2018届高考数学二轮参数方程与极坐标专题卷(全国通用)(10)

参数方程与极坐标1．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线4:πθ=OM 与圆C 的交点为O 、P 两点，求P 点的极坐标．【答案】（Ⅰ）2cos ρθ=（Ⅱ）)4,2(π【解析】试题分析：（Ⅰ）先消参数得：圆C 的普通方程是221y 1x -+=()，再根据cos ,sin x y ρθρθ==将圆的普通方程化为极坐标方程：2cos ρθ=（Ⅱ）令4πθ=，得ρ=P 点的极坐标为)4,2(π，也可从直角坐标求P 点的直角坐标，再化为极坐标． 试题解析：解：（Ⅰ）圆C 的普通方程是221y 1x -+=()，又cos ,sin x y ρθρθ== 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=（Ⅱ）因为射线:4OM πθ=的普通方程为,0y x x =≥联立方程组22,01y 1y x x x =≥⎧⎨-+=⎩()消去y 并整理得20x x -= 解得1x =或0x =，所以P 点的坐标为(1,1)p ∴点的极坐标为)4,2(π考点：圆极坐标方程 2．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系内，已知曲线1C 的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=，以极点为原点，极轴方向为x 正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线2C 的参数方程为5145183x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程以及曲线2C 的普通方程；（2）设点P 为曲线2C 上的动点，过点P 作曲线1C 的切线，求这条切线长的最小值. 【答案】（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(1)(2)1x y -++=，曲线2C 的普通方程为34150x y +-=；（2【解析】试题分析：（1）由题意可利用直角坐标与极坐标的互化公式cos y sin x ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线1C 的极坐标方程，可将其转化为直角坐标方程；经过消参可以将曲线2C 的参数方程转化为普通方程.由曲线1C 的极坐标方程()22cos 2sin 40ρρθθ--+=，将cos y sin x ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得222440x y x y +-++=，整理得22(1)(2)1x y -++=；由曲线2C 的参数方程5145183x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），消掉参数t 可得曲线2C 的普通方程为34150x y +-=. （2）由题意可知，过圆心作曲线2C 的垂线，且相交于点P ，则交点P 为所求的点，再利用勾股定理可求出切线长的最小值.由（1）知曲线1C 的圆心坐标为()1,2-，半径为1，利用点到直线的距离公式可求得圆心到曲线2C 的距离为4d==，所以所切线长为l =.试题解析：（1）对于曲线1C 的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=， 可化为直角坐标方程222440x y x y +-++=，即22(1)(2)1x y -++=；对于曲线2C 的参数方程为5145183x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），可化为普通方程34150x y +-=. 5分（2）过圆心(1,2)-点作直线34150x y +-=的垂线，此时切线长最小， 则由点到直线的距离公式可知，4d ==，则切线长=分考点：1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；2.点到直线的距离公式. 3．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭，求|CP|.【答案】【解析】由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2＝4x ，所以(x －2)2＋y 2＝4，圆心C(2，0)．点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭，即ρ＝4，θ＝3π，所以x ＝ρcos θ＝4cos 3π＝2，y ＝ρsin θ＝4sin3π＝P(2，，所以|CP|＝ 4．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程式，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：（是参数）.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； （2）若直线与曲线相交于两点，且，试求实数的值.【答案】（1）直角坐标方程为:；直线的直角坐标方程为：；（2）或.【解析】试题分析：(1)由两边同时乘,得到,根据,化为直角坐标方程,由直线的参数方程消去,得到普通方程;(2)利用点到直线距离公式以及,求出的值,另一种方法:将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中,利用韦达定理求出的值,再求出的值.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为:.直线的直角坐标方程为：.（2）（法一）由（1）知：圆心的坐标为，圆的半径，∴圆心到直线的距离，∴，∴或.（法二）把（是参数）代入方程,得,∴.∴.∴或.5．在平面直角坐标系x O y 中，圆C 的参数方程为4{ 4x cos y sin θθ==（θ为参数），直线l 经过点P （1，2），倾斜角6πα=．（1）求直线l 的参数方程；（2）设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA|•|PB|的值．【答案】（1）12{ 122x y t=+=+（t 为参数）（2）11 【解析】试题分析：（1）根据直线l 经过点12P （，），倾斜角6πα=，可得直线l 的参数方程．（2）把直线的方程1{122x y t=+=+代入2216x y +=，得(22110t t +-=，由此能求出PA PB ⋅的值.试题解析：（1）∵直线l 经过点12P （，），倾斜角6πα=，∴1{ 122x y t=+=+，（ t 为参数）（2）∵圆C的参数方程为4{4x cosy sinθθ==（θ为参数），∴圆C的直角坐标方程为2216x y+=，把直线的方程12{122xy t=+=+代入2216x y+=，得(22110t t+-=，设1t，2t是方程的两个实根，则1211t t=-，则1211PA PB t t⋅==．6．选修4-4：坐标系与参数方程坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C的极坐标方程是2=ρ.矩形ABCD内接于曲线1C，BA,两点的极坐标分别为)6,2(π和)65,2(π.将曲线1C上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线2C.（1）写出DC,的直角坐标及曲线2C的参数方程；（2）设M为2C上任意一点，求2222MDMCMBMA+++的取值范围.【答案】（1）)1,3(),1,3(---DC,曲线2C的参数方程为θθθ(sin,cos2⎩⎨⎧==yx为参数)；（2）]32,20[.【解析】试题分析：（1）先利用公式求得(A B，利用对称性可求得)1,3(),1,3(---DC.C的直角坐标方程为224x y+=，参数方程为2c o s2s i nxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，即2cossinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）设)s i n,c o s2(θθM，利用两点间的距离公式，化简2222MA MB MC MD+++得212cos20θ+，故所求的取值范围是]32,20[.试题解析：（1）由)1,3(),1,3(-BA得)1,3(),1,3(---DC，曲线2C的参数方程为θθθ(sin,cos2⎩⎨⎧==yx为参数).（2）设)sin,cos2(θθM，则2222MDMC MB MA +++22222222(2cos (sin 1)(2cos (sin 1)(2cos (sin 1)(2cos (sin 1)θθθθθθθθ=+-++-+++++++20cos 1216sin 4cos 16222+=++=θθθ，则所求的取值范围是]32,20[.考点：坐标系与参数方程． 7．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线1C 上的动点，求点到上点的距离的最小值．【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限制，要标出的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）及方程的两边平方是常用的变形方法.试题解析：（1）由曲线：得即：曲线的普通方程为：由曲线：得：即：曲线的直角坐标方程为：5分（2） 由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为所以当时，的最小值为10分考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、点到直线的距离公式. 8． 选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为422x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），P 是椭圆2214x y +=上任意一点，求点P 到直线l 距离的最大值. 【答案】解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0．…2分因为P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ ，sin θ)其中θ∈R ．………4分因此点P 到直线l 的距离是d ＝∣2cos θ＋2sin θ∣12＋22＝22∣sin(θ＋π4)∣5． ………8分 所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105． …………………………………10分【解析】略9．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为13{24x t y t=-+=-（t 为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB .【答案】（Ⅰ）曲线C ： 22220.x y x y +--= （Ⅱ） 2.AB =【解析】试题分析：削去参数t 把直线的参数方程化为普通方程，根据公式cos ,sin x y ρρθρθ===，把极坐标方程化为直角坐标方程；把直线的参数方程化为标准形式，利用参数t 的几何意义求出弦长AB . 试题解析： （Ⅰ）直线l :13{24x t y t=-+=-（t 为参数），消去t 得()4213y x --=+，即4320.x y +-=曲线C ：4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2cos 2sin ρθθ=+，又cos ,sin x y ρρθρθ===， 22cos 2sin ρρθρθ=+故曲线C ： 22220.x y x y +--= （Ⅱ）直线l 的参数方程为13{24x t y t=-+=-（t 为参数）⇒直线l 的参数方程为//315{ 425x t y t =--=+（/t 为参数），代入曲线C ： 22220x y x y +--=，消去,x y 得/2/430t t ++= //123,1t t ⇒=-=-，由参数/t 的几何意义知， //1231 2.AB t t =-=-+=10．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），又以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos24sin 30ρθρθ+-=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 方程相交于A ，B 两点，求||AB ．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22(2)1y x --=；（2）||AB = 【解析】试题分析：（1）由极坐标与直角坐标相互转化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可求出曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程并整理可得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理可得12t t +，12t t ，运用直线的参数方程的几何意义可知，12||||AB t t =-，代入即可得出所求的结果．试题解析：（1）曲线C 的极坐标方程2c o s 24s i n 30ρθρθ+-=，化为2222c o s s i n 4s i n 30ρθρθρθ-+-=，即22430x y y -+-=．∴曲线C 的直角坐标方程为22(2)1y x --=．（2）将直线l的参数方程12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t 为参数），代入曲线C 方程得24100t t +-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则124t t +=-，1210t t =-，所以12||||AB t t =-=考点：1、极坐标与直角坐标的相互转化；2、直线的参数方程的几何意义．。