于一个已知的等差数列，我们可以通过计算首项和末项之和乘以项数的一半来求得等差数列的和。
具体而言，如果等差数列的首项为a，公差为d，共有n项，那么等差数列的和Sn可以表示为：Sn = (a + an) * n / 22. 判断某个数是否是等差数列的一项当我们已知一个数列是等差数列，且知道了首项和公差，就可以利用等差数列的特点来判断某个数是否是该等差数列的一项。
如果某个数等于首项加上公差乘以一个自然数减一，那么它就是等差数列的一项。
3. 求等差数列的第n项已知一个等差数列的首项a和公差d，我们可以通过等差数列的通项公式来求解等差数列的第n项。
等差数列的通项公式为：an = a + (n - 1) * d二、等比数列的应用技巧等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的一种数列。
以下是等比数列的几个应用技巧。
1. 求等比数列的和求等比数列的和同样是等比数列应用中的一个重要问题。
对于一个已知的等比数列，我们可以通过公差小于1的等比数列求和公式来求得等比数列的和。
具体而言，如果等比数列的首项为a，公比为r，共有n项且r不等于1，那么等比数列的和Sn可以表示为：Sn = (a * (1 - r^n)) / (1 - r)2. 判断某个数是否是等比数列的一项当我们已知一个数列是等比数列，且知道了首项和公比，就可以利用等比数列的特点来判断某个数是否是该等比数列的一项。
如果某个数等于首项乘以公比的自然数次幂，那么它就是等比数列的一项。
3. 求等比数列的第n项已知一个等比数列的首项a和公比r，我们可以通过等比数列的通项公式来求解等比数列的第n项。
【数学】等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法
等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d m n --=3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或ba A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S n 是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A、B是常数）。
6、等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．7、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
数学中的等差数列与等比数列公式整理与推导
数学中的等差数列与等比数列公式整理与推导在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。
它们在数学、科学和日常生活中都有重要的应用。
本文将对这两种数列的公式进行整理和推导。
一、等差数列等差数列是一种数列，其中相邻两项之差保持恒定。
设首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d（1）其中，a₁为首项，n为项数，d为公差。
为了更好地理解等差数列的公式，我们可以通过一个例子进行推导。
假设我们有一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14, ...，其中首项a₁=2，公差d=3。
我们可以按照公式（1）计算第5项的值：a₅ = a₁ + (5-1)d= 2 + 4 × 3= 2 + 12= 14因此，这个等差数列的第5项为14。
二、等比数列等比数列是一种数列，其中相邻两项之比保持恒定。
设首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ × r^(n-1)（2）其中，a₁为首项，n为项数，r为公比。
同样，我们通过一个例子来推导等比数列的公式。
假设我们有一个等比数列：2, 4, 8, 16, 32, ...，其中首项a₁=2，公比r=2。
按照公式（2），我们可以计算第5项的值：a₅ = a₁ × r^(5-1)= 2 × 2^4= 2 × 16= 32因此，这个等比数列的第5项为32。
三、等差数列的公式整理与推导在前面的讨论中，我们已经给出了等差数列的通项公式，即公式（1）。
现在，我们来推导这个公式的正确性。
设等差数列的首项为a₁，公差为d。
我们知道第n项aₙ与前一项aₙ₋₁之间的关系是：aₙ = aₙ₋₁ + d（3）我们使用数学归纳法来证明等差数列的通项公式。
（1）初始条件：当n=1时，等式（3）成立，即a₁=a₁+0，初始条件满足。
（2）归纳假设：假设当n=k时等式（3）成立，即aₙ=aₙ₋₁+d。
高中数学数列题型及解题方法
高中数学数列题型及解题方法高中数学中，数列是一个非常重要的概念。
对于数列题型的掌握和解题方法的运用，对于学生在数学学习中起到至关重要的作用。
常见的数列题型包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
下面将介绍这几种数列的定义和解题方法。
1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
常见的解题方法有：- 求通项公式：通过已知条件求出公差d和首项a1，然后利用通项公式an=a1+(n-1)d来求解。
- 求和公式：通过已知条件求出公差d、首项a1和项数n，然后利用求和公式Sn=n/2(a1+an)来求解。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
常见的解题方法有：- 求通项公式：通过已知条件求出公比r和首项a1，然后利用通项公式an=a1*r^(n-1)来求解。
- 求和公式：通过已知条件求出公比r、首项a1和项数n，然后利用求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来求解。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
常见的解题方法有：- 递推公式：利用递推关系an=an-1+an-2来计算斐波那契数列的每一项。
- 通项公式：通过特征方程x^2=x+1，求出两个根φ和1-φ，然后利用通项公式an=Aφ^n+B(1-φ)^n来求解，其中A和B为常数，通过已知条件求解得出。
在解题过程中，可以根据已知条件，选择合适的方法来求解数列问题。
同时，还需要注意理解数列的性质，例如等差数列的公差为常数，等比数列的公比为常数等。
通过对不同类型数列的学习和练习，可以提高对数列问题的理解和解题能力。
高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐
数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
高中数学经典解题技巧和方法：(等差数列、等比数列)
高中数学经典的解题技巧和方法（等差数列、等比数列）【编者按】等差数列、等比数列是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。
因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。
好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下等差数列、等比数列的经典解题技巧。
首先，解答等差数列、等比数列这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。
（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。
2．等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念。
（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式。
好了，搞清楚了等差数列、等比数列的上述内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。
一、有关等差数列的基本问题考情聚焦：1．等差数列作为高考中数学的重点内容，在历年高考中都有所考查。
2．该类问题一般独立命题，考查等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项公式，有时与函数的单调性、不等式知识结合在一起命题。
3．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。
解题技巧：1．涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题；2．等差数列前n 项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题；有时利用数列的单调性（d ＞0,递增；d ＜0，递减）；3．证明数列{n a }为等差数列有如下方法：①定义法；证明1n n a a d +-=（与n 值无关的常数）；②等差中项法：证明112(2,)n n n a a a n n N *-+=+≥∈。
例1：（2010·浙江高考文科·Ｔ19）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足56S S +15=0。
高中数学数列与应用的解题技巧
高中数学数列与应用的解题技巧数列是高中数学中的重要内容之一，也是数学应用题中常见的考点。
掌握数列的解题技巧对于高中学生来说至关重要。
本文将以常见的数列类型为例，介绍一些解题技巧，帮助读者更好地理解和应用数列知识。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
在解等差数列的应用题时，首先要找到数列的通项公式，即an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
例如，有一个等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
根据通项公式，我们可以得到a10 = 3 + (10-1)2 = 21。
因此，第10项的值为21。
在解决等差数列应用题时，我们可以通过观察数列的规律，找到数列的通项公式。
如果给定数列的前几项或后几项，可以通过列方程求解未知数，进而确定数列的通项公式。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
在解等比数列的应用题时，我们需要找到数列的通项公式，即an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
例如，有一个等比数列的首项为2，公比为3，求第5项的值。
根据通项公式，我们可以得到a5 = 2 * 3^(5-1) = 162。
因此，第5项的值为162。
在解决等比数列应用题时，我们可以通过观察数列的规律，找到数列的通项公式。
如果给定数列的前几项或后几项，可以通过列方程求解未知数，进而确定数列的通项公式。
三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中a1和a2为已知项。
例如，斐波那契数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5，求第6项的值。
根据通项公式，我们可以得到a6 = a5 + a4 = 5 + 3 = 8。
因此，第6项的值为8。
在解决斐波那契数列应用题时，我们可以通过观察数列的规律，找到数列的通项公式。
如果给定数列的前几项，可以通过列方程求解未知数，进而确定数列的通项公式。
高中数学数列方法及技巧
高中数学数列方法及技巧1高中数学数列方法和技巧一.公式法如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式.注意等比数列公示q的取值要分q=1和q≠1.二.倒序相加法如果一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.三.错位相减法如果一个数列的各项和是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.四.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.用裂项相消法求和时应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也可能前面剩两项,后面也剩两项,前后剩余项是对称出现的.五.分组求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和然后相加减.2高中数学数列问题的答题技巧高中数列，有规律可循的类型无非就是两者，等差数列和等比数列，这两者的题目还是比较简单的，要把公式牢记住，求和，求项也都是比较简单的，公式的运用要熟悉。
题目常常不会如此简单容易，稍微加难一点的题目就是等差和等比数列的一些组合题，这里要采用的一些方法有错位相消法。
题目变化多端，往往出现的压轴题都是一些从来没有接触过的一些通项，有些甚至连通项也不给。
针对这两类，我认为应该积累以下的一些方法。
对于求和一类的题目，可以用柯西不等式，转化为等比数列再求和，分母的放缩，数学归纳法，转化为函数等方法等方法对于求通项一类的题目，可以采用先代入求值找规律，再数学归纳法验证，或是用累加法，累乘法都可以。
总之，每次碰到一道陌生的数列题，要进行总结，得出该类的解题方法，或者从中学会一种放缩方法，这对于以后很有帮助。
3高考数学解题方法解题过程要规范高考数学计算题要保证既对且全，全而规范。
应为高考数学计算题表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学试卷非智力因素失分的一大方面。
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高中数学经典的解题技巧和方法（等差数列、等比数列）跟踪训练题一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分） 1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1，a 3=3，则S 4=( ) (A)12(B)10(C)8(D)62.设数列{x n }满足log 2x n+1=1+log 2x n ,且x 1+x 2+x 3+…+x 10=10,则x 11+x 12+x 13+…+x 20的值为( ) (A)10×211 (B)10×210 (C)11×211(D)11×2103.已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) (A)25(B)50(C)100(D)不存在4.已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。
若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差中项为54，则5S =( )A ．35 B.33 C.31 D.29 5. 设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是( ) A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=-C 、2Y XZ =D 、()()Y Y X X Z X -=-6.（2010·潍坊模拟）已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，且有S 9<S 8=S 7，则下列说法不正确的是（ ）A ．S 9<S 10B ．d<0C ．S 7与S 8均为S n 的最大值D ．a 8=0二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）7.将正偶数划分为数组：（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，则第n 组各数的和是 .（用含n 的式子表示）8.已知数列{a n }满足:a 4n-3=1,a 4n-1=0,a 2n =a n ,n ∈N *,则a 2 009=_______;a 2 014=_______.9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=15,S 5=55,则过点P(3,a 3),Q(10,a 10)的直线的斜率为_______.三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）10.数列{}n a 的通项()()10111nn a n n N *⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由11.在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ,S m+2,S m+1成等差数列，则a m ,a m+2,a m+1成等差数列. （1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真？并给出证明. 12.已知数列}{n a 中，前n 项和为nS ，51=a ，并且2122++++=n n n n a S S （+∈N n ），（1）求2a ，3a 的值；（2）设n n n a b 2λ+=，若实数λ使得数列}{n b 为等差数列，求λ的值。
（3）在（2）的条件下，设数列}1{1+⋅n n b b 的前n 项和为n T ，求证：51<n T 参考答案一、选择题1. 【解析】选C.S 4==2×(1+3)=8.2. 【解析】选B.∵log 2x n+1-log 2x n =1,∴{x n }为等比数列，其公比q=2,又∵x 1+x 2+…+x 10=10,∴x 11+x 12+…+x 20=q 10(x 1+x 2+…+x 10)=210×10.3. 【解析】选A.∵S 20=×20=100,∴a 1+a 20=10,∵a 1+a 20=a 7+a 14,∴a 7+a 14=10. ∵a n >0,∴a 7·a 14≤()2=25.4. 【解析】选 C由2311414222a a a a a a a ⋅=⇒⋅=⇒=，又475224a a +=⨯得 714a =所以，37411428a q a ===，∴ 12q =，41321618a a q ===， 55116[1()]231112S -==-5. 【解析】选 D ，设等比数列{}n a 的公比为q (0)q ≠，由题意，12nX a a a =+++L12122n n n nY a a a a a a ++=+++++++L L1212221223n n n n n n nZ a a a a a a a a a ++++=+++++++++++L L L∴Y X qX -=，Z Xq Y -=，所以()()Y Y X X Z X -=-，故D 正确。
6. 【解析】选A 由题意知d<0，a 8=0，所以10981091090..a a a S S a S <<=∴=+<二、填空题7. 【解析】前1n -组共有偶数的个数为(1)123(1).2n n n -++++-=L 故第n 组共有n 个偶数，且第一个偶数是正偶数数列{}2n 的第2(1)(1)12[1]222n n n n n n --+⨯+=-+项，即，所以第n 组各数的和为23(1)(2)2.2n n n n n n n --++⨯=+答案：3.n n +8. 【解析】依题意，得a 2 009=a 4×503-3=1,a 2 014=a 2×1 007=a 1 007=a 4×252-1=0. 答案：1 09. 【解析】∵a 4=15,S 5=55. ∴55==5a 3,∴a 3=11. ∴公差d=a 4-a 3=15-11=4.a 10=a 4+6d=15+24=39. ∴P(3,11),Q(10,39) k PQ ==4.答案：4三、解答题10. 【解析】方法1：()()1110101092111111111n n nn n na a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=⋅⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q∴当n ＜9时，110n n n na a a a ++->∴>当9n =时110n n n na a a a ++-=∴=，当n ＞9时，110n n n na a a a ++-<∴≤，故129101112a a a a a a <<<=>>>L L，∴数列{}n a 中最大项为9a 或10a .其值为9101011⎛⎫⋅⎪⎝⎭，其项数为9或10()()()()()()11111021,111010129,111110.1010111111,910.nn n n n n n n n n a n n N n n a a n a a n n n n N n *++--*⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+≥+⎪ ⎪ ⎪≥≥⎧⎧⎪⎝⎭⎝⎭∴⇔⇔⎨⎨⎨≥≤⎩⎩⎛⎫⎛⎫⎪+≥- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩∈∴=Q Q 方法或∴数列{}n a 中最大项为9a 或10a .其值为9101011⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，其项数为9或1011. 【解析】（1）在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ,a m+2,a m+1成等差数列，则S m ,S m+2,S m+1成等差数列.（2）设数列{a n }的首项为a 1，公比为q.由题意知:2a m+2=a m +a m+1， 即 2a 1q m+1=a 1q m-1+a 1q m . ∵a 1≠0,q ≠0,∴2q 2-q-1=0,12. 【解析】（1）由2122++++=n n n n a S S （+∈N n ）得2122+++=-n n n n a S S 即2122+++=n n n a a （+∈N n ） ∵51=a∴188********=+=+=+a a 521636222223=+=+=+a a（2）由条件25211λλ+=+=a b4182222λλ+=+=a b8522333λλ+=+=a b ∵}{n b 为等差数列∴3122b b b += 即852254182λλλ+++=+⨯解得0=λ∴n n n a b 2=且 251=b ，292=b ∴212=-b b ， 即数列}{n b 是公差为2=d ，首项为251=b 的等差数列（3）由（2）得2142)1(25+=⨯-+=n n b n （+∈N n ）∴541141)54)(14(411+-+=++=⋅+n n n n b b n n∴n T =13221111++++n n b b b b b b Λ =)541141()13191()9151(+-+++-+-n n Λ =5154151<+-n ∴51<n T。