几何图形与一元二次方程(1)
几何图形与一元二次方程练习题
27m;
B
.第一块木板长
12m,宽6m,第二块木板长
10m,宽
18m;
C
.第一块木板长
9m,宽4.5m,第二块木板长
7 m,宽
13.5m;
D.以上都不对
四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?
老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面
的长宽之比=9:7,?由此可以判定：上下边衬宽与左右边 衬宽之比为9：7,设上、下边衬的宽均为9xcm,?则左、右
边衬的宽均为7xcm,依题意，得：中央矩形的长为(27-18X)cm,宽为(21-14x)cm.
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的-，则中央
6.圆的面积公式是什么？
（学生口答，老师点评）
二、探索新知
现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学 模型，解决一些实际问题.
例1.某林场计划修一条长750m断面为等腰梯形的渠 道，断面面积为1.6 m2,?上口宽比渠深多2m渠底比渠深 多0.4m.
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条 渠道挖完？
5
•••上口宽为2.8m，渠底为1.2m.
(2)1.6750=25天
48
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m;需要25
天才能挖完渠道.
学生活动：例2.如图，要设计一本书的封面，封面长27cm,宽21cm,?正中央是一个与整个封面长宽比例相同的 矩形，？如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四 分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，?应如何设计
三、巩固练习
有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的 面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长 度相同，求台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
一元二次方程的几何意义
一元二次方程的几何意义一元二次方程是一种常见的数学表达式，具有重要的几何意义。
通过了解一元二次方程的几何意义，我们可以更好地理解方程的解和图像之间的关系。
本文将探讨一元二次方程的几何意义，并分析其在几何学中的应用。
1. 一元二次方程的定义和特点一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
这个方程的解是x的值，使得方程等式成立。
一元二次方程有以下几个重要特点：- 它是二次方程，最高次项是x的二次幂。
- 它只有一个未知数x。
- 它的系数a、b、c可以是实数，但a不能为0。
2. 一元二次方程的几何意义一元二次方程的几何意义体现在其解和图像之间的关系上。
一元二次方程在平面直角坐标系上对应着一条曲线，称为抛物线。
抛物线是一种拱形曲线，具有以下几个特点：- 抛物线关于y轴对称。
当a为正数时，抛物线开口朝上；当a为负数时，抛物线开口朝下。
- 抛物线的顶点为(xv, yv)，其中xv = -b/(2a)，yv = f(xv)，f(x)表示方程的右侧。
- 抛物线与x轴的交点为方程的根。
当方程有实根时，抛物线与x轴有两个交点；当方程有重根时，抛物线与x轴有一个交点；当方程没有实根时，抛物线与x轴没有交点。
3. 一元二次方程在几何学中的应用一元二次方程在几何学中有广泛的应用。
以下是一些例子：- 平抛运动：在物理学中，对于一个自由下落的物体，其运动轨迹是一个抛物线。
通过建立一元二次方程，可以描述物体的运动状态，如抛体的高度、速度和时间的关系。
- 几何图形：一元二次方程可以用于描述几何图形的形状。
例如，通过变换一元二次方程的系数和常数项，可以得到不同类型的抛物线，如上开口、下开口、左右平移、纵轴伸缩等操作。
- 最优化问题：一元二次方程可以用于解决最优化问题。
例如，对于给定一元二次函数，通过求解方程的最值点，可以找到函数的最大值或最小值，从而解决实际问题中的优化需求。
综上所述，一元二次方程具有重要的几何意义。
一元二次方程与几何问题的联系与应用
一元二次方程与几何问题的联系与应用在数学中，一元二次方程是常见的代数方程，它可以用来解决各种与几何问题相关的数学难题。
本文将探讨一元二次方程与几何问题之间的联系，并介绍它们在实际生活中的应用。
1. 一元二次方程的定义与性质一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。
该方程含有二次项x^2，一次项x和常数项c。
一元二次方程的解可以通过求根公式或配方法等方式得到。
方程的解可以是实数或复数。
2. 与几何问题的联系一元二次方程与几何问题之间存在着密切的联系。
让我们探讨一些常见的几何问题与一元二次方程之间的关系。
2.1 直线与抛物线的交点考虑一个一元二次方程y = ax^2 + bx + c和一条直线y = mx + n。
这两个图形的交点可以通过求解方程ax^2 + bx + c = mx + n得到。
由此可见，一元二次方程可以用来求解直线与抛物线的交点。
2.2 求解面积一元二次方程在几何中也可以用来求解面积问题。
例如，考虑一个矩形的面积问题，已知边长之和为固定值，我们可以设其中一条边的长度为x，另一条边的长度为a-x，根据矩形的性质可以列出一个一元二次方程。
通过解这个方程可以得到矩形的最大面积。
2.3 最小路径问题在几何中，最小路径问题是一个经典的优化问题。
例如，考虑一个人从一个点A沿着x轴走到点B，然后再沿直线走到点C，我们需要找到一条路径使得总路径最小。
这个问题可以通过建立一元二次方程并求解来解决。
3. 实际应用除了与几何问题相关之外，一元二次方程还有着广泛的实际应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学一元二次方程在物理学中有着广泛的应用。
例如，通过建立抛物线的方程，可以计算出抛体的运动轨迹和最大高度。
此外，一元二次方程还可以用来描述光的传播和反射等现象。
3.2 经济学经济学中的一些问题也可以通过一元二次方程来解决。
例如，成本函数和收入函数往往可以建模为一元二次方程。
用一元二次方程解决几何图形问题含答案
用一元二次方程解决几何图形问题含答案用一元二次方程解决几何图形问题基础题知识点1：一般图形的问题1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米。
设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为x(x+10)=900.2.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是64平方米。
3.一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7平方厘米，则它的两条直角边长分别为2cm和7cm。
4.一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12米。
5.一个矩形周长为56厘米。
1) 当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为18厘米和10厘米。
2) 不能围成面积为200平方厘米的矩形，因为方程y^2-28y+200=0无实数根。
知识点2：边框与甬道问题6.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1米，另一边减少了2米，剩余空地的面积为18平方米。
求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x米，则可列方程为(x-1)(x-2)=18.7.在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为22米，因为可列方程为100×80-100x-80x=7644.10.某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则草坪的面积为(32-2x)(20-x)，因此正确的方程是A：(32-2x)(20-x)=570.11.在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的1/8，则路宽x应满足的方程是C：(40-2x)(70-3x)=2450.。
北师版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 应用一元二次方程 第1课时 利用一元二次方程解决几何问题
12．如图，已知一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警 报，台风中心正以 40 海里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 10 海里的 圆形区域(包括边界)都属台风区．当轮船航行到 A 处时，测得台风中心移到位 于点 A 正南方向的 B 处，且 AB＝100 海里，若这艘轮船自 A 处按原速度继续 航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求经过多长时间轮船最初遇到台风； 若不会，＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P 从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿 BC边向点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也 随之停止． (1)几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2? (2)几秒后，PQ的长度等于5 cm? (3)△PBQ的面积能否等于7 cm2?
4．(2020·西藏)列方程(组)解应用题 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下， 围一块面积为600 m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶 园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽．
知识点二：用一元二次方程解决动态几何图形问题 5．如图，AB⊥CB，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只螳螂从A点出发， 以2 cm/s的速度向B爬行，与此同时，一只蝉从C点出发，以1 cm/s的速 度向B爬行，当螳螂和蝉爬行x s后，它们分别到达了点M，N的位置， 此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，根据题意可得方程( D )
A.2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48
6．(教材 P53 习题 2.9T2 变式)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6 厘米，BC＝12 厘米，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动(到点 B 终止)， 点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动(到点 C 终止)，若两
人教版九年级数学上册课件第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
当堂练习
5. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其 中有两横、两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之 一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一 位）？
①
②
③
④
当堂练习
解：设横彩条的宽度为3x cm.则竖彩条的宽度为2x cm.
根据题意，得30×20× 1 =30×20-(30-4x)(20-6x). 4
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
课堂小结
常见几何图形面积 几何图形 是等量关系
几何图形与
一元二次方
程问题
课本封面问题 常采用图形
平移能聚零
类
型
彩条/小路宽 度问题
为整方便列 方程
动点面积问题
当堂练习
(2)对.两个正方形的面积之和为： x2+(10-x)2=2x2-20x+100
=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50 ∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的. ∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是 不小于50cm2的，所以不可能等于48cm2. 小峰的说法是对的.
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
当堂练习
1. 从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形，余下的
面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（D ）
A.8cm B.64cm
C.8cm2 D.64cm2
2. 直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.
则其两条直角边长分别是 6cm 、 8cm .
整理，得12x2-130x+75=0.
一元二次方程的应用(几何图形) 课件 2022—2023学年青岛版数学九年级上册
九年级上册
学习目标：
1、会列出一元二次方程解决简单的实际问题（几何问题）， 培养应用意识和分析问题、解决问题的能力。 2、能根据问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
1.将一根长64cm的铁丝剪成两段,再将每段分别围成正方形(如图),
如果这两个正方形的面积和等于160cm2,求两个正方形的边长。
解:设温室宽为x m，长为3x m,那么蔬菜种植区的长为(3x-
6)m，宽为(x-2)m 根据题意，得：（3x-6）(x-2)=300 整理,得 x2 -4x-96=0
解得 x1 =12,x2=-8
经检验,当温室的宽是12m时，符合题意.
当x =12时,3x=3×12=36.
答：温室宽度为12m时，蔬菜种植面积300m2.
当x -x =16-4 =12.
答：两个正方形的边长分别是12cm和4cm.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m), 四边用木栏围成,木栏长40m.
(1)设养鸡场宽为x m， 则长为（__4_0___2__x_）__m__,_即__(_2_0_-__x_)_m；
经检验,当道路的宽是2m时，符合题意.
答：道路宽度为2m时，绿化面积7644m2.
课本152页练习1
4.天泉村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长宽的比为3：1,在温室内,沿前后两侧
内墙各留3m的空地放置工具，其他两侧内墙各留1m宽通道.当矩形温室的长与宽多少时,
蔬菜种植区的面积是300m2?
等量关系式:蔬菜种植面积=300m2
同步117页跟踪3
3.如图，在边长100m,宽80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互
相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2,则道
10.11.一元二次方程的实际运用(1)
如图，设路宽为x米， 横向路面 32x米2 ，
(2)
纵向路面面积为20x米2 。 草坪矩形的长（横向）为 （32-x)米 ， 草坪矩形的宽（纵向） (20-x)米 。 相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2 即 32 x 20 x 540. 2 x 化简得： 52x 100 0, x1 50, x2 2 再往下的计算、格式书写与解法1相同。
例.一块长36m，宽24m的矩形草地，现 要在它的中央修建一个矩形喷水池，周 围的草地作走道，走道的宽度相等，且 喷水池的面积是矩形草地面积的 5 ， 27 求周围走道的宽度。
分析：设走道的宽度为 xm, 其等量关系是喷水池的 面 5 积是矩形草地面积的 27
解：设周围走道的宽度为xm， 由题意得 5 （36 2 x） (24 2 x） 36 24 27 解得x1 22(舍去), x2 8 答：周围走道的宽度为 8米。
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为 x米，则
(32 2 x)(20 2 x) 540
化简得，
x 26 x 25 0 ( x 25)( x 1) 0 x1 25, x2 1
2
(1)
其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.
∴图(1)中道路的宽为1米.
（26 x）米。
想一想，
为什么？
长为(40 2 x）米 宽为(26 2 x）米
长为(40 x）米 宽为(26 x）米
点评：解答这类问题，并没有用到什么 复杂的数学知识，只是运用化归思想， 把几条小路归在一起，草坪归在一起， 这种做法给综合分析问题、解决问题带 来很大方便。
练习：
解得x1 x2 25 当x 25时,50 x 25 答 : 长方形模型的长和宽都 为25cm。 （3）x(50 x） 700此方程无实数解 答：要用 100cm的铅丝做成一个面积是 700cm2 的长方形模型是不可能 的。
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几何图形与一元二次方程
1 •掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
2 •继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题. 3•通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力.
、情境导入
10cm,宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下 的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%你能求出所截去小正方形的边长吗?
二、合作探究
探究点：用一元二次方程解决图形面积问题 【类型一】利用面积构造一元二次方程模型
用10米长的铝材制成一个矩形窗框，
使它的面积为6平方米.若设它的一条边长
为x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为(
)
A. x (5 + X )= 6 B • x (5 — X )= 6 C. x (10 — x ) = 6 D . x (10 — 2x ) = 6
解析：设一边长为x 米，则另外一边长为(5 — x )米，根据它的面积为 6平方米，即可列 出方程得：
x (5 — x ) = 6，故选择B.
方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关 系列出方程.
现有一块长80cm 、宽60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为
1500cm 2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长.
解析：设小正方形的边长为 x cm,则长方体盒子底面的长、宽
均可用含x 的代数式表示, 再根据面积，即可建立等量关系，列出方程.
(60 — 2x )cm ,根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积， 方程可列为(80 — 2x )(60 —2x ) = 1500,整理得 x 2— 70x + 825= 0,解得 X 1 = 55, X 2= 15.又 60 — 2x >0,x = 55(舍). 小正方形的边长为 15cm.
方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息， 通过图形求出面积，解
题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可.
【类型二】整体法构造一元二次方程模型
如图，在长为 x cm 的
小正方形，做成一个底面积为
解：设小正方形的边长为 x cm,则可得这个长方体盒子的底面的长是 (80 — 2x )cm ，宽是
22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂如图，在一块长为
直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方
米.设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为________________________
解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为
(22 —X)米，宽为(17 —X)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22 —x)(17 —X)= 300.
2
解法二：根据面积的和差可列方程：22 X 17—22x—17x+ x = 300.
方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解.
【类型三】利用一元二次方程解决动点问题
U如图所示，在△ ABC中，/ C= 90° , AO 6cm, BC= 8cm,点P从点A出发沿边AC 向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
(1) 如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△ PCQ勺面积为8平方厘米？
(2) 点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ勺面积等于厶ABC的面积的
一半•若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方
程求解.
2
解：(1)设x s 后，可使△ PCQ勺面积为8cm ,所以AP= x cm, PC= (6 —x)cm, CQ= 2x cm.
1 2
则根据题意，得' (6 —x) -2x = 8.整理，得x —6x + 8= 0,解这个方程，得X1 = 2, X2= 4.
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△ PCC的面积为8cnf.
1
⑵设点P出发x秒后，△ PCQ勺面积等于厶ABC面积的一半.则根据题意，得J6 —x) -2x
1 1 一2一
=2X X 6X 8.整理，得x —6x + 12= 0.由于此方程没有实数根，所以不存在使^ PCQ的面积等于△ ABC面积一半的时刻.
三、板书设计
与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分
割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好。