晶体学符号与倒格子
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二维正格子和倒格子的转换
二维正格子和倒格子的转换在晶体学中,二维晶格的正格子和倒格子形成对偶关系,可以通过傅里叶变换互相转换。
具体转换方法如下：1. 正格子的矢量和倒格子的矢量都用向量符号表示,正格子用$\vec{R}$表示,倒格子用$\vec{G}$表示。
2. 正格子中一个点的位置用$\vec{r}$表示,倒格子中一个点的位置用$\vec{g}$表示。
3. 正格子和倒格子的矢量形成内积为$2\pi n$,其中$n$是整数。
即$\vec{R}\cdot\vec{G}=2\pi n$。
4. 正格子的基矢量是$\vec{a}_1$和$\vec{a}_2$,倒格子的基矢量是$\vec{b}_1$和$\vec{b}_2$。
它们的关系式是：$$\vec{a}_i\cdot\vec{b}_j=2\pi\delta_{ij}$$其中$\delta_{ij}$是克罗内克δ符号,当$i=j$时取值为1,否则取值为0。
5. 正格子和倒格子中,每个点的位置矢量可以用它在对应基矢量上的坐标表示。
即$\vec{r}=x_1\vec{a}_1+x_2\vec{a}_2$,$\vec{g}=y_1\vec{b}_1+y_2\vec{b}_2$。
6. 正格子的基矢量的长度分别为$a_1$和$a_2$,倒格子的基矢量的长度分别为$b_1$和$b_2$。
它们的关系式是：$$\vec{b}_i=\frac{2\pi}{\vec{a}_1\times\vec{a}_2}\vec{a}_j\times(-1)^{i+j}\qquad(i\neq j)$$通过以上规则,可以将一个二维正格子的坐标转换为对应的倒格子坐标。
反之,如果已知二维倒格子的坐标,也可以通过类似的方法转换为正格子坐标。
第二章晶体衍射和倒格子案例
一格点A的格矢则为
0
R ll1 a 1l2 a 2l3 a 3
劳厄衍射方程
从图中看出，光程差为CO+OD
Rl •(SS0)
当光程差为波长整数倍时则衍射加强，即
R l•(SS0)n
考 则虑劳到厄衍射方k程0 也和可2表S示0 为
，k
2
S
S0
CO Rl • S0 A OD Rl • S
R l•(kk0)2n
[110]方向记作Σ： [111]方向记作Λ：
H 2 a
N 2 2 2a
P 3 2 2a
4）面心立方正格子的布里渊区 晶格的基矢和倒格子的基矢为
可见其倒格子为体心立 方结构
a1
a2
a jk
2
a k + i
2
b1
2
a
-i
b2
2
a
i
+ -
j k j+k
a3
a 2
i
j
b3
2
a
i
j
的垂直平分线
同第I布里渊区边界线围成的区域 称为第II布里渊区，其大小为
( 2 )2 a
(4 )
(1 )
b2 b1
(2 )
(3 )
第三布里渊区 由4个倒格点
2b1, 2b2
(2 )
2b1, 2b2
的垂直平分线
同第Ｉ区的边界线和第二II区的边 界线围成第III区，其大小为
( 2 )2 a
(3 )
§2.2.1 倒格子的定义
假设晶格的原胞基矢为 、、，
原胞体积 a 1 a 2 a 3
a1(a2a3)
构建一新的空间，其基 矢为
晶体结构与倒格子基础知识
原胞体积V= a1 ·（a2 × a3 ）= (1/2) a3 ,可得
b1=(2π/a)(y+z)； b2=(2π/a)(x+z)； b3=(2π/a)(x+y)；
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9
倒格子基础知识
很容易看出面心立方晶格的倒格子是体心立方晶格， 体心立方晶格的倒格子是面心立方晶格。
对于面心立方晶格的倒格子（体心立方晶格）有八个 最短的G矢量（倒格矢）： (2π/a)(±x±y±z)
b1= (2π/a)(-x+y+z) ； b2= (2π/a)(x-y+z) ； b3= (2π/a)(x+y-z) ；
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倒格子基础知识
体心立方晶格的倒格子（初基） ： 设初基平移矢量 a1=(1/2)a(-x+y+z) ； a2=(1/2)a(x-y+z) ； a3=(1/2)a(x+y-z) ，
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倒格子基础知识
简单立方晶格的Βιβλιοθήκη 格子（初基）：设初基平移矢量
a1=ax； a2=ay； a3=az， 其中x、y、z是单位矢量。
原胞体积V= a1 ·（a2 × a3 ）=a3 ,可得 b1= (2π/a)x；b2= (2π/a)y； b3= (2π/a)z； 因此简单立方晶格的倒格子仍然是简单立方晶格，晶
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5
倒格子基础知识
在倒格子中，每个倒格点都可以通过下列一组矢量给 出： G=v1b1+v2b2+v3b3
其中v1 、 v2 、 v3取整数。具有这样形式的矢量G被 称为倒格矢（注意与倒格子的区别）。
倒格子是与真实空间相联系的傅里叶空间中的晶格。 正格子中的矢量具有长度的量纲，而倒格子空间中的 矢量则具有长度倒数的量纲。
晶体学3——精选推荐
1．5．2倒格子的性质倒格子具有以下基本性质：（1）以倒格子基矢b 1,b 2,b 3为棱边构成的平行六面体称为倒格子原胞，其体积为v *。
()31232*()c v v π=⋅⨯=b b b …………………（1-5-3）（2）倒格矢112233h h h h =++G b b b 和正格子空间中面指数为（h 1h 2h 3）的晶面族正交，即G h 沿晶面族的法线方向。
我们知道，晶面族中最靠近原点的晶面ABC在123,,a a a 上的截距分别为312123,,a a a h h h ，如图1-18所示，易写出矢量CA 和CB ：31133223h h h h =-=-=-=-a a CA OA OC a a CB OB OC ………………………………………………………（1-5-4） 矢量CA 和CB 都在ABC 面上，因此，只要证明00h h ⋅=⎧⎨⋅=⎩G CA G CB ，则就能说明112233h h h h =++G b b b 与面指数为（h 1h 2h 3）的晶面族正交。
实际上，利用关系式（1-5-2），2,0,i j i j i jπ=⎧⋅=⎨≠⎩a b （其中i 和j 均为1,2,3）…………………………………（1-5-2）有31112233133211223323()()0,()()0.h h h h h h h h h h h h ⋅=++⋅-=⋅=++⋅-=a a G CA b b b a a G CB b b b …………………………………………（1-5-5）（3）晶面族（h 1h 2h 3）的面间距d h 与倒格矢G h 的模成反比，关系为2h h d π=G 。
图1-18中ABC 面就是晶面族（h 1h 2h 3）中距原点最近的晶面，所以这族晶面的面间距d h 就等于原点到面ABC 的距离，而之族晶面的法线方向即为G h 的方向，其面间距为1112233111112233()2h h h hh h h d h h h h h π⋅++=⋅==++G a b b b a G b b b G 。
固体物理03-倒格子空间
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
S v1v2v3 f {1 exp i v2 v3 exp i v1 v3 exp i v1 v2 }
S 4 f 所有指数均为奇数，或均为偶数 S 0 其它情况
面心立方 的x-ray 散射图像
原子形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
对自由原子：
f j 2 dr r 2 d cos n j exp(iGr cos )
j
ρ r rj
定义原子的形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
结构因子
化简后可以得到晶体的结构因子
SG
f eiGr j j
j
对于第 j 个原子
G rj v1b1 v2b2 v2b2 x ja1 y ja2 z ja3 2 v1x j v2 y j v3z j
散射幅度
SG
dV n(r)eiGr
cell
结构因子
结构因子
假设晶胞中有 s 个原子，可以把原胞中的电荷密度分配到每一 个原子上（分配方法不唯一），即:
s
n(r) n j (r rj )
j 1
SG
cell dV n j (r r j )eiGr
j
eiGrj cell dV n j (ρ)eiGρ
晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆 变换。正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子的量钢是 长度的倒数 L-1，称作波矢空间（或称动量空间）。
固体物理第一章 晶体结构4-5
—— 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象
—— 立方晶体的光学性质则是各向同性的 ——已知晶体的对称性，可以简化物理常数的测量
20
固体物理
固体物理学
晶体宏观对称性的描述
列举晶体的全部对称操作：
对称操作是指能使晶体自身重合的动作。 与晶体宏观对称性相对应的是点对称操作 （操作过程中保持空间中至少有一个不动点的 对称操作），包括旋转、中心反演，镜面反映
及它们的联合操作。
对称操作的数目越多，晶体的对称性越高。
21
固体物理
固体物理学 举例：立方晶体的对称操作
绕三个立方轴转 3 , ,
2 2
绕6条面对角线转
绕4条体对角线转
2 4 , 3 3
共9个对称操作
共6个对称操作
共8个对称操作
另外，“不动”也是1个对称操作。以上24个对称以操作 加中心反演仍是对称操作，立方晶体共有48个对称操作。
i,j=1,2,3
注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量 具有相同的量纲。
7
固体物理
固体物理学
2.3位矢之间关系
正格矢： 倒格矢： 二者的关系：
Rl l1 a1 l2 a2 l3 a3
G h h1 b1 h2 b2 h3 b3
G h Rl 2n (n为整数)；
11
固体物理
固体物理学
2 d 晶面族(h1h2h3)的面间距d为 Gh
(2)
证明：由前面的证明可知，原点 到面ABC的距离即为所求面间距 (设为d)。
d OA cos 又 OA Gh OA Gh cos d OA G Gh a1 1 2 ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) h1 Gh Gh
固体物理§1.5倒格子
r r r Kh ⊥ CA Kh ⊥ CB ⇒ Kh ⊥ 晶面 ABC。 ，
9
r 3.倒格矢 Kh和面间距的关系 倒格矢 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。 为晶面族中最靠近原点的晶面。 晶面 为晶面族中最靠近原点的晶面
dh1h2h3 r a1 = ⋅ h1
r r r r r Kh a1 ⋅ h1b1 + h2b2 + h2b3 r = r Kh h1 Kh
( Ω Ω＝2π )
∗
3
3 r r r (2π ) (a a ) [(a a ) (a a )] r r r r r r ∗ Ω = b1 ⋅ (b2 × b3 ) = 2× 3 ⋅ 3× 1 × 1× 2 3 Ω r r r r r r r r r 利用： A 利用： × (B × C) = ( A⋅ C)B − ( A⋅ B)C r r r r r r r r r r r r r (a3 × a1 ) × (a1 × a2 ) = [(a3 × a1 ) ⋅ a2 ]a1 − [(a3 × a1 ) ⋅ a1 ]a2 = Ωa1
1
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系 倒格子基矢和正格子基矢之间的关系
r r r r r r 正格子基矢： a 正格子基矢： 1、a2、a3；倒格子基矢： 1、b2、b3; 倒格子基矢： b
晶面族： a d 晶面族： 1a2、a2a3、a3a1的面间距分别为 3、d1、d2;
r b3
r a3
r b2
3.倒格矢和正格矢的关系 倒格矢和正格矢的关系
r r r r r r r r Kh ⋅ Rl = (l1a1 + l2a2 + l3a3 ) ⋅ (h b1 + h2b2 + h3b3 ) 1 = 2πµ (µ为整数)
固体物理03-倒格子空间
实空间点阵
简立方
a1 a i, a2 a j, a3 a k
倒空间点阵
简立方
2
2
2
b1 a i, b2 a j, b3 a k
2 a 2
a
2 a
四方晶格
简单点阵的倒易点阵也是简单点阵。 正格子的基矢越长，倒格子的基矢越短，反之亦然。
六角点阵
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结构。 不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了30度。
k 2 2k G G 2 k 2
2k G G 2 (G 和 –G 都是倒格矢)
G
衍射方程(也是布里渊区的边界方程)
k
k ·(G/2)=(G/2)2
Ewald 图解法
1. 选择原点以入射 k 矢长度 为半径作圆，保证另一端 点在倒格矢上。
2. 连接从原点到与圆相交的 所有倒格矢的波矢k’都能 发生衍射。
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
4. 原子力显微镜（实空间，表面）
中国散裂中子源
扫描隧道显微镜（STM）
Si (100) 表面
原子力显微镜（AFM）
Si (111) 表面
作业 2
1. 证明正格子与倒格子互易 2. 证明面心立方格子的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是
面心立方！
3. 证明只有 k G' 时，衍射幅度F才不为0。
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例题：在立方晶系中画出（210）与 晶面 （ 121）
画晶面时，标注出面与晶轴交点离原点的距离（以晶轴长度为单位）
晶面指数说明
• 1，坐标系建立：晶体中坐标系x，y，z不一定是正交系，但满足右手 关系，其中晶轴a，b，c分别对应x，y，z轴。 • 2，当晶面交于晶轴的负方向是，对应的指数就是负值，并将负号标 注在数字的上面。 • 3，晶面指数中的1，2，3位数字分别代表与a，b，c轴的截距倒数。 • 4，一个晶面指数代表某一方向（晶面法向）的一组晶面，而不是一 个面。 • 5，晶面对应某晶轴的指数为零时，晶面平行于该晶轴。 • 6，与晶向指数类似，晶体中存在一组等价晶面，即晶面族，用{hkl} 表示。 • 7，设基矢a，b，c ，末端分别落在离原点距离为hd，kd，ld 的晶面 上，h，k，l 为整数，d为晶面间距，h，k，l是互质的整数。用结晶学 原胞（惯用晶胞）基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。
指数为负数的情况
A 轴截距为1 B轴截距为1/2 C轴截距为－1/3
(123)
例：在一个面心立方晶胞中画出(012)和(122)晶面。
c b
a
b
a
b
晶面指数等于0，则平行该轴！存在附加面！
晶面指数标注：
1/2
晶面指数确定时选择离原点最近的晶面。 判断方法：过原点做已知晶面的平行面，看两平行晶面间是否有格点不在晶面上？
z [100] 2
[100]
[100] x
o
y
x
z
[011]
晶向指数实际上代表所有相互平行、
1
o [011] x 2 y
方向一致的晶向。
平行反向有“—”号
例题：立方晶胞中，已知晶向指数[231] ，画出[231]晶向？
z
o
y
x
晶胞外延法
例题：立方晶胞中，已知晶向指数[121]，画出晶向?
z
[121]
晶面方位
• 1，晶体基矢被平面的晶面平分成h，k，l等份 • 2，晶面的法向与基矢夹角的方向余弦存在如 下关系：（证明略）
h k l cos : cos : cos = : : a b c
晶面
c
晶面法向
cos : cos : cos =h : k : l
cos cos cos 1
2 2 2
Байду номын сангаас
对于立方晶系有：
b
O a
晶面法向与a,b,c的夹角为，，
晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相同），空间 位向不同的各组晶面，用{hkl}表示。--VESTA图形软件演示说明
等价晶面判断：晶面上格点的分布特征是否相同！ 1，三斜晶系无等价晶面
2，单斜晶面族
• 单斜晶系具有c轴方向的2次轴，能使-a，-b轴方向与a，b 轴等价，所以（hkl）与（hkl）等价。2个等价晶面。
(hkl),(hkl),(hkl),(hkl );(khl),(khl),(khl),(khl )8个等价晶面。
（ 121）与（211）等价
5，立方晶系
a=b=c,h,k,l可以互换并可以反号。
(hkl ),(hkl ),(hkl ),(hkl ); (hlk ),(hlk ),(hlk ),(hlk ); (khl ),(khl ),(khl ),(khl ); (klh ),(klh ),(klh ),(klh ); (lhk ),(lhk ),(lhk ),(lhk ); (lkh ),(lkh ),(lkh ),(lkh ). 共24个等价晶面。
（ 121）与（ 121）
3，正交晶系
• a,b,c轴上2次轴或2次反轴，但a，b，c 不相 等。h，k，l不能互换位置，但可以单独反 （hkl),(hkl),(hkl),(hkl)4个等价晶面。 号。故有：
（ 121）与（ 121）
（121）与（ 121）
（121）
（121）
4，四方晶系
a=b，不等于c，所以h，k可以互换，h，k，l 可以反号。故有：
投影法为主
确定晶向指数（坐标法）：适用于实际材料中，确定某 两个原子连线对应的晶向，或者晶向矢量不过原点 求法步骤：定原点— 建坐标— 求坐标差—化最 小整数比—加[ ]
终点原子的分数坐标(x2,y2,z2)减去起点(x1,y1,z1)
即：计算△x=x2-x1 ， △y=y2-y1， △z=z2-z1
z [121]
1 1 [ 1 ] 2 2
1 1 ( ,1, ) 2 2
o
y
o
y
x
晶胞外延法
x
化分数法
晶向族
晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用<uvw> 表示，数字相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。
100
6个方向
111
8个方向
110
12个方向
一般晶向指数<uvw>的等价方向
那么：cosφ1 = 0.0711, cosφ2 = -0.0668, cosφ3 = -0.0854； 得夹角为φ1 (Zn)= 85.9º , φ2 (Mg)= 93.8º , φ3 (Ti)= 94.9º 。
晶面指数（晶体几何晶面） 以七大晶系（初级点阵）建立的晶面，不考虑点阵结构（复式点阵）及实际晶体 中的原子（原子面） 定义：在晶格中， 通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，该平面称为晶体面。 描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
来表示晶体结构的空间的各个方向。
晶面——晶体结构一系列原子（点阵点）所构成的平面。 晶向指数和晶面指数是分别表示晶向和晶面的符号，国际上 用Ｍiller指数（Ｍiller indices ）来统一标定。
晶向特点： 1，平行晶向组成晶向族，晶向族包含所有格点 2，晶向上格点分布是周期性的 3，晶向族中的每一晶向上， 格点分布是相同的 4，在同一个平面内， 相邻晶向列间的距离相等 5，晶向可以不过点阵点，但同一晶向族中所有晶向保持一致
晶向
实际晶体中，晶向标注要么过点阵点， 要么经过特殊位置的原子。
晶向指数
将m，n，p化为互质的整数 即得晶向指数［uvw］
晶向指数的确定方法（投影法） (1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐 标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标 晶向上。 (2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。 (3)将x，y，z化成最小的简单整数比u，v，w，且u： v∶w = x∶y∶z。 (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
(111)
(112)
o
c
(110)
b
画晶面、晶向时， 首先标注好晶体坐标系。 晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全 相同），空间位向不同的各组晶面称为一个晶面族。
晶面特点：所有格点都在晶面上
晶面指数的确定方法
(1) 建立以晶轴 a，b，c为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上 一 组 互相平行的晶面中任 选一个晶面， 的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c。 出它在三个坐 标轴上的截距并以点阵的 (2)求出待标晶面在 a ，b ，c 轴上的截距x，y，z。如该晶面与某轴平行，则截距 个 单位向量a, b, c来度量； 为∞。 (3)取截距的倒数1/x，1/y，1/z。 出三个截距的倒数； (4)将这些倒数化成最小的简单整数比h，k，l，使h∶k∶l= 1/x∶1/y∶1/z。 三个倒数分 别 乘以分母的最小公倍数， (5)如有某一数为负值，则将负号标注在该数字的上方，将h，k，l置于圆括号内， 它 们(化 三个 简单整数， 再用圆括号括 写成 hkl)为 ，则 (hkl)就是待标晶面的晶面指数。 ， 即为该组晶面的晶面指数， 记为( hkl ) 。 注意：截距为交点到原点距离除以对应晶轴矢量长度 然， h, k, l 为互质整数 晶面截距均为有理数，即晶轴被一组晶面平分。证明略！
夹角 R1 R2 R 1R 2 晶向矢量模（晶向长度） cos R 2 =R R =u2a 2 v 2b 2 w 2c 2 2uv a b 2vw b c 2wu c a
R
u2a 2 v 2b 2 w 2c 2 2uv a b 2vw b c 2wu c a
延申问题：晶体晶面与晶体表面对应关系与区别
简单金属表面与晶面
晶体一般的外表面是由一些晶面指数小的晶面组成。 原因：面内原子密度大，表面能低。晶面稳定。
（111）
晶面与晶体外形
（100）
延申问题：晶体晶面与晶体表面对应关系与区别
晶面可以不需要考虑晶体的内容（原子），只需要考虑点阵结构。 表面必须考虑晶体中的原子，一个晶面可能对应不同原子排布的晶体表面。
求六方晶系中晶向长度：
举例（练习）
• 计算六方晶体： Zn(c/a=1.86)、Mg(c/a=1.62) [211]和[211]晶向 和Ti(c/a=1.59)三种金属中 的夹角分别为多少？
忽略原子，以点阵点画晶向
[211]
[211]
R1 R 2 R1 R1 3a 2 c 2 R1 R 2 (2a b c) (2a b c) 4a 2 a 2 a 2 a 2 c 2 c 2 3a 2 cos c 2 3a 2 / 3a 2 c 2
晶向，晶面，倒格子
袁定旺
本章内容
• 晶向，晶面指数 • 倒格子 • 晶带轴定律
讨论：请指出那些原子位于点阵点，晶胞内的等价原子，对称性上的等 价原子
晶体结构中，原子位置表示方法：分数坐标
位置 A B 坐标 （0，0，0）原点 （1/2，1/2，1/2）
B A