晶体定向和晶体学符号
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晶体学基础第三章-晶体的定向和晶体学符号
晶体定向的几个基本概念：
（1）结晶轴：晶体坐标系中的坐标轴，需满足晶体对称性 特征。用x轴、y轴、z轴或X轴、Y轴、Z轴表示。 （2）轴角：两个结晶轴正向之夹角。用a，b，g 表示。
（3）轴单位：晶体坐标系中结晶轴的长度单位。是相应 晶体点阵中平行于晶轴的行列上相邻节点间距。用a, b, c分 别表示x轴位之连比。用a:b:c 表示。
（5）晶体几何常数：轴率a:b:c和轴角a，b，g的合称。表 示晶体坐标系特征的一组参数，用以区分不同的晶系。
第三章 晶体的定向和晶体学符号
➢ 晶体学坐标系 ➢ 各晶系的定向方法 ➢ 晶胞与原子坐标 ➢ 晶面指数 ➢ 晶向指数 ➢ 晶带指数
3.1 晶体学坐标系
晶体定向的目的：
建立坐标系，简单明确地描述晶体中晶面、晶列的 空间方位。为研究晶体的结构特性提供定量标记。
晶体的定向：
在晶体中设置符合晶体对称特征或与晶体点阵参数 一致的坐标系，并将晶体按相应的空间取向关系进行安 置。
晶体定向晶面符号与晶带解析
c0 表示。由于晶体结构中的结点间距较小，（一般以nm 计），需要藉X射线才能测定，对晶体外形的宏观研究不能
定出其轴长，但利用几何结晶学方法可以求出它们的比率
a0∶b0∶c0（或表示为a∶b∶c ），这一比率称为轴率。
Z
c0
a0
b0
Y
X
不同物质晶体结构不同，结点间距不同，轴长各不相同。
等轴晶系 对称程度高，晶轴X、Y、Z 为彼此对称的行列， 它们通过对称要素的操作可以相互重合，因此它们的轴长是 相同的。即 a＝b＝c ，轴率 a：b：c ＝1：1：1
U
Y
三六方晶系
X－
Y－
Z
Y
Y－
Z
Y
X
X
U－
X－
Y－
Y
X
注意：只有等轴晶系晶体在倾斜的位置才能出现对称面， 因此，只有等轴晶系晶体投影时才能画该位置的辅助线， 目的是确定四个三次轴的位置（P41表I-4-5）。
（3）轴长与轴率： 晶轴系格子构造中的行列，该行列上的
结点间距称为轴长。 X、Y、Z 个轴上的轴长分别以 a0、b0、
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
斜方晶系a≠b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z U
Y X
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
确定了晶体的对称型，仍不一定获得有关形态的完 整概念。
四个晶体的对称型都是L44L25PC，其中中间两个都 是四方柱和四方双锥组成。
定出其轴长，但利用几何结晶学方法可以求出它们的比率
a0∶b0∶c0（或表示为a∶b∶c ），这一比率称为轴率。
Z
c0
a0
b0
Y
X
不同物质晶体结构不同，结点间距不同，轴长各不相同。
等轴晶系 对称程度高，晶轴X、Y、Z 为彼此对称的行列， 它们通过对称要素的操作可以相互重合，因此它们的轴长是 相同的。即 a＝b＝c ，轴率 a：b：c ＝1：1：1
U
Y
三六方晶系
X－
Y－
Z
Y
Y－
Z
Y
X
X
U－
X－
Y－
Y
X
注意：只有等轴晶系晶体在倾斜的位置才能出现对称面， 因此，只有等轴晶系晶体投影时才能画该位置的辅助线， 目的是确定四个三次轴的位置（P41表I-4-5）。
（3）轴长与轴率： 晶轴系格子构造中的行列，该行列上的
结点间距称为轴长。 X、Y、Z 个轴上的轴长分别以 a0、b0、
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
斜方晶系a≠b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z U
Y X
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
确定了晶体的对称型，仍不一定获得有关形态的完 整概念。
四个晶体的对称型都是L44L25PC，其中中间两个都 是四方柱和四方双锥组成。
3.晶体定向及晶面符号概述
面 -----单面 1、平行双面1、反映双面及轴双面1 。
柱 ----（单柱 4 、复柱3） 锥 ----（单锥7、双锥 7） 体 ------ 23
低级晶族的单形
平行双面
轴双面
斜方单锥
斜方四面体
斜方双锥
斜方柱
中级晶族的单形
三方单锥
六方单锥
四方单锥
复三方单锥复六方单锥复四方Fra bibliotek锥三方双锥
六方双锥
四方双锥
晶面符号举例！
1. 等轴晶系：立方体、八面体 2. 四方晶系：四方柱、四方双锥 3. 六方晶系：六方柱 4. 三方晶系：菱面体 5. 斜方晶系：斜方双锥 6. 单斜晶系：石膏单晶
3、简整指数定律： 晶面在晶轴上的截距系数之比，往往为简单的整数比。 （1）简单？见P.38 图4-8 网面密度：a1b1 ＞ a1b2 ＞ a1b3 ＞ a1b4 ＞ ……a1bx 晶面在x、y、轴上的截距系数之比： b1 b2 b3 b4 b5 b6 bx a1b1 = 1:1 Z Y a1b2 = 1:2 a1b3 = 1:3 a1 a1b4 = 1:4 …… a2 a1bx= 1: x 网面密度越大、晶面在 X 晶轴上的截距系数之比 网面密度与截距系数比的关系 越简单。布拉维法则： 实际晶体往往被网面密度较大的晶面所包围。
（2）整数？（见P.38 图4-7 ） 把平行于晶胞的三个行列 作为晶轴，用该行列上的结 点间距作为轴单位。晶轴相 应于行列，晶面相应于面网， 晶面截晶轴于结点（a1b2）， 或者晶面平移后截晶轴于结 点（kb5→a2b4），故晶面在 晶轴上的截距系数之比必为 一整数比。
（a1b2：x=1a ，y= 2b ：即1: 2） （a2b4：x=2a ，y= 4b ：即2: 4）
第四讲晶体定向和符号
晶轴选择原则② 要尽可能使晶轴间相互垂 直或近垂直， 直或近垂直，并使轴单位趋于 相等。 相等。 即尽可能使： 即尽可能使： α=β=γ= 90° ° a=b=c。
（2）确定晶体常数 晶体的几何常数——轴角 、 晶体的几何常数 轴角α、 轴角 β、γ和轴率 ∶b∶c。 和轴率a∶ ∶ 。 、 和轴率
β x
z α γ y
α（y∧z） y∧z） β（z∧x） z∧x） γ（x∧y） x∧y）
晶体常数② 晶体常数② 轴单位 晶轴与空间格子中的行列相 对应， 对应，行列上结点的间距称为轴 单位（轴长）。 单位（轴长） 轴单位是结晶轴长度计量的 单位。 单位。即：a、b、c。
晶体常数③ 晶体常数③ 轴率
1.晶面符号的概念 1.晶面符号的概念 2.米氏符号的表示方法 2.米氏符号的表示方法 3.米氏符号的晶面指数特点 3.米氏符号的晶面指数特点 4.晶面指数写法 4.晶面指数写法
1.晶面符号的概念 1.晶面符号的概念 晶面符号—— ——表征晶面空间 晶面符号——表征晶面空间 方位的符号。 方位的符号。
第三节 晶 棱 符 号
1.晶棱符号的概念 1.晶棱符号的概念 2.晶棱符号的构成及确定方法 2.晶棱符号的构成及确定方法 3.晶棱符号举例 3.晶棱符号举例
1.晶棱符号的概念 1.晶棱符号的概念 晶棱符号是表征晶棱空间方 晶棱符号是表征晶棱空间方 位的符号。 位的符号。 晶棱符号不涉及晶棱的具体 位置， 位置，即所有平行的晶棱都具有 同一个晶棱符号。 同一个晶棱符号。
在图中， 在图中，网面密度a1b1
网面密度越大,晶面在晶轴上的截距系 网面密度越大 晶面在晶轴上的截距系 根据布拉维法则可知,晶面 数之比愈简单.根据布拉维法则可知 数之比愈简单 根据布拉维法则可知 晶面 在晶轴上的截距系数之比为简单整数比. 在晶轴上的截距系数之比为简单整数比
5第五讲 晶体定向及结晶符号
第五章 晶体定向及结晶符号
2．晶带：
交棱相互平行的一组晶面的组合称为晶带。晶带由多个晶面组 成，一个晶面可属于多个晶带。 晶带轴：假象的直线，平行晶带公共交棱方向并通过晶体中 心的直线。该晶带轴符号同与之平行的晶棱符号相同。 晶带定律：任意两晶棱（晶带）相交比可决定一个可能晶 面，任意两个晶面相交比可决定一个可能晶棱（晶带）。
3．晶面符号书写方法（按结晶轴顺序）： 三轴定向（XYZ）— （hkl） 四轴定向（XYUZ）— （hkil）
注意： 若晶面与晶轴负半轴相交，晶面指数上加负号。
4．晶面指数规律和特点：
（1）截距系数越大指数越小；当晶面与晶轴平行时，指数 为0。 （2）一般式中字母和数字不能同时混用，但可出现0和系数， 如（hk0）。 （3）三、六方晶系晶面指数前三位代数和为0。
第五章 晶体定向及结晶符号
思考题：
1、模型上形态相同的晶面符号有何规律？ 2、在低级晶族的各晶系中（001）与Z轴的关系如何（垂直、 斜交）？ 3、在等轴晶系中（1）与XYZ轴等截距相交的晶面有哪些？晶 面符号特点（2）与二个结晶轴等截距相交与另一晶轴 平行的晶面有哪些？晶面符号？
第五章 晶体定向及结晶符号
第五章 晶体定向及结晶符号
3. 对称型的国际符号 对称型只列出所有对称要素，标明了各要素的数量，但 不能表达所有要素的空间方位。 以一定的原则制定更为简单的符号代替简单的对称型罗 列，表达数量和方位，即国际符号和圣弗利斯符号。 国际符号：由Hermann和Mauguin创立，所以也称HM符号。
3.顺序 x，y，z 或x，y，u，z 4.一般形式 （hkl）或（hkil）
Z
A
c a
O b Y
X
晶体定向和晶面符号
3L2为三轴，（3L2；3L23PC） L2为Z轴，2个P的法线为X、Y轴（L22P） L2为Y轴（L2；L2PC） P之法线为Y轴（P） 2个均垂直与b轴的适当晶棱方向为X、Z轴 三个适当的晶棱方向为Z、X、Y轴
三、晶面符号
晶体定向后，表示晶面在空间相对位置的符号，又 叫米氏符号。
即晶面在三个晶轴(X,Y,Z)上截距系数的倒数比h:k:l； 通常表示为（hkl）
3、同一米氏符号中，如有两个指数的绝对值相等，而且 与它们相对应的那两个结晶轴的轴单位也相等时，则晶面 与此二结晶轴以等角度相交；
4、在同一个晶体中，如有两个晶面的三组米氏指数的绝 对值全都相等，而且正、负号恰好全都相反，则此二晶面 平行。
四、单形符号
1、因为单形是一组由对称要素联系起来的相同晶面， 故可以用一个面来表示整个单形。
晶体定向和晶面符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位
二、建立坐标系统
1、晶体是多面体
三维坐标系统
三个方向即晶轴 量度单位轴单位
2、选择方法
微观上： 选择平行六面体中交于一点的三个行列的方向
宏观体现： 选择对称轴、对称面的法线、晶棱 的方向
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
a=b≠c α=β=γ＝90°
a≠b≠c α=γ=90° β＞90°
a≠b≠c
α≠β ≠ γ a≠b≠c
选轴原则（按晶体几何常数特征）
以三个相互垂直的L4(Li4,L2)为X、Y、Z三 轴
唯一的高次轴为Z轴; 两个相互垂直的L2(P 之法线,晶棱)为X、Y轴
唯一的高次轴为Z轴 三个互成60°交角的L2(P之法线，适当晶 棱）为X、Y、U轴
三、晶面符号
晶体定向后，表示晶面在空间相对位置的符号，又 叫米氏符号。
即晶面在三个晶轴(X,Y,Z)上截距系数的倒数比h:k:l； 通常表示为（hkl）
3、同一米氏符号中，如有两个指数的绝对值相等，而且 与它们相对应的那两个结晶轴的轴单位也相等时，则晶面 与此二结晶轴以等角度相交；
4、在同一个晶体中，如有两个晶面的三组米氏指数的绝 对值全都相等，而且正、负号恰好全都相反，则此二晶面 平行。
四、单形符号
1、因为单形是一组由对称要素联系起来的相同晶面， 故可以用一个面来表示整个单形。
晶体定向和晶面符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位
二、建立坐标系统
1、晶体是多面体
三维坐标系统
三个方向即晶轴 量度单位轴单位
2、选择方法
微观上： 选择平行六面体中交于一点的三个行列的方向
宏观体现： 选择对称轴、对称面的法线、晶棱 的方向
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
a=b≠c α=β=γ＝90°
a≠b≠c α=γ=90° β＞90°
a≠b≠c
α≠β ≠ γ a≠b≠c
选轴原则（按晶体几何常数特征）
以三个相互垂直的L4(Li4,L2)为X、Y、Z三 轴
唯一的高次轴为Z轴; 两个相互垂直的L2(P 之法线,晶棱)为X、Y轴
唯一的高次轴为Z轴 三个互成60°交角的L2(P之法线，适当晶 棱）为X、Y、U轴
5-第四章晶体定向和晶体符号精品文档13页
第四章 晶体定向和晶体符号[内容介绍] 本章介绍晶体定向、晶面符号、单形符号、晶带符号的概念、各晶系晶体的定向原则及各种晶体符号的确定方法。
[学习目的] 理解和掌握晶体定向、晶体符号的概念及其确定原则和方法，系统地掌握结晶学的基本知识，为学习矿物学和晶体光学打下良好基础。
图4-1所示的两个晶体，都是由四方柱和四方双锥组成的聚形，均属L 44L 25PC 对称型，但其形态明显不同。
这种形态的差异，是由于四方柱和四方双锥的相对位置不同造成的。
由此可见，在研究晶体时，仅确定其对称型和由哪些单形所组成，仍不能获得晶体形态的完整概念，必须进一步确定各单形在空间的相对位置，因而需要在晶体上选定一个坐标系统，这就是晶体定向。
还必须进一步研究晶面、晶棱（晶带）以及单形等在晶体上的方向，并用一定的符号表示它们，这就是所谓的晶面符号、晶棱符号与单形符号。
这些符号统称为晶体符号。
晶体定向和晶体符号不仅在研究晶体形态时需要，在确切地描述晶体的异向性、对称性以及矿物鉴定、矿物内部结构和物理性质的研究工作中都具有重要的意义。
第一节 晶 体 定 向一、晶体定向的概念晶体定向就是在晶体中确定坐标系统。
具体说来，就是要选定坐标轴（晶轴）和确定各晶轴上单位长度（轴长）及其比值（轴率）。
（一）晶轴 如图4-2所示，晶轴系交于晶体中心的三条直线，它们分别为a 轴（或称x 轴）前端为“+”，后端为“-”、b 轴（或称y 轴）右端为“+”，左端为“-”和c 轴（或称z 轴）上端为“+”，下端为“-”；对于三方和六方晶系要增加一个d 轴或称u 轴，前端为“-”，后端为“+”（图4-3）。
晶轴的选择：晶体中晶轴的选择应与空间格子类型的特征相吻合。
三个晶轴的方向应当平行晶胞中三个棱的方向。
由于对称轴、对称面法线及晶棱的方向与空间格子的行列方向相平行。
因此，晶轴的选择，首先应选对称称轴作为晶轴，在无对称轴及对称轴数量不足时，可选对称面法线作为晶轴，若两者均缺乏时，则可选择平行主要晶棱的方向线作为晶轴。
第4章 晶体定向和晶体学符号
5
结晶学与矿物学
晶体定向方法
• 各晶系的晶体几何常数特点
– – – – – – 等轴晶系：a = b = c，a = b = g = 90； 四方晶系：a = b ≠ c，a = b = g = 90； 三方和六方晶系：a = b ≠ c，a = b = 90，g = 120； 斜方晶系：a ≠ b ≠ c，a = b = g = 90； 单斜晶系：a ≠ b ≠ c，a = g = 90，b > 90； 三斜晶系：a ≠ b ≠ c，a ≠ b ≠ g；
符号统称结晶符号
由于晶体的各种特性(形态、物性、结构等)都与晶 体的方向有关，所以晶体定向是研究晶体的最基本 的工作
2
一、晶体定向方法
晶体定向就是在晶体中以晶 体中心为原点建立一个坐标 系，这个坐标系一般由三根 晶轴X、Y、Z轴(也可用a、b、 c轴表示)组成。三根晶轴正 端之 间的夹角分别表示为 α(Y∧Z)、β(Z∧X)、 γ(X∧Y)。对于三、六方晶 系的晶体，通常要用四轴定 向法，即要选出四根晶轴
25
结晶学与矿物学
实际晶体之晶面
26
结晶学与矿物学
晶带符号
• 晶带(zone)
– 交棱相互平行的一组晶面的组合
• 晶带轴(zone axis)
– 表示晶带方向的一根直线，即该晶带中各晶面交棱方 向直线，并移至过晶体中心
• 晶带符号(zone symbol)
– 晶带轴的符号就是晶棱符号。通常以晶带轴符号来表 示晶带符号
• 晶面可与晶轴垂直, 平行或斜交
19
结晶学与矿物学
晶面符号
– 举例（3D）
c
C Z
x = (h k l) = ? y = (h k l) = ?
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a=b<>c
唯一的L4或Li4为 z 轴; 相互垂直的L2, 或相互
垂直的对称面法线, 或适当的晶棱为 x, y 轴； z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平。
3. 正交（斜方）晶系晶体定向
晶格常数为: a = b = g = 90 °
a<>b<>c
三个相互垂直的L2为 z, x, y 轴; 或L2为z轴, 相互垂直的对称面法线为 x, y 轴 z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平
OP在a1, a2, a3轴的垂直投影OA, OB, OC
t= -( u+v ) OA+OB=-5/2+(-1)=-7/2=-OC 满足：
还可以证明： OA+OB+OC=3/2 OP 求密布氏指数首先求出晶向上任一结点 在四轴的垂直投影； 然后将前3个指数分别乘以2/3； 再和第四个数值化为最小整数即为密布 氏指数。 -5/2, -1, 7/2, 0，晶向指数为[5270]
（ 2 ）轴角：两个结晶轴正向 之夹角。用a，b，g 表示。
结晶轴选择原则
符合晶体本身的对称 适宜的对称元素作为结晶轴
适宜的晶棱方向作为结晶轴
尽量使得晶轴之间夹角为90
晶体定向的几个基本概念
（ 3 ）轴单位：晶体坐标系中结晶轴的长度单位。是相应 晶体点阵中平行于晶轴的行列上相邻节点间距。用a, b, c分 别表示x轴、y轴、z轴的轴单位。 （4）轴率：结晶轴的轴单位之连比。用a:b:c 表示。 （5）晶体几何常数：轴率a:b:c和轴角a，b，g的合称。表 示晶体坐标系特征的一组参数，用以区分不同的晶系。
晶面族
z
（001）
用{h k l}表示对称性联系的一组晶面， 称为晶面族Family of planes.
y
x （100）
（010）
{110}: (110), (110), (110), (110), (101), (101), (101), (101), (011), (011), (011), (011)
四轴定向：
四轴定向坐标系的晶面指数：
三、晶带与晶带符号
晶带：彼此间相交的晶列相互平行的（交线平行 的）晶面族的集合，即平行或相交于同一晶列的 晶面族的总称。
三、晶带与晶带符号
晶带符号：用晶带轴表示，
晶带 晶带轴——晶带中与晶面交线平行的直线，平行于晶带 中所有的晶面。 这些晶面称为共带面。
晶带定律：任一属于[u v w]晶带的晶面（h k l）（共 带面），必有(晶带方程)： hu ＋ kv ＋ lw＝0
法线
c b O a
邻近两平行晶面间的垂直距离称为 晶面间距； • 从原点作（h k l）晶面的法线； • 法线被最近邻的（h k l）面所交截 的距离即是晶面间距。
•
*
• 立方晶系晶面夹角
晶面夹角 —— 晶面法线之间的夹角
晶面与 晶面的夹角为
• 立方晶系中晶向 [h k l] 与晶面 (h k l) 垂直
1.等轴晶系定向 晶格常数为:
Y
a = b = g = 90 °
a=b=c
三个互相垂直的L4, Li4 或L2为 x, y, z 轴； z 轴直立，y 轴左右水 平，x 轴前后水平。 如此定向完全符合等 轴晶系几何常数的特 征，选轴原则。
2. 四方晶系晶体定向
晶格常数为:
a = b = g = 90 °
• 三个单胞拼成一个六 面柱体来研究。
六方晶系指数及标定
密氏指数：
120°
• 3轴坐标系（a1, a2, c） • 缺点：同一晶面族或晶向族，其指数不类似。 • 如，(100)和(110)属于同一晶面族， [100]和[110]属 于同一晶向族，但是从其指数上看不出来。 • 由六方系对称性可看出，很难从三轴坐标指数找出 等价面指数间的规律性。
六方晶系指数及标定
密布氏晶面指数：
120° 120° • 采用4轴坐标系（a1, a2, a3, c) 。 • a1, a2, a3, 轴共面，轴间夹角120度，垂直C轴; • 晶面指数（h k i l ) 求法与密氏指数相同； • 任一平面的a1, a2, a3晶面指数关系：i= -( h+k )
—— 同族中其它晶面的截距是
的整数倍
的倒数是晶面族中最靠近原点的晶面的截距；
密勒指数 —— 标记这个晶面系 —— 以单胞的基矢为参考， 所得出的晶面的密勒指数， 有着重要的意义。
整数定律（有理指数定律）
• 采用整数定律证明晶面指数都是小的整数。 • 如果以平行于三根不共面晶列（晶棱）的直线作为 坐标轴，则晶体上任意两晶面在三个坐标轴上的对应 截距的系数之比为简单整数比。其倒数之比即为晶面 指数，也是小的整数。
u: v: w = k1 l1 k2 l2 l1 h1 : : l2 h2 h1 k1 h2 k2
※ 由2个晶带确定同属于这2个晶带 [u1v1w1]和[u2v2w2]的晶面指数(hkl) ：
h: k: l = w1 u1 v1 w1 : : w2 u2 v2 w2 u1 v 1 u2 v 2
晶面间距
• 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表 面时才有意义 , 在晶体内部这些面都是等效的 。 不考虑符号相反的晶面，则
面等效的晶面数分别为：3个 表示为
面等效的晶面数分别为：6个 表示为
面等效的晶面数分别为：4个 表示为
六方晶系指数及标定
(110)
(100)
(110)
(100)
• 六方系的单胞不 能反映点阵的对称 性;
建立坐标系，简单明确地描述晶体中平面（晶面）、直线 （晶棱及晶列）的空间方位。为研究晶体的结构特性提供 定量标记。
晶体中平行直线簇 —— 晶列
晶体的定向：
在晶体中设置符合晶体对称特征或与晶体点阵参数一 致的坐标系，并将晶体按相应的空间取向关系进行安置。
晶体定向的几个基本概念
（ 1 ）结晶轴：晶体坐标系中的 坐标轴，需满足晶体对称性特 征。用 x 轴、 y 轴、 z 轴或 X 轴、 Y 轴、Z轴表示。
• 点阵晶胞和结构晶胞都称为晶胞。
•点阵晶胞的结点代表空间点阵中的阵点位置。 结构晶胞的结点代表晶体中原子所在的位置。
晶胞的两个要素确定空间结构
(1) 大小和形状，由6个点阵常数a, b, c 以及夹角α, β, γ确定；
(2) 各个原子的位置，由原子坐标表示。
3.1
晶体定向的目的：
晶体学坐标系
原子坐标
• 以晶胞基矢为单位矢量建 立晶体学坐标系，以晶胞基 矢长度为单位，以数字表示 晶胞中原子中心所处的位置。
体心立方晶胞
面心立方晶胞
也可以将原子的位置投影到晶胞底面上，以数字 标明原子的高度；
原子坐标常在立方晶系的晶胞中使用。
3.4 晶体学符号
一、晶向符号：晶向指数
—— 在晶体中作一簇 平行的直线，这些平 行直线可以将所有的 格点包括无遗； 平行直线簇 —— 晶列
晶格常数为: a < > b < > g < > 90 °, a < > b < > c
二、晶体的四轴定向---六方晶系晶体定向
六方晶系四轴定向水平轴的安置
晶格常数为: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
选择唯一的高次轴作为直立结晶轴c轴，在垂直 z 轴的平面内选择三个相同的、即互成120°交 角的L2或P的法线，或适当的显著晶棱方向作为 水平结晶轴，即x 轴、 y 轴以及 d 轴(u轴)。
晶面的标志---晶面指数
取某一原子为原点O，晶胞的三个基矢
为坐标系的三个轴不一定相互正交；
—— 晶格中一族的晶面不仅平行，并且相邻晶面之间的距 离相等。 —— 一族晶面必包含了
所有格点而无遗漏。
设
末端上的格点分别落在离原点的距离 的晶面上 —— 整数 —— 晶面间距
—— 最靠近原点的晶面 在坐标轴上的截距。
<100>: [100], [010], [001], [100], [010], [001]
面对角线OB的晶向
—— 面对角线晶向 共有12个
体对角线OC的晶向
体对角线晶向共有8个
二、晶面符号：晶面指数
—— 在晶体中作一簇平行的平面，这些相互平行、等 间距的平面可以将所有的格点包括无遗。
—— 这些相互平行的平面称为晶体的晶面
晶向指数
晶向指数
确定晶向指数4步骤
1）确定坐标系，过原点作平行于欲求晶向的直线； 2）求该直线上任一点的坐标（a，b，c）； 3）将此3个坐标值化成最小整数 u，v，w； 4）加以方括号，即[u v w]。
简单立方晶格的晶向标志
立方边OA的晶向 立方边共有6个不同的晶向
晶向族<u v w>
晶向族代表由对称性联系的一系列等同晶向 的组合。
确定晶面指数4步骤
1）以各晶轴点阵常数为单位，求 晶面与三晶轴的截距m, n, p; 2）取截距之倒数； 3）化为最小整数h，k，l；
4）加以圆括号，即（h k l）。
晶面指数（Indices of Crystallographic Plane）
a/2
3/4c a/2
立方晶格的几种主要晶面标记
如何建立不同晶系之坐标轴？
等 轴
正 方
斜 方Βιβλιοθήκη 三 方3.2三轴定向
各晶系的定向方法
（Miller’s orientation） 可用于所有晶系。 选择三个不共面的坐标 轴 x, y, z安置晶体。
四轴定向（Bravais’ orientation）
适用于六方晶系。 (why?)
一个直立轴，三个水平轴。
唯一的L4或Li4为 z 轴; 相互垂直的L2, 或相互
垂直的对称面法线, 或适当的晶棱为 x, y 轴； z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平。
3. 正交（斜方）晶系晶体定向
晶格常数为: a = b = g = 90 °
a<>b<>c
三个相互垂直的L2为 z, x, y 轴; 或L2为z轴, 相互垂直的对称面法线为 x, y 轴 z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平
OP在a1, a2, a3轴的垂直投影OA, OB, OC
t= -( u+v ) OA+OB=-5/2+(-1)=-7/2=-OC 满足：
还可以证明： OA+OB+OC=3/2 OP 求密布氏指数首先求出晶向上任一结点 在四轴的垂直投影； 然后将前3个指数分别乘以2/3； 再和第四个数值化为最小整数即为密布 氏指数。 -5/2, -1, 7/2, 0，晶向指数为[5270]
（ 2 ）轴角：两个结晶轴正向 之夹角。用a，b，g 表示。
结晶轴选择原则
符合晶体本身的对称 适宜的对称元素作为结晶轴
适宜的晶棱方向作为结晶轴
尽量使得晶轴之间夹角为90
晶体定向的几个基本概念
（ 3 ）轴单位：晶体坐标系中结晶轴的长度单位。是相应 晶体点阵中平行于晶轴的行列上相邻节点间距。用a, b, c分 别表示x轴、y轴、z轴的轴单位。 （4）轴率：结晶轴的轴单位之连比。用a:b:c 表示。 （5）晶体几何常数：轴率a:b:c和轴角a，b，g的合称。表 示晶体坐标系特征的一组参数，用以区分不同的晶系。
晶面族
z
（001）
用{h k l}表示对称性联系的一组晶面， 称为晶面族Family of planes.
y
x （100）
（010）
{110}: (110), (110), (110), (110), (101), (101), (101), (101), (011), (011), (011), (011)
四轴定向：
四轴定向坐标系的晶面指数：
三、晶带与晶带符号
晶带：彼此间相交的晶列相互平行的（交线平行 的）晶面族的集合，即平行或相交于同一晶列的 晶面族的总称。
三、晶带与晶带符号
晶带符号：用晶带轴表示，
晶带 晶带轴——晶带中与晶面交线平行的直线，平行于晶带 中所有的晶面。 这些晶面称为共带面。
晶带定律：任一属于[u v w]晶带的晶面（h k l）（共 带面），必有(晶带方程)： hu ＋ kv ＋ lw＝0
法线
c b O a
邻近两平行晶面间的垂直距离称为 晶面间距； • 从原点作（h k l）晶面的法线； • 法线被最近邻的（h k l）面所交截 的距离即是晶面间距。
•
*
• 立方晶系晶面夹角
晶面夹角 —— 晶面法线之间的夹角
晶面与 晶面的夹角为
• 立方晶系中晶向 [h k l] 与晶面 (h k l) 垂直
1.等轴晶系定向 晶格常数为:
Y
a = b = g = 90 °
a=b=c
三个互相垂直的L4, Li4 或L2为 x, y, z 轴； z 轴直立，y 轴左右水 平，x 轴前后水平。 如此定向完全符合等 轴晶系几何常数的特 征，选轴原则。
2. 四方晶系晶体定向
晶格常数为:
a = b = g = 90 °
• 三个单胞拼成一个六 面柱体来研究。
六方晶系指数及标定
密氏指数：
120°
• 3轴坐标系（a1, a2, c） • 缺点：同一晶面族或晶向族，其指数不类似。 • 如，(100)和(110)属于同一晶面族， [100]和[110]属 于同一晶向族，但是从其指数上看不出来。 • 由六方系对称性可看出，很难从三轴坐标指数找出 等价面指数间的规律性。
六方晶系指数及标定
密布氏晶面指数：
120° 120° • 采用4轴坐标系（a1, a2, a3, c) 。 • a1, a2, a3, 轴共面，轴间夹角120度，垂直C轴; • 晶面指数（h k i l ) 求法与密氏指数相同； • 任一平面的a1, a2, a3晶面指数关系：i= -( h+k )
—— 同族中其它晶面的截距是
的整数倍
的倒数是晶面族中最靠近原点的晶面的截距；
密勒指数 —— 标记这个晶面系 —— 以单胞的基矢为参考， 所得出的晶面的密勒指数， 有着重要的意义。
整数定律（有理指数定律）
• 采用整数定律证明晶面指数都是小的整数。 • 如果以平行于三根不共面晶列（晶棱）的直线作为 坐标轴，则晶体上任意两晶面在三个坐标轴上的对应 截距的系数之比为简单整数比。其倒数之比即为晶面 指数，也是小的整数。
u: v: w = k1 l1 k2 l2 l1 h1 : : l2 h2 h1 k1 h2 k2
※ 由2个晶带确定同属于这2个晶带 [u1v1w1]和[u2v2w2]的晶面指数(hkl) ：
h: k: l = w1 u1 v1 w1 : : w2 u2 v2 w2 u1 v 1 u2 v 2
晶面间距
• 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表 面时才有意义 , 在晶体内部这些面都是等效的 。 不考虑符号相反的晶面，则
面等效的晶面数分别为：3个 表示为
面等效的晶面数分别为：6个 表示为
面等效的晶面数分别为：4个 表示为
六方晶系指数及标定
(110)
(100)
(110)
(100)
• 六方系的单胞不 能反映点阵的对称 性;
建立坐标系，简单明确地描述晶体中平面（晶面）、直线 （晶棱及晶列）的空间方位。为研究晶体的结构特性提供 定量标记。
晶体中平行直线簇 —— 晶列
晶体的定向：
在晶体中设置符合晶体对称特征或与晶体点阵参数一 致的坐标系，并将晶体按相应的空间取向关系进行安置。
晶体定向的几个基本概念
（ 1 ）结晶轴：晶体坐标系中的 坐标轴，需满足晶体对称性特 征。用 x 轴、 y 轴、 z 轴或 X 轴、 Y 轴、Z轴表示。
• 点阵晶胞和结构晶胞都称为晶胞。
•点阵晶胞的结点代表空间点阵中的阵点位置。 结构晶胞的结点代表晶体中原子所在的位置。
晶胞的两个要素确定空间结构
(1) 大小和形状，由6个点阵常数a, b, c 以及夹角α, β, γ确定；
(2) 各个原子的位置，由原子坐标表示。
3.1
晶体定向的目的：
晶体学坐标系
原子坐标
• 以晶胞基矢为单位矢量建 立晶体学坐标系，以晶胞基 矢长度为单位，以数字表示 晶胞中原子中心所处的位置。
体心立方晶胞
面心立方晶胞
也可以将原子的位置投影到晶胞底面上，以数字 标明原子的高度；
原子坐标常在立方晶系的晶胞中使用。
3.4 晶体学符号
一、晶向符号：晶向指数
—— 在晶体中作一簇 平行的直线，这些平 行直线可以将所有的 格点包括无遗； 平行直线簇 —— 晶列
晶格常数为: a < > b < > g < > 90 °, a < > b < > c
二、晶体的四轴定向---六方晶系晶体定向
六方晶系四轴定向水平轴的安置
晶格常数为: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
选择唯一的高次轴作为直立结晶轴c轴，在垂直 z 轴的平面内选择三个相同的、即互成120°交 角的L2或P的法线，或适当的显著晶棱方向作为 水平结晶轴，即x 轴、 y 轴以及 d 轴(u轴)。
晶面的标志---晶面指数
取某一原子为原点O，晶胞的三个基矢
为坐标系的三个轴不一定相互正交；
—— 晶格中一族的晶面不仅平行，并且相邻晶面之间的距 离相等。 —— 一族晶面必包含了
所有格点而无遗漏。
设
末端上的格点分别落在离原点的距离 的晶面上 —— 整数 —— 晶面间距
—— 最靠近原点的晶面 在坐标轴上的截距。
<100>: [100], [010], [001], [100], [010], [001]
面对角线OB的晶向
—— 面对角线晶向 共有12个
体对角线OC的晶向
体对角线晶向共有8个
二、晶面符号：晶面指数
—— 在晶体中作一簇平行的平面，这些相互平行、等 间距的平面可以将所有的格点包括无遗。
—— 这些相互平行的平面称为晶体的晶面
晶向指数
晶向指数
确定晶向指数4步骤
1）确定坐标系，过原点作平行于欲求晶向的直线； 2）求该直线上任一点的坐标（a，b，c）； 3）将此3个坐标值化成最小整数 u，v，w； 4）加以方括号，即[u v w]。
简单立方晶格的晶向标志
立方边OA的晶向 立方边共有6个不同的晶向
晶向族<u v w>
晶向族代表由对称性联系的一系列等同晶向 的组合。
确定晶面指数4步骤
1）以各晶轴点阵常数为单位，求 晶面与三晶轴的截距m, n, p; 2）取截距之倒数； 3）化为最小整数h，k，l；
4）加以圆括号，即（h k l）。
晶面指数（Indices of Crystallographic Plane）
a/2
3/4c a/2
立方晶格的几种主要晶面标记
如何建立不同晶系之坐标轴？
等 轴
正 方
斜 方Βιβλιοθήκη 三 方3.2三轴定向
各晶系的定向方法
（Miller’s orientation） 可用于所有晶系。 选择三个不共面的坐标 轴 x, y, z安置晶体。
四轴定向（Bravais’ orientation）
适用于六方晶系。 (why?)
一个直立轴，三个水平轴。