上海交通大学材料力学6-强度理论.
材料力学第6章2-例概念题
1(a)
3(a)
100
80 20
1(b) 60
(b) 2
40
(b) 3
40
(a)
(b) r3
1(b)
(b) 3
10060 40Biblioteka (b) 4是非判断题
(1) 材料的破坏形式由材料的种类而定。 错 材料的破坏形式由受力情况、变形形式和材料特性而定。
(2) 不能直接通过实验来建立复杂应力状态下的强度条件。 √
(3) 不同强度理论的破坏原因不同。√
(4) 强度理论只能用于复杂应力状态。 错
(5) 第二强度理论要求材料直到破坏前都服从胡克定律。√ 1
2
选择题
(1) 图示承受内压的两端封闭薄壁圆筒破坏时，图示破坏裂缝形
式中（
）是正确的。
(√a)
(b)
(c)
(d)
(2) 对于二向等拉的应力状态，除（ 度理论的相当应力都相等。
）强度理论外，其他强
(a) 第一； (√b) 第二； (c) 第三； (d) 第四。
1 2 3 0
r1 1 r2 1 ( 2 3) (1 ) r3 1 3
填空题
(1) 强度理论是（关于材料破坏原因）的假说。
(2) 在三向等值压缩时，脆性材料的破坏形式为 （塑性屈服）。
(3) 在复杂应力状态下，应根据（ 危险点的应力状态 ）和 （ 材料性质 ）选择合适的强度理论。
(4) 低碳钢材料在三向等值拉伸时，应选用（ 第一 ）强度 理论作强度校核。
(5) 比较第三和第四强度理论，（ 第四强度理论 ）设计的 轴的直径小。
r4
1 2
(1
2 )2
( 2
3)2
(3
材料力学四个强度理论
四大强度准则理论：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ]所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
τmax=τ0。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
发生塑性破坏的条件为：所以按第四强度理论的强度条件为：sqrt(σ1^2+σ2^2+σ3^2-σ1σ2-σ2σ3-σ3σ1)<[σ]。
[工学]材料力学中强度理论
![[工学]材料力学中强度理论](https://img.taocdn.com/s3/m/157e146fe518964bcf847cbb.png)
强度理论中直接与 [σ ] 比 1 b 较的量,称为相当应力σri b 1
nb
r1
1
15
r1 1
实验表明：该理论对于大部分脆性材料受拉应力作
用，结果与实验相符合，如铸铁受拉伸、扭转。
局限性： （1）没有考虑另外二个主应力的影响；
s
ns
实验表明：该理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到
较为满意的解释，并能解释材料在三向均压下不发生
（2）无法应用于没有拉应力的应力状态； （3）无法解释塑性材料的破坏；
（4）无法解释三向均压时，既不屈服、也不破坏
的现象。
2018/11/20 16
（一）关于断裂的强度理论
2、最大拉应变理论（第二强度理论） (Maximum Tensile-Strain Criterion)
无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂, 都是由于单元体内的最大拉应变（线变形）达到简单 拉伸时的破坏伸长应变值。
无论材料处于什么应力状态 ,只要发生脆性断裂，
都是由于单元体内的最大拉应力达到了一个共同的
极限值。
2018/11/20
t max
o max
14
1、最大拉应力理论
t max
o max
2
1 3
= b
t max
1 (1 0)
o max
b
断裂条件
强度条件
2018/11/20
18
2018/11/20
r 2 1 ( 2 3 ) [ ]
实验表明：该理论对于一拉一压的二向应力状态的 脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度 理论更接近实际情况。
材料力学强度理论
9强度理论1、脆性断裂和塑性屈服脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。
塑性屈服：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。
2、四种强度理论（1）最大拉应力理论（第一强度理论）材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值,即：匚1=:;0（2）最大伸长拉应变理论（第二强度理论）：无论材料处于什么应力状态，只要发生脆性断裂，都是由于最大拉应变（线变形）达到极限值导致的，即：-<∙0（3）最大切应力理论（第三强度理论）无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于最大切应力达到了某一极限值，即:⑷形状改变比能理论（第四强度理论）无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于单元体的最大形状改变比能达到一个极限值，即：U d r u d强度准则的统一形式厂〔「I其相当应力：J1-J匚乂1 - 7二2 二3）"-,r3 = :丁 [一：「3II 222 -=[2〔(G _ 6)'(匚2 - 匚3)■ (-3- G)3、摩尔强度理论的概念与应用；4、双剪强度理论概念与应用。
解题范例9.1图9.1所示的两个单元体，已知正应力单元体的第三、第四强度理论表达式。
［解］(1)图9.1 ( a)所示单元体的为空间应力状态。
注意到外法线为y及一y的两个界面上没有切应力，因而y方向是一个主方向，二是主应力。
显然，主应力σ对与y轴平行的斜截面上的应力没有影响，因此在XOZ坐标平面内可以按照平面应力状态问题对待。
外法线为X、Z轴两对平面上只有切应力，为纯剪切状态，可知其最大和最小正应力绝对值均为,则图9.1 (a)所示单元体的三个主应力为：第三强度理论的相当应力为(a)σeq3 =σ1 --165 11^ 275MPa第四强度理论的相当应力为:[(165—110 f +(2 "10 f +(T10 —165 f] = 252∙0匚=165MPa,切应力∙=110MPa试求两个MPa图9.1(a)eq4第三强度理论认为最大切应力max 是引起材料塑性屈服破坏的主要因素，其强度条件(2)图9.1(b)所示单元体,其主应力为第三强度理论的相当应力为:第四强度理论的相当应力为:卩「(220.0 行(—55.0 丫+(—55.0 — 220.0 )2] = 252∙0 ■ 2 - MPa9.2 —岩石试件的抗压强度为 ［匚］=14OMPa,E=55GPa, μ =0.25,承受三向压缩。
材料力学第06章 复杂应力状态分析及强度理论
2
s′
p
A πD
πD 2 F p 4 pD s A πD 4
n
D
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
s"
p
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2s l plD 0 s 2
理论分析表明，在复杂应力状态下（平面应力状态和空 间应力状态），一点处的最大正应力为 s max s 1 ，最小 正应力为 s min s 3 ，最大切应力的值为t s 1 s 3。
max
2
例题1 简支梁如图所示.已知 m-m 截面上A点的弯曲正应力和 切应力分别为s =-70MPa,t =50MPa.确定A点的主应力及主平面 的方位.
t xy
s x s y 0
txy
Mn t xy t WP
求极值应力
tyx
y O
s x s y 2 2 s 1 s x s y （ ）t xy 2 2 s 2
2 t xy t
x
s 1t ;s 2 0;s 3 t
s x s y 2 2 t max （ ）t xy t 2 t min
铸铁
在圆杆的扭转试验中，对于剪切强度低于拉伸强度的材料(例如低碳 钢)，破坏是从杆的最外层沿横截面发生剪断产生的(图c)，而对于 拉伸强度低于剪切强度的材料(例如铸铁)，其破坏是由杆的最外层 沿杆轴线约成450倾角的螺旋形曲面发生拉断而产生的(图d)
2
平面应力状态分析——图解法
一、应力圆（ Stress Circle）
2 2
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)
t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
材料力学第六章强度理论
r 3 1 3 2 4 2 209.5MPa [ ]
r4
1 2
[( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 )
2 2
2
2 3 2 196.2MPa [ ]
需加大截面积，重选工字钢。改选32a号工字钢， a点处应力
这一极限值可由脆性材料单轴拉伸试验获得。 破坏条件 强度条件
σ 1σ b σ 1 ≤[ σ ]
(没有考虑σ2和σ3两个主应力对破坏的影响) 该理论由英国学者兰金（W.J.Rankine）于1859年提出， 对脆性材料如岩石、混凝土、铸铁、砖等在二向受拉或三向 受拉时较为合适。
2. 最大拉应变理论（第二强度理论)
200kN
200kN
A
420
C
1660 2500
D
420
B
解：1°作梁的FQ图 和M图。 2°正应力强度计算
FQ M
+
200kN
200kN +
-
200kN
2°正应力强度设计
A
420
C
1660 2500
200kN
200k D N
B
由 max
M max [ ] Wz
FQ M
420
+
200kN +
极限应力圆
O
包络线
以材料所有极限应 力圆的包络线来判断 材料是否破坏，即包 络线便是其破坏的临 界线。
M P N
K
L O1
O3O1 OO1 OO3
O2 O3 O
1 1 bt ( 1 3 ) 2 2
材料力学—— 应力分析 强度理论
z
sz
zy
zx
yz
xz
sy y
sx xy yx x
x'
s1 旋转
z' s3
s2 y'
③主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3 表示， 有s1≥s2≥s3。
2.应力状态按主应力分类：
应力与应变分析
①只有一个主应力不为零称单向应力状态；
②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)；
2.任意a角斜截面上的应力
y
应力与应变分析
sy
t
n
sx
sx x
xy
ssxxxy
sα
a
a
dA
α
x
C
yx
sy
sy yx
n 0：sa dA (sxdc Aoa)scoa s(sydA sia n)sia n
(xd y A coas)sia n(yxdA sia n)coas 0
D(sx, xy) 2a
2a0 A A1
C
s' s
D' (sy, yx)
G2 "
3.应力圆的应用
①点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的 应力；
②角度对应关系：应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转 过a;
③旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向 相同；
④求外法线与x轴夹角为a斜截面上的应力，只要以D为起点， 按a转动方向同向转过2a到E点，E点坐标即为所求应力值。
单元体ABCD：Me /Wn
2)s s'''02
022 2
tg2a00 a045o 3)s1s'， s20， s3s''
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材料力学 Mechanics of Materials
第六章 强度理论
强度理论
最大形状改变应变比能理论 （第四强度理论）
一般应力状态下形状改变应变比能
ud
1
6E
[( 1
2 )2
( 2
3 )2
( 3
1 )2 ]
上 海
单向拉伸实验时
ud
1
6E
(2
2 S
)
交
第四强度理论的屈服(破坏）条件为（Mises 屈服准则）
X’(, 0)
II= -
I = 45
大 学
x
X(0, )
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第六章 强度理论
强度理论
破坏条件： 1 b
强度条件： 1
[
]
b
n
脆性材料在纯扭转破坏时，断裂沿45斜截面发
上 生，该截面也就是最大拉应力所在的截面。
海
交
试验表明脆性材料在双向或三向拉伸破坏时，最
强度理论
最大拉应变理论（第二强度理论）
在单向拉伸试验中，材料破坏时发生的最大拉伸应
变值为
1
b
E
这是一材料常数
在一般应力状态下，根据广义胡克定律，最大
上 拉应变可以表示为
海 交
1
1 E
[1
( 2
3 )]
通 大
破坏条件 1 ( 2 3 ) b
学
强度条件
1
(
2
3
)
[
]
Байду номын сангаас
b
n
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
像大理石这类脆
性材料， 如为圆
柱形试件，在受
到轴向压 力和沿
圆柱形试件的表
面径向压力时，
上 试验表明：在此
海 三向受压的应力
交 通 大 学
状态下，也会发 生显著的塑性变 形，从原来的圆 柱形变为腰鼓形， 像低碳钢试件压
缩一样
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第六章 强度理论
材料力学 Mechanics of Materials
第六章 强度理论
主讲：
上
海
交
力学是数学的乐园，
通
因为我们在这里获
大
得了数学的果实。
学
-Leonardo de Vinci
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第六章 强度理论
本章目的
本章目的 总结材料的破坏模式；
介绍四种经典的强度理论； 建立与强度理论对应的强度条件。
上 主应力所在的截面一致。由
海 此提出了关于脆性材料的最
交 大拉应力理论（或称为第一
通 大 学
强度理论）。这一理论认为， 最大拉应力是引起材料破坏
的主要因素。
铸铁（受拉）
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第六章 强度理论
强度理论
上
海 交
Y(0, -)
-
x’
通
Y’(-, 0)
第六章 强度理论
强度理论
最大拉应变理论（第二强度理论）
F
混凝土块受压
3
F A
,
1 2 0
如果用第一强度理论，则不论压力F多大，其
上
强度条件1= 0<[] 永远满足，即该理论预测
海
材料永远不会破坏，这显然与实际不符。
交
如果用第二强度理论，破坏条件为
通 大
[1
( 2
3 )]
F
A
b
学 实践证明：此理论对砖石以及最大压应力的绝对值
大于拉应力的脆性材料比较符合。
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第六章 强度理论
强度理论
将第一、第二强度理论的强度条件表示为
r1 1 [ ] r2 1 ( 2 3 ) [ ]
上 海
r1 , r2 分别称为第一、第二强度理论的相当应力
交
通
大
学
SJTU
第六章 强度理论
强度理论
最大拉应变理论（第二强度理论）
第一强度理论没有考虑其他两个主应力2和3的
影响。也不能解释压应力下材料的破坏。
上
海
交
最大拉应变理论认为，不论在什么应力状态下，
通 大
最大拉应变 1是引起材料破坏的主要原因。
学
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第六章 强度理论
通 大拉应力理论预测值与试验结果很接近。当有压应力
大 存在时，只要压应力不超过最大拉应力值，则理论预 学 测也与试验结果大致接近。
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第六章 强度理论
强度理论
能不能用最大拉应力理论？
上 海 交 通 大 学
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
学
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
实验表明：材料的破坏（或失效）不仅取决于材料是塑 性材料或脆性材料，而且与其所处的应力状态、温度和 加载速度等因素有关。
严格地说，在使用强度理论时，应区分为脆性状态和塑 性状态。前者使用第一或第二强度理论，后者使用第三
上 或第四强度理论。 海 交 通 大 学
断是否会破坏？
上
海 需要通过试验观察，提出一种材料破坏的 交 假说，即强度理论。
通 大 学
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第六章 强度理论
强度理论
1 脆性材料断裂的强度理论 最大拉应力理论（第一强度理论）
铸铁等脆性材料在简单
拉伸试验中，材料的断裂面
是试件的横截面。这与最大
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第六章 强度理论
强度理论
常温静载条件下，
带有环形深切槽
的圆柱形低碳钢
试件受拉时，不
再出现塑性变形，
上 海 交 通 大 学
而沿切槽根部发 生脆断，切槽导 致的应力集中使 根部附近出现两 向和三向拉伸型 应力状态。
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
上 基本要求
海
明确四种强度理论提出的依据，建立方法；
交
明确四种强度理论的适用范围；
通 大
掌握四种强度理论相应的强度条件；
学
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第六章 强度理论
本章目的
为什么要建立强度理论? 实验室测试得到单向拉压强度极限。 实际构件经常处于复杂应力状态，如何判
通 大
1 2
[( 1
2
)2
(
2
3
)2
(
3
1
)2 ]
S
学
强度条件
r4
1 2
[( 1
2
)2
(
2
3
)2
(
3
1
)2
]
[
]
SJTU
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第六章 强度理论
强度理论
常温、静载
（单向拉伸）
条件下，低碳
钢的拉伸破坏
表现为塑性屈
上 海 交 通 大
服失效，具有 屈服极限 ，铸 铁破坏表现为 脆性断裂失效， 具有抗拉强度 。
例题
例题 铸铁构件的危险点处应力如图所示。其中x= 10MPa，xy= 10MPa，y= 20MPa，z= 5MPa， 如 果 材 料 的 许 用 应 力 [ ] ＝