几何图形与一元二次方程(1)

几何图形与一元二次方程

1 •掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.

2 •继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题. 3•通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力.

、情境导入

10cm,宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下 的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%你能求出所截去小正方形的边长吗?

二、合作探究

探究点：用一元二次方程解决图形面积问题 【类型一】利用面积构造一元二次方程模型

用10米长的铝材制成一个矩形窗框，

使它的面积为6平方米.若设它的一条边长

为x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为(

)

A. x (5 + X )= 6 B • x (5 — X )= 6 C. x (10 — x ) = 6 D . x (10 — 2x ) = 6

解析：设一边长为x 米，则另外一边长为(5 — x )米，根据它的面积为 6平方米，即可列 出方程得：

x (5 — x ) = 6，故选择B.

方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关 系列出方程.

现有一块长80cm 、宽60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为

1500cm 2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长.

解析：设小正方形的边长为 x cm,则长方体盒子底面的长、宽

均可用含x 的代数式表示, 再根据面积，即可建立等量关系，列出方程.

(60 — 2x )cm ,根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积， 方程可列为(80 — 2x )(60 —2x ) = 1500,整理得 x 2— 70x + 825= 0,解得 X 1 = 55, X 2= 15.又 60 — 2x >0,x = 55(舍). 小正方形的边长为 15cm.

方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息， 通过图形求出面积，解

题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可.

【类型二】整体法构造一元二次方程模型

如图，在长为 x cm 的

小正方形，做成一个底面积为

解：设小正方形的边长为 x cm,则可得这个长方体盒子的底面的长是 (80 — 2x )cm ，宽是

22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂如图，在一块长为

直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方

米.设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为________________________

解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为

(22 —X)米，宽为(17 —X)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22 —x)(17 —X)= 300.

2

解法二：根据面积的和差可列方程：22 X 17—22x—17x+ x = 300.

方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解.

【类型三】利用一元二次方程解决动点问题

U如图所示，在△ ABC中，/ C= 90° , AO 6cm, BC= 8cm,点P从点A出发沿边AC 向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

(1) 如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△ PCQ勺面积为8平方厘米？

(2) 点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ勺面积等于厶ABC的面积的

一半•若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方

程求解.

2

解：(1)设x s 后，可使△ PCQ勺面积为8cm ,所以AP= x cm, PC= (6 —x)cm, CQ= 2x cm.

1 2

则根据题意，得' (6 —x) -2x = 8.整理，得x —6x + 8= 0,解这个方程，得X1 = 2, X2= 4.

所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△ PCC的面积为8cnf.

1

⑵设点P出发x秒后，△ PCQ勺面积等于厶ABC面积的一半.则根据题意，得J6 —x) -2x

1 1 一2一

=2X X 6X 8.整理，得x —6x + 12= 0.由于此方程没有实数根，所以不存在使^ PCQ的面积等于△ ABC面积一半的时刻.

三、板书设计

与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分

割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好