轴对称课题学习最短路径问题
八年级上册 课题学习《最短路径问题》说课稿
课题学习《最短路径问题》说课稿各位领导、专家、同仁们大家好：今天我说课的的内容是：人教八年级上册第13章第四节课题学习最短路径问题。
下面我将从：教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法、学法、教学手段、教学过程、板书设计、反思十个方面展开我的说课。
一、教材分析：本节课的内容是在学习了轴对称图形及两点之间线段最短知识的基础上学习的最短路径问题。
同时为我们今后解决坐标系下线段和最短的问题打下基础。
所以本节课的学习既是对前面所学知识的应用又为今后学习新知识做了铺垫，起到了呈上起下的作用。
二、学情分析1、已有的知识与能力：八年级学生已经学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”这些关于距离最短问题的解决依据。
也初步接触了逻辑推理证明的方法。
2、未接触的知识能力：由于八年级学生首次遇到线段和最小，所以无从下手，另外证明两条线段和最小时要选取另外一点，学生想不到、不会用，所以利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短是本节课的难点。
3.综合能力方面：八年级学生这一阶段的学生思维能力发展较快,自我意识增强,有较强的求知欲和表现欲,在情感方面他们能进行自我教育。
经过一年多新课程理念的熏陶及实践,学生已有了初步的自主学习、合作探究的能力,但部分学生存在不自信,羞于表现等思想顾虑,但又希望能得到他人的肯定。
因此我的教学目标分了三层,照顾不同程度的学生。
在教学活动中尽量让他们参与到活动中来,减少他们的恐惧感,通过学生间的合作学习,降低他们的学习难度,使各层次的学生都有所收获,使他们体验到成功的喜悦。
通过以上教材与学情分析我制定了本节课教学目标：三、教学目标：1、知识与能力目标：（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
（2）能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“直线”，把实际问题抽象为数学问题。
2、过程与方法目标：（1）使学生经历提出问题——合作探究——动手操作——组间对比——理论证明——解决问题的过程。
课题学习--最短路径问题 优秀教案
课题学习---最短路径问题游戏规则发生了变化，如图，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到终点处？问题1:前面我们已经解决了A、B两点在直线两侧的最短问题，下面请同学们思考并尝试，若这两点居于直线的同侧，该怎样找到那样的点P，使得AP与BP的和最小？问题2：若找到了那样的点，请证明结论的正确性（化异侧为同侧）点点l求．证明：如图，在直线上取一点P质，AP=PAB=AP+PB=AP+PB.由此可知：点距离最短学以致用（将军饮马）传说在古罗马时代的亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.A边岸的同侧该怎样走才能使路程最短？据说当时海伦略加思索就解决了它们，你知道问题的答案吗？l小明终点现如今，将军遇到了新的问题，你能够替代海伦帮助将军解决这个问题吗？（造桥选址问题）将军从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后淌水到B 地（要求淌水的距离最短）．问到河边什么地方饮马并淌水可使他所走的路线全程最短？问题3：本问题又变成了点在直线两侧的问题，但一条直线拓宽成了一条河，请同学们思考，要饮马并淌水过河，饮马点M应选在何处，才能使从A到B的路径AMNB最短？问题4：如何证明你的结论？如图，由于河岸宽度是固定的，淌水的路径最短要与河岸垂直，因此路径AMNB中的MN的长度是固定的. 因此要使AM+MN+NB的值最小，只需AM+NB的值最小即可.如图，几何画板验证，然后使用逻辑推理问题探究经验基础上，把问题引向深入，使得平移变换自然呈现，进一步体现图形变换在最短路径问题中的价值。
13.4课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题是一种经典的计算几何问题，其目标是在给定图形中找到从起点到终点的最短路径。
根据不同的条件和限制，轴对称最短路径问题可以分为以下七种类型：
1. 简单轴对称最短路径问题：给定一个轴对称图形，起点和终点分别位于对称轴的两侧，求最短路径。
2. 带有障碍物的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中存在一些障碍物，起点和终点在障碍物两侧，求最短路径。
3. 多个起点和终点的轴对称最短路径问题：给定多个起点和终点，每个起点和终点都在对称轴的两侧，求所有起点到所有终点的最短路径。
4. 带有权值的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中，不同的点或边具有不同的权值，求起点到终点的最短路径。
5. 动态规划解决轴对称最短路径问题：使用动态规划算法解决轴对称最短路径问题，将问题分解为子问题，逐步求解。
6. A*搜索算法解决轴对称最短路径问题：使用A*搜索算法，通过估价函数指导搜索方向，加速求解速度。
7. 双向搜索解决轴对称最短路径问题：从起点和终点同时进行搜索，通过比较两个方向的搜索结果得到最短路径。
以上七种类型是轴对称最短路径问题的常见分类，每种类型都有其特定的解决方法，需要根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
人教版八年级上册13.4课题学习(最短路径问题)
的位置
解：AB＝AC ，△ABC为等腰三角形，
A
AD平分∠CAB，故点D是BC边的中点，即 点B与点C关于直线AD对称.∵点M在AD上， 故BM=CM.即MB+MN的最小值可转化为求
N
●
●M
MC+MN的最小值，故连接CN即可，线段
CN的长即为MB+MN的最小值.
B
D
C
3 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为
●A
●
M′
课堂小结
原理：线段公理和垂线段最短
最
短 路
牧马人 饮马问
轴对称知识+线段公理
径题
问 造桥 题 选址 平移知识+线段公理
问题
课外作业： 第93页 第15题
和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如
何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
A
点B“移”到l 的另一侧B′
处，满足直线l 上的任意一
l
点C，都保持CB 与CB′的长
度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
练一练：
1 如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别 是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则 AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为 __6_0°_____
2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上
的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M
人教版初中数学八年级上册第十三章13.4课题学习 最短路径问题(ppt课件)
拓展延伸
2. 某班举行文艺晚会,桌子摆成AB,AC两行,如图13-4-27,AB桌面上 摆满了橘子,AC桌面上摆满了糖果,小明现在P处,准备先去拿橘子再 去拿糖果,然后回到P处.请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总 路程最短.(保留作图痕迹,并简单写出作法)
拓展延伸
3. 如图,小华每天都要到李奶奶家做好事,在途中她要先到草场打
对点练习
4. 如图,AD为等腰三角形ABC底边上的高,E为AC边上一点,在AD
上求一点F,使EF+CF最小.
对点练习
5.如图,M为正方形ABCD的边CD的中点,BM=10,在对角线BD上求 作一点N,使MN+CN的值最小,并求出这个最小值.
拓展延伸
1、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接 游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船 的最短路径．【来源：2教育
E
一只在E处的蚂蚁要爬到圆柱内侧D点处，试
画出其最短路径。
对点练习
2.(河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边L饮
马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
对点练习
3.点P是直线l上的一点,线段AB∥l,能使PA+PB 取得最小 值的点P的位置应满足的条件是 ( C ) A.点P为点A到直线l的垂线的垂足 B.点P为点B到直线l的垂线的垂足 C.PB=PA D.PB=AB
学习难点
确定最短距离及理论说明.
知识回顾：
思考：
(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？ (2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪 条线最短？ 以上路径选择基于什么原理？
类型一：两点之间，线段最短——直接应用
课题学习：最短路径问题(分层作业)(解析版)-八年级数学上册
13.4课题学习：最短路径问题夯实基础篇一、单选题：1．直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）．A．B．C．D．【答案】D【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选D．【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．2．如图，点M，N在直线l的同侧，小东同学想通过作图在直线l上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】作点M关于直线l的对称点M′，再连接M′N交l于点Q，则MQ+NQ=M′Q+NQ=M′N，由“两点之间，线段最短”，可知点Q即为所求.故答案为：C【分析】先作点M关于l的对称点M′，连接M′N交l于点Q，即可.3．如图，在等腰△AB C中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB，AD上的动点，则MN+BN的最小值是（）C．4.5D．6A．3B．【答案】A【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴∠ABC=∠C，AD是∠BAC 的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵∠ABC=∠C，∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，∵BH⊥AC，∴BH=12AB=3．故答案为：A【分析】根据等腰三角形的三线合一，得到AD是∠BAC的平分线，由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，得到BH是点B到直线AC的最短距离，再由三角形内角和定理得到∠BAC=30°，根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出MN+BN的最小值.4．如图：△AB C中， ACB=90°，AC=BC，AB=4，点E在BC上，且BE=2，点P在 ABC 的平分线BD上运动，则PE+PC的长度最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【知识点】三角形的角平分线、中线和高；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】作点E关于BD的对称点E'，连接E'C，如下图：∵BD是∠ABC的平分线，∴通过作图知，BP垂直平分EE'，∴PE'=PE∴此时PE+PC=PE'+PC=E'C，PE+PC的长度最小，∵点E、点E'关于BD的对称，∴BE'=BE=2，又∵AB=4，∴点E'是A B中点，CE'是中线.∵△AB C中，∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45 ，∴CE'又是底边AB的高，∴△BE'C也是等腰直角三角形，∴E'C=2，即：PE+PC的长度最小值为2.故选B.【分析】此题考查最短路径问题，利用轴对称，作点E关于BD的对称点E'，连接E'C，可知此时PE+PC的长度最小，PE+PC=PE'+PC=E'C.再根据作图和等腰直角三角形性质求出E'C的长即可.5．如图，在锐角△AB C中，AB＝AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）A．4B．245C．5D．6【答案】C【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，∵AD 是∠BAC 的平分线，AB =AC ，∴点B 关于AD 的对称点为点C ，过点C 作CN ⊥AB 于N 交AD 于M ，由轴对称确定最短路线问题，点M 即为使BM ＋MN 最小的点，CN ＝BM ＋MN ，∵AB ＝10，S △ABC ＝25，∴12×10•CN ＝25，解得CN ＝5，即BM ＋MN 的最小值是5.故答案为：C.【分析】根据AD 是∠BAC 的平分线，AB =AC 可得出确定出点B 关于AD 的对称点为点C ，根据垂线段最短，过点C 作CN ⊥AB 于N 交AD 于M ，根据轴对称确定最短路线问题，点M 即为使BM ＋MN 最小的点，CN ＝BM ＋MN ，利用三角形的面积求出CN ，从而得解.6．如图，等边ABC 中，D 为A C 中点，点P 、Q 分别为AB 、AD 上的点，4BP AQ ，3QD ，在BD 上有一动点E ，则PE QE 的最小值为（）A ．7B ．8C ．10D ．12【答案】C【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，ABC ∵是等边三角形，BA BC ，∵D 为A C 中点，∴BD AC ，∵4AQ ，3QD ，7AD DC AQ QD ，作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE +QE 的值最小，最小值PE +QE =PE +EQ '=PQ '，4AQ ∵，7AD DC ，3QD DQ ，4CQ BP ，10AP AQ ，60A ∵，APQ 是等边三角形，10PQ PA ，∴PE +QE 的最小值为10.故答案为：C.【分析】作点Q关于BD的对称点Q'，连接PQ'交BD于E，连接QE，此时PE+QE 的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ'，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.7．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A．7.5B．8.5C．10.5D．13.5【答案】D【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，连接AM、AD∵EF垂直平分线段AC∴CM=AM∴CM+MD=AM+MD≥AD即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD∴△CMD的周长的最小值为AD+CD ∵D为BC的中点，AB=AC∴1 1.52CD BC，AD⊥BC∴13182ABCS AD∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△CDM周长的最小值为13.5故答案为：D.【分析】连接AM、AD，由线段垂直平分线的性质可得CM=AM，当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长；根据等腰三角形三线合一的性质可得1 1.52CD BC，AD⊥BC，利用△ABC的面积可求出AD的长，从而求出此时△CDM的周长即可.二、填空题：8．如图的4×4的正方形网格中，有A，B，C，D四点，直线a上求一点P，使PA+PB 最短，则点P应选点（C或D）.【答案】C【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，点A ′是点A 关于直线a 的对称点，连接A ′B ，则A ′B 与直线a 的交点，即为点P ，此时PA +PB 最短，∵A ′B 与直线a 交于点C ，∴点P 应选C 点.故答案为：C.【分析】点A ′是点A 关于直线a 的对称点，连接A ′B ，则A ′B 与直线a 的交点，即为点P ，此时PA +PB 最短，据此即得结论.9．如图，在ABC 中，3,4,,AB AC AB AC EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上一动点，则ABP 周长的最小值是．【答案】7【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：∵EF 垂直平分BC ，∴B ，C 关于直线EF 对称．设AC 交EF 于点D ，∴当P 和D 重合时，AP BP 的值最小，最小值等于AC 的长，∴ABP 周长的最小值是437 ．【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP 的最小值，求出AC长度即可得到结论．中，AB=4，AC=6，BC=7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上10．如图，在ABC的任一点，则ABP周长的最小值是.【答案】10【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，连接PC，∵，4AB，AB PA PB PA PB的周长为4ABP要使ABP的周长最小，则需PA PB的值最小，∵垂直平分BC，EF，PC PBPA PB PA PC ，由两点之间线段最短可知，当点,,A P C 共线，即点P 在AC 边上时，PA PC 取得最小值，最小值为AC ，即PA PB 的最小值为6AC ，则ABP 周长的最小值是4610 .故答案为：10.【分析】如图，连接PC ，先把ABP 的周长表示出来为4+PA +PB ，接着根据垂直平分线性质得到PB =PC ，故只需PA +PC 最小△ABP 周长才最小，由两点之间线段最短得出P 点在AC 上时最小，此时PA +PC =AC =6，从而即可得出答案.11．如图，在△AB C 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD ＝8，AD 是∠BAC 的平分线.若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是.【答案】9.6【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP ＝CP .过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示.∵S△ABC12BC•AD12AC•BQ，∴BQ12810BC ADAC9.6.故答案为：9.6.【分析】根据等腰三角形的三线合一得出AD垂直平分BC，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BP＝CP，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，然后根据三角形的面积法，得出BC•AD =AC•BQ，根据等积式即可求出BQ的长.三、作图题：12．有一个养鱼专业户，在如图所示地形的两个池塘里养鱼，他每天早上要从住处P分别前往两个池塘投放鱼食，试问他怎样走才能以最短距离回到住地?(请用尺规作图，保留作图痕迹，不写做法)【答案】解：答图如图所示，该养鱼专业户若要以最短距离回到住地，则他所走路线是：，P M N P.或P N M P【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【分析】分别作P点关于AB，AC的对称点，连接这两个对称点交AB于点M，交AC于点N，该养鱼专业户若要以最短距离回到住地，则他所走路线是：，或P N M P.P M N P13．如图，P和Q为△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点M， 使△PQM的周长最小。
13.4 课题学习 最短路径问题
A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
l
满足直线l 上的任意一点C，
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
B
则点C 即为所求．
A
C l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的 和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如 何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而 作出最短路径的选择.
课堂小结
原理 线段公理和垂线段最短
最 短 牧马人饮 路 径 马问题 问题
解题方法 轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
将实际问题抽象成数学问题
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B
A
将实际问题抽象成数学问题
(1)将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条 直线．
B A l
(2)在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？
A村
P
lபைடு நூலகம்
B村
连接AB，线段AB与l的交点即为泵站修建的位置
将实际问题抽象成数学问题
问题2 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负 盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海 伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后 到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最 短？
l
证明AC +BC “最短”
追问1 证明AC +BC最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜ AC′+BC′？ 若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
B A
C′ C
B′
l
证明AC +BC “最短”
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？ 利用轴对称，把直线l 同侧的 两点，转化为直线l异侧的两点， 再利用“两点之间，线段最短” 画图．
B A
C′ C
B′
l
巩固练习
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径．
八年级
上册
第十三章 轴对称 课题学习 最短路径问题
湖北省通山县教育局教研室 袁观六
创设问题情境
问题1 如图，从A地到B地有三条路可供选择，你 会选择哪条路距离最短？说说你的理由.
D A
E
F B C
两点之间，线段最短
创设问题情境
问题2 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分 别向A、B两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所 用的输气管线最短？
解决数学问题
问题4 如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找 到一点C，使AC与BC的和最小？ 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求．
B A
C B′
l
证明AC +BC “最短”
问题5 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． B 由轴对称的性质知， A BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC C′ C = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′． B′ 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′．即AC +BC 最短．
C 山 Q A P 大桥 B 河岸
归纳小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
布置作业
教科书复习题13第15题．