2019-2020年高中数学 函数的单调性教案 北师大版必修1
函数单调性教案--北师大版(必修一)
《函数的单调性》第一课时教案一、教学目标知识与技能：理解函数单调性和单调函数的意义；会判断和证明简单函数的单调性。
过程与方法：培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。
情感态度与价值观：领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。
二、教学的重点和难点教学重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性；教学难点：根据定义证明函数的单调性和利用函数图像证明单调性。
三、教法与学法1．教学方法本节课主要采用“创设情景、问题探究、合作交流、归纳总结、联系巩固”2．教学手段教学中使用多媒体辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。
3．学法高一学生知识上已经掌握了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和基本性质等内容，但对知识的理解和方法的掌握上不完备，反应在解题中就是思维不严密，过程不完整；能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强，所以应从下面两方面来提高学生的水平。
（1）让学生利用图形直观感受；（2）让学生“设问、尝试、归纳、总结、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈，通过引导学生多思、多说、多练，使认识得到深化。
四、教学过程(一)创设情境，引入课题我们知道，函数是刻画事物变化的工具。
如图为宿迁市20XX年元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：思考如下的问题：1. 某些时段温度升高，某些时段温度低？2. 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？3. 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？(二)归纳探索，形成概念 1、借助图象直观感知 在区间上，y 随着x 的增大而减小图像呈上升趋势(),-∞+∞思考： 你能根据自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数吗?预案：y 随着x 增大而增大是增函数， y 随着x 增大而减小是减函数通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图像上点的运动情况，引导xt 2f(t 2) t 1f(t 1)问题1 分别作出函数 的图象，并观察随着自变量的变化，函数值怎样变化？21,y x y x =+=(在区间上,y 随着x 的增大而减小，图象呈下降趋势),0-∞在区间上,y 随着x 的增大而增大，图象呈上升趋势()0,+∞学生能用自然语言描述出，随着x 增大时图像变化规律。
北师大版高中数学必修1函数的单调性教案1
函数的单调性教学目标（1）理解掌握函数单调性与导数的关系；（2）能够利用导数的符号判断函数的单调性．教学重点，难点结合几何直观，探索函数单调性与导数的关系．教学过程一．问题情境1．情境：作为函数变化率的导数刻画了函数变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），而函数的单调性也是对函数变化的一种刻画．2．问题：那么导数与函数的单调性有什么联系呢？二．学生活动结合一个单调函数的图象，思考在函数单调递增的部分其切线的斜率的符号．三．建构数学如果函数()f x 在区间(,)a b 上是增函数，那么对任意1x ，2x ∈(,)a b ，当1x <2x 时，12()()f x f x <，即1x -2x 与12()()f x f x -同号，从而1212()()0f x f x x x ->-，即0y x ∆>∆．这表明，导数大于0与函数单调递增密切相关．一般地，我们有下面的结论：设函数()y f x =，如果在某区间上()0f x '>，那么()f x 为该区间上的增函数； 如果在某区间上()0f x '<，那么()f x 为该区间上的减函数；如果在某区间上()0f x '=，那么()f x 为该区间上的常数函数．上述结论可以用下图来直观理解．思考：试结合3y x =：如果()f x 在某区间上单调递增，那么在该区间上必有()0f x '>吗？说明：若()f x 为某区间上的增（减）函数，则在该区间上()0f x '>（()0f x '<）不一定成立．即如果在某区间上()0f x '>（()0f x '<）是()f x 在该区间上是增（减）函数的充分不必要条件．四．数学运用1．例题：例1．确定函数2()43f x x x =-+在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解：()24f x x '=-．令()0f x '>，解得2x >．因此，在区间(2,)+∞内，()f x 是增函数．同理可得，在区间(,2)-∞内，()f x 是减函数（如左图）．例2．确定函数32()267f x x x =-+在哪些区间内是增函数． 解：2()612f x x x '=-．令()0f x '>，解得0x <或2x >． 因此，在区间(,0)-∞内，()f x 是增函数；在区间(2,)+∞内，()f x 也是增函数．例3．确定函数()sin f x x =，[0,2]x π∈的单调减区间．解：()cos f x x '=．令()0f x '<，即cos 0x <，又[0,2]x π∈，所以3(,)22x ππ∈． 故区间3(,)22ππ是函数()sin f x x =，[0,2]x π∈的单调减区间．注意：所求的单调区间必须在函数的定义域内．例4．已知曲线323610y x x x =++-，（1）用导数证明此函数在R 上单调递增；（2）求曲线的切线l 的斜率的取值范围．（1）证明：2223663(21)33(1)30y x x x x x '=++=+++=++>恒成立．所以此函数在R 上递增．（2）解：由（１）可知2()3(1)33f x x '=++≥，所以l 的斜率的范围是3k ≥． 五．回顾小结：函数单调性与导数的关系：函数()y f x =，如果在某区间上()0f x '>，那么()f x 为该区间上的增函数； 如果在某区间上()0f x '<，那么()f x 为该区间上的减函数；如果在某区间上()0f x '=，那么()f x 为该区间上的常数函数．。
高中数学 第二章第三节函数的单调性教案 北师大版必修1
在函数 的图象上任取两点 ，
表示自变量 的增量： ，
表示函数值 的增量：
2．讲授增减函数概念
一般地，对于函数 在给定区间上任意两个不相等的值 、
当 函数 在这个
区间上是增函数
当 函数 在这个区间上是减函数
3．单调性的定义
如果一个函数在某个区间上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间上具有（严格的）单调性这个区间就叫做这个函数的单调区间
课型
新授课
课时
1课时
教学方法
讲练结合法、演示图象法、观察法
教具
多媒体辅助教学课件、绘图工具
教学过程
双边活动及教学运用
一、新课导入
1、 画出一次函数 , 的图象
通过学生绘制函数图象,教师演示图象,师生观察分析图象
要求学生绘图，然后老师用课件演示
教师从以下两方面引导学生观察图象
①图象自左向右的变化趋势
②函数值y随自变量x的增大而变化的情况.
学生观察，教师引导分析，得出初步结论
教师通过图象分析 , ，进行讲评
教师通过图象引导分析
教师通过图象引导分析
教师举例
学生观察理解
教学过程
双边活动及教学运用
4．总结判断函数单调性（增减函数）的方法
(1)图象法：观察图象的上升和下降，一定要沿着从左向右的方向和确定好自变量 的取值区间。
(2)定义证明法:用定义证明的步骤
在讲例2后师生总结
教师用课件演示图象，学生在教师的引导下自己完成
学生做练习1，师生评析
教师分析讲评，学生听讲理解
师生总结定义证明的步骤
一名学生板演，其他学生做练习2，
教师巡视指导，师生评析学生的板演
高一数学北师大版必修1教学教案第二章3函数的单调性
函数的单调性教学设计与反思一.教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．根据函数单调性在整个教材内容中的地位与作用，本节课教学应实现如下教学目标【教学目标】1.知识与技能理解函数单调性概念；掌握用定义判断和证明一些简单函数单调性的方法；了解函数单调区间。
2.过程与方法培养从概念出发,进一步研究其性质的意识及能力;体会感悟数形结合、分类讨论的思想.3.情感态度价值观由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望,突出学生的主观能动性,激发学生学习数学的兴趣.【教学重难点】重点:函数单调性的概念,判断和证明一些简单函数单调性的方法.难点:关于函数单调性概念的符号语言的认知,应用定义证明单调性的代数推理论证【教学过程】一.导课要研究函数的单调性,我们先从熟知的函数入手,下面请同学们作出函数y=x+1 和y=x+1 的图像.1.思考: 从左到右看,图像的变化趋势如何？随着自变量的变化,函数值如何变化?2.观察动画回答：(1)由函数y=x2图像,观察图像的变化趋势。
(2)函数y=x2中y随x如何变化?那么,我们怎样用符号语言表达函数值的增减变化呢?〖设计意图〗从图像直观感知函数单调性在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．二.新知探究1.请同学们阅读课本37页(3分钟)2.老师强调相关概念:函数递增时,图像是_________函数递减时, 图像是________在函数y=f(x)的定义域内的一个区间内A上,如果对于任意两个数x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数在区间A上是增加的,有时也称函数在区间A上是递增的。
北师大版必修1高中数学函数的单调性教案3
函数的单调性一、知识与技能：1．让学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调。
2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力，通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力。
二、过程与方法1．通过本节课的教学，渗透数形结合的思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。
2．探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。
三、情感、态度与价值观理性描述生活中的增长、递减现象。
四、教学过程问题1：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间的性质上主要区别在哪里？第一组：第二组：问题2：通过阅读增函数、减函数、单调区间的定义，指出它们中的关键词是什么？问题3：能否分别构造一个反例说明“任意”和“都有”？ ＜典型例题＞例1 书本P36例3例2 证明函数()23+=x x f 在()+∞∞-,上是增函数。
例 3 能说反比例函数()()0>=k x k x f 在整个定义域内是单调函数吗？并用定义证明你的结论。
问题4：函数()()0<=k x k x f 的单调区间是什么？ 例4 写出下列函数的单调区间并求函数的最值。
1．x x y 22-= 2．[]3,1,1∈-=x x y ３．[)5,2,63∈+-=x x y例５ 已知函数()x f y =的定义域是[]b c a b a <<,,．当[]c a x ,∈时，()x f 是单调增函数；当[]b c x ,∈时，()x f 是单调减函数．试证明()x f 在c x =时取得最大值． 〈活动与探究〉讨论下列函数的单调性１． ()11-=x x f２．()()02≠++=a c bx ax x f ３．()()0>+=k x kx x f。
高一数学北师大版必修1教学教案第二章3函数的单调性(1)
函数的单调性教学设计一教学内容分析函数单调性是函数重要性质之一，研究了随自变量的增大函数值是增大还是减少的性质，1函数的单调性是研究基本初等函数的理论基础，在研究函数的值域，最大值，最小值，比较大小，解不等式中起着重要作用。
2函数单调性是培养学生数形结合能力的重要题材，从概念教学来看，本节课通过具体函数的图像，得到增减性的直观特征，然后进一步量化，得到数字特征，用数学符号刻画出定义，指出函数单调性是针对区间而言的；从解题方法来看，既有从图像观察函数的单调性，又有利用定义严格判断证明的过程二教学目标设置1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．三学生学情分析我班学生本身基础薄弱，而函数单调性又是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对我班的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．四教学策略分析结合我班学生实际和教材内容分析，在教学中我采取了以下办法。
1制作学案，在预习中感性认识单调性2在教学过程中，注重概念的生成，通过创设情境，从学生熟悉的一次函数，二次函数的图像出发，层层设问，调动学生积极性，培养学生数形结合思想3在函数概念理解中，结合图像引导学生理解“任意”这个词，通过图像理解单调性是区间概念，有多个单调区间时连接词的使用。
高中数学 函数的单调性 教案北师大版必修1
课 题：2.3.1 函数的单调性1教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学重点：函数的单调性的概念；教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体 教材分析：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强根据以上分析本节课教学方法以在多媒体辅助下的启发式教学为主；同时，本节课在教学过程中对教材中的函数3x y =的图象进行了删除，教学中始终以23+=x y 、2x y =、xy 1=等函数为例子进行讨论研究 教学过程： 一、复习引入：⒈ 复习：按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数xy =3x y =的图象. 2x y =的图象如图1，3x y =如图2.⒉ 引入：从函数2x y =的图象（图1）看到：图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y <2y .这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0,+ ∞)上是增函数.图象在y 轴的左侧部分是下降的，也就是说， 当x 在区间（-∞，0）上取值时，随着x 的增大， 相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（-∞，0），得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y >2y .这时我们就说函数y =)(x f =2x 在(-∞,0)上是减函数. 函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的. 二、讲解新课： ⒈ 增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. 三、讲解例题：例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.解：函数)(x f y =的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中)(x f y =在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例2 证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数. 证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =(31x +2)-(32x +2)=3(1x －2x ),由1x <2x x,得1x －2x <0 ,于是)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f .∴23)(+=x x f 在R 上是增函数. 例3 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数. 证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -,由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f >∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上是减函数. 例4．讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性. 解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x = ∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数. 四、练习：1：课本P59练习：1，2答案：)(x f 的单调区间有[-2,-1]，[-1,0]，[0,1]，[1,2]；)(x f 在区间[-2,-1]，[0,1]上是增函数，在区间[-1,0]，[1,2]上是减函数.)(x g 的单调区间有[-π,-2π]，[-2π,2π]，[2π, π]；)(x g 在区间[-π,-2π]，[2π，π]上是减函数，在区间[-2π，2π]上是增函数. 说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明.2判断函数23)(+-=x x f 在R 上是增函数还是减函数？并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =(-31x +2)-(-32x +2)=3(2x -1x ), 又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴23)(+-=x x f 在R 上是减函数. 3判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈(-∞，0)，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -=2112x x x x -,由1x ,2x ∈(-∞，0)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴)(x f =x1在(0,+ ∞)上是减函数. 能否说函数)(x f =x1在(-∞，+∞)上是减函数？ 答：不能. 因为x =0不属于)(x f =x1的定义域. 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.3判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈(-∞，0)，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -=2112x x x x -,由1x ,2x ∈(-∞，0)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴)(x f =x1在(0,+ ∞)上是减函数.第4（1）题能否说函数)(x f =x1在(-∞，+∞)上是减函数？ 答：不能. 因为x =0不属于)(x f =x1的定义域. 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.4 ⑴ 判断函数b kx x f +=)(在R 上的单调性，并说明理由.解：⑴设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ,则)(1x f －)(2x f =(k 1x +b)-(k 2x +b)=k(1x -2x ).若k>0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f .∴b kx x f +=)(在R 上是增函数.若k<0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴b kx x f +=)(在R 上是减函数.五、小结 ⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性.六、课后作业：课本补充：⑴)(x f =41252-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 是以(25,41-)为顶点、对称轴平行于y 轴、开口向上的抛物线（如图）;它的单调区间是(-∞,25]与[25,+ ∞);它在(-∞,25]上是减函数，在[25,+ ∞)上是增函数.证明：设1x <2x ≤25,则 )(1x f －)(2x f =21x -22x -5(1x -2x )第4（2）题=(1x +2x -5) (1x -2x ) ∵1x <2x 25≤,∴1x +2x <5，1x -2x <0，∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f ..∴)(x f =2x -5x +6在(-∞,25]上是减函数.类似地，可以证明)(x f 在[25,+∞)上是增函数. ⑵)(x f =-2x +9的图象是以(0,9)为顶点、y 轴为对称轴、开口向下的一条抛物线（如图）；它的单调区间是(-∞,0]与[0,+∞)，它在(-∞,0]上是增函数，在[0,+∞)上是减函数.证明：设1x <2x ≤0,则)(1x f －)(2x f =-21x +22x =(1x +2x ) (2x -1x ) ∵1x <2x ≤0,∴1x +2x <0，2x -1x >0， ∴)(1x f －)(2x f <0,即)(1x f <)(2x f .∴)(x f =9-2x 在(-∞,0]上是增函数.类似地，可以证明)(x f 在[0,+∞)上是减函数. 七、板书设计（略） 八、课后记：。
2019-2020年高中数学 第二章 函数的单调性教案 北师大版必修1
2019-2020年高中数学 第二章 函数的单调性教案 北师大版必修1教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程： 阅读与思考♦ 1、阅读教材♦ P36的实例分析及思考交流止。
20406080100120140160180421423425427429501503505507509511513515517519♦ 2、思考问题（1）从P36图2-15 （北京从xx0421-xx0519每日新增非典病例的变化统计图）看出，形势从何日开始好转？（2）从P36图2-16你能否说出y 随x 如何变化？ 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据艾宾浩斯遗忘曲线问:什么是增函数、减函数、函数的单调性？问题1、 作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势:问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思吗？ 在某一区间内，图象在该区间呈上升趋势 当x 的值增大时，函数值y 也增大 图象在该区间呈下降趋势 当x 的值增大时，函数值y 反而减小 如何用x 与 f(x)来描述上升的图象？保持量（百分数）xx那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值⊇x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2）单调区间如果函数y=f(x)在区间I 是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值⊇x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2） ）上是增函数。
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2019-2020年高中数学 函数的单调性教案 北师大版必修1教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程： 阅读与思考♦ 1、阅读教材♦ P36的实例分析及思考交流止。
20406080100120140160180421423425427429501503505507509511513515517519♦ 2、思考问题（1）从P36图2-15 （全国从xx0421-xx0519每日新增艾滋病例的变化统计图）看出，形势从何日开始好转？（2）从P36图2-16你能否说出y 随x 如何变化？ 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据 时间间隔 记忆保持量 刚刚记忆完毕 100% 20分钟之后 58.2% 1小时之后 44.2% 8-9小时之后 35.8% 1天后 33.7% 2天后 27.8% 6天后 25.4% 一个月后 21.1% ……艾宾浩斯遗忘曲线问:什么是增函数、减函数、函数的单调性？问题1、 作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势:问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思吗？ 在某一区间内，图象在该区间呈上升趋势 当x 的值增大时，函数值y 也增大 图象在该区间呈下降趋势 当x 的值增大时，函数值y 反而减小 如何用x 与 f(x)来描述上升的图象？Oxy2x 2y +-=21yOxx1y =Oxy1+=x y 1-1yOx2x y -=保持量（百分数）天数1 2 3 420 40 60 80 100xyOy=f(x)x 1x 2 f(x 1)f(x )那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值⊇x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2） ,,21x x 在给定区间上任取21x x <)f(x )f(x 21<结论： 函数f (x)在给定区间上为递增的。
Oxy)x (f y =)x (f 11x 如何用x 与 f(x)来描述下降的图象？,,21x x 在给定区间上任取21x x < 结论： 函数f (x)在给定区间上为递减的。
)f(x )f(x 21>)x (f 1)x (f 2)x (f y =Oxy1x 2x )x (f 22x单调区间如果函数y=f(x)在区间I 是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.）上是增函数。
，（在区间证明函数∞+∞-+= x x f 12)( [例1]内任意是区间设),(,x 21+∞-∞x )x 2(x )1x 2()1x 2()x (f )x (f 212121-=+-+=-0x x ,x x 2121<-∴< 0)x (f )x (f 21<-∴)x (f )x (f 21<即),(1x 2)x (f +∞-∞+=在区间则函数证明：。
两个实数，且 x 21x <是增函数。
（条件）（论证结果）（结论）xyOy=f(x)x 1x 2 f(x 1)f(x )那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值⊇x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2）单调性，并加以证明。
的判断函数例 x 2x )x (f ]2[2-=单调递增区间：单调递减区间：(, 1-∞）), 1[+∞xx2x )x (f 2-=y21o小结§4.1 二次函数的图像教学目的：理解二次函数的图像中a,b,c,h,k 的作用；领会二次函数图像移动的方法 教学重点：二次函数的图像中a,b,c,h,k 的作用 教学难点：领会二次函数图像移动的方法 教学方法：逐层推进 教学过程： 一．复习引入1. 概念2. 方法定义法图象法解题步骤用定义证明函数的单调性的步骤:(1). 设x 1＜x 2, 并且是某个区间上任意二个值; (2). 作差 f(x 1)－f(x 2) ; (3). 判断 f(x 1)－f(x 2) 的符号: (4). 作结论.① 分解因式, 得出因式x 1－x 2 . ② 配成非负实数和.【练习】：1、判断函数f(x)=1/x 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论.【想一想】：能否说函数f(x)=1/x 在(－∞，+∞)答： 不能. 因为x=0不属于f(x)=1/x 的定义域.减函数2、判断函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上减函数说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点(1) y = (x+2)2-1， (2) y = - (x-2)2+2 ， (3) y = a (x+h)2+k二．问题探索 探索问题1：和的图像之间有什么关系？实践探究1：在同一坐标系中做出下列函数的图像; ; ; 观察发现1:１.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图像可由的y=x 2图像各点纵坐标变为原来的a 倍得到. ２.a 决定了图像的开口方向: a>o 开口向上，a<0开口向下.3. a 决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a|越小图像开口就越大 巩固性训练一：下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1). ; ; ; 探索问题2：和 的图像之间有什么关系？实践探究2：在同一坐标系中做出下列函数的图像：； ； 观察发现2：二次函数y=a(x+h)2+k (a ≠0),a 决定了二次函数图像的开口大小及方向； 而且“a 正开口向上，a 负开口向下”；｜a ｜越大开口越小；h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”； k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”。
巩固性训练二：１.将二次函数y=3x 2的图像平行移动,顶点移到（－３，２），则它的解析式为 Y=3(x+3) 2+2 。
2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x 2+1，f(x)图像的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为 Y=(x-3) 2+2 。
探索问题3：，和的图像之间有什么关系？观察发现3：一般的，二次函数， 通过配方就可以得到它的恒等形式：。
从而知道，由 的图像经过平移就可以得到。
发展性训练1. 由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移变换，可以得到y=3x 2的图像.右移2单位，下移4单位2. 把函数y=x 2-2x 的图像向右平移２个单位，再向下平移３个单位所得图像对应的函数 解析式为 ： Y =(x-2)2-2(x-2)-3 = x 2- 6x+5 = (x-3)2-4 。
三．课堂小结：１.a,h,k 对二次函数y =a(x+h)2+k 图像的影响。
２. y = x 2 与y =a(x+h)2+k 的图像变换规律。
四．课后作业：2019-2020年高中数学 函数的单调性教案 新人教A 版教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学过程： 一、引入课题1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．2．f(x) = -2x+1○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 y x1-1 1 -1y x 1-1 1 -1y x 1 -11 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1大，f(x)的值随着 ________ ．3．f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f (x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动） 注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ． 2．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．（二）典型例题例1．（教材P 34例1）根据函数图象说明函数的单调性． 解：（略）巩固练习：课本P 38练习第1、2题 例2．（教材P 34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性． 解：（略） 巩固练习：○1 课本P 38练习第3题； ○2 证明函数在（1，+∞）上为增函数． 例3．借助计算机作出函数y =－x 2+2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间． 解：（略）思考：画出反比例函数的图象．○1 这个函数的定义域是什么？ ○2 它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论． 说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：y x 1 -1 1-1取值→作差→变形→定号→下结论四、作业布置1．书面作业：课本P45习题1．3（A组）第1- 5题．2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，○1求f(0)、f(1)的值；○2若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．。