2.1 认识一元二次方程(1)
2.1一元二次方程(1)
什么是方程？什么是方程的解（或根）？ 答：含有未知数的等式叫做方程。使方程
两边成立的未知数的值叫做方程的解。 曾学过哪些方程？
分式方程，一元一次方程，二元一次方程。
什么叫做一元一次方程？
交流合作 根据题意列方程
1、把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形 和长方形两部分，求正方形的边长。设正方形的边 长为x，可列出方程
例1、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并
写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
(1)9 x 5 4 x
2
( 2 )3 y 1 2 3 y
2
( 3)4 x 5
2
(4)(2 x )(3 x 4) 3
注意：
1.要先化成 ax² +bx+c=0 的形式。即先写二次项，再写一次项， 最后是常数项。
2、若方程 ( m 1) x 2
2011 2012 1
mx 1
是关于x
.
的一元二次方程，则m的取值范围是 3、已知
m
(1)请尝试通过对上式适当变形，写出一个以m为
未知数的一元二次方程；
(2)求代数式m2012-2m2011-2011m2010的值．
4、已知两个关于x的二次方程x2+ax+b=0、 x2+cx+d=0有一个公共根为1，求证：关于x的 二次方程 根为1．
例3 一个包装盒的表面展开图如图，包装盒的容 积为750cm3.请写出关于x的方程.该方程是一元 一次方程吗?如果是，把它化为一元一次方程的 一般形式.
30 x x
单位：cm
15
课堂小结
1.了解一元二次方程的概念和一般形式. 2.会判别一元二次方程的二次项系数,一次项系 数和常数项. 3.注意:一元二次方程的二次项系数不能为零.
北师大版九上数学2.1认识一元二次方程知识点精讲
一：直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，是n的平方根，当时，，，当n<0时，方程没有实数根。
用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根的定义，达到降次转化之目的。
（1）形如的方程的解是x=。
当p=0时， 0二：配方法配方法：将形如的一类方程，化为形式求解的方法叫做配方法。
一般步骤：（1）把常数项移到方程右边；（2）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；（4）原方程变形为的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．三：公式法（1）公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
由配方法得，化简：一元二次方程的求根公式：，公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里a为一次项系数，b为二次项系数，c为常数项。
四：因式分解法因式分解法的步骤是：（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积：（3）令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
(4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足(a≠0)3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。
认识一元二次方程ppt课件
［领悟提能］
求一元二次方程的项及各项系数时，应先化为一般形式
，注意各项系数包括前面的符号.
∴ 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c 为常数，a≠0）
一个解 x 的范围为0.6＜x＜0.7.
［答案］ C
2.1 认识一元二次方程
考 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程
点
清
（1）审题（理解题目的含义）
单
解
（2）找等量关系（通过已知量、未知量
读
步骤
来找等量关系）
（3）设未知数
（4）列出一元二次方程
单
解
次方程 的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二
读
的解
次方程的根
一般步骤：（1）列表，利用未知数的取
估计一元 值分别计算方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）中
二次方程 ax2+bx+c 的值；（2）在表中找出使ax2
的解
+bx+c 的值可能等于 0 的未知数符合要求
的范围；
2.1 认识一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ x（x-1）=30
2.1 认识一元二次方程
重 ■题型一 利用一元二次方程的定义求值
难
|m|+1-3x=7 是关于 x 的一元
例1
已知方程（m-1）x
题
型 二次方程，则有 （
）
突
破
A． m=1
B． m=-1
C． m=±1
D． m≠±1
2.1 认识一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）是整
2.1认识一元二次方程(1)
2.课本P32习题2.1第2题（在课本上直接完成）
3.课本P32习题2.1第1题
4.课本P33习题2.1第3题
从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去， 横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，他的邻居教他沿 着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好 进去了．你知道竹竿有多长吗？
北师大版九年级上册
认识一元二次方程
学习目标
1、通过小组合作探究归纳出一元二
次方程的概念
2、会判断一个方程是否为一元二次 方程
3、会列一元二次方程解决实际问题
旧知回顾
请同学们观察并思考：下面哪些是方程？如果 是方程，你还记得是我们学过的哪种方程？
(1)3 5 x 1 (2)6 5 x x 1 (3)3x 5 x 1 3 2 (4) 1 2x 5 7 (5)3x 4 y 1
2.按要求将这三个方程进行化简。
（1）去掉括号（2）合并同类项（3）等号右边为0 （4）等号左边按按未知数的次数由高到低排列
新知归纳
一元二次方程概念：
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）形式，这样
的方程叫做一元二次方程。
理解应用
判断下列方程是否为一元二次方程（是的画“√”
(8-2x)(5-2x)=18
2.观察下面等式： 102 112 122 132 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于 后两个数的平方和吗？ 解：设五个连续整数中第一个数设为x,则后面的四个整数分别 为 x+1 ， x+2 ， x+3 ， x+4 ，根据题意，可列出方程为:
《认识一元二次方程》第一课时教学设计
《认识一元二次方程》第一课时教学设计作者：牛慧芳来源：《学校教育研究》2020年第02期教学内容：2.1 认识一元二次方程教材分析：（一）教材所处的位置认识一元二次方程是九年级《数学》上册第二章一元二次方程的第一节内容。
方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
学生在七、八年级已经感受了利用方程解决实际问题的经验。
一元二次方程的知识是后续学习《二次函数》、解决函数及综合题的基础。
（二）教材结构本节通过丰富的实例“花边有多宽”“梯子的底端滑动多少米”等问题，建立一元二次方程，让学生通過观察归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。
（三）教学重点1.经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
2.了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。
3.能准确说出一元二次方程的二次项，一次项、常数项。
（四）教学难点能准确运用一元二次方程解决现实生活中问题。
学情分析：学生在七年级上册《一元一次方程》一章中，已经结合丰富的现实情景，经历了方程概念的归纳过程，初步掌握了利用方程解决问题的基本步骤，为本节的深入学习奠定了基础。
素质目标：（一）知识点经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
（二）能力训练点1.能利用去分母、去括号、移项、合并同类项等方法将一元二次方程转化为一般形式。
2.能准确确定一元二次方程的二次项，一次项、常数项。
（三）德育渗透点1.使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，体验数学与实际活动的密切联系，感受与他人合作的重要性。
2.培养学生转化的数学思想。
教学策略：根据新教材的特点。
结合本班学生的实际情况，为了更好的突出本节重点，突破难点，圆满完成教学任务，取得良好的教学效果，本节采用“问题情景—建立模型—解释—应用与拓展的教学流程。
运用观察、比较、讨论、归纳、知识反馈等策略，引导学生多思善讲，在建立模型处适当给予点拨，以调动学生的自觉性、积极性，从而达到感知、归纳、应用、巩固和深化新知的目的。
2.1认识一元二次方程A(1)改
c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称
为二次项系数和一次项系数．
一元二次方程的有关概念: ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)
二次项 一次项 常数项
系数 系数 注意： （1）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的形式，其中a ≠０是定义 的一部分，不能漏掉，否则就不是一元二次方程了。 （2）项、系数都要包括前面的符号。
当堂训练（17分钟）
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（C ）。 1 A. x²+ =0, B. ax² +bx+c=0, x
C. (x-1)(x+2)=1. D. 3x² -2xy-5y² =0
2. 把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程 +36x-32=0 , 它的二次项系数 的一般形式 5x² 为 5 ，一次项系数为 36 ，常数项为 -32 。 3. m≠1
是一元二次方程．
时，
6.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
当k ≠±1 时，是一元二次方程; 当k = -1 时，
是一元一次方程．
点拨（10分钟）
一元二次方程概念
上面的方程都是只含有 一个未知数x 的 整式方程 ，并且都可 以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式，
解：设竹竿的长 为 x 尺,则门的宽 度为(x－4) 尺,长 为 (x－2) 尺,依题 意得方程：
2尺 数学化
x
x－2
(x－4)2＋ (x－ 2)2＝ x2
x－4
即 x2－12 x ＋20 ＝ 0
4尺
9.
a = －1
2.1认识一元二次方程第1课时教学流程
九上数《2.1认识一元二次方程（第1课时）》教学流程
注：“H”指课件中的幻灯片，如“H4”指课件中的第4张幻灯片。
)
前面已学习了一元一次方程及其解
法。
提问学生，简单过。
学生齐读
通过此三题复习一元一次方程的概念及其解法。
（H3）3´
生2´，师1´
探究新知知识点1
通过此活动理解一元二
次方程的概念。
（H4、H5）①头天晚修自学完成；②生展示答案；③师精讲并归纳一元二次方程的概念。
2 通过此环节进一步掌握
一元二次方程的一般形
式及其相关概念。
（H6）
①分组+普做；②对答案，师点评；
③师傅再教徒弟小组合作学习。
内容二）
进一步掌握一元二次方
程的概念（H7）
对本节课所学知识的归
学生自由谈纳总结（H8）。
北师大版数学九年级上册2.1 认识一元二次方程 教案
第二章 一元二次方程1 认识一元二次方程●情景导入 根据题意列出方程：如图，现在要将一块矩形绿地扩大，长、宽各增加x m ．若扩大后的绿地的面积为936 m 2，求长、宽各增加的长度．【教学与建议】教学：用来源于学生身边的问题，体会数学来源于生活并服务于生活．建议：可以让学生寻找身边的方程实例，以便理解等量关系． ●归纳导入 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽80 cm.在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是4 800 cm 2，那么铁皮各角应切去边长为多少的正方形？分析：设各角应切去边长为x cm 的正方形，则可表示无盖方盒的长是(100－2x )cm ，宽是(80－2x )cm.根据题意可得方程：(100－2x )(80－2x )＝4 800.整理，得x 2－90x ＋800＝0.【归纳】只含有__一个未知数x __的__整式__方程，并且都可以化成__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)__的形式，这样的方程叫做一元二次方程．【教学与建议】教学：通过图形的变化感受等量关系的确定，归纳出一元二次方程的定义．建议：一元二次方程定义三个关键点：①只含有一个未知数；②整式方程；③未知数的最高次数是2次．命题角度1 判断一元二次方程一元二次方程的定义：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2次；③整式方程．【例1】(1)下列方程中一定是一元二次方程的是(C)A ．ax 2＋bx ＋c ＝0B ．y 2－x ＝1C ．x 2－1＝0D ．1x＋x 2＝1 (2)下列方程：①3x 2＝x －1；②x ＋x 2＝4；③1x 2＋2x ＋1＝1；④(2x －1)(x －2)＝2x 2－1；⑤3x 2＝2x (x －1).其中是一元二次方程的有__①⑤__．(填序号)命题角度2 辨识一元二次方程的各项及其系数先把方程化为一般形式，再确定二次项及其系数、一次项及其系数、常数项．【例2】(1)写出下列方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．①3x 2－2x ＋1＝0；②5x (x －2)＝4x 2－3x .解：①依次是3x 2，3，－2x ，－2，1；②依次是x 2，1，－7x ，－7，0.(2)将方程2(t －2)＝(t ＋1)2化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．解：一般形式为t 2＋5＝0，二次项为t 2，二次项系数为1，一次项为0，一次项系数为0，常数项为5. 命题角度3 根据一元二次方程的概念求待定字母的值或取值范围根据一元二次方程中二次项系数不为零，未知数的最高次数是2，求待定字母的值或取值范围．【例3】(1)若关于x 的方程(a －2)xa 2－2－2x －5＝0是一元二次方程，则(D)A ．a ＝2B ．a ＝±2C ．a ＝2D ．a ＝－2(2)当实数m 满足条件__m ≠－4__时，(m ＋4)x 2－mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程．命题角度4 一元二次方程的应用问题找准等量关系，利用一元二次方程来解决实际问题．【例4】(1)今年某市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为40 m ，若将短边增长到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，且面积比原来增加500 m 2.设原来绿地的长边为x m ，则可列方程为(A)A ．x 2－40x ＝500B ．x 2＋40x ＝500C．(x－40)2＝500 D．x2－1 600＝500(2)已知三个连续奇数的平方和是371，设第二个奇数为x，则依题意可得到的方程是__(x－2)2＋x2＋(x＋2)2＝371__．命题角度5一元二次方程的根这类题目一般先把方程的根代入方程再求字母或代数式的值．【例5】(1)若关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0有一个根为2，则k的值为(B)A．－2 B．－1 C．1 D．2(2)若m是方程2x2－3x－5＝0的一个根，则6m2－9m＋2 023＝__2__038__．命题角度6一元二次方程根的估算先把方程化为一般形式，方程的解夹在方程左边的代数式的值大于0和小于0这两个未知数的值中间．【例6】(1)根据下列表格的对应值判断方程2x2－x－2＝0的一个解x的范围是(D)x 1.1 1.2 1.3 1.42x2－x－2－0.68－0.320.080.52A．1.1<x<1.2 B．1.3<x<1.4C．1<x<1.2 D．1.2<x<1.3(2)填表并回答问题：x－2－101234x2－5x＋6201262002x2－4x＋21472－1－2－12①根据上表可知方程x2－5x＋6＝0的根是__x1＝2，x2＝3__；②根据上表可知方程x2－4x＋2＝0的根x的值介于__0与1____3与4__之间．高效课堂教学设计1．使学生了解一元二次方程的概念．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)．▲重点理解一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式．▲难点在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项．◆活动1创设情境导入新课(课件)一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，苗圃的长和宽各是多少？解：设苗圃的宽为x m，则长为(x＋2)m.根据题意，得x(x＋2)＝120.所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)◆活动2实践探究交流新知【探究1】(多媒体出示)幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽度为x m，那么你能列出怎样的方程？【探究2】(多媒体出示)观察等式102＋112＋122＝132＋142.你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？【探究3】(多媒体出示)如图，一个长为10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m ．如果梯子的顶端下滑1 m ．那么梯子的底端滑动多少米？你能计算出滑动前梯子的底端距墙的距离吗？如果设梯子底端滑动x m ，那么你能列出怎样的方程？【活动总结】由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (1)__(8－2x )(5－2x )＝18__； (2)__x 2＋(x ＋1)2＋(x ＋2)2＝(x ＋3)2＋(x ＋4)2__；(3)__(x ＋6)2＋72＝102__．化简得2x 2－13x ＋11＝0，x 2－8x －20＝0，x 2＋12x －15＝0.归纳：上面的方程都是只含有__一__个未知数x 的__整式__方程，并且都可以化为__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)__的形式，这样的方程叫做一元二次方程．我们把ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为__二次项____一次项__和__常数项__，a ，b 分别称为__二次项系数和一次项系数__．◆活动3 开放训练 应用举例例1 下列方程哪些是一元二次方程？为什么？(1)7x 2－6x ＝0; (2)2x 2－5xy ＋6y ＝0；(3)2x 2－13x －1＝0; (4)y 22＝0； (5)x 2＋2x －3＝1＋x 2.【方法指导】根据一元二次方程的概念进行判定．解：(1)(4)是一元二次方程；(2)含两个未知数；(3)不是整式方程；(5)不含ax 2这一项．例2 关于x 的方程(k 2－1)x 2＋2(k －1)x ＋2k ＋2＝0，当k __≠±1__时，是一元二次方程；当k __＝－1__时，是一元一次方程．【方法指导】当k 2－1≠0，即k ≠±1时，方程是一元二次方程．当k 2－1＝0时，且2(k －1)≠0时，即k ＝－1时是一元一次方程．◆活动4 随堂练习1．把方程－5x 2＋6x ＋3＝0的二次项系数化为1，方程可变为(C)A ．x 2＋65 x ＋35＝0 B ．x 2－6x －3＝0 C ．x 2－65 x －35 ＝0 D ．x 2－65 x ＋35＝0 2．一元二次方程(x ＋1)2－x ＝3(x 2－2)化成一般形式是__2x 2－x －7＝0__．3．把方程(1－3x )(x ＋3)＝2x 2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．解：原方程化为一般形式是：5x 2＋8x －2＝0，其中二次项是5x 2，二次项系数是5，一次项是8x ，一次项系数是8，常数项是－2.◆活动5 课堂小结与作业学生活动：你这节课的主要收获是什么？教学说明：理解一元二次方程的概念及一般形式．作业：1.课本P32中的随堂练习．2．课本P32习题2.1中的T 1、T 2、T 3.本节课通过阅读、分析，找出题中的等量关系，会用一元二次方程解决实际问题，让学生切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础．。