高中数学经典解题技巧和方法：(集合、常用逻辑用语)
高中数学经典解题技巧和方法(集合常用逻辑用语)
高中数学经典的解题技巧和方法（集合、常用逻辑用语）【编者按】集合跟常用逻辑用语是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。
因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。
好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。
首先，解答集合跟常用逻辑用语这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．集合（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系。
②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
②在具体情境中，了解全集与空集的含义。
（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
③能使用Venn图表达集合的关系及运算。
2．常用逻辑用语（1）命题及其关系①理解命题的概念。
②了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。
③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
（2）简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”含义。
（3）全称量词与存在量词。
①理解全称量词与存在量词的意义。
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
好了，搞清楚了集合跟常用逻辑用语的基本内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。
一、集合间的包含与运算关系问题考情聚焦：1.该考向涉及到集合的核心内容，所以在近几年各省市高考中出现的频率非常高，常与函数、方程、不等式、解析几何等知识交汇命题。
精品高中数学专题：集合与常用逻辑用语、不等式、函数
专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，綈p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，綈p(x)．3．充要条件从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p)A Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)B Ap是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p⇒q，q⇒p)A与B互不包含1．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]答案 D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 C解析 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①④解析∵|CA|＋|CB|≥|AB|，当且仅当点C在线段AB上等号成立，即三个点A，B，C，∴点C在线段AB上，∴点C是A，B，C的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是AB的中点，CH⊥AB，点P，H不重合，则|PC|>|HC|.又|HA|＋|HB|＝|P A|＋|PB|＝|AB|，∴|HA|＋|HB|＋|HC|<|P A|＋|PB|＋|PC|，∴点P不是点A，B，C的中位点，故②是假命题．如图(2)，A，B，C，D是数轴上的四个点，若P点在线段BC上，则|P A|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AD|＋|BC|，由中位点的定义及①可知，点P是点A，B，C，D的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P是点A，C的中位点，则点P在线段AC上，若点P是点B，D的中位点，则点P在线段BD上，∴若点P是点A，B，C，D的中位点，则P是AC，BD的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一集合的概念与运算问题例1(1)(2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4(2)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M等于()A．M B．N C．{1,4,5} D．{6}审题破题(1)先对集合A、B进行化简，注意B中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C即可．(2)透彻理解A－B的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案(1)D(2)D解析(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }． ∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ； 3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ； 6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M . ∴故N －M ＝{6}．反思归纳 (1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解． (2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1 (2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2－x 2＋x <0，则S ∩T 等于( )A ．(－1,2)B ．(0,2)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 D解析 S ＝{x |x ＋1>1}＝{x |x >0}， T ＝{x |x >2或x <－2}． ∴S ∩T ＝{x |x >2}． 题型二 命题的真假与否定问题 例2 下列叙述正确的个数是( )①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0；③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件；④若向量a ，b 满足a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4审题破题 判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词． 答案 B解析 对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；对于②，命题p 是特称命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC 中条件，正确；④a ·b <0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2. 反思归纳 (1)命题真假的判定方法：①一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；②四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；③形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(2)区分命题的否定和否命题；含一个量词的命题的否定一定要改变量词． 变式训练2 给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题只有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④中綈q ：∀x ∈R ，x 2－x －1>0，由于x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54，则存在x 值使x 2－x －1≤0，故綈q 为假命题，则p ∧綈q 为假命题． 题型三 充要条件的判断问题例3 (1)甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 审题破题 (1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决． 答案 (1)B (2)A解析 (1)“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．(2)綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <12；綈q ：x >a ＋1或x <a .若綈p ⇐綈q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12a ＋1≥1，即0≤a ≤12.反思归纳 (1)充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；(2)判断充分、必要条件时应注意的问题：①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练3 (1)(2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件． (2)设A ＝{x |xx －1<0}，B ＝{x |0<x <m }，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m ≤1C ．m ≥1D ．m >1答案 D解析 xx －1<0⇔0<x <1.由已知得，0<x <m ⇒0<x <1， 但0<x <1⇒0<x <m 成立． ∴m >1.典例 设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确． 答案 D得分技巧 创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论． 阅卷老师提醒 在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．1． 已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( )A ．－12或1 B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0答案 D解析 依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A . 因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.2． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝ π2”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．3． (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 根据全称命题的否定是特称命题知． 綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.4． 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析 由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}． 由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1. 5． 下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22中等号成立”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0 答案 C解析 易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．专题限时规范训练一、选择题1． (2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 D解析 由题意得M ＝[－1,1]，则∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． (2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .3． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.4． (2012·湖北)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0D ∈∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30D ∈C ．∀xD ∈∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q 答案 D解析 “∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q ”．5． 设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 6． 下列关于命题的说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 答案 D解析 对于A ，命题綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0，因此选项A 正确．对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确．对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确．7． 已知p ：2xx －1<1，q ：(x －a )(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[1,3]C ．[1，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 2xx －1－1<0⇒x ＋1x －1<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x <1.当a ≥3时，q ：x <3或x >a ；当a <3时，q ：x <a 或x >3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒，从而可推出a 的取值范围是a ≥1. 8． 下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案 D解析 对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，由A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题．综上所述，选D. 二、填空题9． 已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}， 集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}． 故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.10．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析 M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.11． 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 命题p ：a ≤12x 2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f (x )＝12x 2－ln x ，f ′(x )＝x －1x＝(x －1)(x ＋1)x ，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝12，∴a ≤12. 12．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案 ①④解析 对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列 {a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确． 三、解答题13．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.14．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q为假命题，求a 的取值范围．解 由命题p ：1∈A ，得⎩⎨⎧ －2－a <1，a >1.解得a >1. 由命题q ：2∈A ，得⎩⎨⎧－2－a <2，a >2.解得a >2. 又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真， 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ≤2，即1<a ≤2， 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a >2，无解． 故所求a 的取值范围为(1,2]．。
高中数学知识点集合与逻辑用语知识点
专题一集合与逻辑用语环节一：集合1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表示集合的关系及运算．1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A⊂B或B⊂A 空集空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集∅⊆A，∅⊂B(B≠∅)3.集合的基本运算并集交集补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为C U A 图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 1．集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪(C U A)＝U；A∩(C U A)＝∅；C U(C U A)＝A．2．判断集合关系的三种方法(1)一一列举观察；(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn图（封闭曲线）．3．数形结合思想数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．环节二：命题与充要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是若q，则p；否命题是若¬p，则¬q；逆否命题是若¬q，则¬p.(2)四种命题间的关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．1．四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．2．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与¬B⇒¬A，B⇒A与¬A⇒¬B，A⇔B与¬B⇔¬A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A 的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．环节三：简单逻辑联结词，全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．,1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“∧”“∨”“¬p”．(2)命题p∧q、p∨q、¬p的真假判断p q p∧q p∨q¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词“所有的”“任意一个”，用符号“∀”表示．(2)存在量词“存在一个”“至少有一个”，用符号“∃”表示．(3)全称命题含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(4)特称命题含有存在量词的命题，叫做特称命题；“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定形式命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，¬p(x)1．含逻辑联结词命题真假判断：(1)p∧q中一假即假．(2)p∨q中一真必真．(3)¬p真，p假；¬p假，p真．2．含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论．3．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．。
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 知识点考点汇总及解题方法规律提炼
第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合的概念 (1)1.1.2集合的表示 (4)1.2集合间的基本关系 (8)1.3.1并集与交集 (13)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (17)1.4.1充分条件与必要条件 (20)1.4.2充要条件 (24)1.5.1全称量词与存在量词 (28)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (32)1.1.1集合的概念要点整理1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．温馨提示：(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．常用的数集及其记法题型一集合的基本概念【典例1】判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；(5)函数y＝x2图象上的点．[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可．[解] (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．对集合含义的理解给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．题型二元素与集合的关系【典例2】(1)下列关系中，正确的有( )①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个 B．2个 C．3个D．4个(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征．[解析] (1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－3|＝3，是无理数．故①②③正确，选C．(2)当x＝0时，63－0＝2；当x＝1时，63－1＝3；当x＝2时，63－2＝6；当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.[答案] (1)C (2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．题型三集合中元素的特性【典例3】已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．[思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入．[解析] 若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.综上所述a＝－1.[答案] －1[变式] (1)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．(2)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？[解] (1)若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性；若a2＝2，则a＝2或a＝－2，符合元素的互异性．所以a的取值为2，2，－ 2.(2)根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.应用集合元素的特性解题的要点(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．1.1.2集合的表示1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母．题型一用列举法表示集合【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)方程x (x －1)2＝0的所有实数根组成的集合；(2)不大于10的非负偶数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合．[思路导引] 用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么，还要弄清集合中的元素个数．[解] (1)方程x (x －1)2＝0的实数根为0,1，故其实数根组成的集合为{0,1}．(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x y ＝2x －1，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．题型二用描述法表示集合【典例2】 用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；(4)不等式3x －2<4的解集．[思路导引] 用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征．[解] (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．(4)不等式3x－2<4可化简为x<2，所以不等式3x－2<4的解集为{x|x<2}．用描述法表示集合应注意的3点(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．题型三集合表示方法的应用【典例3】(1)若集合A＝{x|ax2－8x＋16＝0，a∈R}中只有一个元素，则a的值为( )A．1 B．4 C．0 D．0或1(2)已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－2∈A，则k的取值范围是________．[思路导引] 借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征．[解析] (1)①当a＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}；②当a≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程ax2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64a＝0，即a＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．综上所述，实数a的值为0或1.故选D．(2)∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1.[答案] (1)D (2)k<1[变式] (1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”，其他条件不变，求a的取值范围．(2)本例(2)中条件“－2∈A ”改为“－2∉A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] (1)由题意可知方程ax 2－8x ＋16＝0有两个不等实根．∴⎩⎨⎧ a ≠0，Δ＝64－64a >0，解得a <1，且a ≠0.(2)∵－2∉A ，∴－2k ＋2≤0，得k ≥1.集合表示方法的应用的注意点(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)与方程ax 2－8x ＋16＝0的根有关问题易忽视a ＝0的情况．集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．[点评] (1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同，∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．1.2集合间的基本关系1．子集的概念温馨提示：“A是B的子集”的含义是：对任意x∈A都能推出x∈B.2．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B 且B⊆A，则A＝B.3．真子集的概念温馨提示：在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x ∈B，但x∉A.4.空集的概念题型一集合间关系的判断【典例1】判断下列两个集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[思路导引] 集合间基本关系的刻画均是由元素的从属关系决定的．[解] (1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)解法一(特殊值法)：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.解法二(列举法)：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.判断集合间关系的3种方法(1)列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．(2)元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．(3)图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．题型二有限集合子集、真子集的确定【典例2】(1)填写下表，并回答问题原集合子集子集的个数∅________________{a}________________{a，b}________________{a，b，c}________________由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集个数呢？(2)求满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M.[解] (1)原集合子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．(1)求解有限集合子集问题的3个关键点①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A 中含有n 个元素，则有： ①A 的子集的个数为2n 个； ②A 的真子集的个数为2n －1个； ③A 的非空真子集的个数为2n －2个．【典例3】 已知集合A ＝{x |－3<x <4}，B ＝{x |1－m <x ≤2m －1}，且A ⊆B ，求实数m 的取值范围．[思路导引] A ⊆B ，即集合A 中的数在集合B 中，特别注意A ＝∅的情况． [解] 由A ⊆B ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示，则⎩⎨⎧1－m ≤－3，1－m <2m －1，4≤2m －1，解得m ≥4.故m 的取值范围是{m |m ≥4}．[变式] (1)本例中若将“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”，其他条件不变，求m 的取值范围．(2)本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{3，m 2}，B ＝{1,3,2m －1}，其他条件不变，求实数m 的值．[解] (1)由B ⊆A ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示．∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，1－m ≥2m －1，解得m ≤23；当B ≠∅时，有⎩⎨⎧2m －1>1－m ，2m －1<4，1－m ≥－3，解得23<m <52.综上可知，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <52. (2)由A ⊆B ，按m 2＝1和m 2＝2m －1两种情况分类讨论． ①若m 2＝1，则m ＝－1或m ＝1.当m ＝－1时，B 中元素为1,3，－3，适合题意； 当m ＝1时，B 中元素为1,3,1，与元素的互异性矛盾． ②若m 2＝2m －1，则m ＝1，由①知不合题意． 综上所述，m ＝－1.由集合间的关系求参数的2种方法(1)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．(2)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．1.3.1并集与交集1．并集的概念及表示2.交集的概念及表示温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．3．并集、交集的运算性质【典例1】(1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0}(2)已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4} C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}[思路导引] 由并集的定义，结合数轴求解．[解析] (1)A∪B＝{0,1,2,3,4}，选A.(2)在数轴上表示两个集合，如图．∴P∪Q＝{x|x≤4}．选C.[答案] (1)A (2)C求集合并集的2种方法(1)定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．(2)数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．题型二交集的运算【典例2】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}(2)设A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}[思路导引] 既属于集合A，又属于集合B的所有元素组成的集合，借助图示方法求解．[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．选A.(2)A＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，图中阴影部分表示的是A∩B，∴A∩B＝{2}．选A.[答案] (1)A (2)A求集合交集的2个注意点(1)求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．题型三由集合的并集、交集求参数【典例3】 (1)设集合A ＝{x |－1<x <a }，B ＝{x |1<x <3}且A ∪B ＝{x |－1<x <3}，求a 的取值范围．(2)已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |2－k ≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[思路导引] (1)画出数轴求解．(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ；若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .[解] (1)如下图所示，由A ∪B ＝{x |－1<x <3}知，1<a ≤3. (2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .若B ＝∅，则2－k >2k －1，得k <1；若B ≠∅，则⎩⎨⎧2－k ≤2k －1，2－k >－3，2k －1≤4，解得1≤k ≤52.综上所述，k ≤52.[变式] 本例(2)若将“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B . ∴⎩⎨⎧2－k ≤－3，2k －1≥4，解得k ≥5.由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点(1)策略：当题目中含有条件A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A ∩B ＝A 转化为A ⊆B ，A ∪B ＝B 转化为A ⊆B .(2)方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．(3)注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．1.3.2补集及集合运算的综合应用要点整理1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2．补集温馨提示：∁U A的三层含义：(1)∁U A表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．题型一补集的运算【典例1】(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________________；(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________________.[思路导引] 借助补集定义，结合数轴及Venn图求解．[解析] (1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．[答案] (1){x|x<－3或x＝5} (2){2,3,5,7}求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．题型二交集、并集、补集的综合运算【典例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.[解] 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁U A)∩B＝{x|－U3<x≤－2或x＝3}．解决集合交、并、补运算的2个技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．题型三利用集合间的关系求参数【典例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．U[思路导引] 理清集合间的关系，分类求解．[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，得∁U A＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁U A)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.[变式] (1)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U A)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？(2)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U B)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？[解] (1)由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁U A＝{x|x<－m}，又(∁U A)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2.(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，∁U B＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁U B)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.利用集合关系求参数的2个注意点(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．[针对训练]5．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}．(1)若A∪(∁R B)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A(∁R B)，求实数a的取值范围．[解](1)∵B＝{x|1<x<3}，B＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁R因而要使A∪(∁R B)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.(2)∵A＝{x|x<a}，∁R B＝{x|x≤1或x≥3}．要使A(∁R B)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.1.4.1充分条件与必要条件要点整理1．命题及相关概念2．充分条件与必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．温馨提示：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．题型一充分、必要条件的概念及语言表述【典例1】将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：(1)两个全等三角形的对应高相等；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．[解] (1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件；“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件；“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件．(1)对充分、必要条件的理解①对充分条件的理解：i)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．ii)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3都是x>0的充分条件．②对必要条件的理解：i)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．ii)必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤第一步：分析定理的条件和结论；第二步：将定理写成“若p，则q”的形式；第三步：利用充分、必要条件的概念来表述定理．题型二充分条件、必要条件的判定【典例2】判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？(1)p：x>1，q：x2>1；(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点．[思路导引] 判断“若p，则q”命题的真假及“若q，则p”命题的真假．[解] (1)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分条件；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要条件．(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要条件．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p 的必要条件；②如果命题：“若p ，则q ”为假命题，那么p 不是q 的充分条件，同时q 也不是p 的必要条件．显然，p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p ⇒q ，只是说法不同而已．题型三充分条件、必要条件与集合的关系【典例3】 (1)已知p ：关于x 的不等式3－m 2<x <3＋m 2，q ：0<x <3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．(2)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，B ＝{x |x ＋2m ≥0}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围．[思路导引] p 是q 的充分条件转化为对应集合A ⊆集合B ，q 是p 的必要条件转化为集合A ⊆集合B .[解] (1)记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}， 若p 是q 的充分条件，则A ⊆B .注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，分两种情况讨论：①若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m 2，解得m ≤0，此时A ⊆B ，符合题意； ②若A ≠∅，即3－m 2<3＋m 2，解得m >0， 要使A ⊆B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≥0，3＋m 2≤3，m >0，解得0<m ≤3. 综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)由已知可得 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y | y ≥－54， B ＝{x |x ≥－2m }．因为q 是p 的必要条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以－2m ≤－54，所以m ≥58，即m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |m ≥58. [变式] 本例(1)中若将“若p 是q 的充分条件”改为“p 是q 的必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}，若p 是q 的必要条件，则B ⊆A .应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≤0，3＋m 2≥3，解得m ≥3.综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≥3}．(1)利用充分、必要条件求参数的思路根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p ，q 等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．(2)从集合角度看充分、必要条件：设命题p 、q 分别对应集合A 、B ，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件．1.4.2充要条件要点整理充要条件如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q .此时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇔q，则p是q的充要条件．③若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．④若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．⑤若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．(2)“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p 是s的充要条件．题型一充要条件的判断【典例1】在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(2)若a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.[思路导引] 判断是否p⇒q，q⇒p.[解] (1)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p 是q的充要条件．[变式] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？[解] 作出“⇒”图，如右图所示，。
集合解题方法与技巧
集合解题方法与技巧集合解题方法与技巧1. 引言在数学和逻辑推理中，集合是一种非常重要的概念。
集合可以理解为由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
集合论是一门研究集合和它们之间关系的数学分支，广泛应用于各个领域，包括数学、计算机科学、统计学等。
在解题过程中，运用集合的常用方法和技巧有助于我们更全面、深刻和灵活地理解问题，找到准确的解决方案。
2. 集合的基本概念与运算在介绍集合解题方法和技巧之前，我们先来复习一下集合的基本概念与运算。
集合可以用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。
集合A={1,2,3,4}表示由元素1、2、3和4组成的集合A。
常用的集合运算有并集、交集、差集和补集。
并集表示两个或多个集合中所有的元素的集合，用符号∪表示；交集表示两个或多个集合中共有的元素的集合，用符号∩表示；差集表示一个集合中除去与另一个集合相同的元素后所剩下的元素的集合，用符号-表示；补集表示一个集合相对于于某个全集的剩余部分的集合，用符号'表示。
3. 集合解题方法3.1 确定问题的关键元素和条件在解题过程中，首先要明确问题给出的条件和需要求解的关键元素。
通过分析问题并提取关键信息，我们可以更好地理解问题的本质和要求。
3.2 利用集合间关系进行推理集合间的运算和关系是我们解题的基础。
通过应用集合的基本运算，我们可以得到更多的信息和结论。
通过求两个集合的交集，我们可以找到两个集合共有的元素；通过求两个集合的差集，我们可以找到一个集合相对于另一个集合的独有的元素。
3.3 使用 Venn 图进行可视化分析Venn 图是一种常用的图形工具，用于可视化分析集合的关系。
通过绘制Venn 图，我们可以清楚地看到集合之间的交集、并集和差集等。
借助Venn 图，我们可以更直观地理解和解决问题。
3.4 利用集合的性质和特点进行推导集合具有多种性质和特点，如互斥性、交换律、结合律等。
通过运用这些性质和特点，我们可以简化问题，从而更容易找到解决方案。
专题1 集合与常用逻辑用语
专题1 集合与常用逻辑用语1.1集合的含义与表示 （1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().1.2集合间的基本关系（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.解析获取vx ：lingzi980N N *N +Z Q R a M a M ∈a M ∉x x x ∅A (1)n n ≥2n21n-21n-22n -1.3 集合的基本运算1. 2.注意：1. 元素与集合的关系,.2.德摩根公式.3.包含关系4.容斥原理.【例1】（2022•新高考Ⅰ）若集合 }4|{，<=x x M }13| {，≥=x x N 则=N MA ．}40|{<≤x xB ． }231|{<≤x x C ．}163|{<≤x x D ． }1631|{<≤x x 【例2】（2022•新高考II ）已知集合{}4211，，，-=A ，{}11≤-=x x B ，则=⋂B A A.{}21，- B.{}21， C.{}41， D.{}41，-【例3】（2022•乙卷理）设全集{1U =，2，3，4，5}，集合M 满足{1U M =，3}，则( )AB {|x x ∈A A A =A∅=∅A B A ⊆A B B ⊆AB {|x x ∈A A A =AA ∅=AB A ⊇AB B ⊇U A {|x x ()U A A =∅()U A A U =U x A xC A ∈⇔∉U x C A x A ∈⇔∉();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+()()()UU U A B A B =()()()U U U A B A B =A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉【例4】（2019•全国）设集合P ＝{x |x 2﹣2＞0}，Q ＝{1，2，3，4}，则P ∩Q 的非空子集的个数为（ ） A ．8B ．7C ．4D ．3【例5】（2020•上海）集合A ＝{1，3}，B ＝{1，2，a }，若A ⊆B ，则a ＝ ． 【例6】已知集合{0A =，1，2}，{|B ab a A =∈，}b A ∈，则集合B 中元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【例7】已知集合{{}A =∅，}∅，下列选项中均为A 的元素的是( ) （1）{}∅；（2）{{}}∅；（3）∅；（4）{{}∅，}∅． A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（2）（4）【例8】已知函数2()f x x ax b =++，集合{|()0}A x f x =，集合5|(())4B x f f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =≠∅，则实数a 的取值可以是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【例9】向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人．则下列说法正确的是( ) A ．赞成A 的不赞成B 的有9人 B ．赞成B 的不赞成A 的有11人 C ．对A 、B 都赞成的有21人D ．对A 、B 都不赞成的有8人【例10】（2015•上海）设集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，21{|0}Q x x x b =++>，22{|20}Q x x x b =++>，其中a ，b R ∈，下列说法正确的是( ) A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 C ．存在a ，1P 不是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 D ．存在a ，1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集1.（2022•乙卷文）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则MN =（ ）A. {2,4}B. {2,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,4,6,8,10}2.（2022•上海）已知集合A ＝（﹣1，2），集合B ＝（1，3），则A ∩B ＝ ．3.（2021•新高考Ⅰ）设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{2，3，4}4.（2021•上海）已知集合A ＝{x |x ＞﹣1，x ∈R }，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2≥0，x ∈R }，则下列关系中，正确的是（ ） A ．A ⊆BB ．∁R A ⊆∁R BC ．A ∩B ＝∅D ．A ∪B ＝R5.（2022•天津）设全集{2U =-，1-，0，1，2}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，2}，则()(U A B =⋂)A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{1-，1，2}D ．{0，1-，1，2}6.（2022•浙江）设集合{1A =，2}，{2B =，4，6}，则(A B = )A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，4，6}D ．{1，2，4，6}7.（2022•北京）已知全集{|33}U x x =-<<，集合{|21}A x x =-<，则(UA = )A ．(2-，1]B ．(3,2)[1--，3) C ．[2-，1)D ．(3-，2](1,3)- 8.（2021•乙卷）已知集合{|21S s s n ==+，}n Z ∈，{|41T t t n ==+，}n Z ∈，则(S T = )A ．∅B ．SC ．TD ．Z9.（2020•全国）若集合A 共有5个元素，则A 的真子集的个数为( ) A ．32B ．31C ．16D ．1510.（2020•新课标Ⅲ）已知集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．611.（2017•江苏）已知集合{1A =，2}，{B a =，23}a +．若{1}A B =，则实数a 的值为 ．12.（2022•重庆期末）下列说法正确的是( ) A ．任何集合都是它自身的真子集B ．集合{a ，}b 共有4个子集C ．集合{|31x x n =+，}{|32n Z x x n ∈==-，}n Z ∈D ．集合2{|1x x a =+，*2}{|45a N x x a a ∈==-+，*}a N ∈13.（2021•重庆期末）已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则下列关系一定正确的是()A ．x U ∃∈，x A ∉且xB ∈ B ．x A ∀∈，x B ∉C ．x U ∀∈，x A ∈或x B ∈D ．x U ∃∈，x A ∈且x B ∈14.（2021•虎丘区月考）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有( ) A ．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B ．只参加球类一项比赛的人数有2人C ．只参加径赛一项比赛的人数为0人D ．只参加田赛一项比赛的人数为3人1.4 充分条件与必要条件充要条件（1）充分条件：若，则是充分条件.（2）必要条件：若，则是必要条件.（3）充要条件：若，且，则是充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.抓住关键词：大必小充。
高中数学知识点总结(第一章 集合与常用逻辑用语)
第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细(带答案)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细单选题1、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.2、已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x−y∣∈A}中所含元素的个数为（）A．2B．4C．6D．8答案：C分析：根据题意利用列举法写出集合B，即可得出答案.解：因为A={1,2,3}，所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6个元素．故选：C.3、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.4、已知集合M={x|1−a<x<2a}，N=(1,4)，且M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,2]B．(−∞,0]C．(−∞,13]D．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时 M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13]. 故选：C5、已知集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q =（ ）A ．{x|1<x ≤2}B ．{x|2<x <3}C ．{x|3≤x <4}D ．{x|1<x <4}答案：B分析：根据集合交集定义求解.P ∩Q =(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.6、已知集合S ={x ∈N|x ≤√5}，T ={x ∈R|x 2=a 2}，且S ∩T ={1}，则S ∪T =（ ）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先 根据题意求出集合T ，然后根据并集的概念即可求出结果.S ={x ∈N|x ≤√5}={0,1,2}，而S ∩T ={1}，所以1∈T ，则a 2=1，所以T ={x ∈R|x 2=a 2}={−1,1}，则S ∪T ={−1,0,1,2}故选：C.7、设集合A ={x |−2<x <4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =（ ）A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .8、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.多选题9、若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z}，则（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A答案：ABD解析：分别令m2+n2等于1,2,3,4，判断m,n是否为整数即可求解.对于选项A：m2+n2=1，存在m=0,n=1或m=1,n=0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：m2+n2=2，存在m=1,n=1，使得其成立，故选项B正确；对于选项C：由m2+n2=3，可得m2≤3，n2≤3，若m2=0则n2=3可得n=±√3，n∉z，不成立；若m2=1则n2=2可得n=±√2，n∉z，不成立；若m2=3，可得n2=0，此时m=±√3，m∉z，不成立；同理交换m与n，也不成立，所以不存在m,n为整数使得m2+n2=3成立，故选项C不正确；对于选项D：m2+n2=4，此时存在m=0,n=2或m=2,n=0使得其成立，故选项D正确，故选：ABD.10、已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x ≤7}，B ={x|m +1≤x ≤2m −1}，则使A ⊆∁U B 成立的实数m 的取值范围可以是（ ）A ．{m|6<m ≤10}B ．{m|−2<m <2}C ．{m|−2<m <−12}D ．{m|5<m ≤8}答案：ABC分析：讨论B =∅和B ≠∅时，计算∁U B ，根据A ⊆∁U B 列不等式，解不等式求得m 的取值范围，再结合选项即可得正确选项.当B =∅时，m +1>2m −1，即m <2，此时∁U B =R ，符合题意，当B ≠∅时，m +1≤2m −1，即m ≥2，由B ={x|m +1≤x ≤2m −1}可得∁U B ={x|x <m +1或x >2m −1}，因为A ⊆∁U B ，所以m +1>7或2m −1<−2，可得m >6或m <−12， 因为m ≥2，所以m >6，所以实数m 的取值范围为m <2或m >6，所以选项ABC 正确，选项D 不正确；故选：ABC.11、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．m >14B ．0<m <1C ．m >2D ．m >1 答案：CD解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.因为“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的x 2−x +m =0判别式Δ=1−4m <0，即m >14. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，m >14不可推导出0<m <1，B 不正确；C 选项中，m >2可推导m >14，且m >14不可推导m >2，故m >2是m >14的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，m >1可推导m >14，且m >14不可推导m >1，故m >1是m >14的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ）A ．函数F (x )是偶函数B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图．由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确；函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确．故选：ABD[0,1]13、使a∈R，|a|<4成立的充分不必要条件可以是（）A．a<4B．|a|<3C．−4<a<4D．0<a<3答案：BD分析：根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.由|a|<4可得a的集合是(−4,4)，A.由(−4,4)⊂≠(−∞,4)，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；B.由(−3,3)⊂≠(−4,4)，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；C.由(−4,4)=(−4,4)，所以−4<a<4是|a|<4成立的一个充要条件；D.由(0,3)(−4,4)，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；故选：BD.填空题14、已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数______答案：8分析：按x、y、z的正负分情况计算m值，求出集合M的元素个数即可得解.因为集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，当x、y、z都是正数时，m=4，当x、y、z都是负数时，m=-4，当x、y、z中有一个是正数，另两个是负数时，m=0，当x、y、z中有两个是正数，另一个是负数时，m=0，于是得集合M中的元素有3个，所以M的子集个数是8.所以答案是：815、设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是_________．答案：4分析：求得P+Q的元素，由此确定正确答案.依题意，0+1=1,0+6=6,2+1=3,2+6=8，所以P+Q共有4个元素.所以答案是：416、已知全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，若A={1,2,3}，B={−1,0,1}，则∁U(A⊙B)______．答案：{x∈Z||x|≥4}分析：利用集合运算的新定义和补集运算求解.全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，A={1,2,3}，B={−1,0,1}所以A⊙B={−3,−2,−1,0,1,2,3}，所以∁U(A⊙B)={x||x|≥4,x∈Z}.所以答案是：{x||x|≥4,x∈Z}解答题17、已知集合A={x|(x−a)(x+a+1)≤0}，B={x|x≤3或x≥6}.（1）当a=4时，求A∪B；（2）当a>0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.答案：（1）A∪B={x|x≤4或x≥6}；（2）(0,3].解析：（1）当a=4时，解出集合A，计算A∪B；（2）由集合法判断充要条件，转化为A⊆B，进行计算.解：（1）当a=4时，由不等式(x−4)(x+5)≤0，得−5≤x≤4，故A={x|−5≤x≤4}，又B={x|x≤3或x≥6}，所以A∪B={x|x≤4或x≥6}.（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，等价于A⊆B，因为a>0，由不等式(x−a)(x+a+1)≤0，得A={x|−a−1≤x≤a}，又B={x|x≤3或x≥6}，要使A⊆B，则a≤3或−a−1≥6，综合可得a的取值范围为(0,3].小提示：名师点评有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；(2)若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；(3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；(4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含．18、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。
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高中数学经典的解题技巧和方法（集合、常用逻辑用语）【编者按】集合跟常用逻辑用语是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。
因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。
好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。
首先，解答集合跟常用逻辑用语这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：
1．集合
（1）集合的含义与表示
①了解集合的含义、元素与集合的属于关系。
②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
（2）集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
②在具体情境中，了解全集与空集的含义。
（3）集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
③能使用Venn图表达集合的关系及运算。
2．常用逻辑用语
（1）命题及其关系
①理解命题的概念。
②了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。
③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
（2）简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”含义。
（3）全称量词与存在量词。
①理解全称量词与存在量词的意义。
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
好了，搞清楚了集合跟常用逻辑用语的基本内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题
技巧。
一、集合间的包含与运算关系问题
考情聚焦：1.该考向涉及到集合的核心内容，所以在近几年各省市高考中出现的频率非常高，常与函数、方程、不等式、解析几何等知识交汇命题。
2.多以选择、填空题的形式考查，属容易的送分题。
解题技巧：解答集合间的包含与运算关系问题的思路：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：
（1）若给定的集合是不等式的解集，用数轴来解；
（2）若给定的集合是点集，用数形结合法求解；
（3）若给定的集合是抽象集合， 用Venn 图求解。
例解1:(1)（2010·福建高考文科·Ｔ１）若集合{}13A x x =≤≤，{}2B x x =>，则A B ⋂等于 （ ） A.{}23x x <≤ B.{}1x x ≥ C.{}23x x ≤< D.{}
2x x >
【命题立意】本题主要考查集合的交集运算.
【思路点拨】 画出数轴，数形结合求解，注意临界点的取舍。
【规范解答】选A ，由数轴可知：{}A B x |2x 3⋂=<≤。
(2)（2010·广东高考文科·Ｔ１）若集合A =｛0，1，2，3｝，B =｛1，2，4｝，则集合A B =
A ．｛0，1，2，3，4｝
B ．｛1，2，3，4｝
C ．｛1，2｝
D ．｛0｝
【命题立意】本题考察集合的基本运算.
【思路点拨】直接用集合并集的定义进行运算.
【规范解答】选 A ，{}0,1,2,3A B = {}1,2,4{}0,1,2,3,4=，故选A 。
二、以集合语言为背景的新信息题
考情聚焦：1.该考向由于形式新颖,具有很好的考查学生探究、创新能力的功能，因此特别受命题专家的青睐，而成为近几年很多省市高考中的一大亮点。
2．常与集合相关知识相类比命题，多以选择、填空题的形式出现。
解题技巧：以集合语言为背景的新信息题，常见的有定义新概念型、定义新运算型及开放型，解决此类问题的关键是准确理解新概念或运算，通过对题目的分析，明确所要解决的问题，类比集合的有关定义运算来解决。
例解2: （2010·广东高考文科·Ｔ10）在集合{a ，b ，c ，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：
那么d ⊗ ()a c ⊕=
A ．a
B ．b
C ．c
D ．d
【命题立意】本题考查对新定义运算的理解.
【思路点拨】根据所定义的运算法则，先算出a c ⊕，再算出()d a c ⊗⊕.
【规范解答】选A a c c ⊕=，∴ ()d a c ⊗⊕d c a =⊗= 故选A .
三、命题真假的判断与否定问题
考情聚焦：1.该类问题具有一题考查多个重要考点的强大功能，从而成为高考的热点。
2.此类问题往往综合性较强，多以选择、填空题的形式出现。
解题技巧：1.命题真假的判定方法：
（1）一般命题p 的真假由涉及到的相关交汇知识辨别真假。
（2）四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律。
（3）形如p q ∨、p q ∧、p ⌝命题真假根据真值根据教材中给定方法判断。
2.命题的否定形式有：
要严格区分命题的否定与否命题之间的差别。
例解3:给出命题：已知a 、b 为实数，若1a b +=，则14ab ≤
．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
.A 3 .B 2 .C 1 .D 0
【解析】选C 因为2221
11()24.4a b a b a ab b ab ab +=⇒=+=++≥⇒≤所以原命题为真命题。
从而逆否
命题亦为真命题；若14
ab ≤，显然得不出1a b +=，故逆命题为假命题，从而否命题亦为假命题。
故在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数为1个。
要点考向四：充分条件、必要
条件、充要条件的确认与探求问题
四、充分条件、必要条件、充要条件的确认与探求问题
考情聚焦：1.该考向涉及的是高中数学的一个重要考点，同时该类题目的背景知识丰富，可以是高中数学的任何一个分支，因此一直是各省市高考命题的一个热点。
2.多以选择、填空题的形式考查。
例解3: 2a ≤“”是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的（ ）
（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
【解析】选A △＝2
a －4＜0时，－2＜a ＜2，因为2a ≤“”是“－2＜a ＜2”的必要不充分条件，故
选A 。