三角函数应用题

【详解】
（1）由题意：四边形ABED是矩形，可得DE=AB=7米．
在Rt△DEH中，∵∠EDH=45°，
∴HE=DE=7米，
∴BH=EH+BE=8.5米.
（2）作HJ⊥CG于G．则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ=GJ=BC=x．
在 中， ，
，
，
米．
【点睛】
此题重点考察学生对直角三角形的性质，矩形的性质，三角形正切值的综合应用能力，抓住直角三角形的性质，角与边之间的关系，三角形正切值的计算方法是解题的关键。
三角函数应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
24．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
29．山顶A到地面BC的高度AC是 米.
【解析】【分析】作DH⊥BC于H．设AE=x．在Rt△ABC中，根据tan∠ABC= ，构建方程即可解决问题即可.
【详解】作DH⊥BC于H，设AE=x，
∵DH：BH=1：3，
在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2=6002，
28．如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20 海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
29．如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
【详解】
如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．
在RT△BDN中，
BD=30，BN：ND=1： ，
∴BN=15，DN= ，
∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，
∴四边形CMBN是矩形，
∴CM=BM=15，BM=CN= ，
在RT△ABM中，tan∠ABM= ，
∴AM= ，
∴AC=AM+CM= ．
【点睛】
构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念。
（1）计算古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高．（参考数据： ≈14， ≈1.7）
25．如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离 为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）．
∴BC＝CD＝40m．
∵在Rt△ADC中，tan∠ADC＝ ．
∴ ．
∴AB≈7.6（m）．
答：旗杆AB的高度约为7.6m．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
33．10米
【解析】
【分析】
根据三角形的外角性质求出∠CBD，根据等腰三角形的判定定理求出BC，根据正弦的定义求出BE，计算即可．
34．（1）小华与地面的垂直距离为3.9米；（2）楼房 的高度是20.2米.
【解析】
【分析】
（1）利用在Rt△BCD中，∠CBD＝15°，BD＝15，得出CD＝BD•sin15°求得答案即可；
（2）由图可知：AB＝AF＋DE＋CD，利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义，求得AF即可．
【详解】
解：（1）在 中， ， ，所以 米，故小张与地面的垂直距离为3.9米；
33．如图，小明在M处用高1.5米（DM=1.5米）的测角仪测得学校旗杆AB的顶端B的仰角为32°，再向旗杆方向前进9米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为64°，请求出旗杆AB的高度（sin64°≈0.9，cos64°≈0.4，tan64°≈2.1，结果保留整数）．
34．小张想测量楼房 的高度，他从楼底的 处沿着斜坡向上行走 ，到达坡顶 处.已知斜坡的坡角为 .（以下计算结果精确到 ）
25． .
【解析】
【分析】
根据题意求出线段长度，再在直角三角形中解三角函数即可求出答案.
【详解】
解：由题意知： ，
在 中， ，
， ；
在 中， ， ，
， ；
，
， ， ，
答：这两座建筑物顶端 、 间的距离为 ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
27．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处 米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1： 的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈ ，计算结果用根号表示，不取近似值）．
28．A处与灯塔B相距109海里．
【解析】【分析】直接过点C作CM⊥AB求出AM，CM的长，再利用锐角三角函数关系得出BM的长即可得出答案．
【详解】过点C作CM⊥AB，垂足为M，
在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，
∴AM=MC，
由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20 ×2）2，
（2）在 中， ，所以 为等腰直角三角形，所以 ， 米，所以 米.
故楼房 的高度是20.2米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰角和坡角的问题，解题的关键是构造直角三角形．
35．旗杆 的高度约为 .
【解析】
【分析】
在Rt△BDC中，根据tan∠BDC= 求出BC，接着在Rt△ADC中，根据tan∠ADC= = 即可求出AB的长度
答案
24．（1）BH =8.5米；（2）CG= 18.0米．
【解析】
【分析】
此题涉及的知识点是直角三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质，正切值得计算的综合应用，难度偏大，解题时先由直角三角形的性质求出边的长度，再作辅助线构建条件，通过设未知数列出正切值得方程，解出未知数，从而根据对应关系求得解。
26．云梯需要继续上升的高度 约为9米.
【解析】
【分析】
过点 作 于点 ， 于点 ，在 中，求得AD的长；在 中，求得CD的长，根据BC=CD-BD即可求得BC的长.
【详解】
过点 作 于点 ， 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形.
∴ 米.
∴ （米），
由题意可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ （米）.
在Rt△PCB中，cos∠BPC= ，
∴PB= =40 ≈98（海里），
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用举例，正确添加辅助线构建直角三角形是解题源自关键.31．EF约为140m
【解析】
【分析】
分别过A、C作AM、CN垂直于EF，根据正切的定义求出CN，得到AM，根据正切的定义列式计算即可．
26．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4, ≈1.4）
∴DH=60 ，BH=180 ，
在Rt△ADE中，∵∠ADE=45°，
∴DE=AE=x，
∵又HC=ED，EC=DH，
∴HC=x，EC=60 ，
在Rt△ABC中，tan33°= ，
∴x= ，
∴AC=AE+EC= +60 = ，
答：山顶A到地面BC的高度AC是 米.
【点睛】本题考查解直角三角形——仰角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，熟练应用数形结合思想与方程思想解答问题是关键.
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， ）
32．如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
解得：AM=CM=40，
∵∠ECB=15°，
∴∠BCF=90°﹣15°=75°，
∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，
在Rt△BCM中，tanB=tan30°= ，即 ，
∴BM=40 ，
∴AB=AM+BM=40+40 ≈40+40×1.73≈109（海里），
答：A处与灯塔B相距109海里．
30．此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【解析】【分析】过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB的长即可．
【详解】作PC⊥AB于C点，
∴∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里），
在Rt△APC中，cos∠APC= ，
∴PC=PA•cos∠APC=40 （海里），
（1）求小明此时与地面的垂直距离 的值；
（2）小明的身高 是 ，他站在坡顶看楼顶 处的仰角为 ，求楼房 的高度.（ ， ， ）