晶体学基础第三章-晶体的定向和晶体学符号
晶体定向和晶体学符号
唯一的L4或Li4为 z 轴; 相互垂直的L2, 或相互
垂直的对称面法线, 或适当的晶棱为 x, y 轴； z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平。
3. 正交（斜方）晶系晶体定向
晶格常数为: a = b = g = 90 °
a<>b<>c
三个相互垂直的L2为 z, x, y 轴; 或L2为z轴, 相互垂直的对称面法线为 x, y 轴 z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平
OP在a1, a2, a3轴的垂直投影OA, OB, OC
t= -( u+v ) OA+OB=-5/2+(-1)=-7/2=-OC 满足：
还可以证明： OA+OB+OC=3/2 OP 求密布氏指数首先求出晶向上任一结点 在四轴的垂直投影； 然后将前3个指数分别乘以2/3； 再和第四个数值化为最小整数即为密布 氏指数。 -5/2, -1, 7/2, 0，晶向指数为[5270]
（ 2 ）轴角：两个结晶轴正向 之夹角。用a，b，g 表示。
结晶轴选择原则
符合晶体本身的对称 适宜的对称元素作为结晶轴
适宜的晶棱方向作为结晶轴
尽量使得晶轴之间夹角为90
晶体定向的几个基本概念
（ 3 ）轴单位：晶体坐标系中结晶轴的长度单位。是相应 晶体点阵中平行于晶轴的行列上相邻节点间距。用a, b, c分 别表示x轴、y轴、z轴的轴单位。 （4）轴率：结晶轴的轴单位之连比。用a:b:c 表示。 （5）晶体几何常数：轴率a:b:c和轴角a，b，g的合称。表 示晶体坐标系特征的一组参数，用以区分不同的晶系。
晶面族
z
（001）
用{h k l}表示对称性联系的一组晶面， 称为晶面族Family of planes.
ap3晶体定向和晶面符号ap4单形和聚形1(2)
a = b = g = 90 a = b = g = 90
a=b≠c a = b = 90 g = 120
三方晶系 及六方晶系
斜方晶系 单斜晶系
以互相垂直的L2或P的法线为X、Y、 Z轴 以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴 的主要晶棱方向为X、Z轴
以三个主要的晶棱方向为X、Y、Z轴
a≠b≠c
001 011 _ 111 101 111
_ 110 100 110
010
__ 111 _ 101
_ 111
_ 011
1、单形(simple form) ：是由对称要素联系起
来的一组晶面的组合。 也就是说，单形是一个晶体上能够由该晶体的所 有对称要素操作而使它们相互重复的一组晶面。 单形中所有晶面性质、大小、形状完全等同。
请注意: 在晶体的宏观形态上根据对 称特点选出的三根晶轴，与晶体内部结 构的空间格子的三个不共面的行列方向 是一致的。 为什么?因为空间格子中三个不共面的 行列也是根据晶体的对称性，人为地画 出来的。而晶轴也是根据晶体的对称性， 人为地选出来的。晶体的内部对称与晶 体的宏观对称是一致的，所以晶轴与三 个行列就是一致的。
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴 的具体方法也不同,见表4-1(此表非常重要，要熟记).
等轴晶系的定向:
晶= b = c – 三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 – z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
单斜晶系的定向:
晶体几何常数: a = g = 90°, b > 90° a<>b<>c L2为 y 轴; 或对称面法线为 y 轴，z 轴起立， y 轴左右 水平， x 轴前后向前下倾斜。
第三章_晶体学基础
十四种空间格子（布拉菲格子）
综合考虑单位平行六面体的划分和附加结点的类型，七个晶系空间格 子的基本类型共有十四种。
三斜晶系：三斜简单格子； 单斜晶系：单斜简单格子，单斜底心格子； 斜方晶系：斜方简单格子，斜方底心格子， (正交） 斜方体心格子，斜方面心格子； 四方晶系：四方简单格子，四方体心格子； 三方晶系：三方简单格子(三方菱面体格子)； 六方晶系：六方简单格子； 立方晶系：立方简单格子，立方体心格子， 立方面心格子。
简单P
立方I
立方F
立方晶系：a = b=c
α=β=γ=90°
四方P 四方晶系： a = b≠c
四方I α=β=γ=90°
正交P
正交C 正交晶系：a≠b ≠ c
正交I α=β=γ=90°
正交F
单斜P 单斜晶系：a≠b ≠ c
单斜C α=γ=90° β＞ 90°
六方H
三方R
三斜P
六方晶系： a = b≠c 三方晶系： a = b=c 三斜晶系：a≠b≠c
故确定的步骤为：
● 选定晶轴X、Y、Z和a、b、c为轴单位；
● 平移晶向（棱）直线过原点；
● 在该直线上任取一结点M，将其投影至X、
。
Y、Z轴得截距OX、OY、OZ；
● 作OX/a：OY/b：OZ/c = u：v：w（最小
整数比）；
● 去掉比号，加中括号，[u v w]即为晶
向符号。
某一晶向指数代表一组在
结构基元：组成晶体的离 子、原子或分子。基元内 的原子数等于晶体中原子 的种类数。
晶体结构=空间点阵+结构基元
实际晶体——质点体积忽略——空间点阵——阵点连线——晶格（空间格子）
晶体学复习
晶体学复习1 结晶学基础1.1概述1.2 第一章：晶体和非晶质体1.2.1 概念（格子、举例）晶体：具有格子构造的固体非晶质体：不具有格子构造的物质晶体的现代定义是：晶体是内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体；或者说，晶体是具有格子构造的固体。
相应地，内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体，便称为结晶质晶体的分布极为广泛，不只局限于矿物的范畴。
本质：在一切晶体中，组成它们的质点（原子、离子、离子团、分子等）在空间都是按格子构造的规律来分布的。
例如，石墨、石英、玻璃。
结论：一定化学成分的矿物，大部分都具有由原子规则排列的内部结构。
1.2.2 基本性质（6个）①最小内能：②稳定性：③对称性：④异向性：⑤均一性：⑥自限性：1.2.3 晶体的对称要素组合及规律(9个要素)对称指：物体相同部分的有规律重复.晶体的对称性也是相对的，而不对称则是绝对的。
晶体宏观对称要素：①对称中心（C）:假想的一个点，相应的操作是对于这个点的反伸。
其作用相当于一个照相机.结论：晶体如具有对称中心，晶体上的所有晶面，必定全都成对地呈反向平行的关系。
其对称中心必定位于几何中心。
符号为“C”标志：晶体上的所有晶面都两两平行，同形等大，方向相反。
②对称面：为一假想的面，对称操作为对此平面的反映。
方法：P 2P 3P…… 9PP与面、棱有着的关系：（1）对称面垂直并平分晶体上的晶面晶棱；（2）垂直晶面并平分它的两个晶棱的夹角；（3）包含晶棱③对称轴（L n）：为一假想的直线。
对称操作为绕此直线的旋转，可使晶体上的相同部分重复出现。
使相同部分重复出现的最小旋转角，称为基转角（α），旋转一周中，相同部分重复出现的次数，称为轴次（ n ）。
α、 n 之间的关系为：n = 360o/ α对称定律：晶体外形上可能出现的对称轴的轴次，不是任意的，只能是1 2 3 4 6 。
高次对称轴：轴次高于2的对称轴称（3、4、6）对称轴在晶体中可能出露的位置是：（1）两个相对晶面的连线；（2）两个相对晶棱中点的连线；（3）相对的两个角顶的连线（4）一个角顶与之相对的晶面之间的连线④旋转反身轴（L i n）旋转反伸轴是一假想直线和其上一点所构成的一种复合对称要素。
晶体定向和晶面符号
二、晶体定向原则
• 结晶轴的选择应当符合晶体固有的对称性
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴 的具体方法也不同,见表5-1(此表非常重要，要熟记).
等轴晶系的定向:
晶体几何常数为: a = b = g = 90°, a = b = c – 三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 – z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
只写出对称型中的三类对称要素 只写出对称轴，对称面，旋转反伸轴，其它对称要素 可根据组合定理推导出来 国际符号中对称要素的表示法 对称面：m 对称轴：以轴次的数字表示，如1、2、3，4和6； 旋转反伸轴：轴次数字上面加“-”号，如1、2、3、 4和6。 由于1=Li1=C,2=Li2=P=m，习惯用1代表对称中心．m代 表2。
r:s:t = MR/a : MK/b : MF/c
• [r s t] = [r s t]
此例：[r v w] = [1 2 3]
2、晶带: (zone) 彼此间的交棱均相互平行的一组晶面之组合。 晶带轴(zone axis) 通过晶体中心的一根直线，它平行于该晶带中的所有晶 面，也就是平行于该晶带中各个晶面的公共交棱，用以 表示晶带方向。
卤钠石(sulphohalite )的平行连生体
赤铜矿的连生晶体
明矾八面体的平行连生
萤石立方体的平行连生
自然铜立方体的树枝状平行连生
内 部 的 晶 体 格 子 是 连 续 的
2、双晶（孪晶） twin
定义：互不平行的同种单体，彼此间按一定的 对称关系相互取向而组成的规则连生晶体。
第三章 半导体晶体定向
（2）晶体定向是研究晶体各种物理性质方向性的基础。
3、晶向指数和晶面指数 （1）定义：在晶体中存在着一系列的原子列或原子平面， 晶体中原子组成的平面叫晶面，原子列表示的方向称 为晶向。 为了便于表示各种晶向和晶面，需要确定一种统一的 标号，称为晶向指数和晶面指数，国际上通用的是密 勒（Miller）指数。
3、通过晶体反射光像的对称性以及光图中心的偏离角， 来确定晶体的生长方向及晶体的晶向偏离角。如图所示
腐蚀面 腐蚀坑底面
A
图3-2-1 入射光通过光屏中心孔 照射到样品经反射后在光屏上产 生的光像
图 3-2-2 入射光被腐蚀坑底主晶 面所反射
二、测试仪的特点
1、光点定向设备简单，准确度也比较高。 2、光源已用激光源直接代替透镜系统，可以获得高亮度和高准 确度的照明光束。
5、晶带定理及应用
（1）晶带定理：
C1
相交于同一直线(或平行于同一 直线)的所有晶面的组合称为晶 带，该直线称为晶带轴，同一 晶带轴中的所有晶面的共同特 点是，所有晶面的法线都与晶 带轴垂直(如图1-23所示)。
C2
设有一晶带其晶带轴为[uvw]晶向，该晶带中任一晶面为 (hkl)，则由矢量代数可以证明晶带轴[uvw]与该晶带的任一 晶面(hkl)之间均具有下列关系： hu+kv+lw =0
C
晶面DOF： (111 )
晶面ABCD： (001 )
G
H E F
晶面AIHO：(210)
O
例2：在立方晶系中画出（210）（ 1 2 1） 晶面。
Z
o Y
X
如图所示，立方晶系中的晶面与晶向：（指数相同的 晶面和晶向相互垂直）
固体物理学基础晶体的晶体学方位与晶体晶体学指数
固体物理学基础晶体的晶体学方位与晶体晶体学指数晶体学是固体物理学的重要分支，研究晶体结构和性质的科学。
在晶体学中，晶体的方位和晶体学指数是两个重要的概念。
本文将介绍晶体的晶体学方位和晶体学指数的基本概念和应用。
一、晶体学方位晶体学方位指的是表征晶体不同晶面朝向的方式。
常用的表示方式有：1. 晶体学坐标系晶体学坐标系是一种用坐标来表示晶体晶面方位的方式。
常见的晶体学坐标系有直角坐标系、直角三角坐标系和斜坐标系等。
在晶体学坐标系中，通过指定晶体晶面与坐标轴之间的夹角和晶面与坐标轴的截距，可以精确地描述晶体晶面方位。
2. 米勒指数米勒指数是用整数来表示晶体晶面方位的一种方式。
其表示方法为(hkl)，其中h、k、l为晶面与坐标轴之间的截距比。
米勒指数可以表示出各个晶面的夹角关系，并可以直观地反映晶体晶面的间隔和排列方式。
二、晶体学指数晶体学指数是晶体学中用来描述晶体晶面方位的一组整数。
指数的选取和表示方法有多种，常见的有：1. 维格纳-斯密特指数维格纳-斯密特指数是一种将晶面投影到晶胞边上的指数表示方法。
该表示方法通过规定某一晶面投影到晶胞边上的整数长度来表示晶面方位。
这种指数表示方法的好处是可以直观地展示晶体晶面的方位，并且易于进行晶体结构分析。
2. 间隔指数间隔指数是用来描述晶体晶面排列紧密程度的一组整数。
在间隔指数中，通过指定晶面的夹角和晶面之间的距离，可以判断出晶体的晶体结构和晶面的排列方式。
三、应用晶体学方位和晶体学指数在研究晶体结构和性质方面具有重要的应用价值。
它们可以帮助科学家确定晶体的晶体结构和晶面的排列方式，为材料的设计和制备提供理论依据。
在材料工程、化学和物理学等领域中，对晶体学方位和晶体学指数的研究和应用也日益重要。
总结：本文介绍了晶体学中晶体的方位和指数的基本概念和应用。
通过晶体学方位和晶体学指数的表示，科学家可以准确描述晶体的晶面方位和排列方式，为材料研究和应用提供了有力的工具。
晶体学基础3
晶体学基础31．5．2倒格子的性质倒格子具有以下基本性质：（1）以倒格子基矢b 1,b 2,b 3为棱边构成的平行六面体称为倒格子原胞，其体积为v *。
()31232*()cv v π=⋅⨯=b b b …………………（1-5-3）（2）倒格矢112233h h h h =++G b b b 和正格子空间中面指数为（h 1h 2h 3）的晶面族正交，即G h 沿晶面族的法线方向。
我们知道，晶面族中最靠近原点的晶面ABC 在123,,a a a 上的截距分别为312123,,a a a h h h ，如图1-18所示，易写出矢量CA 和CB ：31133223h h h h =-=-=-=-a a CA OA OC a a CB OB OC ………………………………………………………（1-5-4）矢量CA 和CB 都在ABC 面上，因此，只要证明00h h ⋅=⎧⎨⋅=⎩G CA G CB ，则就能说明112233h h h h =++G b b b 与面指数为（h 1h 2h 3）的晶面族正交。
实际上，利用关系式（1-5-2），有31112233133211223323()()0,()()0.h h h h h h h h h h h h ⋅=++⋅-=⋅=++⋅-=a a G CA b b b a a G CB b b b …………………………………………（1-5-5）（3）晶面族（h 1h 2h 3）的面间距d h 与倒格矢G h 的模成反比，关系为2h hd π=G 。
图1-18中ABC 面就是晶面族（h 1h 2h 3）中距原点最近的晶面，所以这族晶面的面间距d h 就等于原点到面ABC 的距离，而之族晶面的法线方向即为G h 的方向，其面间距为1112233111112233()2h h h hh h h d h h h h h π⋅++=⋅==++G a b b b a G b b b G 。
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晶体定向的几个基本概念：
（1）结晶轴：晶体坐标系中的坐标轴，需满足晶体对称性 特征。用x轴、y轴、z轴或X轴、Y轴、Z轴表示。 （2）轴角：两个结晶轴正向之夹角。用a，b，g 表示。
（3）轴单位：晶体坐标系中结晶轴的长度单位。是相应 晶体点阵中平行于晶轴的行列上相邻节点间距。用a, b, c分 别表示x轴位之连比。用a:b:c 表示。
（5）晶体几何常数：轴率a:b:c和轴角a，b，g的合称。表 示晶体坐标系特征的一组参数，用以区分不同的晶系。
第三章 晶体的定向和晶体学符号
➢ 晶体学坐标系 ➢ 各晶系的定向方法 ➢ 晶胞与原子坐标 ➢ 晶面指数 ➢ 晶向指数 ➢ 晶带指数
3.1 晶体学坐标系
晶体定向的目的：
建立坐标系，简单明确地描述晶体中晶面、晶列的 空间方位。为研究晶体的结构特性提供定量标记。
晶体的定向：
在晶体中设置符合晶体对称特征或与晶体点阵参数 一致的坐标系，并将晶体按相应的空间取向关系进行安 置。