人教A版 选修1-2 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用 教案

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用学习目标：1.了解随机误差、残差、残差图的概念．(重点)2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果．(重点)3.了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．回归分析的相关概念 (1)回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)回归直线方程方程^y＝^bx ＋^a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中^a，^b是待定参数，其最小二乘估计分别为：，b其中＝n 1x n i ，＝n 1y ni ，(，)称为样本点的中心． (3)线性回归模型样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y ＝bx ＋a 来描述它们之间的关系，而是用线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 来表示，其中a 和b 为模型的未知参数，e 称为随机误差，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量．思考：在线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 中，e 产生的原因主要有哪几种？ [提示]随机误差产生的原因主要有以下几种： (1)所用的确定性函数不恰当引起的误差； (2)忽略了某些因素的影响； (3)存在观测误差．2．残差的概念对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )而言，它们的随机误差为e i ＝y i －bx i －a ，i ＝1,2，…，n ，其估计值为^e i ＝y i －^y i ＝y i －^b x i －^a，i ＝1,2，…，n ，^ei 称为相应于点(x i ，y i )的残差．3．刻画回归效果的方式1．思考辨析(1)相关指数R 2越小，线性回归方程的拟合效果越好． ( )(2)在线性回归模型中，e 是bx ＋a 预报真实值y 的随机误差，它是一个可观测的量．( )(3)线性回归方程^y＝^bx ＋^a必过样本点的中心(，)． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2分别如下表：A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁A [相关指数R 2越大，表示回归模型的拟合效果越好．]3．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A 、B 两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和 n(y i －^yi )2如表所示：关系的模型拟合精度高．丁 [根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R 2表达式中 n(y i －)2为确定的数，则残差平方和越小，R 2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果就越好，由试验结果知丁要好些．]4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为^y＝0.85x －85.71，则下列结论中正确的是________(填序号).(1)y 与x 具有正的线性相关关系； (2)回归直线过样本点的中心(，)；(3)若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ；(4)若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg. (1)(2)(3) [回归方程中x 的系数为0.85>0，因此y 与x 具有正的线性相关关系，(1)正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(，)，(2)正确； 依据回归方程中^b的含义可知，x 每变化1个单位，^y相应变化约0.85个单位，(3)正确；用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故(4)不正确．][合 作 探 究·攻 重 难]求线性回归方程数据：x 6 8 10 12 (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程^y ＝^b x ＋^a ；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.[解] (1)如图：(2)x ni y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，＝46＋8＋10＋12＝9，＝42＋3＋5＋6＝4，x n i 2＝62＋82＋102＋122＝344， ^b ＝344－4×92158－4×9×4＝2014＝0.7， ^a ＝－^b＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为^y＝0.7x －2.3.(3)由(2)中线性回归方程当x ＝9时，^y＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.[规律方法] 求线性回归方程的基本步骤： 1列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系. 2计算：3代入公式求出^y＝^bx ＋^a中参数^b，^a的值. 4写出线性回归方程并对实际问题作出估计.提醒：只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义.1．某种产品的广告费用支出x 与销售额y (单元：百万元)之间有如下的对应数据：x /百万元 2 4 5 6 8 y /百万元 3040605070(2)求线性回归方程；(3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额． [解] (1)散点图如图所示：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：所以，＝5＝5，＝5＝50，x i ＝145，x 5i y i ＝1 380.于是可得^b ＝22＝145－5×521 380－5×5×50＝6.5， ^a ＝－^b＝50－6.5×5＝17.5.所以所求的线性回归方程为^y＝6.5x ＋17.5.(3)根据(2)中求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，^y＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．线性回归分析量的6个物体进行测量，数据如下表所示：x 5 10 15 20 25 30(2)求出R 2； (3)进行残差分析. [解] (1)散点图如图．＝61(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，＝61(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，x 6i 2＝2 275，x 6i y i ＝1 076.2， 计算得，^b≈0.183，^a≈6.285， 所求回归直线方程为^y＝0.183x ＋6.285. (2)列表如下：所以 (y i －^i )2≈0.013 18， (y i －)2＝14.678 4.所以，R 2＝1－14.678 40.013 18≈0.999 1，回归模型的拟合效果较好．(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．2．关于x 与y 有如下数据：有如下的两个线性模型：(1)^＝6.5x ＋17.5；(2)^＝7x ＋17.试比较哪一个拟合效果更好．[解] 由(1)可得y i －^yi 与y i －的关系如下表：∴ (y i －^i )2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155，(y i －)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.∴R 12＝1－5＝1－1 000155＝0.845.由(2)可得y i －^yi 与y i －的关系如下表：∴ (y i －^i )2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180， (y i －)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000. ∴R 22＝1－5＝1－1 000180＝0.82，由于R 12＝0.845，R 22＝0.82,0.845>0.82，∴R 12>R 22. ∴(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果．非线性回归分析1．已知x 和y 之间的一组数据，则下列四个函数中，模拟效果最好的为哪一个？2③y ＝4x;④y ＝x 2.提示：观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y ＝3×2x－1附近．所以模拟效果最好的为①. 2．如何将上题函数变换为线性函数？提示：将y ＝3×2x －1两边取自然对数得ln y ＝ln 3＋(x －1)ln 2.令x ′＝x ，y ′＝ln y ，则原方程变为y ′＝ln 3＋x ′ln 2－ln 2＝ln 23＋x ′ln 2.这样y ′与x ′成线性函数关系．为了研究某种细菌随时间x 变化，繁殖的个数，收集数据如下： 天数x /天 1 2 3 4 5 6(1)用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图，根据散点图判断：y ＝a ＋bx 与y ＝c 1e c 2x 哪一个作为繁殖的个数y 关于时间x 变化的回归方程类型为最佳？(给出判断即可，不必说明理由)其中z i ＝ln y i ；＝6z i .(2)根据(1)的判断最佳结果及表中的数据，建立y 关于x 的回归方程.参考公式：^b ＝n ，^a ＝－^b.思路探究：(1)根据收集数据，可得数据的散点图；(2)由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y ＝c e bx (c >0)的周围，则ln y ＝bx ＋ln c ．变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合，即可求出y 对x 的回归方程．[解] (1)作出散点图，如图1所示．图1 图2由散点图看出样本点分布在一条指数函数y ＝c 1e c 2x 的周围，于是选择y ＝c 1e c 2x .(2)令z ＝ln y ，则z ＝bx ＋a .z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25相应的散点图如图2.从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合．由^b＝6≈0.69，^a ＝－^b＝1.115，得z ＝0.69x ＋1.115； 则有^y＝e 0.69x ＋1.115.母题探究：1.(变结论)在本例条件不变的情况下，试估计第7天细菌繁殖个数．[解] ∵^y＝e 0.69x ＋1.115， ∴当x ＝7时，^y≈382(个)即第7天细菌繁殖个数约为382个． 2．(变结论)计算相关指数． [解] 残差计算如下表： 天数 1 2 3 4 5 6 残差0.080.12－0.83－0.821.061.52即解释变量“天数”对预报变量“繁殖细菌个数”解释了99.98%. [规律方法] 解决非线性回归问题的方法及步骤 1确定变量：确定解释变量为x ，预报变量为y ； 2画散点图：通过观察散点图并与学过的函数幂、指数、对数函数、二次函数作比较，选取拟合效果好的函数模型；5写出非线性回归方程.1．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过点( )x 123 4y 1357C．(2.5,4) D．(2.5,5)C [线性回归方程必过样本点的中心(，)，即(2.5,4)，故选C.]2．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )A BC DA[用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．] 3．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)之间满足y i＝bx i＋a＋e i(i ＝1,2，…，n)，且e i恒为0，则R2为________．1 [∵e i恒为0，∴样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)均落在直线y＝bx ＋a 上，∴变量x ，y 成函数关系，即R 2＝1.]4．已知回归方程^y＝2x ＋1，而试验得到一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，则残差平方和等于________．0.03 [(4.9－5)2＋(7.1－7)2＋(9.1－9)2＝0.03.] 5．已知x ，y 之间的一组数据如下表：(1)分别计算：、、x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4、x 1＋x 2＋x 3＋x 4；(2)已知变量x 与y 线性相关，求出回归方程．[解] (1)＝40＋1＋2＋3＝1.5，＝41＋3＋5＋7＝4，x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，x 12＋x 22＋x 32＋x 42＝02＋12＋22＋32＝14. (2)^b ＝14－4×1.5234－4×1.5×4＝2， ^a ＝－^b＝4－2×1.5＝1， 故^y＝2x ＋1.。