多媒体技术基础第3版错误检测和校正

K 1
G(x) (x K0 i ) i0
式中，K0是偏移量，通常取K0 = 0或K0 = 1，而(nk)≥2t (t为要校正的错误符号数)
[例16.2] 假设在GF(23)域中的元素对应表见表16-1，(6， 4)RS码中的4个信息符号为m3， m2 ， m1和m0 ，信息 码符多项式为，
M (x) m3x3 m2 x2 m1x m0
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第16章 错误检测和校正
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16.1 CRC错误检测原理与检测码(续6)
CD盘上的错误检测码
➢ CD-DA盘上的q通道使用的CRC校验码生成多项式
G(x) x16 x12 x5 1
若用二进制表示，则为 G ( x)=10001000000100001(B) = 11021(H)
假定要写到盘上的信息代码M(x)为 M (x)=4D6F746F (H)
由于增加了2个字节的校验码，所以信息代码变成
x16M (x) 4D6F746F0000(H)
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16.1 CRC错误检测原理与检测码(续7)
➢ 两数相除的结果
其商可不必关心，其余数为 B994(H)，这就是CRC校验码
多媒体技术基础(第3版)
第16章 错误检测和校正
林福宗 清华大学 计算机科学与技术系
linfz@ 2008年9月
第16章 错误检测和校正目录
16.1 CRC错误检测原理与检测码
➢ 16.1.1 CRC错误检测原理 ➢ 16.1.2 CD盘上的错误检测码
16.2 RS编码和纠错算法
可写成
xnk M (x) Q(x) R(x)
G(x)
G(x)
xnk M (x) Q(x)G(x) R(x)
因模2多项式的加法和减法运算结果相同，故可把上式写成
xnk M (x) R(x) Q(x)G(x)
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16.1 CRC错误检测原理与检测码(续5)
GF(23)中的元素计算如 右表
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第16章 错误检测和校正
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16.2 RS编码和纠错算法(续2)
➢ 用二进制数表示域元素的对照表见表16-1
表16-1 GF(23)域中与二进制代码对照表( P(x) x3 ）x 1
GF(23)域元素
0 α0 α1 α2
二进制对代码
(000) (001) (010) (100)
➢ 根据多项式的运算，可得到下面的方程组
mm335
m2 m1
m2 4
m0 Q1 Q0
m1 3 m0 2
0
Q1
Q0
0
方程中的αi 可看成符号mi 的位置，此处的i=0，1，…，5
求解方程组可得到RS校验码的2个符号Q1和Q0
Q1
Q0
m3 2m2 5m1 3m0 3m3 6m2 4m1 m0
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16.2 RS编码和纠错算法(续6)
➢
假设RS校验码的2个符号为Q1和Q0，M
(x)xn G(x)
k
M (x)x2 G(x)
的
剩余多项式为
R(x) Q1x Q0
这个多项式的阶次比的阶次少一阶。
➢ 如果K0=1，t = 1，则RS校验码生成多项式为
➢ 16.2.1 GF(2m)域 ➢ 16.2.2 RS的编码算法 ➢ 16.2.3 RS码的纠错算法
16.3 CIRC纠错技术
➢ 16.3.1 交插技术 ➢ 16.3.2 交叉交插技术
16.4 RSPC码
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第16章 错误检测和校正——前言
➢ 光盘存储器需要纠错
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16.1 CRC错误检测原理与检测码(续8)
CD-ROM的错误检测
➢ 在CD-ROM扇区方式1中，有一个4字节的EDC域用 来存放CRC码。CRC校验码生成多项式是一个32阶 的多项式
P(x) (x16 x15 x2 1)(x16 x2 x 1)
➢ 计算CRC码时用的数据块是从扇区的开头到用户数 据区结束的数据字节，即字节0～2063。在EDC中
代码多项式的模2加法和模2减法运算所得的结果相同， 所以可用加法来代替减法
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16.1 CRC错误检测原理与检测码(续2)
模2多项式的除法用长除法
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16.1 CRC错误检测原理与检测码(续3)
➢ 代码多项式的结构
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16.2 RS编码和纠错算法(续10)
➢ 假定mi (信息符号)为下列值
m3 = α0 = 001 m2 = α6 = 101 m1 = α3 = 011 m0 = α2 = 100 可求得校验符号
Q1
Q0
6 4
101 110
m0 4 m0 3
在读出时的校正子可按下式计算
[例16.3] 在例16.2中，如果K0=0，t = 1，则RS校验码生成 多项式为，
K 1
G(x) (x K0 i ) (x 0 )(x 1) i0
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16.2 RS编码和纠错算法(续9)
由于光盘材料性能、光盘制造技术水平、驱动器性能和使 用不当等诸多原因，从盘上读出的数据不可能完全正确
据有关厂家的测试和统计，一片未使用过的只读光盘，其原 始误码率约为3×10-4，沾有指纹的盘的误码率约为6×10-4， 有伤痕的盘的误码率约为5×10-3
➢ 光盘存储器采用了三种错误检测和纠正措施
GF(23)域元素
α3 α4 α5 α6
二进制对代码
(011) (110) (111) (101)
用同样的方法可建立GF(28)域中的256个元素与8位 二进制数之间的一一对应关系
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16.2 RS编码和纠错算法(续3)
➢ 伽罗华域中的加、减、乘和除运算
➢ 当用x=α和x=α2代入上式时，得到下面的方程组
mm33(5
m2 4
2 )5 m2
m1 ( 2 )4
3 m0 2 Q1 m1( 2 )3 m0
Q0 0
( 2 )2 Q1
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
)1
Q0
0
经过整理可以得到用矩阵表示的(6，4)RS码的 校验方程为
H
Q
VQT
0
5
4
3
2
1
1
HQ
错误检测：采用循环冗余码(cyclic redundancy code，CRC) 检测读出数据是否有错
错误校正： 采用里德－索洛蒙码(Reed-Solomon Code, RS) 进行纠错
交叉交插里德-索洛蒙码 (Cross Interleaved Reed-Solomon Code，CIRC), 这个码的含义可理解为在用RS编译码前后， 对数据进行交插和交叉处理
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16.2 RS编码和纠错算法(续4)
16.2.2 RS的编码算法
➢ RS的编码就是计算信息码符多项式M(x)除以校验码 生成多项式G(x)之后的余数
➢ 在GF(2m)域中，符号(n，k)RS的含义如下
M n k K=n-k=2t t
符号大小，如m= 8表示符号由8位二进制数组成 码块的长度， 码块中的信息长度 校验码的符号数 能够纠正的错误数目
➢ 将信息代码和CRC码一起 写到盘上
写到盘上的信息代码和CRC 码是4D6F746FB994，它能被
G(x) 11021(H) 除尽
➢ 错误检测
从盘上把这块数据读出时， 用同样的CRC码生成多项式 去除，其结果是：(1) 余数为 0，表示读出没有错误；(2) 余数不为0，表示读出有错
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xnk M (x) R(x)代表新的代码多项式，它是 能够被校验码生成多项式G(x)除尽的，即它 的余项为0
在盘上写数据时，将xn-kM(x)表示的信息代码和表 示的余数R(x)代码一起写到盘上
从盘上读数据时，将信息代码和余数代码一起读 出，然后用相同的校验码生成多项式G(x)去除
通过判断余数是否为0来确定数据是否有误
存放的CRC码的次序如下
EDC 字节号
x24－x31 2064
x16－x23 2065
X8－x15 2066
x0－x7 2067
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第16章 错误检测和校正
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16.2 RS编码和纠错算法
16.2.1. GF(2m)域
➢ CD-ROM中的数据、地址、校验码等都可看成是属 于GF(2m) = GF(28)中的元素或称符号。GF(28)表示 域中有256个元素，除0和1之外的254个元素由本原 多项式(primitive polynomial)P(x)生成。本原多项式 P(x)的特性是 (x2m1 1) / P(x) 得到的余式等于0
如果一个k位的二进制信息代码多项式为M(x) ，
增加(n－k)位的校验码后，信息代码多项式在新
的数据块中就表示成xn-kM(x)，见图16-1
图16-1 信息代码结构
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