2.4 隐函数求导法则
2.4隐函数求导法
两边对 t 求导
500
h
得： sec2 d 1 d h d t 500 d t
h = 500m 时, tan 1 , sec2 1 tan 2 2
d 1 1 140 d t 2 500
( rad/ min )
上顶直径8米的圆锥形容器中， 12. 水注入深8米，
解
两边取对数， 化为隐式 1 ( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
方程两边对x求导得
1 1 1 1 1 y 2 1 y x 1 3 x 1 x4
y x x x
解
x
xx
y ( x ) ( x ) ( x
d y
d x 2 dx x dx
2
y y
dy x y dx x y
(1 y )( x y ) ( x y )(1 y ) ( x y )2 2 xy 2 y ( x y)
2
2
x ( x y ) y( x y ) ( x y )3
解
方程两边对x求导得
1 y 1 y 2 x x
1 x y
2 2
( x 2 y 2 )
x
2
2
x y
2
yx y
x
2
1 x y
2 2
2 x 2 y y
2 x2 y2
yx y x yy dy x y dx x y
( t )
( t )
( t ) d x 1 dx d x d t ( t ) dy d t dy d t dy dt
2-4隐函数的求导法则.
·复习初等函数的求导法则，基本初等函数的求导公式.·引入前面我们所遇到的函数都是y=f(x)的形式，这种函数的求导问题已经解决，下面我们来学习几种特殊的求导法.·讲解新课第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数一隐函数的求导法把一个变量明显是另一个变量的函数，并可以表示为y=f(x)的形式的函数叫做显函数．把一个函数的自变量x和变量y之间的对应关系由一个二元方程F(x,y)=0所确定的函数叫做隐函数．如4x-5y+8=0，x2+y2=R2，x+y-ey=0都是隐函数．把隐函数化成显函数的过程叫做隐函数的显化.如将方程x+y-1=0化成y=隐函数的显化有时是有因难的．甚至是不可能的．如隐函数xy=ex+y3就无法化成显函数．但在实际问题中，常常需要计算隐函数的导数．求隐函数的导数的方法是将方程两边同时对自变量x求导，把y看成是关于x的函数，把关于y的函数应看成是关于x的复合函数．例1 求由方程e+xy-e=0所确定的隐函数的导数y'x． y'解：将方程两边同时对x求导，得ey'x+y+xyx=0，解得yy'x=-y(x+ey≠0). yx+edy中允许dx一般地，由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y，它的导数含有y．例2 求方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数y在x=0的导数dy． dxx=0解：将方程的两边同时对x求导，得5y4dydy+2-1-21x6=0， dxdxdy1+21x6所以． =4dx5y+2当x=0时，由方程y5+2y-x-3x7=0得y=0，所以二对数求导法形为y=u（其中u、v都是x的函数）的函数叫做幂指函数．在求导运算中，常会遇到这样两类函数求导问题：一类是幂指函数，另一类是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数。
可以用对数求导法来求着两类函数的导数。
所谓对数求导法，就是两边先取对数，然后利用隐函数的求导法求的结果。
隐函数求导
隐函数求导1、隐函数求导隐函数求导是指求解含有未知变量的函数的导数。
主要分为四类：隐函数求导的定义、隐函数求导的基本方法、隐函数求导的解法、隐函数求导的应用。
隐函数求导的定义就是求解含有未知变量的函数的导数的过程，比如函数的一阶导数、二阶导数，以及更高位的导数等。
与函数的求导不同的是，隐函数求导指的是对含有未知变量的函数求导，包括一阶导数、未定系数型函数和未知数函数等。
隐函数求导的基本方法主要有三种，分别是链式法则、暂称法则和零点法则。
1、链式法则：链式法则是指针对含有未知变量的函数进行求导，要先求出未知变量对各变量的偏导，然后明确影响的变量的表达式，接着再由链式法则求出函数的导数。
2、暂称法则：暂称法则是指用若干变量暂称其余变量，变化时有一个变量保持恒定，当变化后，仍在某一点上有极值时，其中含有的暂称变量就可以用来求导了。
3、零点法则：零点法则是指用若干变量的零点可以计算链式法则和暂称法则的结果，可以用求零点的方法来求函数的导数和偏导数。
隐函数求导的解法包括有直接解法和逆函数求导法两部分。
1、直接解法：直接解法是指直接用链式法则、暂称法则和零点法则求解含有未知变量的函数的导数，以及求解未知变量时，以及求解未知变量的偏导数等。
2、逆函数求导法：逆函数求导法是指用逆函数求导来求函数的导数，也就是用逆函数将函数映射到原始空间，然后再求原始函数的导数。
（四）隐函数求导的应用隐函数求导技术的应用非常广泛，主要用在未知参数系统中，如未知函数的拟合、控制问题等，未知函数的求导是解决这些问题所必需的。
另外，隐函数求导的应用还包括在机器学习、深度学习等技术方面，用于有效的模型学习和参数求解，解决复杂的未知参数问题。
隐函数的求导法则笔记
隐函数的求导法则笔记在微积分中，隐函数的求导是一个重要的概念。
隐函数是指方程中的变量之间存在函数关系，但并未显式地表示出来。
在这种情况下，我们需要使用隐函数的求导法则来求出其导数。
本文将介绍隐函数的求导法则，并通过实例演示如何应用这一法则。
隐函数的求导法则可以总结为以下几点：1. 隐函数的求导法则假设有一个方程式：F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数。
为了求出 y 对 x 的导数，我们可以使用以下的步骤：- 对方程两边关于 x 求导- 将得到的导数项集中到一边，将 y' 提取出来- 最终得到 y' 的表达式2. 通过实例演示隐函数的求导法则为了更好地理解隐函数的求导法则，我们通过一个具体的例子来演示。
假设有一个方程式：x^2 + y^2 = 25，我们需要求出 y 对x 的导数。
首先，对方程两边关于 x 求导，得到：2x + 2yy' = 0。
然后，将导数项集中到一边，得到：2yy' = -2x。
最后，将 y' 提取出来，得到：y' = -x/y。
3. 隐函数的高阶导数除了一阶导数之外，有时候我们也需要求隐函数的高阶导数。
在这种情况下，我们可以通过多次应用隐函数的求导法则来求出高阶导数。
4. 隐函数的参数化有时候，我们也可以通过参数化的方法来求隐函数的导数。
通过引入参数 t，将隐函数表示为参数方程的形式，然后对参数 t 求导，最终得到 y 对 x 的导数。
5. 隐函数的求导在实际问题中的应用隐函数的求导在物理、工程、经济等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，隐函数的求导可以帮助我们求解运动学和动力学问题；在工程学中，隐函数的求导可以帮助我们优化设计和分析系统行为；在经济学中，隐函数的求导可以帮助我们理解市场行为和决策过程。
总结隐函数的求导法则是微积分中的重要概念，它可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中得到应用。
通过本文的介绍和实例演示，相信读者对隐函数的求导法则有了更深入的理解。
2.4隐函数求导
x ln(1 t 2 ) 例8 求由方程 表示的 y t arctan t
函数y=y(x)的二阶导数。
dy 1 1 2 1 dy dt 1 t t 解： 2t 2 dx dx 2 1 t dt
d 1 d 2 y d dy d 1 dt ( ) ( t ) ( t) 2 dx dx dx dx 2 dt 2 dx
( x 1)( x 2) ( 3 x )( 4 x )
用同样的方法可得与上面相同的结果.
注：学生做题时可忽略定义域。
( x 1)3 x 1 , 求y . 例7 设 y 2 x ( x 4) e
解:
等式两边取对数，得
1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
y
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得 对①再求导, 得
① 1 y (0) e ②
y 2 e y (e x) y 2 y 0 y
将 x 0, y 1, y(0) e 1 再代入 ② 得
1 y(0) 2 e
例5. 求
的导数 . 幂指函数
为两可导函数 之间有联系
相关变化率问题解法: 之间也有联系 称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变பைடு நூலகம்率
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h tan 则 500 500 两边对 t 求导
2.4 隐函数求导法则
e f (sin x ) f (sin x) cos x
问： f (sin x )与[ f (sinx )]有什么区别？
2
2.4.2 隐函数求导法
如果二元方程 F ( x , y ) 0 确定了一个函数y y( x ) , 称之为隐函数.
当然, y( x) 一经解出,则称为显函数.
2
h
sec 2 1 tan 2
dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 17 d t 2 500
2.4.6 分段函数的求导
18
(P87 第17题) 设
x2 , x 1 f ( x) ax b, x 1 在点x 1可导, 求常数 a, b.
解 因为
2 x , x 1 f ( x ) a, x 1
所以
f (1) 2,
f (1) a
函数在 x 1处可导 , 所以左右导数相等
2 f (1) f (1) a.
d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) d t dx d t d x 2 dx dx (t ) (t ) (t ) (t )
注意 :
(t )
(t )
2
(t ) (t ) (t ) (t ) 3 (t )
x y ； 2 2 y a x
另一分支 : y a x , y
2 2
x
x . 2 2 y a x 4
x
y 求由方程 e xy e 所确定的隐函数 y y( x ) 例3 在 x 0 处的一阶和二阶导数.
2.4隐函数求导
r
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
思考与练习
d y t f ′′(t) =t, = 解: f ′′(t) dx
练习: 练习 112 题8(1) 解:
dy −1 = ; dx t
d y = 2 dx
2
1 t2
1 = 3 t t
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 垂直分量为
h 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 x 体积为 V , 则 2 1π R2h − 1π r 2 (h − x) = π R [ h3 − (h − x)3 ] 3 3 3h2 两边对 t 求导 r h− x = dV π R2 dV h = 2 ⋅ (h− x)2⋅ dx , 而 = 25 (cm3 s)R h− x dt dt h dt r= R 2 h dx 100 25h = 2 (cm s) , 故 2 2 dt π R π R (h − x)
y& x& ψ′′(t)ϕ′(t) −ψ′(t)ϕ′′(t) &&x − &&y = = 3 x3 ϕ′ (t) &
注意 : 已知 例4. 设
×
2
?
x = f ′(t) d2 y . , 且 f ′′(t) ≠ 0,求 y = t f ′(t) − f (t) d x2
隐函数求导法则公式
隐函数求导法则公式隐函数求导法则是微积分中的一个重要概念，它用于求解含有隐式变量的函数的导数。
隐函数求导法则公式可以帮助我们更方便地求解这类函数的导数，从而在实际问题中更加灵活地应用微积分知识。
下面我们将详细介绍隐函数求导法则公式及其应用。
隐函数求导法则公式的表述如下：设有方程 F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数，即 y = f(x)，则 y 对 x 的导数可以通过以下公式求得：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中∂F/∂x 表示对 F 进行偏导数运算，∂F/∂y 也是类似的意思。
这个公式是隐函数求导法则的核心，通过它我们可以求解含有隐式变量的函数的导数。
接下来我们将通过一个具体的例子来说明隐函数求导法则公式的应用。
假设有方程 x^2 + y^2 = 1，我们需要求解 y 对 x 的导数。
首先，我们将这个方程表示为 F(x, y) = 0 的形式，即 F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0。
然后，我们对 F(x, y) 分别对 x 和 y 求偏导数，得到∂F/∂x = 2x，∂F/∂y = 2y。
最后，代入隐函数求导法则公式，得到 dy/dx = - (2x) / (2y) = -x/y。
通过这个例子，我们可以看到隐函数求导法则公式的应用过程，它可以帮助我们求解含有隐式变量的函数的导数，从而更加灵活地应用微积分知识。
除了上述的基本公式，隐函数求导法则还有一些特殊情况的应用，比如当方程 F(x, y) = 0 不易直接求导时，我们可以先对 x或 y 求导，然后再应用隐函数求导法则公式。
此外，隐函数求导法则还可以应用于求解高阶导数、求解参数方程等问题。
总之，隐函数求导法则公式是微积分中的一个重要工具，它可以帮助我们更方便地求解含有隐式变量的函数的导数，从而在实际问题中更加灵活地应用微积分知识。
希望通过本文的介绍，读者能对隐函数求导法则有更加深入的理解，并能够灵活运用到实际问题中。
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2015/10/15 14
dD dt
1 cm / min. D 10 20
例7 一质子沿曲线y 1 x 3 运动，当其在点(2,3)时，
纵坐标y以4 cm / s 的速率增加，问此时横坐标x的变化
率是多少？
1 dy 1 (1 x 3 ) 2 3 x 2 解： y 1 x3 dx 2 dy =4 dt
dy a sin t sin t dy dt 解： a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1 . t dx 2 1 cos 2 当 t 时, x a ( 1), y a . 2 2
所求切线方程为 y a x a( 2 1)
2015/10/15
即 y x a(2 ) 2
19
例7. 不 计 空 气 的 阻 力 , 以初速度 v0 , 发 射 角
发射炮弹 , 其运动方程为 x v 0 t cos , 1 2 y v 0 t si n gt , 2 求 (1)炮 弹 在 时 刻 t 0的 运 动 方 向 ; ( 2)炮 弹 在 时 刻 t 0的 速 度 大 小 .
2
4
2
1 点(1,1)处的切线方程 y 1 x 1， 2 即 x 2 y 3 0.
2015/10/15
1
2
5
例3 证明双曲线x y a (a 0)上任一点的切线与
2
两坐标轴围成的三角形的面积等于常数2a 2 .
证:在曲线xy a 2上任取一点( x0 , y0 ),
dy dx dy , , . dx dt dt
2015/10/15
dy dy dt . dx dt dx
17
四、参数方程求导法则
x a cos t 例8 求参数方程 所确定的函数 y y( x )的导数. y b sin t
联系相关变化率问题，可以考虑下面三个变化率的关 系，并给出一般的解决方法.
yx y x yy
dy x y dx x y
2015/10/15 11
d2y d x y 2 dx x y dx (1 y )( x y ) ( x y )(1 y ) ( x y )2 2 xy 2 y x( x y ) y( x y ) 2 2 ( x y) ( x y )3
解： 这里涉及3个变量：r , A, t . dA dr 0.3 所求是： . 已知 dt dt 不同变化率的关系 dA dA dA dr 0.3 = dr dA dt dr dt 2 0.6 r 1.2 m / s . r 2 r 2 dA A r2 2 r . dt dr 13 2015/10/15
2015/10/15
4
.
10
2 y dy d y 2 2 设 arctan ln x y , 求 , 2 例 x dx dx 解 方程两边对x求导得 1 1 y 2 2 ( x y ) 2 2 2 x y y x 1 x 2 x yx y 1 2 x 2 yy 2 2 2 2 2 x y x x y 2 x2 y2
代入 x 0, y 1, y
x0 y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
7
2015/10/15
二、反三角函数的导数
(arcsin x )' 1 1 x
2
; (arccos x )'
1 1 x
2
;
1 (arccot x )' . 2 1 x dy 考察函数 y arcsin x， y 的导数 . 2 2 dx
dx vx dt
t t0
(v 0 t cos ) t t 0
dy ay x 2 整理得： 2 . dx y ax
2015/10/15 4
例2 求曲线 xy ln y 1 在点(1,1)处的切线方程.
解: 将曲线方程两边同时对x求导，
( xy )' x (ln y )' x 0
y 1 . 即 y x y y 0 y x y1 y y2 1 k y 1,1 = 1,1 = . x y1 2
2( x y ) ( x y )3
2 2
2015/10/15
12
三、相关变化率问题
例5 将一块石头仍进平静的池塘后，水面会泛起一阵 涟漪。假定它是一组以石头落水位置为圆心的同心圆， 如果最外层的圆的半径r以0.3m/s的速度向外扩展。 求当圆的半径是2 m时，圆面积A增长的速度是多少？
dx dy dx 8 1 x 3 = 2 dt dt dy 3x
dx dt
2015/10/15
x2
2 cm / s .
15
例. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以 25 cm3 s 自顶部向容器内注水 ,试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度.
x sin y
1 (arctan x )' ; 2 1 x
dx cos y dy
dy 1 1 dx cos y 1 x2
cos y 1 x 2
2015/10/15 8
常用函数求导公式:
(C ) 0;
(sin x ) cos x; (cos x ) sin x;
对x求导
y是x的函数；
y 2是以y为中间变量、 x为自变量的复合函数.
2x 2 y y' 0
x 整理得：y ' . y
或者在方程两边同时微分：
2 xdx 2 ydy 0
dy x 整理得： . dx y
2015/10/15
3
例1 求笛卡儿（Descartes）叶形线：x 3 y 3 3axy 0 所确定的隐函数的一阶导数.
h 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的 x 体积为 V , 则 2 R 3 3 1 R 2 h 1 r 2 (h x) [ h ( h x ) ] 3 3 2 3h 两边对 t 求导 r hx dV R 2 d V h 2 ( h x ) 2 dx , 而 25 (cm 3 s)R hx dt dt h dt r R 2 h dx 100 25h (cm s) , 故 2 2 2 dt R R (h x)
过此点的切线斜率为
k y
x x0
y y0 x0 , y0 . x x0
y0 y y '( x x .0 ), yy 故切线方程为 xy a xy 'y 0 0 x0 x x y 1 即 1. S 2 y0 2 x0 2 x0 y0 2a 2 . 2 x 0 2 y0 2
解： f '( x )
1 ( x 1)' arctan x ( x 1)(arctan x )'
1 arctan x ( x 1)
1 1 x
2
( x )'
x 1 1 arctan x 2( x 1) x
f '(1) 1 arctan1 1
y
解：在方程x 3 y 3 3axy 0两边对x求导： 3 x 2 3 y 2 y ' 3ay 3axy ' 0
2 ay x . ( x 2 ay ) ( y 2 ax ) y ' 0 y ' 2 y ax
或者在方程两边微分：
3 x 2dx 3 y 2dy 3a( xdy ydx ) 0
(arccos x )
1 (ln x ) ; x
1 1 x2 1
;
;
1 x2 1 1 (arctan x ) ; (arccot x ) . 2 2 1 x 1 x 2015/10/15
1 (log a x ) . x ln a
9
例4 设 f ( x ) x ( x 1)arctan x ，求 f '(1) .
2015/10/15 16
r
四、参数方程求导法则
x a cos t 例8 求参数方程 所确定的函数 y y( x )的导数. y b sin t
分析： 这里我们可以利用参数方程消去参数t， 得到 x 与 y 的直接关系，再求导数. 但这种做法比较麻烦，且不具有一般性. 联系相关变化率问题，可以考虑下面三个变化率的关 系，并给出一般的解决方法.
例6 假定一个雪球在阳光的照射下开始融化，其表面 积以1cm2/min的变化率减少，给出在其直径长度为 10cm时的变化率。
解： 这里涉及到3个变量： S , t , D . S 4 r 2 D 2 .
dS 1, dt dD dS dD 1 dt dS dt 2 D dS 2 D S D dD
dy dy dy dt b cos t b (b sin t )'t dt cot t . dx dt dx dx (a cos t )'t a sin t a dt
2015/10/15
18
x a ( t sin t ) 在t 处的切线 方程 . 例9. 求摆线 2 y a(1 cos t )
( x ) x
1
;
(tan x ) sec2 x;